Моделирование трансформируемых механических систем

Введение. При создании изделий ракетнокосмической техники, робототехнических и мехатронных устройств широко применяются различные трансформируемые механические системы (антенны, рефлекторы, манипуляторы и т. п.). Подобные системы можно рассматривать как многозвенные механизмы с размещенными на звеньях или основании приводами. Из-за сложности проектирования, изготовления и отладки, а также с учетом высокой стоимости подобных устройств возникает необходимость построения их математических моделей и определения динамических характеристик. В статье рассмотрено построение математической модели на примере четырехзвенного механизма раскрытия штанги панелей солнечных батарей [1–11].

Кинематическая модель. Четырехзвенный механизм, расчетная схема которого приведена на рис. 1, состоит из основания (звено 0) и трех шарнирно соединенных звеньев 1, 2 и 3. Шарниры расположены в точках A , B , F , оси шарниров параллельны между собой. Перемещения звеньев кинематически связаны при помощи тросовых передач. Привод звеньев размещен на основании.

Для описания указанного плоского многозвенного механизма, построенного по разомкнутой кинематической схеме с тремя вращательными ( В ) парами пятого класса, оси которых параллельны между собой, воспользуемся матричным методом, который применим для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей [12].

С каждой В парой связываем i-ю систему координат Хн, x2i, x3 i, где i = 0-2. Разметка осей приведена на расчетной схеме (рис. 1). Каждую ось x3,i направ- ляем вдоль оси соответствующего шарнира перпендикулярно плоскости чертежа, ось x1,i направляем вдоль или параллельно продольной оси i-го звена, ось x2i направляем так, чтобы система координат была правой.

Инерциальную систему координат x ₁₀, Х _{2 0}, Х _{3 0} связываем с основанием (звено 0). Переход от i- й к ( i – 1)-й системе координат описывается однородной матрицей перехода [12]

cos qi - sin qi 0 dx 1, i - ■ cos qi Ai-1 = sin q,: cos qi 0 dx 2i i - 1 ■ sin q i 0 0 1 0 _ 0 0 0 1 где qi – обобщенные координаты, определяемые как углы между векторами Х1i-1 и xu ; dx 1 i-1 и dx2 i-1 -сдвиг начала (i – 1)-й системы координат до совмещения с началом i-й системы координат соответственно по направлению векторов x1 i-1 и х2 i-1.

В инерциальной системе координат векторное уравнение кинематики четырехзвенного механизма имеет вид гi = °0 1 i-1 ■ г = В • гi r0 = A1 A2 Ai ri = Bi ri , где B = A ■ A2 ••• Ai-1, i = 1, 2, 3.

Механическая модель. Составим уравнение движения для четырехзвенного механизма. Для этого воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, которые справедливы для описания как замкнутых, так и разомкнутых кинематических цепей.

Уравнения Лагранжа второго рода [2; 3] для плоского многозвенного механизма имеют вид d dL 6L „ ----= Mk, dt 5<7k   dqk где k = 1, ...,n ; n - число степеней подвижности; L = K - P - функция Лагранжа; K - кинетическая энергия; P - потенциальная энергия;

Рис. 1. Расчетная схема

Fig. 1. The design scheme

Полная кинетическая энергия i-го звена определяется [13; 14] выражением ii

K = f H Tr ( B i ■ Ii-B p ) • j 9 p ,

² j = 1 p = 1

_Rj ^{5 B}.

где матрица B- = —i- описывает изменение матрицы a qj

B_i при изменении обобщенной координаты q_j ; I_i – матрица инерции i -го звена; Т – знак операции транспонирования матриц.

Для сборки уравнений движения необходимо вычислить производные кинетической энергии по обобщенным скоростям и времени.

Для звеньев механизма

K = Tr ( B ^ ■ 1 1 ■ B ^T ) ■ q i , a q i       ⁷              '

Kb- = Tr ( B 2 ■ 1 2 ■ B 2 ^T ) ■ <1 1 + Tr ( B 2 ■ 1 2 ■ B 2T ) ■ fc,

K = Tr(B^ ■ 13 ■ B3T )■ <11 + aq 3       V )

+ Tr ( b 3 ■ 1 ₃ ■ b 3 ^T ) ■ q ₂ + Tr ( b 3 ■ 1 ₃ ■ b 3 ^T ) ■ q ₃.

Матрица A10C преобразования системы координат — C — C — C x1,1 , x2,1 , x3,1   к инерциальной системе координат

X 1 0 , x ₂ ° , x ₃ ° имеет вид

0 qd A 1C = A 1 A 2 C .

Матрица A ₂ ¹ _D преобразования системы координат X 1 2 D , x ₂ 2 D , x ₃ 2 D , связанной с центром масс звена 2 (точка D ), к системе координат x ₁₂, x_{2 2}, x ₃₂, начало которой располагается на оси шарнира В , имеет вид 1 q 2

A2 D = A2 A2 D , где A2q – матрица поворота.

Определим необходимые матрицы преобразований для звена 3 механизма.

Матрица A ₃ ^q элементарного поворота на угол q ₃

вокруг оси x 3,3	имеет вид
		cos q 3 - sin q 3 O O
Aq	=	sin q 3   cos q 3   O O
3		O O 1 O
		_ O O O 1 _

Матрица A ₃ ³ _E элементарных сдвигов от системы

—    —    — координат x1,3 , x2,3 , x3,3 , связанной с центром масс звена 3 (точка E), к системе координат Х1 2, x2 2, x3 2, начало которой располагается на оси шарнира F, имеет вид

	1	0	0	a 3 2
3 A 3 E =	O	1	0	— d
	°	0	1	0
	L °	0	0	1

Матрица A ₃ ² _E преобразования системы координат

— E — E — E                             — — — x1,3 , x2,3 , x3,3    к системе координат x1,2 , x2,2 , x3,2

имеет вид

2 q 3 A 3 E = A 3 A 3 E .

Определим [13; 14] матрицы Bijk , описывающие изменение матриц Bij при изменении координаты qk :

в11 = IB1=^( D ■ Ac )=D2 ■ Ac=D2 ■ Aq ■ A2c , a q1    a q1 v 7

B'12 =3^ = R(D-

B222 = 5^ = /A0 ■ D ■ A1 А A0 ■ D2 ■ A1 212D 12D dq 2

в? - IB1 = ^ (D ■ A10 ■ A2 -A2e ) = D ■ A0 ■ A2. ■ D ■ A3E, aq 2 aq 3 v 7

B? - IB2 = ^ (AO ■ D ■ A2. ■ A3e ) = A10 ■ D ■ A2. ■ D ■ a3e , aq 2   aq 3 v7

B3 = IB2=^ (AO ■ A2 ■ D ■ A2e )=A1O ■ A2 ■ D2 ■ a2e , aq 2 aq 3 v7

где для вращательных пар матрица D имеет вид

"O -1 O O"

D = 1 0 0 °.0 0 0 0

° ° ° °

Уравнение движения для k-го звена имеет вид i=k

^ Tr (BRlrBf ) qj + j=1

i=k

+ £ Tr (BiP^i -BfT)-qj qp = Mk. j, p=1

Механизм работает в горизонтальной плоскости, моменты сил тяжести, приложенные к звеньям, воспринимаются устройствами обезвешивания. Моментами сил трения в шарнирах на первом этапе исследования можно пренебречь. Следовательно, в качестве обобщенной силы принимаем момент сил М1, приложенный к звену 1.

Звенья кинематически связаны и для полного раскрытия q2 =-2■ q1, q3 = 2 q1.

Моделирование проводилось в среде графического программирования LabVIEW [15; 16].

Задав диапазон изменения обобщенной координаты q₁, решаем прямую задачу кинематики, график изменения координат центров масс звеньев приведен на рис. 2. Для решения прямой задачи динамики созданы виртуальные приборы (ВП), позволяющие вычислять матрицы инерции звеньев, кинетическую энергию звеньев и необходимые усилия или моменты сил приводов (рис. 3).

а - длина звена

R2 - внешний радиус

Рис. 2. Графики изменения координат центров масс звеньев механизма

Fig. 2. Graphs of the change in the coordinates of the centers of mass of the links of the mechanism

q - угол поворота звена., град

О

dl-сдвиг по оси XI, м

0,5

0,05

d2-CABMr по оси Х2,

Рис. 3. Лицевая панель ВП вычисления кинетической энергии первого звена

Fig. 3. Front panel of the VP of calculating the kinetic energy of the first link

Заключение. В результате выполненной работы разработаны математическая модель и виртуальные приборы, позволяющие решать прямую задачу кинематики и динамики трансформируемых механических систем, т. е. на основании заданных законов движения и массоинерционных характеристик звеньев определять необходимые обобщенные силы или моменты, развиваемые приводами звеньев. Результаты исследования могут быть использованы при проектировании робототехнических и мехатронных систем, а также при разработке механических систем космических аппаратов.