Моделирование параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла
Автор: Коханенко Виктор Николаевич, Фетисов Валерий Георгиевич, Мицик Михаил Федорович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
В статье приведен метод расчета параметров двухмерного бурного планового потока, возникающего при обтекании выпуклого тупого угла. Основными допущениями являются условия равномерного течения потока в верхнем и нижним бьефах.
Бурный равномерный поток, простая центрированная волна, метод характеристик, число фруда
Короткий адрес: https://sciup.org/14318449
IDR: 14318449
Текст научной статьи Моделирование параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла
Настоящая работа, является продолжением исследования решения плановых задач гидравлики по определению основных параметров двухмерных бурных потоков. В отличие от физической плоскости течения, в которой базовая система, уравнений движения существенно нелинейная и для которой в настоящее время аналитические решения плановых задач не известны, в плоскости годографа, скорости получена, линейная система, уравнений, на. основе которой строится широкий класс решений двухмерных плановых задач.
Задача, обтекания бурным равномерным потоком выпуклого тупого угла, рассматривалась в [1] непосредственно в физической плоскости течения потока. Двухмерная плановая задача, об обтекании выпуклого угла, решалась в [1] аналитически в предположении, что после обтекания потоком тупого угла, вдоль границы течения поток также является равномерным. “ “
Для развития метода, расчета, параметров бурного потока, с применением плоскости годографа, скорости в работе [2] этим методом была, решена, задача, о радиальном растекании бурного потока, с последующим переходом в физическую плоскость. Также была, предложена, методика, решения ряда, задач по плановому растеканию бурных потоков и была, обоснована, правомерность использования плоскости годографа, скорости.
Целью настоящей работы также является применение плоскости годографа, скорости для определения параметров бурного потока, при обтекании выпуклого угла, и сопоставление полученных результатов расчета, с результатами в [1].
Пусть бурный равномерный поток движется вдоль прямой стенки BA в точке A граница плана течения терпит излом, в этой точке стенка развернута на угол -е 0 (рис. 1). Пусть поток, огибая угловую точку A. движется вдоль стенки AC. которая также явля ется прямой.

С
Рис. 1. Образование простой центрированной волны в окрестности выпуклого угла.
Считаем достоверным условием, что стенка AC является линией тока и поток вдоль стенки AC является равномерным.
Как показано в [1], границей между равномерным и неравномерным потоком всегда, служит прямолинейная характеристика, тогда, к области равномерного течения, которой в плоскости годографа, соответствует одна, точка, примыкает простая волна, т. е. простые волны служат переходной формой от равномерного потока, к неравномерному. Таким образом, два. равномерных потока, разделены простой волной. Определим границы этих потоков. Обозначим числа Фруда для каждого из равномерных потоков I и II соответственно F1 1i F 2. пусть при этом F 2 > F1. Согласно [1]. границами этих потоков являются прямые AM и AN, которые являются характеристиками первого семейства с соответствующими волновыми углами (рис. 1):
α = arcsin , α = arcsin . (1)
1 F1 , 2 F2
Вдолв характеристики второго семейства, пересекающей характеристики, выходящие из тонки A. будет выполнено условие [1]
ε - √3 arctg r F
-
+ arcsin
F
-
2η,
или в виде, предложенном в [3]
ε -
3 arctg
3 τ - 1
3(1 - τ )
1 + arcsin
-
τ
2τ
-
2η,
где т = FF+2' т = 2VH — квадрат скоростного коэффициента потока: е — угол, опреде ляющий направление Лектора скоростей частиц потока; H 1 — постоянная, определяемая
V 2
H = 1 +h V h I η величина вдоль характеристики.
Так как в потоке I выполняется е = 0. F = F 1. то
1 η=2
√3 arctg rF
-
+ arcsin
F
.
Поскольку угол е в задаче обтекания выпуклого угла изменяется от нуля до е = — Е о т. е. всегда, отрицателен, то уравнение (2) с учетом (4) примет вид:
Е* = |
√3 arctg + arcsin - √3 arctg 1 + arcsin , (5) 3 F 3 F 1 |
Е* = |Е|-
Максимальный угол поворота, при безотрывном обтекании стенки с изломом при за данной кпистнчпостп F 1 первого потока определяется из условия F 2 = то. h2 = 0.
Е ε max
π
-
3 arctg
F 13-1
+ arcsin
F 1
)
Предельный угол поворота бурного потока достигается в (9), если положить поток I критическим, т. е. F 1 = 1. В таком случае
Emax = (V3 — 1) П « 1, 15 rad « 65, 88°.
Эти расчеты согласуются с результатами в [1].
Из (5) также следует, что для безотрывного обтекания потоком выпуклого тупого угла, должно выполняться условие:
ε0=f(F2)-f(F1),
где f (F ) = V3arctg л F- + arcsin —=.
3F
Зная, что в центрированной волне параметры потока, связаны условием (2) с исполь зованием (4). можно задавать F G [F1; F 2 ]. определяя соответствутощпй угол е вдоль характеристики первого семейства, т. е. на произвольной прямой AM * (рис. 1).
Угол 9 для характеристики первого семейства, отсчитываемый от оси OY (рис. 1) определяется по формуле
θ = π 2 - α + ε . (9)
Определив 9 ii F. можно определить и параметра! потока вдоль прямой 9 = const:
h = H1(1 — т ), V = т 1/2 P2gH, (10)
где h1. V1- глубина, ii скорость равномерного потока. I
Таким образом, параметры потока, в центрированной волне полностью определены. Для построения линий тока, в центрированной волне выявим основные свойства, потока, в этой области течения. Поскольку два. равномерных потока, соединены простой центрированной волной, то в данной волне характеристики первого семейства. — прямые, они проходят через начало координат и имеют уравнения 9 = const, при этом вдоль прямолинейной характеристики параметры потока, постоянны, следовательно, в каждой точке характеристики выполняется
∂u ∂u ∂h rθ
= , = , = .
∂r ∂r ∂r
Согласно [1] система уравнений движения планового потока в полярных координатах совместно с уравнением неразрывности имеет вид:
Г,, dur , ue dur u2 _ пи^Т'"1 + h ) Tur бЭТ + V dD---~ = -g sln Ц cos ° - g cos Ц dr-- Tr ;
< ц due l " » du6 -I- u r ue — infl a и d(zo+h) Tn- fl24
u r^F + VdTT +~ = — g sln Ц sln ° - g cos Ц d(6)-- T 6 ; ( )
. ddr (rur h) + d6 (u6 h) = 0, где r. 9 — полярные радиус и угол жидкой частипы потока: ur. U6 — радиальная ii трансверсальная проекции вектора скорости; z0 — отметка дна русла; ц — продольный уклоп русла: g ^кореше силы тяжели. ........
В рассматриваемой задаче имеем
Tr = Тб = 0, zo = const, ц = 0.(13)
В силу условий (И) и (13) система. (12) упрощается:
' '=
* U6 (.e + Ur) = -gdh;(14)
jur h + u 6^dh + h uu 6 = 0.
Третье уравнение системы (14) выражает в полярных координатах условие неразрывности движения потока Q = 0, при этом справедлив интеграл Бернулли
U 2 + U2
H1 = + h. (15)
2g
Из второго и третьего уравнений системы (14), как показано в [1], следует:
U 6 = Vgh- (16)
Уравнение линии тока, в полярных координатах имеет вид [4]:
dr rdθ
u r u θ
τ h = Hi(1 - т), U6 = VgHi(1 - т), ur = PgHi (3т - 1), V = т1/2 V2gHT.
Перепишем уравнение (17) в виде
dr r
u r dθ u θ
= /
3т - 1
1-
τ
dθ.
Из уравнения (3) выразим
^Т-^^ Д1Я этого (3) перепишем в виде:
ε∗
- a =
V3 arctg
3т - 1
3(1 - т )
- 2п,
где е * = |е|. пли
Из (21) следует
Из равенства, (9) найдем d9:
Обозначим выражение
Тогда, из (22) и (23) следует
или
ε∗ - α + 2η √3
3τ - 1
= arctg 3(1 - τ)
√ ε∗ - α + 2η
3·tg
dθ = dε∗ - dα.
γ=
ε∗ - α + 2η √3
3τ - 1
1-τ.
dε∗ - dα dθ dγ = =
dθ = √3dγ .
Учитывая формулы (22), (24) и (25), уравнение (19) представим в форме
dr r
= 3tgγdγ.
Интегрируя уравнение (26), получим:
r ln = ln r0
cos3 γ0 cos3 γ
При этом, если начальную точку траектории выбрать на луче AM, то Y0
- α 1 +2 η √3
-
а, если - на. луне AN. то Y 0 = ~ТТ^'
Потенцирование (27) приводит к уравнению з cos3 γ0 r=r0 cos3 γ .
Из (28) следует, что линии тока, в простой центрированной волне являются подобными кривыми, расстояния между которыми при F2 > F > 1 увеличиваются вниз по течению потока. ”
Таким образом, поставленная в работе задача, по определению параметров потока, при обтекании выпуклого тупого угла, решена, методом использования плоскости годографа, скорости. При этом результаты, полученные в работе, совпадают с результатами в [1], где был предложен аналитический метод расчета, параметров потока, непосредственно в физической плоскости — в плане течения потока.
Список литературы Моделирование параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла
- Емцев Б. Т. Двухмерные бурные потоки.-М.: Энергия, 1967.-212 с.
- Коханенко В. Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания: Дис.... докт. техн. наук.-М., 1997.-238 с.
- Коханенко В. Н., Волосухин Я. В., Ширяев В. В., Коханенко Н. В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков.-Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007.-168 с.
- Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки.-М.: Наука, 1965.-468 с.