Моделирование инвестиционной деятельности малого предприятия

Terra Humana

Анализ источников по управлению и деятельности малых предприятий показал отсутствие работ по моделированию инвестиционной деятельности малого бизнеса. Однако в этом плане заслуживают внимание разработки Б.М. Широкова [2]. Автор разработал ряд рыночных моделей, по которым при заданных объемах ресурсов (предметы труда, средства труда, труд) и удельных затратах ресурсов на единицу выпускаемой продукции определяется оптимальный объем выпуска готовой продукции каждого вида. В его работе широкое применение находят методы линейного программирования. К ним относятся общий симплекс-метод; двойственный симплекс-метод; модифицированный симплекс-метод; метод сокращения невязок; метод линейных ветвлений; блочный симплекс-метод.

Все эти методы характеризуются получением линейной целевой функции и ряда линейных ограничений (неравенств). Суть нахождения экстремального значения целевой функции состоит в последовательном переборе вершин ограниченной области допустимых решений, где максимум (минимум) целевой функции будет находиться на границе области допустимых решений.

Однако возможны случаи, когда область допустимых решений открыта и ограничена полуплоскостью (гиперполуплоскостью). В этом случае методы линейного программирования неприменимы.

Такое положение может быть при постановке задачи, которая возникает в деятельности малого предприятия, а именно: необходимо рассчитать объемы производства продукции малого предприятия, не превышающие платежеспособный спрос, для выполнения которых предприниматель использует собственный капитал и такую сумму кредита, который он в состоянии погасить за счет средств, полученных в результате деятельности с использованием этого кредита. Решение задачи в такой постановке позволит определить объемы производства и реализации продукции, обеспечивающие баланс с суммой финансовых средств, и исключить убыточность и задолженность по кредитам.

Введем следующие основные обозначения:

Хj – искомый оптимальный объем выпуска готовой продукции каждого вида;

j = 1, ..., n – номера видов выпускаемой продукции, работ, услуг;

Цj – цена единицы вида выпускаемой продукции, руб.;

Сj – себестоимость единицы вида выпускаемой продукции, руб.;

Ам – сумма амортизационных отчислений за год, руб.;

Ск – собственные средства малого предприятия, руб.;

Зк – сумма кредита банка, руб.;

рк – ставка кредита банка, доли едини- цы;

К = Ск + Зк – сумма капитала малого предприятия, руб.;

П – прибыль малого предприятия, руб.;

П j = Ц j + С_j – прибыль от реализации единицы j-ой продукции, руб.;

Аj – платежеспособный спрос на j-ый вид продукции, работ, услуг.

Поставленную задачу можно решить с

использованием «метода крутого восхождения» (метода Бокса-Уилсона), который применяется при планировании эксперимента для поиска оптимальных условий [1].

Математическая модель оптимизации в этом случае примет вид: Целевая функция (прибыль)

П = П1Х1 + П2Х2 + ...+ ПjХj =

j = 1                        ,

Ограничения

I C j X j <  K = C k + 3 k         (2)

j =1

Xj ≤ Aj                  (3)

Ограничение связано с финансовым обеспечением, которое учитывает собственный капитал и предполагаемую прибыль с возможностью возврата кредита. В такой постановке вопросы оптимизации в научной литературе до настоящего времени не рассматривались.

Запишем модель, характеризующую связь размера кредита банка и прибыли, получаемой от реализации инвестиционного проекта, т.е. с учетом возможности возврата кредита за счет собственных средств:

З к (1 + р к ) ≤ П + А м

Преобразуем правую часть неравенства и получим

З к ≤ (П + А м )/(1 + р к ), или З_к = (П + А_м)/(1 + р_к)

Подставим выражение Зк в правую часть ограничения (2) и получим

П + А м ^{1 +} P k

J

I C j X j <  C k + j =1

Проводя преобразования получим

J

I C j X j (1 + P k ) <  C k (1 + P k ) + П+ A m ;

j =1

I C j X j (1 + P k ) <  C k (1 + P k ) + f П j X j + A m ;

j =1                                                      j =1

I C j X j (1 + P k )- I П j X j <  C k (1 + P k ) + A m (4)

j =1                              j =1

Целевую функцию П можно рассматривать как функцию скалярного поля. Тогда градиент функции П есть вектор, который указывает направление наибольшего изменения поля (положительное – увеличение, отрицательное – уменьшение).

Градиент функции определяется дП - дП -    дП - grad П =--i +---m +... +---j;

дx1     дx2          дxj дП дП  дП

где д_x^; дx ^,""^, дx — соответственно частные производные функции П = f ( x₁, x₂, ... x_j )

по пе р еменным х₁, х₂, ..., х_j ;

• i ,    m , ... , j – единичные векторы (орты).

Таким образом, изменяя переменные х1, х2, ... , xj пропорционально составляющим градиента функции grad П будем двигаться в направлении максимума функции П. Принимаем коэффициент пропорциональности К и даем ему значение, по ко- торому вычисляем значения, переменных х1, х2, ... , xj. На первом шаге вычислений принимаем значение k = k1, где численное значение k1 принимается меньше 1.

Значения переменных вычисляем по формулам:

дП      дП x, = k1--, x2 = k1-- дx,          дx2

,...,

дП xj = ki —  (6)

дX j

В случае, когда значение переменной будет превышать платежеспособный спрос, то оно принимается равным платежеспособному спросу, т.е. хj = Аj. Таким образом, соблюдается ограничение по платежеспособному спросу.

Подставляем значения переменных в целевую функцию и ограничения. Находим максимальную прибыль и значения ограничения по капиталу. Если вычисленное ограничение по капиталу меньше допустимого [C_k(1 + p_k) + A_м], то делается следующий шаг, принимается к ₂ >  к ₁, и все расчеты повторяются. Расчеты проводятся пошагово, пока не достигнем границы (значения) ограничения по капиталу. Полученные значения объемов производства х₁, х₂, ..., x_j и будут оптимальными, при которых прибыль будет максимальна и сумма кредита обеспечит выполнение программы производства и возврат займа.

По формуле

K = CK + (П + Ам)/(1 + рк)      (7)

определяем сумму инвестиций на полученный объем производства.

Данная методика и модель апробированы при разработке плана малого предприятия ООО «***» (г. Губкин Белгородской области).

Исходные данные:

• 1.    Виды выпускаемой продукции:

• 2.    Себестоимость вида продукции/работ:

• 3.    Цена вида продукции и работ:

• 4.    А_м = 1800000 руб. – сумма амортизационных отчислений.

  Общество

  
  

  Terra Humana

  
  

• 5.    С_к = 1000000 руб. – собственные средства малого предприятия.

• 6.    р_к = 0,2 или 20% – ставка кредита банка.

• 7.    Рыночный спрос по каждому виду продукции:

х1 – пластиковые окна; х2 –металличес-кие двери; х3 – ремонт пластиковых окон; х4 – откосы.

С1 = 5000 руб. – изготовление и установка одного окна; С2 = 7000 руб. – изготовление и установка одной двери; С3 = 200 руб. – ремонт одного окна; С4 = 800 руб. – материалы и установка откосов на одно окно.

Ц1 = 7000 руб. – изготовление и установка одного окна; Ц2 = 10 000 руб. – изготовление и установка одной двери; Ц3 = 700 руб. – ремонт одного окна; Ц4 = 1800 руб. – материалы и установка откосов на одно окно.

А 1 = 6500 шт. - изготовление и установка окон; А 2 = 350 шт. - изготовление и установка дверей; А₃ = 200 шт. - ремонт окон; А 4 = 4500 шт. - установка откосов.

Запишем целевую функцию для условий данной задачи:

П = П , Х , + П₂Х₂ + П₃Х₃ + П₄Х₄ = = f (x 1 , x₂, х₃ , x₄);

Ограничения:

С , Х , + С 2 Х 2 + С₃Х₃ + С 4 Х 4 < ≤ С к + (П + А м )/(1 + р к );

Х < А , , Х 2 < А 2 , Х₃< А₃, Х 4 < А 4

Определим прибыль от реализации единицы каждого вида продукции

П , = Ц 1 - С , = 7000 - 5000 = 2000 руб.;

П2 = Ц2 - С2= 10000 - 7000 = 3000 руб.;

П3 = Ц3 - С3= 700 - 200 = 500 руб.;

П 4 = Ц 4 - С 4 = 1800 - 800 = 1000 руб.

Подставим значения П 1 , П 2 , П₃, П₄ в целевую функцию

П = 2000х 1 + 3000х₂ + 500х₃ + 1000х₄

Запишем ограничения

5000х 1 + 7000х₂+ 200х₃ + 800х₄<

≤ (П+1800000)/(1+0,2) + 1000000;

(5000х 1 + 7000х₂ + 200х₃ + 800х₄) X × 1,2 ≤ П + 3000000;

6000х 1 + 8400х₂ + 240х₃ + 960х₄< 2000х , + + 3000х₂+ 500х₃+ 1000х₄+ 3000000 4000х 1 + 5400х₂ - 260х₃ - 40х 4 < 3000000

Таким образом, получим следующую модель.

Целевая функция (прибыль):

П = 2000х 1 + 3000х₂ + 500х₃ + 100х₄ ^ max

Ограничения:

4000х 1 + 5400х₂ - 260х₃ - 40х₄< 3000000

Х , < А₁= 6500

Х2 < А2 = 350

Х 3 < А 3 = 200

Х4 < А4 = 4500

Определим градиент функции П:

• . „  8 П - 8П - 8П - 8П -

• grad П =--1 +---m +---n +---j =

8x 1      8x 2       8x j      8x j

• = 2000 i + 3000 m + 500 n + 1000 7 .

Даем приращение переменным х₁, х₂, х₃, х 4 пропорциональные составляющим вектора grad П.

Первый шаг.

Принимаем к, = 0,1, тогда

Х =  х к 1 = 2000 X 0,1 = 200 (шт),

• ¹      8х 1

Х = 200 < А = 6500,

,   8П

Х = ---х к 1 = 3000 X 0,1 = 300 (шт),

Х 2 = 300 < А₂ = 350,

8П

Х₃ =  х к 1 = 500 X 0,1 = 50 (шт), ³

Х = 50 < А = 200,

8П

Х. = —X к 1 = 1000 X 0,1 = 100 (шт), ⁴     8х 4

Х4 = 100 < А4 = 4500.

Вычислим значение прибыли

П = 2000 × 200 + 3000 × 300 + 500 × 50 + + 1000 × 100 = 1425000 руб.

Проверяем ограничение по капиталу.

4000 × 200 + 5400 × 300 – 260 × 50 + + 40 × 100 = 2393000 руб.

Полученное значение 2393000 руб. меньше предельно допустимого по кредитованию (2393000 руб. < 3000000 руб.).

На втором шаге принимаем К2 = 0,2 и вычисляем значения переменных.

8П

• Х, = —х к 2 = 2000 X 0,2 = 400 (шт.),

  Х_, = 400 < А_, = 6500,

8П

Х„ = —хк2 = 3000 X 0,2 = 600 (шт.), 2

Х 2 = 600 > А 2 = 350, принимаем Х₂ = 350. 8 П

Х3 = —х к2 = 500 X 0,2 = 100 (шт.), 3

Х3 = 100 < А3 = 200,

8 П

• Х,    = — хк2 = 1000 X 0,2 = 200 (шт.), 4

Х4 = 200 < А4 = 4500.

Вычисляем значения прибыли

П = 2000 × 400 + 3000 × 350 + + 500 × 100 + 100 × 200 = 2100000 руб.

Проверяем ограничения по капиталу 4000 × 400 + 5400 × 350 – 260 ×100 – – 40 × 200 = 3456000 руб.

Полученное значение 3456000 руб. больше предельно допустимого по кредитованию (3456000 руб. > 3000000 руб.).

Поэтому уменьшаем значение К 2 .

На третьем шаге принимаем К3 = 0,14 и вычисляем значения переменных.

8 П

• Х,    = —х к ₃ = 2000 X 0,14 = 280 (шт.),

¹      8 х 1

• Х₁    = 280 < А₁ = 6500,

  х₂

  
  

д П

—х к 3 = 3000 х 0,14 = 420 (шт.), дх 2

Х₂ = 420 > А₂ = 350, принимаем Х₂ = 350 (шт.) д П

Х, = —х к 3 = 500 х 0,14 = 70 (шт.),

³     дх 3

Х3 = 70 < А3 = 200,

Х4

Х4

дП                            '

=  х к 3 = 1000 х 0,14 = 140 (шт.), дх 4

= 140 < А4 = 4500.

Вычисляем значение прибыли

П = 2000 × 280 + 5400 × 350 – – 260 × 70 – 40 × 140 = 1785000 руб.

Проверяем ограничения по капиталу.

4000 × 280 + 5400 × 350 – 260 × 70 – – 40 × 140 = 2986200 руб.

Полученное значение 2986200 руб. меньше предельно допустимого по кредитованию (2986200 руб. < 3000000 руб.), но оно близко к предельно допустимому значению.

Поэтому для данного малого предприятия принимаем следующие объемы производства:

Х 1 = 280 шт. - изготовление и установка пластиковых окон; Х₂ = 350 шт. - изготовление и установка железных дверей; Х 3 = 70 шт. - ремонт окон; Х₄ = 140 шт. -установка откосов на окна.

Определим размер кредита, необходимого для выполнения указанного объема производства по формуле 7, несколько упростив ее:

Зк = Еnjxj + АМ 1 + Рк = (2000 х 280 х j=1 / х 3000 х 350 + 500 х 70 + 100 х 140 +

+ 1800000)/(1 + 0,2) = 2987500 руб.

Принимаем сумму кредита, равного 3000000 руб., который обеспечит выполнение заданного объема производства и возврат кредита малым предприятием.

Сумма инвестиций для выполнения рассчитанного объема производства составит

К = С_к + З_к = 1000000 + 3000000 = ^к = ^к 4000000 руб.

Приведенный пример расчета объемов производства продукции и инвестиций по конкретному малому предприятию подтверждает работоспособность разработанной методики.