Моделирование ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe-Ga

Автор: Матюнина Мария Викторовна, Загребин Михаил Александрович, Соколовский Владимир Владимирович, Бучельников Василий Дмитриевич

Журнал: Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование @vestnik-susu-mmp

Рубрика: Краткие сообщения

Статья в выпуске: 2 т.12, 2019 года.

Бесплатный доступ

В данной работе представлены результаты моделирования ромбоэдрической магнитострикции сплавов Fe-Ga в кристаллических структурах кубической симметрии, полученные при помощи теории функционала плотности. Показано, что зависимость энергии магнитокристаллической анизотропии от степени малых деформаций является убывающей функцией в диапазоне концентраций от 3,125 до 25 ат.% и меняет знак при величине деформации более 1% сплавах с содержанием Ga 15,625, 21,875 и 25 ат.%. Константа ромбоэдрической магнитострикции в диапазоне концентрации Ga 12,5 - 18,75 ат.% хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Энергия магнитокристаллической анизотропии, вычисления из первых принципов, ромбоэдрическая магнитострикция

Короткий адрес: https://sciup.org/147232939

IDR: 147232939   |   DOI: 10.14529/mmp190214

Текст краткого сообщения Моделирование ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe-Ga

Многофункциональные сплавы Fe 100 - x Ga x актуальны в технике в качестве магнитострикционных приводов, преобразователей энергии и датчиков микроэлектро-механических систем. Величина константы тетрагональной магнитострикции А оо1 в слабых магнитных полях достигает двух максимумов в диапазоне концентраций Ga 0 x < 35 ат.% [1—3]. Согласно экспериментальным данным наибольшие значения А 001 обнаружены для x =19 ат.% ( ^ 180 х 10 - 6 ) и x = 27 ат.% ( ^ 233 х 10 - 6 ) и связаны с наличием в сплавах однородных структур A2 и D0 3 , в то время как уменьшение А оо1 в области около 25 ат.% Ga связано с сосуществованием нескольких фаз [3]. В то же время, величина константы ромбоэдрической магнитострикции Аш составляет порядка ~ 8, 5 х 10 - 6 и ^ 40, 7 х 10 - 6 в области пиков А оо1 [1,2] и является отрицательной в области x < 19 ат.% [2]. Вопросам экспериментального и теоретического изучения ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe–Ga посвящено значительно меньшее количество работ, в отличие от тетрагональной магнитострикции А 001 . Ресторфф ( Restorff ) и др. [2] провели исследование влияния изменения формы образца в магнитном поле на величину тетрагональной А оо1 и ромбоэдрической Аш магнитострикций, а также на константы магнитоупругого взаимодействия Ь 1 и b 2 в сплавах Fe- X ( X = Al, Ga, Ge). Искажения формы образца снижают энергию размагничивания и оказываются существенными для низких и умеренных значений магнитострикции, а также для сплавов с высокой магнитострикцией и низкими модулями упругости. Авторы также пришли к выводу, что магнитострикция и магнитоупругое взаимодействие в этих сплавах обусловлены фазовым переходом беспорядок-порядок . С теоретической точки зрения влияние ближайшего окружения атомов Ga в структуре D0 3 на величину ромбоэдрической магнитострикции представлено в работе Жанга

( Zhang ) с соавторами [4]. Показано, что важную роль в определении знака λ 111 играет симметрия и наличие несвязанных состояний вблизи уровня Ферми.

В данной работе проведено исследование зависимости величины ромбоэдрической магнитострикции сплавов Fe 100 - x Ga x (0 x 28,125 ат.%) в структурных фазах A2, D0 3 и L1 2 в зависимости от концентрации атомов Ga методом теории функционала плотности.

1.    Теоретическая модель

Явление магнитострикции, связанное с изменением внешней формы магнетика при его намагничивании, оказывается существенным при рассмотрении доменной структуры и механизма намагничивания [5]. Относительная деформация образца δl/l 0 (l 0 длина образца в размагниченном состоянии) обычно очень мала в области малых магнитных полей (порядка 10 - 5 ^ 10 - 6 ) и возрастает с ростом напряженности магнитного поля, достигая состояния насыщения при некотором значении поля. В состоянии насыщения величину δl/l 0 обычно обозначают λ, и относительное изменение длины при переходе из размагниченного состояния в состояние насыщения составляет [5]:

δl               δl

"Т" | насыщения "7" | размагничивания • l0                     l0

Как и в случае магнитной анизотропии, представляющей собой явление преимущественной ориентации спонтанной намагниченности магнетика вдоль характерных для него кристаллографических осей, анизотропная магнитострикция определяется энергией спин-орбитального взаимодействия. В отсутствии магнитострикционной деформации кристалла расстояние между спинами фиксировано, и изменения внутренней энергии кристалла не происходит. При деформации образца изменяются длина и направление оси каждой спиновой пары в зависимости от направления вектора спонтанной намагниченности. Для кристаллов кубической сингонии магнитострикция может быть определена через относительное растяжение λ 111 (постоянная ромбоэдрической магнитострикции) и λ 001 (постоянная тетрагональной магнитострикции) вдоль направлений [111] и [001] соответственно, следующим образом [5]:

δl l0

3 Л - 2 Л 001

i =1

+ ЗЛ 111 ( а 1 а 2 в 1 в 2 + a 2 а 3 в 2 в 3 + а 1 а 3 в 1 в 3 ) ,

где α i и β i – направляющие косинусы намагниченности ( M ) и напряжения ( S ) относительно одной и той же кристаллографической оси. Направляющие косинусы намагниченности определяются как a 1 — sin 9 M cos ф М , a 2 — sin 9 M sin ^ M , a 3 — cos 9 M , и напряжения в 1 — sin 9 s cos ^s , в 2 — sin 9s sin ^s , в 3 — cos 9s .

Оценить ромбоэдрическую магнитострикцию λ 111 можно в соответствии с выражением (1) путем определения δl/l 0 при повороте вектора намагниченности от оси [111] к оси [112] при напряжении, приложенном вдоль направления [111]. На рис. 1 показаны углы ϕ и θ , определяющие направления намагниченности и напряжения. Ромбоэдрическая магнитострикция выражается следующим соотношением:

λ 111

I (jl1

3 \l o

-

Рис. 1 . Углы ϕ и θ, определяющие направление вектора намагниченности вдоль осей [111] (^,0 j ) и [112] (^,9 i ). Напряжение параллельно оси [111]

δlδl

Величины |111 и l0

определяются в соответствии с соотношением

(2):

δl

Т 1 111 l 0

^ 111    (Д — в 2 в з 1/V3, а 1 а 2 а з — 1/V3) ,

l 0 1 112 - 2^ 111   ^1 в 2 в 3 —    3 а 1 а 2 — 1 / / б, а 3 2 / / б^ .     (5)

Энергия магнитокристаллической анизотропии определяется как разность энергий с ориентацией спинов вдоль направлений [uvw ] и Е мин в соответствии с уравнением

E MKA    E [ uvw ]   Е мин ,

где E мин – энергия системы с наиболее стабильной ориентацией спинов. Для определения Е МКА были вычислены энергии системы в направлениях [111] и [112] в зависимости от малых искажений ε при постоянном объеме. Постоянную ромбоэдрической магнитострикции λ 111 в рамках теории функционала плотности непосредственно можно рассчитать с помощью следующего выражения [4]:

λ 111

2 dE MKA / ds _    b 2

3d 2 Еполн /d2 е - 3d, полн.

b 2

2 dE MKA

3V ds

Энергия кристаллической решетки при постоянном объеме может быть разложена в ряд по степеням малых деформаций ε

6           V 0 6                  3

Е полн. (V, s ) Е полн. (V C , °) + Vo ^ ^ ^ i s i + ^ ^ >   c ij S i S j + o ( S ) ,              (9)

i =1               i,j =1

где c ij – упругие константы, E полн. (V 0 , 0) – полная энергия недеформированной решетки объема V 0 , ε i и σ i – тензоры деформации и напряжения соответственно.

Для расчета объемного модуля B = (Сц + 12 )/3 и модулей С = (Сц С 12 )/2 и C 44 были использованы изотропный, орторомбический и моноклинный тензоры деформации D i (ε), представленные ниже, с шагом деформации 1% в диапазоне 3% 5 3%.

D 1 (ε) =

δ0

0   , D 2 (ε) =

δ

δ

5

0

0 δ 2

, D 3 (E) =

/

δ 2

1 5 2 δ

δ

0

0

0

1 5 2

)

0

0

0

/

Упругие константы были определены путем аппроксимации изменения полной энергии ∆E полиномами второго и четвертого порядков в соответствии со следующими уравнениями:

ДЕ = 9^ 5 2 + о ( 5 4 ) , (io)

ДЕ = 2V o C 5 2 + O (54) , (11)

ДЕ = 2V 0 C 44 5 2 + O ( 5 4 ) . (12)

Расчеты всех необходимых характеристик были выполнены в рамках теории функционала плотности, реализованной в программном пакете VASP [6, 7]. Обменно-корреляционное взаимодействие учитывалось в приближении обобщенного градиента в формулировке Пердью, Бурка и Эрнзерхофа ( Perdew, Burke and Ernzerhof ) [8]. Электрон-ионное взаимодействие описывалось методом проекционно-присоединенных волн ( projector-augmented wave, PAW ) [7] со следующей валентной конфигурацией атомов: Fe(3p 6 3d 7 4s 1 ) и Ga(3d 10 4s 2 4p 1 ). Величина отсечения энергии плоских волн составляла 400 эВ. Для интегрирования по зоне Бриллюэна использовалась сетка Монхорст - Пака [9] размером 8 х 8 х 8 k-точек.

В недавней работе [10] было проведено исследование из первых принципов свойств пяти структурных состояний A2, DO 3 , B2, L1 2 и D0 19 сплавов Fe 1oo - x Ga x (x = 0 31, 25 ат.%). Полученная зависимость разности энергий кристаллических структур от концентрации атомов Ga показала, что наиболее устойчивыми являются фазы A2, D0 3 и L1 2 . Фаза A2 энергетически выгодна в области 0 x < 6, 25 ат.% в то время как состояние D0 3 устойчиво в диапазоне 6, 25 x < 21, 875 ат.% и фаза L1 2 обладает наименьшей энергией в области концентрации атомов Ga 21, 875 x < 31, 25 ат.%.

В данной работе рассмотрены следующие устойчивые структурные состояния: A2 (пространственная группа симметрии Im3m № 229, со структурой типа α-Fe) со случайно распределенными атомами Fe и Ga; D0 3 (пространственная группа симметрии F m3m № 225, со структурой типа BiF 3 ) с частично или полностью упорядоченными атомами Fe и Ga; L1 2 (пространственная группа симметрии Pm3m № 221, со структурой типа Cu 3 Au) с частично или полностью упорядоченными атомами Fe и Ga.

Моделирование было выполнено для 32-х атомных суперъячеек. Различные концентрационные конфигурации задавались путем замещения атомов одного сорта другим, при этом замена одного атома Fe/Ga соответствует изменению концентрации 3, 125 ат.%. Расчетные суперъячейки показаны на рис. 2.

a)

б)

Рис. 2 . Расчетные 32-атомные суперячейки Fe 24 Ga 8 (соответствует сплаву Fe 75 Ga 25 ) с кристаллическими структурами: а) A2, б) D0 3 и в) L1 2 и соответствующие им элементарные ячейки. Суперячейки получены транслированием элементарных ячеек вдоль кристаллографических осей в соответствии с формулами: 4 х 2 х 2 для фазы A2 и 2 х 2 х 2 для фаз D0 3 и L1 2

2.    Результаты моделирования

На рис. 3 представлены результаты исследования энергии магнитокристаллической анизотропии E МКА кристаллических структур A2, D0 3 и L1 2 в зависимости от степени малых деформаций е в сплавах Fe 100 - x Ga x .

Видно, что в фазе A2 для чистого железа (α-Fe, объемно-центрированная кубическая решетка) наблюдается увеличение E МКА с увеличением степени искажения, и происходит смена знака с отрицательного на положительный. В дальнейшем, с увеличением концентрации атомов Ga в кристаллических структурах вплоть до x = 28, 125 ат.% энергия магнитокристаллической анизотропии характеризуется отрицательным наклоном. В диапазоне концентраций 3,125 x 12, 5 ат.% и при x = 18, 75 ат.% E МКА для структур A2 и D0 3 является положительной. В области значений 21,875 x < 28,125 ат.% и при x = 15,625 ат.% Е МКА меняет знак с положительного на отрицательный при е 1%.

На рис. 4 а) приведены результаты расчетов ромбоэдрической магнитострикции А 111 в зависимости от концентрации атомов Ga. В диапазоне 0 < x 12, 5 ат.% Аш уменьшается с увеличением содержания атомов Ga, достигая минимума при x = 12, 5 ат.%. При содержании Ga более 12, 5 ат.% в сплавах Fe 100 - x Ga x наблюдается увеличение ромбоэдрической магнитострикции в кристаллической структуре D0 3 . Для структуры L1 2 магнитострикция А 111 также увеличивается. В сплаве Fe 71 , 875 Ga 28 , 125 λ 111 принимает положительное значение. Для сравнения на рис. 4 а) приведены экспериментальные значения λ 111 , взятые из работы [2]. Можно отметить хорошее согласие полученных теоретических значений для фазы D0 3 с экспериментальными данными.

Полученные значения модуля упругости C 44 , представленные на рисунке 4 б) хорошо согласуются с экспериментом при концентрации атомов Ga x 12, 5 ат.%. Имеющиеся различия могут быть объяснены тем фактом, что вычисления выполнялись при T = 0 K, в то время как экспериментальные значения получены при комнатной

в)

Рис. 3 . Зависимость энергии магнитокристаллической анизотропии E МКА от степени малых деформаций ε в сплавах Fe 100 - x Ga x для кристаллических структур: а) A2, б) D0 3 и в) L1 2

температуре. Кроме того, экспериментальные образцы могут быть многофазными, в то время как расчеты выполнены для случая однофазных монокристаллов.

Заключение

В настоящей работе проведено моделирование из первых принципов ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe 100 - x Ga x (0 x 28, 125) для кристаллических структур A2, D0 3 и L1 2 . Показано, что зависимость E МКА (ε) имеет отрицательный наклон в диапазоне концентраций 3, 125 x 25 ат.% и достигает максимального значения в фазе D0 3 при x = 12, 5 ат.% и ε = - 2%. Рассчитанные значения модуля упругости имеют хорошее согласие с экспериментальными данными для сплавов с содержанием Ga x 12, 5 ат.%. Постоянная ромбоэдрической магнитострикции λ 111 в диапазоне 3, 125 x 25 ат.% имеет отрицательные значения. При концентрации атомов Ga x = 12, 5 ат.% ромбоэдрическая магнитострикция достигает максимально-

А2 DO, ы2

□--- Эксперимент

О

•20

НО

о

10     15     20     25

Ga (х, ат.%)

А2

□--- Эксперимент

10     15     20     25

Ga (.V, ат.%)

a)

б)

Рис. 4. Зависимость а) ромбоэдрической магнитострикции и б) модуля упругости сплавов Fe100-xGax для кристаллических структур A2, D03 и L12 от концентрации атомов Ga го (по модулю) значения. В фазе L12 при x = 28,125 ат.% Лш становится положительной. В фазе D03 , полученные значения магнитострикции хорошо согласуются с экспериментальными данными

Работа проводилась при финансовой поддержке Российского научного фонда, гранты № 18-12-00283 (расчеты модулей упругости), № 17-72-20022 (расчеты ромбоэдрической магнитострикции).

Список литературы Моделирование ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe-Ga

  • Clark A.E., Hathaway K.B., Wun-Fogle M. Extraordinary Magnetoelasticity and Lattice Softening in Bcc Fe-Ga Alloys. Journal of Applied Physics, 2003, vol. 93, pp. 8621-8623. DOI: 10.1063/1.1540130
  • Restorff J.B., Wun-Fogle M., Hathaway K.B. et al. Tetragonal Magnetostriction and Magnetoelastic Coupling in Fe-Al, Fe-Ga, Fe-Ge, Fe-Si, Fe-Ga-Al, and Fe-Ga-Ge Alloys. Journal of Applied Physics, 2012, vol. 111, p. 023905. DOI: 10.1063/1.3674318
  • Qingsong Xing, Yingzhou Du, McQueeney R.J., Lograsso T.A. Structural Investigations of Fe-Ga Alloys: Phase Relations and Magnetostrictive Behavior. Acta Materialia, 2008, vol. 56, pp. 4536-4546. DOI: 10.1016/j.actamat.2008.05.011
  • Yanning Zhang, Hui Wang, Ruqian Wu. First Principles Determination of the Rhombohedral Magnetostriction of FeAl and FeGa Alloys. Physical Review B, 2012, vol. 86, p. 224410. DOI: 10.1103/PhysRevB.86.224410
  • Chikazumi S. Physics of Ferromagnetism. New York, Oxford University Press, 1997.
  • Kresse G., Furthmüller J. Efficient Iterative Schemes for Initio Total-Energy Calculations Using a Plane-Wave Basis Set. Physical Review, 1996, vol. 54, pp. 11169-11186. DOI: 10.1103/PhysRevB.54.11169
  • Kresse G., Joubert D. From Ultrasoft Pseudopotentials to the Projector Augmented-Wave Method. Physical Review, 1999, vol. 59, pp. 1758-1775. DOI: 10.1103/PhysRevB.59.1758
  • Perdew J.P., Burke K., Enzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple. Physical Review Letters, 1996, vol. 77, pp. 3865-3868. DOI: 10.1103/PhysRevLett.77.3865
  • Monkhorst H.J., Pack J.D. Special Points for Brillouin-Zone Integrations. Physical Review, 1976, vol. 13, pp. 5188-5192. DOI: 10.1103/PhysRevB.13.5188
  • Matyunina M.V., Zagrebin M.A., Sokolovskiy V.V., Pavlukhina O.O., Buchelnikov V.D., Balagurov A.M., Golovin I.S. Phase Diagram of Magnetostrictive Fe-Ga Alloys: Insights from Theory and Experiment. Phase Transitions, 2019, vol. 92, pp. 101-116. DOI: 10.1080/01411594.2018.1556268
Еще
Краткое сообщение