Моделирование оптимальных вариантов производственных программ подразделений интегрированной группы предприятий с учётом внешних и внутренних ограничений

Тhe increase in the efficiency of the main production activities and the competitiveness of Russian production corporations, including large integrated production structures and vertically integrated holdings, is associated with the improvement of internal mechanisms for planning and managing output programs, taking into account the consistency of production, technological, financial and resource support, and the level of external and internal risks. Тhe article presents problem statements, economic and mathematical models and variants of numerical algorithms for selecting optimal variants of production programs of a management company and structural divisions of an integrated group of enterprises, taking into account resource, market and risk constraints, based on the medium-term margin profit criterion. A special feature of the proposed models is the accounting of the transfer component in the cash flows of enterprises of the integrated group, the value of which is calculated as part of the managed parameters of the model and depends on the cost of external financing and intra-firm (transfer) pricing implemented within the holding. Тhe developed models and methods are adapted using a conditional numerical example. Тhe results of empirical calculations demonstrated that the proposed problem statements and economic and mathematical models correspond to the formulated research goal and their potential in solving the problems of optimizing the production and investment activities of large enterprises in the corporate sector of the economy.

Интеграция взаимосвязанных в производственно-технологическом и финансово-ресурсном аспектах активов ранее независимых предприятий и предпринимательских организаций в крупные интегрированные производственные структуры и, в том числе, вертикально-интегрированные холдинги –об-щемировая тенденция, в основе которой лежит эффект синергии объединенной компании, возникающий как следствие роста масштаба производства, экономии на внешних трансакционных издержках и влияния других факторов, в первую очередь, институциональной природы. Этот эффект достаточно полно изучен, а для условий эффективных рынков товаров и капитала известны оценки влияния организационно-правовой формы и масштаба интеграции на величину синергии объединенной компаний и ее «оптимального» размера с учетом соотношения объемов рыночных и внутрифирменных транзакций [10, 13, 15].

Для рынков с низким институциональным развитием и, в частности, для развивающихся, «трансакционная» теория Р. Коуза, Дж. Эрроу и др. представителей институциональной школы имеет ограниченное приложение, так как прямое объединение специфических и интерспецифических активов ранее независимых агентов рынка вдоль общей производственно-технологической цепочки не обеспечивает достаточный уровень синергии в условиях высокой их неоднородности по доли в конечном продукте холдинга, способам использования в рамках внутрифирменных контрактов, внешним и внутренним рискам. Синергия, в лучшем случае, оказывается «размытой» между продуктами для многопродуктовой фирмы, в худшем- близка к нулю и возникает как следствие не институционального развития интегрированной группы предприятий, а как фактор объединения их усилий в цепочках снабжения и сбыта, что позволяет повысить рыночную эффективность только некоторых предприятий холдинга, как правило, на «входе» и «выходе».

Возможным направлением роста рыночной эффективности интегрированной группы предприятий (ИГП) в нестабильной рыночной среде и несовершенства внутрифирменных механизмов организации бизнес-процессов является корректная оценка внешних и внутренних ограничений совместной деятельности предприятий ИГП в сферах производства, финансов и инвестиций и учет при планировании и управлении этими сферами рыночной деятельности вешнего и внутреннего риска. Решение этой проблемы связывается с разработкой теоретического подхода, экономико-математических моделей и методов планирования и оптимального правления производственными программами предприятий интегрированной группы.

Методологическую основу работы составили труды отечественных и зарубежных ученых и исследователей-практиков по проблемам:

– внутрифирменного планирования и управления крупными производственными предприятиями и вертикально-интегрированными холдингами [3, 10, 13, 15, 23, 29];

– построения моделей и выбора численных алгоритмов решения линейных и нелинейных оптимизационных задач формирования производственных и инвестиционных программ на уровне отдельных предприятий и производственных комплексов [2, 4, 6, 9, 11, 12, 17, 20, 21];

– оценки и учета затрат на производство машиностроительной продукции в рамках управленческого учета и сегментарной отчетности [1, 24];

– инвестиционного проектирования и управления инвестициями в реальном секторе экономики, в том числе, и в условиях риска [5, 22, 25, 27];

– построения моделей производственной функции предприятия в статичном и динамическом вариантах [7, 8, 16, 26, 29];

– институциональных преобразований в экономике хозяйствующих субъектов и инициируемых ими особенностей внутрифирменной деятельности российских промышленных предприятий на этапах завершения рыночных реформ [13, 14, 18, 19, 28].

Цель и задачи исследования связаны с разработкой и адаптацией комплекса математических моделей и численных алгоритмов двухуровневой оптимизации общей (в рамках интегрированной группы предприятий) и собственных (в рамках отдельных структурных подразделений интегрированной группы) производственных программ.

• I.    Математические модели выбора оптимальных производственных программ подразделений ИГП.

Рассмотрим экономико-математическую модель выбора оптимальной производственной программы ИГП и отдельных ее структурных подразделений-СБЕ для условий частично-децентрализованного варианта построения ее организационной структуры, характеризующегося следующими особенностями:

– управляющая компания-УК (материнская фирма) выполняет роль внутреннего банка и обеспечивает финансирование производственной деятельности структурных бизнес-единиц-СБЕ в составе интегрированной группы в рамках общих продуктовых цепочек (общей производственной программы ИГП);

– финансирование производственных затрат СБЕ в рамках общей производственной программы ИГП осуществляется путём перечислений из централизованного фонда холдинга разовых или периодически повторяющихся трансфертных платежей в пользу отдельных структурных подразделений по ставке внутрифирменного кредитования;

– управляющая компания учитывает заинтересованность отдельных СБЕ в реализации «общей» производственной программы при согласования внутрифирменных цен на промежуточную продукцию и выборе порога рентабельности затрат их производственной деятельности;

– СБЕ в составе ИГП обладают полной самостоятельностью как при выборе вариантов загрузки оборудования (основного и вспомогательного) в рамках технологического времени, образовавшегося как резерв по окончании выполнения заказов, связанных с «общей» производственной программой, так и осуществлении финансирования «общей» и «собственной» частей производственной программы (выбор источников и объемов финансирования).

Ниже при описании модели будем использовать следующие обозначения переменных и параметров (переменные, входящие в группу управляемых – эндогенных отметим особо):

K – количество различных продуктовых цепочек ( k , k ₁ , k ₂ – индексы), реализуемых в рамках ИГП (в общем случае, K меняется с переходом на следующий временной интервал);

I + 1 – число СБЕ ( i – индекс) в составе ИГП, I + 1 – индекс управляющей компании (УК);

x kt ) - планируемый для интервала времени t объём производства i -го продукта (эндогенная переменная);

„ ( t )         ( t )

^x k , x_k – соответственно нижняя (объём незавершённого производства) и верхняя (соответствующая рыночному спросу) границы изменения пере- ( t ) менной x_k ;

r_k – средний за наблюдаемый период удельный маржинальный доход от реализации на товарном рынке k -го продукта;

σ _k – дисперсия доходности продукции k -го вида;

cov( k ₁ , k ₂ ) – ковариация доходностей продукции видов k ₁ и k ₂ за наблюдаемый пер и од времени;

о t - пороговое значение риска производственной программы ИГП для временного интервала t ;

Vi ( x kt ) ) — средняя за наблюдаемый период величина выпуска i -й СБЕ промежуточного продукта, обеспечивающего выпуск в k -й продуктовой цепочке ИГП конечного продукта величиной x kt ) ;

rn _{k i} – трансфертная (внутрифир-менна^,я) цена на продукцию i -й СБЕ, выпускаемой в рамках k -й продуктовой цепочки;

rc _{k i} – себестоимость промежуточного проду^,кта, выпускаемого i -й СБЕ в рамках k -й продуктовой цепочки;

J_i – число составляющих ( j – индекс) рабочего капитала i -й СБЕ, учитываемых в калькуляции затрат её производственной деятельности;

B^ j - величина j -го актива в рабочем капитале i -й СБЕ на начало временного интервала t ;

a_kij – удельная фондоёмкость k -го проду^, к^, та по j -му активу в с ост аве р або чего капитала i -й СБЕ ( k = 1, K ; i = 1, I ; j = i, J );

с , t ) - рабочий капитал i -й ( i = 1, I ) СБЕ на начало временного интервала t , выделяемый на покрытие затрат основной производственной деятельности;

C lt + i - рабочий капитал УК, выделяемый для использования во внутрифирменных трансфертных платежах для временного интервала t ;

А с , t ) - трансфертные отчисления УК в адрес i -й СБЕ на временном интервале t (эндогенная переменная);

ren _i – минимальная рентабельность (порог рентабельности) затрат i -й СБЕ при выполнении основной производственной программы ИГП для временного интервала t .

ρ – ставка внутрифирменного кредитования.

Модель верхнего уровня (выбор оптимального варианта «общей» производственной программы ИГП для временного интервала t ), реализуемая в рамках УК, задаётся соотношениями:

K        IKI frk ■ xk + fр(z) "аc" - ffrnk,i ■ v (xk) ^ max;(1)

k = 1                   i = 1                       k = 1 i = 1

I

La c >< C +\;(2)

i = 1

fOk,. j ■ v, (xkt))< Bj, i = 17; j = J;(3)

k = 1

frc, ,-v,( xkt >)< C,t ) + А C'), i = 1Л;(4)

k = 1

f (rnkt )i- rc^i) ■ v (xkt)) ^ reni ■ Cit)+(reni+pit)) -a c, t),i = 1,1;

k = 1

K fxk1

k = 1

KK

x(*)■ x(t)-ок O5k ■ cov (k; k2 )< 2 ■02 k1k2k1k2          12

k , = 1 k ₂ = 1

x kt ) e [ x k t ) , x k t ) ] ; x kt ) , А с , t ) e Z ₊ , k = 1, K , i = 1, 1 .

Приведём необходимые комментарии к модели (1) – (7):

– критерий (1) – на максимум валового дохода УК при сделанных выше предположениях, основными из которых при интерпретации выбранной формы критерия являются: однородность капитала, привлекаемого в финансирование затрат СБЕ в составе ИГП, а также платность (в рамках внутрифирменных контрактов) промежуточной продукции, выпускаемой отдельными СБЕ. Достаточно простая форма критерия объясняется тем, что УК при выборе «общей» производственной программы ИГП выступает в роли заказчика промежуточной продукции, выпускаемой отдельными СБЕ, и несёт риск потери планируемой доходности производственной деятельности интегрированной группы в целом;

– неравенство (2) – ограничение на объёмы трансфертных отчислений из централизованного фонда ИГП в рабочие капиталы отдельных СБЕ;

– неравенства (3) и (4) – ограничения производственной программы ИГП на предельные объёмы соответственно:

планируемой фондоёмкости по отдельным составляющим рабочих капиталов СБЕ и затрат по выпуску промежуточной продукции отдельными СБЕ;

– неравенство (5) – ограничение на минимальную рентабельность производственной деятельности i -й СБЕ в рамках общей производственной программы холдинга;

– неравенство (6) – ограничение на допустимый риск общей производственной программы ИГП.

— Vi ( x kt ) ) — средняя за наблюдаемый период величина выпуска i -й СБЕ промежуточного продукта, обеспечивающего выпуск в k -й продуктовой цепочке ИГП конечного продукта величиной x ^t ) , изначально представленная в табличной форме, в численном алгоритме оптимизации предполагается быть представленной интерполяционным многочленом Лагранжа.

Обозначим решение задачи (1) – (7) – оптимальный вариант «общей» производственной программы ИГП для временного интервала t -векторами

=( t ) x K ) ,

=(t) =(t)   ~ где AC i , x k g Z+.

Остатки производственной мощности в объёмах:

K

Дй(t) = /?(t) -To,. . i,j            i,j                  k,i, j k=1

" v ( x k ) ) ( i = 1, Ij = 1, J )

и оборотных средств величиной:

A OS ( t ) = c < t ) + A c i ) - У г rc _k ■ v_t ( x k ) ) , ( i = 1, I ) k = 1

i -я СБЕ использует на реализацию «собственной» производственной программы, выбор оптимального варианта которой и составляет цель решения задачи нижнего уровня.

Сформулируем базовые предпосылки выбора модели нижнего уровня:

– на этапе выбора «собственной» производственной программы СБЕ в составе ИГП оперирует только собственными и заёмными средствами, не прибегая к трансфертным отчислениям УК. Таким образом, в этом случае структурное подразделение является «традиционным» рыночным агентом, что предполагает выбор критерия для кратко- и среднесрочного интервалов планирования в форме валового дохода от реализации товарной продукции за вычетом затрат на производство и обслуживание заёмного капитала;

– «излишки» производственных мощностей и ресурсно-финансового обеспечения основной производственной деятельности СБЕ после реализации «общей» производственной программы ИГП незначительны и обеспечивают выбор варианта «собственной» производственной программы СБЕ из весьма незначительного числа возможных. Это делает излишним учёт в модели выбора оптимального варианта «собственной» программы СБЕ рыночного риска;

– в условиях частично-децентрализованной организационной структуры ИГП СБЕ в ее составе планируют «собственную» производственную деятельность с учётом риска банкротства, что предполагает учёт в модели нижнего уровня предельного риска структуры капитала.

Введём следующие обозначения для дополнительных переменных и параметров, используемых при описании модели нижнего уровня (входящие в группу управляемых-эндогенных отметим особо):

L_i – количество продуктов ( l – индекс) в номенклатурном перечне продуктов собственного производства i -й СБЕ;

y ( | - планируемый объём производства l -го продукта в интервале времени t в рамках «собственной» прои зво дственной программы i -й СБЕ, l = 1, L i (эндогенная переменная);

уц , У( ? — соответственно нижняя и верхняя границы изменения переменной y⁽‘ l (определяются аналогично

( t ) гра ни цам д ля переменных группы x_k ), i = 1, I , I = 1 L ;

( t )

r_{i , l} – планируемая цена реализации для временного интервала t l -го продукта, производимого в рамках «собственной» про изв одственной программы i -й СБЕ, l = I, L ;

a_{l , i , j} – удельная фондоёмкость l -го продукта «собственной» производственной программы -й СБЕ по j -му ак тив у в составе её рабочего капитала ( l = 1, L i , г = й, j = 1, J );

rc l , – себестоимость производства l -го продукта «собственной» про изв одственной программы i -й СБЕ, l = 1, L ;

^z – планируемый для временного интервала t объём внешнего заёмного финансирования производственной деятельности -й СБЕ (в рамках дополнительного финансирования «собственной» производственной программы – эндогенная переменная);

KA? ) - предельное для периода t значение коэффициента автономии рабочего к ап итала -й СБЕ;

rn – ставка внешнего кредита для -й СБЕ (в общем случае, нелинейная функция объёма z ⁽ t ) заёмного финансирования);

τ – ставка налога на прибыль.

Модель нижнего уровня (выбор оптимального варианта «собственной» производственной программы -й СБЕ для временного интервала t ) задается соотношениями: