Моделирование перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти человека
Автор: Чикова Т.Н., Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И.
Журнал: Российский журнал биомеханики @journal-biomech
Статья в выпуске: 3 (81) т.22, 2018 года.
Бесплатный доступ
Структура трабекулярной костной ткани в различных участках скелета неодинакова и стремится стать оптимальной для действующей на соответствующую кость нагрузки, перестраивая себя посредством механизмов костеобразования и резорбции. Одной из наиболее подверженных изменению структур кости является челюсть. Помимо нормальных изменений, связанных с заменой молочных зубов постоянными, часто приходится сталкиваться с патологическими изменениями во внутренней архитектуре кости, вызванными недогрузкой отдельных участков костной ткани вследствие потери зубов, травм челюсти, неправильного прикуса. Среди патологий зубочелюстной системы можно назвать, например, синдром Попова - Годона, выражающийся в аномальных зубных сдвигах, спровоцированных потерей зуба-антагониста или соседнего зуба, и сопровождающийся перестройкой окружающих костных тканей. Полагая, что механическая нагрузка является фактором, который приводит к адаптационным процессам в кости, в работе рассматривается численный алгоритм, моделирующий перестройку трабекулярной кости на мезоуровне посредством кинетических уравнений, включающих в себя девиатор тензора структуры. Результаты приведены для геометрии нижней челюсти, для упрощения полностью состоящей из трабекулярной костной ткани и нагруженной усилиями от жевательных мышц и реакцией височно-нижнечелюстного сустава. В качестве критической нагрузки выступает сосредоточенная сила, приложенная к моляру нижней челюсти. Целью численного анализа является получение картины распределения интенсивности напряжений и пористости в ветви нижней челюсти на каждом дискретном этапе эволюции под нагрузкой и сравнение результатов с ранее опубликованными данными других авторов [1, 7, 10].
Трабекулярная (губчатая) костная ткань, тензор структуры, распределение пористости, усилия мышц, ветвь нижней челюсти
Короткий адрес: https://sciup.org/146282096
IDR: 146282096 | DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2018.3.02
Текст научной статьи Моделирование перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти человека
Нижняя челюсть является непарной и единственной подвижной костью лицевого скелета; к ней прикрепляется большое количество мышц, приводящих ее в движение. Эта особенность определяет сложность строения нижней челюсти и ее влияние на развитие лицевого скелета и покрывающих скелет мягких тканей [1].
Няшин Юрий Иванович, д.т.н., профессор кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь
В течение жизни форма и структура нижней челюсти человека претерпевают значительные изменения [10], что во многом обусловлено влиянием на нее возрастающей с момента рождения нагрузки: изначально под давлением процесса сосания, а с прорезыванием зубов – акта жевания [1]. По мере роста структура внутреннего пористого слоя кости (трабекулярная костная ткань) изменяется в соответствии с возникающим напряженным состоянием (рис. 1). Экспериментально показано, что структурные единицы трабекулярной кости – трабекулы ‒ выстраиваются вдоль линий главных напряжений, т.е. вдоль главных направлений тензора напряжений, и образуют арочную архитектуру в ветви нижней челюсти [1, 6, 9]. Данное утверждение согласуется с законом Вольфа, согласно которому трабекулярная кость в локальной области структурно приспосабливается к местному напряженному состоянию.
Помимо роста, такие факторы, как, например, возникающие патологии, приводят к изменению давления и, следовательно, перестройке костной ткани.
Решение задачи с использованием кинетических уравнений в трехмерной постановке достаточно сложно из-за большого количества обрабатываемых данных [3–6] и подробно рассмотрено только для случая перестройки бесконечно малого объема, вызванной сжимающей нагрузкой, растяжением и изгибом консоли в состоянии гомеостаза. Заложенная природой симметрия в теле человека позволяет перейти от 3 D- к 2 D- постановке и рассмотреть перестройку нижней челюсти в сагиттальной плоскости.

а б в
Рис. 1. Ветвь нижней челюсти. Траектории напряжения, полученные методом фотоупругости [6] ( а ), трабекулярная структура ветви нижней челюсти [1] ( б ), траектории ветви нижней челюсти и главные направления тензора структуры [10] ( в )
Постановка задачи
Нормальное функционирование кости без разрушения осуществляется в малом диапазоне деформаций, поэтому физические и геометрические соотношения, содержащие в себе зависимость от тензора деформации, линейны. Биологические ткани являются многофазными и анизотропными [10], поэтому необходимо отразить различие свойств материала в направлениях рассматриваемой координатной системы.
Из вышесказанного следует, что математическая постановка представляет собой линейную задачу теории упругости анизотропного тела, дополненную кинетическими уравнениями, описывающими эволюцию костной ткани (подробнее в статье [6]).
Концептуально задачу можно описать в следующем виде: для элементарного объема dV трабекулярной костной ткани задана начальная структура, описываемая девиатором тензора структуры K 0 и величиной, описывающей изменение доли твердого объема e 0 . При приложенной нагрузке P 0 в данном объеме возникают напряжения с тензором 6 0 и деформация с тензором в 0 . Собственные значения деформации Et , при i = 1...3 не выходят за рамки диапазона, характеризуемого В4 *, при котором отсутствует перестройка ( lazy zone ). В момент времени t 0 на тело начинает действовать добавочная нагрузка Д Р , такая что Р = Р 0 + Д Р , а новое значение деформации в выходит из lazy zone . Это вызовет адаптацию структуры и изменение доли твердого объема к соответствующему напряженному состоянию б .
Для сравнения тензорных величин используют их главные значения [12]. Известно [6, 12], что согласно закону Вольфа ( Wolff’s law ) окончание перестройки происходит при соосности тензоров K, 5, £ . Углы между главными направлениями K и 6 , обозначаемые через a, i = 1...3, при окончании перестройки стремятся к нулю. Необходимым и достаточным условием соосности тензоров второго ранга является коммутативность их скалярного произведения, т.е. K ■ 5 = 5 • K [2]. Деформированное состояние меняется в процессе перестройки за счет изменения K и e при неизменном напряженном состоянии. Из литературы известно, что среднее время окончания перестройки трабекулярной костной ткани человека при неизменном нагружении составляет T « 160 дней [6, 10, 12]. Для состояния всестороннего сжатия собственные значения тензора деформации Et = 0,003 [12]. Описанную концепцию удобно представить в виде таблицы.
В качестве исходных данных для решения задачи в ANSYS Mechanical заданы величины, представленные в таблице.
В данной задаче силы, действующие на кость от мышц нижней челюсти, приложены в точках, хотя, вообще говоря, места крепления мышц образуют поверхность (рис. 2, 3).
Характеристика этапов эволюциии трабекулярной костной ткани
Этап эволюции |
Гомеостаз |
Начало перестройки |
Процесс перестройки |
Новое состояние гомеостаза |
Численная характеристика |
1В0 у0 с0 «г0 Р( , e , £ , о , p |
K 0 , e °, £, 5, Р |
K i , e i , в i, 5i , P , а i |
T OT CT , e , £ , 5 , p |
Условие состояния |
K ■ б = 5 ■ K а,. ^ 0, i = 1..3 |
E i > E * i , i = 1...3 |
E i > E * , i = 1...3 |
K ■ <5 = <5 ■ IC а, ^ 0, i = 1..3 |
Временной период/момент |
t < 0 |
t = 0 |
0 < t < T , i = 1..160 |
t = T |

а
б
Рис. 2. Жевательные и височная мышцы, вид справа: без удаления венечного отростка и скуловой кости ( а ), с их удалением и приподнятым лоскутом височной мышцы ( б )
Напряженное состояние
Расчет напряженно-деформированного состояния производился с помощью метода конечных элементов в ANSYS Mechanical (см. рис. 3).
Для задания конечно-элементной сетки использовался двумерный конечный элемент Plane182 , поддерживающий задание анизотропных свойств. Численное интегрирование кинетических уравнений осуществлялось методом Рунге – Кутта четвертого порядка.

материала
£= 80,410s Па v = 0,3
>=120 Н (поверхностная жевательная)
F=64H (глубокая > жевательная'
^=65Н (задняя " медиальная крыловидная)
У=45Н (передняя медиальная крыловидная)
F= 600 Н
А' =0
е=-0,0179
А=140Н ((передняя височная)
Fx = 170 Н, Fy = 116 Н (реакции височно-нижнечелюстного сустава) 3^F= 50 Н (поверхностная латеральная крыловидная) „
F = 102Н (задняя височная)
Рис. 3. Конечно-элементная постановка. Координаты мест прикрепления жевательных мышц и нагрузка от их действия на кость взяты из работы [9], силы разложены по осям
Рассмотрим картину распределения интенсивности напряжений в момент начала эволюции в двух случаях: без учета зубного ряда, при этом нагрузка прикладывается непосредственно к кости челюсти между предполагаемым нахождением второго и первого премоляра, непосредственно к зубам с изотропными свойствами ( E = 80,4 - 109, v = 0,3) (рис. 4). В первом случае концентратором напряжений выступает участок между зубами, к которым приложена сосредоточенная сила, а арочное распределение напряжений в ветви нижней челюсти одинаково в обоих случаях.

27,6066 45637,5 91247,5 136857 190069
22832,6 68442,5 114052 159662
а

б
Рис. 4. Интенсивность напряжений по Мизесу: а ‒ без учета зубного ряда; б ‒ с учетом зубного ряда
Еще одним наглядным и удобным для последующих вычислений способов иллюстрации напряженного состояния является изображение главных направлений тензора напряжений, которые показывают, как ориентированы трабекулы внутри костной ткани (рис. 5).

а
б
Рис. 5. Упрощенное представление распределения напряжений: главные направления, подсчитанные в ANSYS ( а ), траектории, в среднем наблюдаемые в челюсти [12] ( б )
Далее имитируется начало перестройки путем увеличения нагрузки без изменения ее вида и направления. Полученные после решения задачи компоненты тензора напряжений и деформации всех узлов геометрии импортируются в более подходящую для дальнейшего решения программу MATLAB в виде таблиц (подробнее в статье Горожениновой [4]). Моделирование следующих этапов перестройки происходит путем интегрирования эволюционных соотношений [3, 4].
Распределение пористости
Полученная по окончании перестройки кости пористость считается для каждого узла конечно-элементной сетки по формуле v = e + v (см. рис. 5) [6], где v – начальная пористость, затем v нормируется [4].
Учитывая, что красные зоны отвечают за зоны наибольшей пористости и синие, соответственно, за зоны наименьшей пористости, получим картину распределения пористости в нижней челюсти (рис. 6).
Предположение, что вся нижняя челюсть, включая зубы, состоит из трабекулярной костной ткани, на самом деле является упрощением. На рис. 6 и на рис. 1, б наблюдается некоторое сходство в распределении пористости: места прикрепления мышц являются слабопористыми участками, а середина ветви – сильнопористая. В процессе перестройки, вызванной увеличением нагрузки на зуб, происходит увеличение сильнопористой зоны и смещение ее в центр челюсти, при этом по внешним краям остается плотная костная ткань (рис. 7).

Рис. 6. Распределение пористости при t < 100 сут

б
Рис. 7. Распределение пористости при: a - t = 120 сут, б - t = 160 сут
Результаты распределения пористости, полученные для геометрии челюсти с зубами и без них, при рассматриваемых условиях нагружения качественно совпадают.
Заключение
Рассмотрена модель перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти, реализованная с помощью метода конечных элементов, с учетом кинетических уравнений феноменологической теории [12], описывающих изменения трабекулярной архитектуры на мезоуровне с помощью тензора структуры. Показаны результаты изменения пористости в течение периода адаптации и по его окончании. Рассчитанные изолинии напряжений в ветви нижней челюсти (см. рис. 4) достаточно схожи с траекториями напряжений, полученными методом фотоупругости (см. рис. 1, а ). На рис. 6 и в сравнении с рис. 1, б видно сходство в распределении пористости.
Благодарности
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 18-01-00589_а.
Список литературы Моделирование перестройки трабекулярной костной ткани в ветви нижней челюсти человека
- Бусыгин А.Т. Возрастные особенности строения восходящей ветви нижней челюсти - Ташкент: Гос. мед. изд-во Министерства здравоохранения УзССР. - 1961.
- Беллман Р. Введение в теорию матриц - M.: Наука, 1969. - 495 с.
- Гороженинова Т.Н., Киченко А.А. Моделирование изгиба анизотропной консольной балки в ANSYS Mechanical // Master's Journal. - 2017. - № 1. - C. 225-229.
- Гороженинова Т.Н., Киченко А.А. Создание интерфейса между ANSYS и MATLAB на примере перестройки трабекулярной костной ткани // Master's Journal. - 2018. - № 1. - С. 225-229.
- Киченко А.А., Тверье В.М., Няшин Ю.И., Осипенко М.А. О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 4. - С. 53-72.