Моделирование и синтез замкнутых механических систем с многократными связями на основе целочисленных решений структурного уравнения механики

• 1.    Постановка задачи и предлагаемый путь ее решения

Математические выражения (уравнения, неравенства и другие зависимости переменных величин) являются основным средством формализации и познания при моделировании физических явлений и строения окружающего мира, представляющего собой различные механические системы [1-4], состоящие из целого числа взаимосвязанных твердых тел (рис. 1). Таким образом, в механике возникает проблема решения уравнений прикладной математики именно в целых числах, относящаяся к достаточно сложным задачам аналитической теории чисел [5-7] и получившая название «диофантов анализ уравнений» (по имени древнегреческого математика Диофанта).

В работах [5-7] отмечено, что в первую очередь такие проблемы возникают, когда приходится искать целочисленные решения уравнений, где число неизвестных превышает число уравнений (например, два и более неизвестных в одном уравнении) и которые содержат:

• а)    более простую задачу - установление существования конечного (или бесконечного) количества целочисленных решений данного уравнения или системы исходных уравнений (или полного отсутствия таких решений в целых числах);

• б)    более сложную задачу - определение расчетным путем точного количества этих целочисленных решений при увеличенном (два и более) числе неизвестных в рассматриваемом уравнении;

• в)    рассматриваемую в данной работе предельно сложную задачу - нахождение всех этих решений в целых числах для количественного описания, а также последующее моделирование и целенаправленное создание (на основе этих решений) возможных структур механических систем взаимосвязанных твердых тел:

• –    как уже существующих (образовавшихся в природе окружающего мира в виде различных химических соединений и живых биологических объектов);

• –    так и искусственно создаваемых человеком разнообразных подвижных и неподвижных механических устройств (например, движущиеся механизмы машин и неподвижные шарнирнорычажные фермы).

Отметим, что разнообразные механические системы взаимосвязанных твердых тел могут содержать как только простые (simple joints) соединения между собой двух отдельных компонентов (звеньев) системы (это будет частный случай – обозначим его ν = 0 ), так и сложные многократные (complex many-sided) соединения между собой трех и более отдельных компонентов (звеньев) системы (этот более общий случай ее строения обозначим ν ≠ 0). Некоторые примеры возможных подвижных соединений (связей) звеньев между собой в различных замкнутых механических системах даны на рис. 2 (где кратность j образующихся соединений будет на единицу меньше числа сходящихся в узле звеньев механической системы).

Рис. 1. Примеры механических систем с многократными связями, созданных природой и изобретенных человеком (на основе познания закономерностей окружающего мира): а - кристаллическая решетка твердых веществ [3]; б - шарнирный прямолинейно направляющий механизм [1]; в -стержневая ферма однопролетного моста [1]; г - человекоподобный робот-манипулятор; д - сотовые конструкции пчелиных ульев (с ячейками шестигранной формы); е - сотовые конструкции решеток охлаждения современных ядерных реакторов (с ячейками девятигранной формы) [4]

Расчет и конструирование

Рис. 2. Варианты многократных связей элементов механических систем (узлов с кратностью     )

Для формализации строения многозвенных механических систем используем полученное в работе [2] уравнение многократных связей замкнутых механических систем (исходное структурное уравнение механики), которое в общем случае (v ^ 0) имеет вид v2 + 2v3 + 3V4 + 4V5 +... + (k — 1)vk = v; v < C = 2(K — 1),                                    (1)

где v j - число j -кратных соединений звеньев замкнутой механической системы ( j max = K ); K -число образуемых звеньями системы взаимно независимых замкнутых контуров ( K >  1); v -приведенное число многократных соединений звеньев (узлов) механической системы; параметр k в последнем слагаемом данного уравнения зависит от величины K и равен k = K + 1 (при C <  K в области K <  2) или равен k = K (при C >  K в области K >  2).

Решение исходного уравнения (1) заключается в определении всех целочисленных значений неизвестных ( v ₂, v g , v 4 , v g ,..., v k ) при заданной целой величине K = 1; 2; 3;... и соответствующей ей целой константе C = 2( K — 1), задающей диапазон изменения v <  C . На рис. 3 даны примеры разнообразных механических систем, структура которых удовлетворяет граничному v = C .

С математической точки зрения исходная зависимость (1) представляет собой линейное алгебраическое уравнение 1-й степени с целой константой C и постоянными целыми коэффициентами c_i , образующих арифметическую прогрессию (число слагаемых которой зависит от задаваемой величины K = 1; 2; 3;…):

• ^{( c} 0 У 1 ^{+ С} 1 У 2 ⁺ c 2 У з ⁺ c 3 У 4 ⁺ c 4 У 5 ... ⁺ С У , ) ^{— C} = ⁰,                                               (2)

где с о = 0, с = 1, с 2 = 2, C g = 3, с 4 = 4,..., с , = ( k — 1);

y 2 = ^v 2 , y 3 = ^v 3 , y 4 = ^v 4 , ^y 5 = ^v 5 ,^, y i = ^v k .

Предлагаемый алгоритм поиска всех решений уравнения (1) состоит из трех этапов;

• а)    определение диапазона возможных целочисленных значений неизвестных (I этап);

• б)    составление аналитической зависимости между неизвестными (II этап);

• в)    определение всех решений искомого уравнения в целых числах – из совместного рассмотрения пунктов а и б (III этап).

• 2.    Решение структурного уравнения механики в целых числах

Применим предлагаемый трехэтапный алгоритм для решения в целых числах исходного структурного уравнения механики (1) при K = 1, K = 2, K = 3.

• I.    K = 1

Исходное структурное уравнение механики (1) при K = 1 вырождается ( v = v 2 , C = 0) и имеет единственное решение

v2 =v = 0, которое представлено на рис. 4 в виде одноконтурной замкнутой механической системы.

• II.    K = 2

Исходное структурное уравнение механики (1) при K = 2 примет вид v2 + 2v3 =v; v< 2(K — 1) = 2

и в диапазоне возможных целочисленных значений неизвестных 0 2 <  2, 0 3 <  1 имеет следующие 4 решения в четных и нечетных числах:

Рис. 3. Моделирование строения замкнутых одноконтурных ( K = 1)

и многоконтурных ( K 2) шарнирно-рычажных структур (выполнение граничного условия структурного уравнения механики (1) вида )

v ₂ = 0, v ₃ = 0, v ₂ = 1, v ₃ = 0, v ₂ = 2, v ₃ = 0, v ₂ = 0, v ₃ = 1

(представленные на рис. 4 в виде различных двухконтурных механических систем).

• III.    K = 3

Исходное структурное уравнение механики (1) при K = 3 примет вид v2 + 2v3 = v; v < 2(K —1) = 4

и в пределах v <  4 может иметь только 5 значений величины v :

v = С = 0; v = С2 = 1; v = С = 2; v = С4 = 3; v = С5 = 4, приводящих к следующей совокупности целочисленных решений уравнения (1), определяющих возможные варианты структуры трехконтурных механических систем:

• а)    C 1 = 0:

v 2 + 2 v 3 = 0 ^ v 2 = 0, v 3 = 0 (первое решение);

• б)    C 2 = 1:

v 2 + 2 v 3 = 1 ^ v 3 = —2— ^ из условия v 3 >  0 величина v 2 может быть только нечетной и равной v ₂ = 1, v 3 = 0 (второе решение);

Расчет и конструирование

• в)    C₃ = 2:

V

• V 2 + 2 V 3 = 2 ^ V 3 = 1 - -"2- ^ из условия V 3 >  0 величина V 2 может быть только четной и в пределах V 2 <  2 таких четных цифр только две: V 2 = 0, V 3 = 1 (третье решение); V 2 = 2, V 3 = 0 (четвертое решение);

• г)    C 4 = 3:

• V 2 + 2 V 3 = 3 ^ V 3 = —2— ^ из условия V 3 >  0 величина V 2 может быть только нечетной и в пределах V 2 <  3 таких нечетных цифр только две (1; 3): V 2 = 1, V 3 = 1 (пятое решение); V 2 = 3, V 3 = 0 (шестое решение);

• 3.    Теорема о конечном множестве целочисленных решений структурного уравнения механики с несколькими неизвестными

Д) C 5 = 4:

V

V 2 + 2 V 3 = 4 ^ V 3 = 2 - -"2- ^ из условия V 3 >  0 величина V 2 может быть только четной и в пределах V ₂ <  4 таких четных цифр только три (это 0; 2; 4): V ₂ = 0, V 3 = 2 (седьмое решение); V 2 = 2, V 3 = 1 (восьмое решение); V 2 = 4, V 3 = 0 (девятое решение).

Рис. 4. Создание одноконтурных ( K = 1) и двухконтурных ( K = 2) замкнутых механических систем (на основе решений в целых числах структурного уравнения механики (1) в случае C K )

Таким образом, исходное уравнение механики (1) при K = 3 содержит 2 неизвестных ( V 2 , V 3 ) и имеет только 9 решений в целых числах (представленных на рис. 5 в виде трехконтурных замкнутых механических систем).

Анализ полученных в п. 2 целочисленных решений линейного структурного уравнения механики (1) позволяет предположить, что их различное число предопределено разными наборами четных и нечетных цифр согласно предлагаемой ниже теореме.

Теорема

Линейное структурное уравнение механики вида

V2 + 2V3 + 3V4 + 4V5 +... + (k — 1)vk = V ; V < C = 2(K - 1) ^ V2 + 2V3 < Cq(3)

при любых K > 1 (т. е. с любым числом неизвестных) имеет конечное множество Z целочисленных решений (V2,V3,V4,...), определяемое набором четных и/или нечетных взаимно простых целых чисел в составе константы C0 и рассчитываемое по формуле z = X N, N = (m + k0) + (m1^),(4)

C0 = 2(K-1)-[3v„ + 4V5 +...+(k — 1)Vk], Cq

где Ni - число целочисленных решений в пределах данного значения C0; m₀, к₀ - сумма четных цифр (m0) и их количество (к₀) в цифровом диапазоне от нуля до предела, равного C₀ (включительно); m1, к1- сумма нечетных цифр (m1) и их количество (к1) в цифровом диапазоне от нуля до предела, равного C0 (включительно).

• 1)    v₂= 0, v₃= 0(v = 0)

• 2)    v₂= 1, v₃= 0( v = 1)

3) v₂= 0, v₃= 1(v = 2)

• 4)    v₂= 2, v₃= 0( v = 2)

• 5)    v2 = 1, v3 = 1(v = 3)

6) v₂= 3, v₃= 0( v = 3)

• 7)    v₂= 0, v₃= 2 (v = 4)

• 8)    v2 = 2, v₃= 1 (v = 4)

• 9)    v2=4, v₃= 0(v = 4)

Рис. 5. Создание трехконтурных (K = 3, C = 2(K – 1)) замкнутых механических систем (на основе решений в целых числах структурного уравнения механики (1) в случае C > K)

Пример № 1. Исходные данные: K = 2; v₂+ 2v3 = 2(K -1) = 2 ; C0 = С = 2; Ni = N . Результаты расчета: m₀= 0 + 2 = 2, к₀= 2; m1 = 1, k1 = 1 ^ N = (2/2 + 2) + (1) = 4; Z = N = 4 . Пример № 2. Исходные данные: K = 3; v₂+ 2v3 = 4; C0 = C = 4; Ni = N .

Результаты расчета: m0 = 0 + 2 + 4 = 6, к0 = 3; m1 = 1 + 3 = 4, k1 = 2 ^ N = (3 + 3) + (3) = 9;

Z = N = 9. (Совпадают с представленными на рис. 4 и 5 для случаев K = 2 и K = 3).

Примечание

В работе [6] рассматривается метод поиска целочисленных решений линейного уравнения с двумя неизвестными вида решение которого представлено в виде x = Х0 - bt, y = y0 + at, где t - параметр (t = 0, ± 1, ± 2, ..), (Х0, y0) - некоторое решение данного уравнения, в указанном уравнении a, b - целые числа, отличные от нуля и взаимно простые; E - целое.

Применительно к рассматриваемой механической системе с K = 2 (см. рис. 4) на a, b, E необходимо наложить дополнительные условия: x > 0, y > 0; a = 1, b = 2; E< 0; (x0 = E, y0 = -E) -одно из решений; E е [-2,0].

Расчет и конструирование

С учетом данных условий получаем следующую систему неравенств:

Гx = E — 2t > 0;

из которой определяем интервал изменения параметра t (с учетом отрицательной величины E):

t< —; t > E и получаем следующий набор целочисленных решений:

Х1 = 0, У1 = 0; x2 = 1, у2 = 0; Х3 = 2, у3 = 0;x4 = 0, у4 = 1.

Сравнительный анализ полученного множества из 4 решений показывает, что данный результат (пары чисел x и у) полностью согласуется как с целочисленными решениями при K = 2 (см. п.2), так и с определением числа решений по аналитической зависимости (4) теоремы, предложенной в п.3 данной работы.

Выводы

• 1.    Установлено, что исходное структурное уравнение механики вида [2]

• 2.    Полученные целочисленные решения указанного структурного уравнения механики отражают все возможное многообразие структур с многократными связями и могут быть практически реализованы в виде разнообразных механических систем взаимосвязанных твердых тел (подвижных или неподвижных звеньев) для разных областей техники.

• 3.    В синтезированных на основе целочисленных решений разнообразных механических систем (см. рис. 4 и 5) выявлена общая закономерность упрощения структуры (за счет снижения сложности составляющих звеньев) при переходе от нижней границы v = 0 к верхней границе v = C их строения с многократными связями.

имеет конечное множество целочисленных решений Z (4), зависящих от набора четных и нечетных чисел в пределах константы данного уравнения, возрастающее с увеличением числа K образуемых звеньями механической системы замкнутых контуров.