Моделирование ростовых деформаций в живых системах

Проблемы создания желаемого распределения напряжений или формы имеют ключевое значение в научной литературе и широко обсуждаются на научных конференциях, в частности в медицине. Оптимальные распределения напряжений могут значительно уменьшить время заживления переломов и вызвать требуемый рост и перестройку живой ткани.

Вывод единой теории для решения таких задач может помочь в разработке новых методов медицинского лечения. В работе предлагается подход к решению таких задач на основе концепции собственной деформации. Это общий термин для неупругих

Лохов Валерий Александрович, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь деформаций любой природы: деформаций теплового расширения, пьезоэлектрических деформаций, деформаций из-за фазовых переходов в сплавах с памятью формы, деформаций роста и перестройки в живых тканях и т.д. Концепция собственной деформации была первоначально введена Рейсснером и Эшелби [10, 18] и подробно обсуждается в книге [13]. Предполагается, что распределение собственной деформации можно отдельно вычислить с помощью решения соответствующей краевой задачи, например, температурная деформация зависит от найденного температурного поля, деформация фазовых переходов зависит от нагрузки и истории нагрева, пьезоэлектрическая деформация зависит от приложенного электрического напряжения и т.д. Следовательно, собственная деформация предполагается известной, и тензор полной деформации s является суммой тензоров упругой деформации еe собственной деформации е*:

и

(1) σ

^ ε=εe+ε , r∈Ω, где Ω⊂E3 – область пространства, занимаемая линейно упругим телом.

Упругая деформация в рамках линейной теории связана с напряжениями законом Гука:

e -1—1       ^

ε =C ⋅⋅σ, r ∈ Ω , ^w где C-1 – тензор четвертого ранга упругой податливости.

не

Проблемы, связанные с определением собственной деформации, обсуждаются в данной работе, так как есть огромное количество работ, затрагивающих эту проблему. Тем не менее оказывается, что существуют значительные свойства полученных напряжений и деформаций, не зависящие от происхождения собственных деформаций. В качестве примера будет рассмотрено определяющее соотношение для ростовой деформации.

Данный подход позволяет сформулировать и решать задачи двух весьма важных классов: 1) создание благоприятного распределения напряжений без деформации; 2) управление формой структуры без изменений поля напряжений.

Постановка краевой задачи

Пусть исследуемое тело занимает ограниченную обл а сть Ω трехмерного евклидова пространства Е ³. Замыкание о б ласти обозначим Ω , границу (которая считается достаточно гладкой ) - через S ( Ω = Ω ∪ S ). Граница области S делится на две взаимно не пересекающиеся части ( S = S_u ∪ S _σ ):

и = 0, r е S_u ; n -5 s = p , r e S _c ,                            (3)

где p — заданный вектор поверхностных сил.

Кроме того, заданы объемные силы и собственная деформация е * . Нахождение напряжений, деформаций и перемещений требует решения соответствующей краевой задачи механики континуума. Дифференциальная постановка краевой задачи для среды с собственными деформациями приведена в различных работах (например, [ 14, 15 ] ). Во многих случаях краевые задачи решаются приближенно с использованием дискретизации, например методом конечных элементов. В связи с этим для дискретных и дискретизированных систем используют обобщенную формулировку краевой задачи.

Назовем обобщенным решением задачи симметричный тензор 5 , который определяется законом Гука при наличии собственной деформации:

^w

<5 = С - 1 ( ё (w) -ё * ) ,

где й g ( W ^ ( Q ) ) ; й = 0, r g S_й , и для которого имеет место соотношение (равенство работ внешних и внутренних сил)

J<5--ё (w) dV -J p • w dS-J q • w dV = 0,

Q                 S _o            Q

V w g ( W ^ ( Q ) ) , w = 0, r g S_й .

Здесь W^ - функциональное пространство Соболева. Деформации ё (й) и ё (w) определяются геометрическим соотношением Коши, где производные понимаются в обобщенном смысле. В постановке считается, что p g(L2 (S5))3, q g(L2 (Q))3, ё* g(L2 (Q)) , компоненты Cijkl (i, j, k,l = 1,2,3) тензора четвертого ранга упругих ^/ констант C считаются кусочно-непрерывными функциями координат.

Обобщенная постановка дает возможность анализа дискретных систем, для которых несправедлива дифференциальная постановка краевой задачи. В работе [ 1 ] доказана теорема, из которой следует, что для решаемой задачи обобщенное решение существует и единственно.

Из соотношений (3), (4) следует, что рассматриваемая задача моделирования распадается на две части: задача линейной теории упругости с известными объемными силами (/ и поверхностными силами p ; задача линейной теории упругости с собственной деформацией ё * .

Заметим, что напряжения в системе, вызванные собственными деформациями, называют собственными напряжениями ( eigenstresses ) <5 * . В случае, если они самоуравновешенные ( S_й =0 ), их называют также остаточными напряжениями ( residual stresses ). Собственные напряжения отличаются от остаточных тем, что они создаются, в том числе, давлением неподвижных опор. Напряжения, вызванные только действием объемных и поверхностных сил, будем называть силовыми напряжениями (5 f . Можно показать, что если в теле существует собственная деформация и на тело действуют объемные и поверхностные силы, то напряжения в теле будут суммироваться:

(5 = 5f +5*, F gQ .                                (6)

Если произвести разгрузку тела, т.е. снять внешние и поверхностные силы, то в теле останутся только собственные напряжения, а силовые напряжения будут равны нулю. В некоторых случаях собственная деформация может при разгрузке измениться, например, в задачах пластичности при появлении вторичной пластической деформации.

Собственные деформации, свободные от напряжений

Большое значение для дальнейшего изложения имеет понятие собственной деформации, свободной от напряжений ( stress-free eigenstrain ), которое было введено Эшелби [ 10 ] .

Собственная деформация называется свободной от напряжений и обозначается г * , если при наложении этой деформации на упругое тело напряжения в любой точке тела равны нулю:

еи ^6 = 0, Г e Q. (7)

Свойства и примеры таких распределений широко обсуждаются в литературе, например в работах [2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 14, 15]. Классическим примером такой деформации может служить однородный нагрев свободного стержня.

Для того чтобы собственная деформация г не вызывала напряжений в любой точке тела, необходимо и достаточно, чтобы: 1) собственная деформация была совместной, т.е. для нее существует поле перемещений Я u ( u 1 , u 2 , u 3 )( r ) - такое, что г * = ( V u + u V )/2; 2) перемещения равны нулю на опорах, u ( r ) = 0 при r e S_u . Это утверждение доказано в работах [14, 15].

Также доказана теорема, позволяющая определять поля собственных деформаций, свободных от напряжений. Соответствующая теорема доказана в работе [ 16 ] .

Теорема . Тензор собственной деформации г * не создает напряжений в любой точке данного тела, r e Q , тогда и только тогда, когда существуют объемные силы q e ( L 2 ( ^Q ) ) ³ и поверхностное натяжение p e ( L ₂ ( S ₅) ) , которые производят такую же упругую деформацию г , r eQ в линейно-упругом теле, т.е. г = г * , x e Q .

Описанные условия позволяют определить свойства собственной деформации без решения краевой задачи.

Анализ определяющих соотношений для деформации роста

Рост характерен для живых тканей и сопровождается изменениями в структуре и размерах тела, притоком массы. Изменение размеров тела можно описать с помощью тензора ростовой деформации г g и тензора скорости ростовой деформации £ g .

В технике рост, как правило, вызван присоединением частиц на поверхности тела, например в задаче о намотке. В живых тканях рост происходит за счет внутренних источников массы, связанных с движением крови.

Существует множество моделей роста живой ткани, учитывающих различные эффекты и массоперенос, но основная сложность в их использовании – недостаток экспериментальных данных для верификации параметров моделей. Есть и модели, феноменологически описывающие изменения растущей ткани, например, деформацию, которые содержат в себе намного меньше параметров, для которых можно найти экспериментальные данные. В качестве такой модели во многих работах выбрана модель, обсуждаемая в работах Хсю, Регирера, Штейна [3, 6, 9, 11]:

^ g = A + B--5, (8)

^

где A - тензор второго ранга, описывающий генетически заложенный рост, B - тензор четвертого ранга, отражающий влияние напряжений в теле 5 на деформацию скорости роста £ g .

Соотношение (8) позволяет описать изменение размеров растущего тела, но не может описать приток массы. Однако для решения ряда задач этого достаточно, например, в задаче ортопедического лечения врожденной расщелины твердого нёба главную роль играет форма формируемого нёба.

Далее мы рассмотрим вопрос о влиянии ростовых деформаций на напряжения. Отметим, что наличие слагаемого B --6 дает нам возможность, меняя напряжения в теле, управлять скоростью роста. В медицинской практике для создания напряжений используются ортопедические аппараты. С течением времени ростовая деформация, вычисленная по формуле (8), может вызывать собственные напряжения, которые останутся в теле после снятия ортопедического аппарата и могут дать отрицательные эффекты. Однако анализ работ [3, 9] показывает, что в аналогичных задачах на макроуровне напряжения в процессах роста не меняются.

Рассмотрим изотропный материал, для которого тензор A является шаровым тензором:

^ g = AI + B--б,

где I – единичный тензор второго ранга.

При малом приращении времени dt ростовая деформация s g может быть найдена путем умножения (9) на время dt :

\

AI + B -б ) dt .                           (10)

Если ростовая деформация (10) удовлетворяет условиям, указанным выше, то она не будет вызывать собственных напряжений. Мы можем увидеть, что слагаемое AIdt аналогично температурной деформации для однородного нагрева и при определенных граничных условиях не вызовет собственных напряжений.

^^

Слагаемое B - -6 dt требует более детального анализа.

Воспользуемся теоремой, приведенной выше, для этого перепишем слагаемое

B - -6 dt в следующей форме:

= M --s e ,

где M - тензор четвертого ранга, M = B - С.

Далее мы упростим соотношение (11), учитывая изотропию материала. Существует три линейно-независимых изотропных тензора четвертого ранга:

M^ =5 ] § ki, MyH =5 ik § ]i ±5 и § j •

Поэтому запишем тензор M в виде линейной комбинации трех тензоров:

Mik = kS ,5 „ + ц (5,5]i + $, 6],) + ц (5,6], - $, 5,).

Теперь вычислим свертку тензора M и тензора упругой деформации S e :

(М -гel = М..нген = Х5 г!, +ц(ее +£е..) + ц|(ге -se у           j i         i]kl kl i] kk ц\ i] ]i ) H1 \ i] ]i )

Учитывая симметрию тензора деформации и обозначая 2 ц = M , получим

( Mf -к ■ ^М,._Е •„ + M S ie .

Ввиду сложности экспериментального определения параметров модели в соотношении (12) делается упрощение, аналогичное тому, что сделано в работе [17]: 1 = 0.

Тогда уравнения (9) и (12) дают следующую модель для ростовой деформации:

^ g = AI + M e ^e.                                (13)

Тогда, если применить теорему, приведенную выше, то видно, что слагаемое M e ^e dt не вызывает напряжений.

Таким образом, при определенных граничных условиях ростовая деформация не вызывает собственных напряжений. Если объемные g е ( L 2 ( О ) ) и поверхностные p е ( L 2 ( S _о) ) силы не зависят от времени, то напряжения и скорость ростовой деформации также будут стационарными. Тогда для случая малых деформаций ростовую деформацию можно вычислять путем умножения на время лечения T :

к g =^ ^gT .                                     (14)

Заключение

Использование формулы (14) позволяет решать задачу о ростовых деформациях в перемещениях, а не в приращениях, что существенно сокращает затраты на решение. Кроме того, это упрощает задачу о создании заданной ростовой деформации и заданной формы растущего нёба. Данные свойства позволят биомеханикам упростить процедуру подбора ортопедических аппаратов при лечении врожденной расщелины твердого нёба и повысить эффективность проводимого лечения.

Отметим, что для применения формулы (14) нужно обращать внимание на граничные условия, иначе ростовая деформация, соответствующая слагаемому AIdt , будет вызывать давление на опоры и собственные напряжения в системе.