Модифицированная формула Герасимова-Капуто
Автор: Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 1 (64), 2024 года.
Бесплатный доступ
В работе впервые получены модифицированные формулы Герасимова-Капуто. Модифицированные формулы учитывают значение производной функции в нуле с порядком на единицу меньше, чем порядок производной, стоящей под знаком интеграла Герасимова-Капуто. Без учета нового слагаемого в формулах Герасимова-Капуто не всегда корректно вычисление дробной производной на интервале любого порядка и для любой функции. В работе также описан простой численный алгоритм с квадратурной формулой Гаусса, позволяющей вычислять дробную производную с двойной точностью. Составлены таблицы дробной производной для функций синуса и косинуса. Причем первая половина таблиц (в интервале порядка (0,1)) и вторая половина таблиц (в интервале порядка (1,2)) получена программами по разным алгоритмам. В работе достигнута абсолютная погрешность вычисления дробной производной 10-15.
Численные методы, дробная производная герасимова-капуто, дробная производная капуто
Короткий адрес: https://sciup.org/147245556
IDR: 147245556 | DOI: 10.17072/1993-0550-2024-1-5-14
Текст научной статьи Модифицированная формула Герасимова-Капуто
Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. распространяется под лицензией CC BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите
В работе [1] показано, что в задачах аномальной диффузии необходимо использовать производные дробного порядка, принимающего значения на интервале (0,2). Другой пример, в задачах механики поток газа Трикоми на звуковой лини прямо пропорционален производной порядка 2/3 от функции тока [2]. Как известно, производная Герасимова–Капуто определяется [1], [2], [3], [4] интегральной формулой (1) .
В работе показано, что для явного вычисления производной Герасимова–Капуто необходимо еще одно слагаемое, которое зависит от значения функции u(0), переменной t и порядка дробной производной α на интервале (0,1). Данное слагаемое необходимо для согласования производной функции целого порядка и предельного значения производной дробного порядка, когда ее порядок становится целым. Для некоторых функций новое дополнительное слагаемое в точке t=0 не требуется, например, для функции u(t)=sin(t) в интервале α = (0,1). В работе максимально упрощен алгоритм вычисления дробных производных квадратурной формулой Гаусса. В программу вводится исходная функция, первая или вторая ее производные. Гладкости первого или второго порядка используемой функции требует также формула-определение (1).
В работах [5], [6], [10] рассмотрены разностные уравнения и аналог задачи оптимального управления Л.С. Понтрягина с производными дробного порядка.
Постановка задачи
Пусть заданная функция u(x,t) является достаточно гладкой по переменной t, u ( x, t ) e C n (0, t ) , тогда производная функции целого порядка n по переменной t является непрерывной и интеграл в формуле (1) сходится, так как в особой точке т ^ t знаменатель дроби пропорционален 1/ ( t - т ) а- n + 1 учитывая - 1 < а - n + 1 < 0 .
Определение 1. Производной дробного порядка α>0 Герасимова–Капуто от функции двух переменных u(x,t) (по переменной t ) [1], [2], [3] называется функция
( D а + , t u \x , t ) =
1 rd nu ( x , т ) d r
Г ( n - а ) J df ( t - т ) а - n + 1
n = [ a ] +1, n e Na e R , а - n +1 = { a } e ( 0,1 ) .
Для простоты рассмотрим частный случай дробной производной для функции одной переменной u(t) , так как в нашей задаче переменная x не используется. Для двух интересующих нас интервалов порядка производной с учетом формулы (1) получим:
-
1) . 0 < a < 1, n = 1
( D a U\t ) = — j- du ^ r ) , n = 1,0 < a < 1 (2)
V 0+, t Л > г ( 1 - a ) J d T ( t - r ) a , , 1 7
-
2) . 1 < a < 2, n = 2
( D •> ) ( 1 ) = J dur ' " = 2, 1 < “ < 2 ' (3)
Г (2 a) 0 dr (t - т)
Гамма-функция в формулах (2), (3) вычисляется по формуле Эйлера (4):
Г ( a ) = J t a — 1 e‘dt , t e [0, ® ), a > 0 . (4)
Поскольку дробные производные в формулах (2), (3) определены с точностью до множителя Г ( 1 - a ), Г ( 2 - a ) , то сложность вычисления производной дробного порядка заключается в сложности численного алгоритма для соответствующего интеграла. В языке FORTRAN вызовом функции dgamma( a ) Г ( a ) вычисляется с относительной точностью 10 - 15.
Очевидно, что производная дробного порядка α в (2), (3) должна переходить в производную целого порядка n -1 в случае a ^ n - 1 . Если в формуле (2) a ^ n - 1 = 0 , то
( D " и \<) = 4| j du T) dd'' = " ( t ) - " (0) ■ (5)
Г ( 1 ) 0 d T ( t - T )
для a e (0,1) :
Г (1 - a )j
d" (t ) dr dT (t - т)a
_ 1
= Г ( 1 - a )
f " (0)
-—+ lim f £ _|>
V
" ( t - £ )
£
—
"( T ) ‘ т .(9)
! ( t - т ) a + 1 jju
В формуле (9) под знаком предельного перехода два слагаемые, зависящие от переменной ε, стремятся к бесконечности, и именно их разность может дать конечное число. Уточняя формулу (7), получим
( D O S t ) = + — I ® e (0,1)( . (10)
0 + , t Л ' Г ( 1 - а )Ц d T ( t - т ) a t a J , ;
Преобразуем также (3):
1 r d2" ( t ) d r
Г ( 2 - a ) j dd ( t - т У - 1
Аналогично, если в формуле (3) a ^ n - 1 = 1 , то
1 r d 2 " T ) d T d , d
( D£"It )=7o f а Л v-1 = ^ " ( t ) " (0) ■ (6)
Г ( 2 - 1 )* d r ( t - т ) dt dt
Рассмотрим пример:
" ( t ) = sin( t ) : D 0 + 0 " ( t ) = sm( t ) - sm(0) = sm( t )
D a ^' ' " ( t ) = sin ( t ) - sin (0) = cos( t ) - 1 ^ cos( t ) ■
Получаем противоречие для производной синуса первого порядка и формулой (6) на интервале a e (1,2) , хотя противоречия для производной синуса нуль порядка на интервале a e (0,1) и формулой (5) нет.
Чтобы устранить противоречие, в формулу (2) нужно добавить слагаемое вида '■) t ) = Г й [ i dd r Zr + " (0) g '<' • a )} (7)
Сравнивая формулы (5) и (7), получим g j ( t , a ^ 0 + 0) = 1, a e (0,1) . Также добавим в формулу (3) слагаемое вида
\ 1 | r d2" ( т ) ‘ т d J ™
( D 0 + , t " X t ) J кт/—ы + -т» (°) g 2( t , a ) (8)
Г ( 2 - а ) (• ‘ т ( t - т ) dt J
g 2 ( t , a ^ 1 + 0) = 1, a e (1,2) .
Преобразуем интеграл в формуле (2) по частям
1 f " ’(0) r
—,---г —¥+ lim
Г ( 2 - a ) t a — 1 £ ■

t —£
— ( a 11 j
"T. ( t — T a
d r
. (11)
Аналогично формуле (10), для интервала (0,1) на интервале (1,2) получим модифицированную формулу Герасимова–Капуто (12):
1 < a < 2, n = 2
( DI, t " ) ( t ) =
1 ff d 2" ( t ) d T
Г ( 2 - a )P d r 2 ( t - т a — 1
+ " '(0 ) ta - 1
Заметим, что формула (10) переходит в функцию "(t) при a ^+0, а формула (12)
переходит в производную
d" ( t ) dt
при a ^ 1 + 0 .
Определение 2. Модифицированной формулой Герасимова–Капуто на интервале 0 < a < 1, n = 1 определим формулой (10), а на интервале 1 < а < 2, n = 2 определим формулой (12) .
Определение 3. Модифицированной формулой Герасимова–Капуто на интервале n - 1 < a < n , n = [ a ] + 1 определим формулой
( D E7X t ) =
1 f^ d n " ( т ) d r "(n ч(0) 1
Г ( n — a ) Vj ~dF ( t - т ° — n + 1 + t a — n + 1 J
. (13)
Формула (13) переходит в формулу " ( n 1) ( t ) при а ^ n - 1 + 0 .
Рассмотрим обобщение производной дробного порядка от степенной функции:
dkxn dxk
= n ( n - 1)...( n - k + 1) x" k
n! x — — k
( n - k )!
Для производной дробного порядка получим аналогичное выражение:
α
d a xn
ri n „n—a
---==----- x dX ( n — a )!
Г ( П + 1) x — — a
Г ( n — a + 1)
.
Разложим гладкую функцию в ряд Маклорена, используя предыдущую формулу:
В работе [9] получена составная квадратурная интегральная формула с равномерным шагом и с 12 порядком погрешности O ( h 12), которую мы используем для первого интеграла в (17) на отрезке [0,b]
bn f u (x) dx = 5 h £ Ciu (xi) + O (h12 J n = 10 m, h =
b — a ----, m e N ,
n
X u ( t ) = £ n = 0
u ( n ) (0) tn
n !
= u(n ) (0) tn
=£ Г ( n + 1),
если
( D . u i t ) = У Г ( n + 1) u ^ =V
7 0 Л n = 0 Г ( n — a + 1) Г ( n + 1) n = 0 Г ( n — a + 1)
i = 0 v i = n
( — 1) k
Для функции u ( t ) = cos( t ) = £ ^^ t 2 k получим
X
У
Г (1 — a ) £
I \(14)
( D a + , t cos( t )H
X
£
Г (2 - a ) kl
( — 1) kt 2 k —a
~2k
П ( i — a )
i = 1
/ k ,2 k — a
(—1) t t 2 k
П ( i — a )
i = 2
, a e (0,1)
. (15)
, a e (1,2)
( — 1) k
Для функции u ( t ) = sm( t ) = £ ^ ^ t2 k 1 имеем
X
У
Г (1 — a ) k = 0
/ \(14)
( D . t sin( t )H
X
£
Г (2 - a ) k = 0
( 1) k ?2 k + 1 — a
2 k + 1
П ( i — a )
i = 1
/ k <2 k + 1 — a
(—1) t t 2 k+1
П ( i — a )
i = 2
, a e (0,1)
. (16)
, a e (1,2)
Опишем численный алгоритм, аппроксимирующий формулу (10), отбрасывая известный
1 множитель и слагаемое
Г ( 1 — a )
Представим интеграл (2) в виде используя во втором интеграле переменных z |0_b = t — rj t , dz = — d r .
u ( o )
.
. ta суммы, замену
, ( i = 0mod10 ) A ( 0 < i < n )
149688 ,v v 7
( i = 1mod10 ) v ( i = 9mod10 )
— 16175
( i = 2mod10 ) v ( i = 8mod10 )
( i = 3mod10 ) v ( i = 7mod10 )
5544 , ( i = 4mod10 ) v ( i = 6mod10 )
i = 5mod10
Вычислим второй интеграл в (17)
t г b u( t — z ) dz
J a
0 z
Предварительно введем вспомогательный интеграл с параметром a под аргументом функции:
т , t f b u ( t + a — z ) dz
1 2( b , t , a , a ) = I . (19)
0 z
t
I ( u ( t ^f
u ( r ) d r
к a
b
= f
u ( r ) d r
a a
t
+ f
b
u ( t ) d r _
a
_ b u ( r ) d r 0 ( t — r ) a
—
0 I t — b
u (t — z)dz a z
_ b u ( r ) d r 0 ( t — r ) a
t — b
+1
u ( t — z ) dz (17) z a
Для
максимального
упрощения
алгоритма, первую производную в (17) от известной функции считаем заданной.
Параметр a необходим для аппроксимации первой производной в (10) квадратурной формулой, которая в данной работе не используется, но получена в работе [9].
Весовая функция неотрицательна p ( z ) = E > 0 на отрезке [0, t — b ] . z a
Построим [8] квадратурную формулу Гаусса с тремя узлами.
Утверждение 1. Если функция u ( t )
непрерывно дифференцируема на отрезке [0,t-b] с весом p(z) = — > 0, z e [0,t — b], то za квадратурная формула Гаусса имеет вид
I u ( t + a — z ) dz = Cu ( x ) + Cu ( x^ ) + Cu ( x ) + O ( ( t — b ) 6 ) , (20)
0 za где неизвестные C1, C2, C3, x1, x 2, x3 равны
C i =
( X j — x 2 )( X j —
(ft , J t — b )
-^-1 ( t + a - X 2 )( t + a - X 3 У 7
X 3 ) к (1 — a )
—
C 3
з \ ( t — b ) 2 — a ( t — b ) )
— ( 2( t + a ) — x? _ x^ )-- 1--I,
327 (2 — a ) (3 — a ) I’
C 2
1 |
( |
( x 1 — x 2 X x 2 — x 3 ) |
( t + a — x 3)( X j — t |
к |
— a )
—
+ ( 2( t + a ) — X 1 — x 3 )•
( t — b )"- “
d— a
-——C -C
, 2 H ,
(1 — a )
( t - b r +
(1 — a )
( t — b Г
(2 — a ) (3 — a ) I ’
.„= , + a - 2 s 1 ]+1,
, bb? (1 + 2n) b x 2 = t + a — 2, c°s ^—l + J,
Y 7 W 1 + 4 п К b 1 x-> = t + a — 2-. — cos i------i +—,
3 v 3 \ 3 7 3
( Z X
’1
—
1 = arcco;
= arccos
bc
— + d
A
—
к
2 f
•
В формуле (20) b 1 , c , d
–
неизвестные
для
ортогонального полинома [8]:
P ( z ) = z 3 + bz 2 + cz + d , p ( z ) =~7> 0, z e[0, t — b ], z
b _ — 3(3 — a )( t — b ) _ 3(2 — a )(3 — a )( t — b )2
1 = (6 — a ) ’ c = (5 — a )(6 — a ) ’
d_ — (1 — a )(2 — a )(3 — a )( t — b )3 = (4 — a )(5 — a )(6 — a )
•
Доказательство . Определим ортогональный полином
( t — b ) 4 — a , |
( t — b ) 3 — |
+ с ( t — b ) 2 — a |
+ d ( t ~ |
<1 = 0 |
(4 — a ) 1 |
(3 — a ) |
(2 — a ) |
(1- |
) |
( t — b ) 5 — a +b |
( t — b ) 4 — |
+ с ( t — b ) 3 — a |
+ d ( t ~ |
b ) 2 — = 0 • (22) |
(5 — a ) 1 |
(4 — a ) |
(3 — a ) |
(2 |
— ) |
+ b |
( t — b ) 5 — ' |
+ с ( t — b ) 4 — ' |
+ d ( t ~ |
b ) 3 — = 0 |
(6 — a ) 1 |
(5 — ) |
(4 — a ) |
(3 |
— ) |
Из системы (22) получим уравнения (23), (24):
( t — b )3 +b ( t — b )2 с ( t — b ) + d 0
(4 — a )(2 — a ) 1 (3 — a )(2 — a ) (2 — a )2 (1 — a )(2 — a ) (23)
' ( t — b )3 +b ( t — b )2 с ( t — b ) + d
(5 — a )(1 — a ) 1 (4 — a )(1 — a ) (3 — a )(1 — a ) (2 — a )(1 — a )
' (t—b)3 +b (t—b)2 । с(t — b) +
(5 — a )(3 — a) 1(4 — a )(3 — a) (3 — a )2 (3 — a )(2 — a )
' + b, (t—b)2 + + d=
(6 — a )(2 — a ) (5 — a )(2 — a ) (4 — a )(2 — a ) (2 — a )(3 — a )
Вычитая из вторых уравнений систем (23) и (24) первые уравнения в (23) и (24) соответственно, получим систему двух уравнений (25) с константами b 1 , c :


= 0
= 0
Второе уравнение в (25) умножим на дробь , затем вычтем из полученного
(2 — a )
выражения с множителем —--- первое
уравнение
3( t — b ) ( 1 ___ 1 )
(5 — a ) [ (6 — a )(2 — a ) (4 — a )2 J
2 b ( 11
(4 — a ) к (5 — a )(2 — a ) (4 — a )(3 — a )
= 0 о
z3 + bz2 + cz + d,z|° t = t — dt > 0 1 ’It—b lb с 3 узлами и p( z) = —> 0, z e [0, t - b ]
(z ) a помощью системы уравнений [8]:
3( t — b ) ( 16 — 8 a + a 2 — (12 — 8 a + a 2) (5 — a ) I (6 — a )(2 — a )(4 — a )2
с
2 b Г 12 — 7 a + a 2 — (10 — 7 a + a 2 ) Л
+----1--------------I = 0 о
(4 — a ) к (5 — a )(3 — a )(2 — a )(4 — a ) J j p(z)P3(z)dz = 0 о j z + b1 z a+ cz + d dz = 0
0 0
J p(z)?3(z)zdz = 0 о J (z3 + b z2+ cz + dz dz = 0 о a 0
t f b 3 2л n t — b ( z 3 + bz 2 + cz + d ) z 2
J p ( z ) P 3 ( z ) z dz = 0 о j 2-------- a-----1— dz = 0
a 0
3( t — b ) (___________ 4__________
(5 — a ) к (6 — a )(2 — a )(4 — a )2
2 b (___________2___________
(4 — a ) к (5 — a )(3 — a )(2 — a )(4 — a )
3( t — b )(3 — a ) by =--
(6 — )
= 0 о
Выражая из первой формулы системы
(25), найдем с с учетом результата (26):
с =
- (3 - а )(2 - a ) l ( t - b )2
(5 - а )(4 - а )
+ ( t - b ) b,
(4 - а )(3 - а )
3(3 - а )(2 - а )( t - b )2 ( 1 2 I
----
(4 - а ) ( (5 - а ) (6 - а ) )
— 30- а (15 - 8а + а - (12 - а + а 2)) — 9^ > 0 , (6 - а )2(5 - а ) (6 - а )2(5 - а )
так как 0 < а < 1 .
Поэтому воспользуемся формулами А.Д. Фаддеева [7, стр. 65] для трех действительных различных корней уравнения (29).
После-довательно вычисляем:
3(3 - а )(2 - а )( t - b )2 ( )_ 3(2 - а )(3 - а )( t - b )2 (27)
(4 - а )(5 - а )(6 - а ) 1 1 (5 - а )(6 - а ) ’
Получим d из первой строки системы (22) с учетом (26), (27) для найденных b 1 , с :
d = - (1 - а )
= - (1 - а )( t - b )3
( t - b ) 3 и ----— + b.
I (4 - а ) 1
, ( t - b )2 , с ( t - b ) 1 (3 - а ) (2 - а )
—
3 3(3 - а )
(4 - а ) (6 - а ) (5 - а )(6 - а )
y — 2
„ V ( 6 - а - (12 - 3 а ) 3(3 - а )
= -(1 - а )( t - b )31---------------- +-----------—
( (4 - а )(6 - а ) (5 - а )(6 - а )
(1 - а )(3 - а )( t - b )3 ( 2 3 I
----
(6 - а ) ( (4 - а ) (5 - а ) )
(1 - а )(3 - а )( t - b )3 ( 10 - 2 а - ( 12 - 3 а ) I (6 - а ) [ (4 - а )(5 - а ) J
(1 - а )(2 - а )(3 - а )( t - b ) 3 (4 - а )(5 - а )(6 - а )
Получен ортогональный полином с учетом формул (26), (27), (28):
3,2 , 3 3( t - b )(3 - а ) 2
P ( z ) — z + bz + cz + d — z--z +
3 1 (6 - а )
r,ф,y1,y2,y3,z 1,z2,z3,%рx2,x3 r — bc , — + d j q I ф — arccoS--I — arccoS
1 2 r у 3 — 2
< z —2

f, z 3 — 2
,(30)
b l 3 ’
+1 • (31)
b 1
“ •
А также
— t + a - 2
+ b l 3
3 ’ x — t + a - zj x2 — t + a - z2 — t + a - 2
x 3 — t + a - z 3 — t + a - 2
3(2 - а )(3 - а )( t - b )2 (1 - а )(2 - а )(3 - а )( t - b )3
+ (5 - а )(6 - а ) z (4 - а )(5 - а )(6 - а ) '
Поскольку корни ортогонального полинома действительны [8], попарно различны, то уравнение (29) имеет три положительных корня на отрезке [0,t-b]. Кубическое уравнение (29) согласно работе [7] следует привести к каноническому уравнению заменой переменных:
bi 3 п b,2 (2 I 3 bc , y — z+у, y + py+q— 0, p — c- у. q— l —I b1 - у-+d •
По критерию Д.К. Фаддеева [7] кубическое уравнение (29) имеет три раз-личных b2 п вещественных корня если p 1 — - p — у - c > 0 •
Весовые коэффициенты C 1 , C 2 , C 3 в формуле Гаусса с найденными корнями (31) найдем с помощью классической задачи [8]:
\ 1 { u (t + a - z) dz d dz (t - b) „ „„
и ( t + a - z ) = 1: I --------------— I C 1 + C 2 + C 3
0 z “ 0 z “ (1 - а )
t -b (t + a - z) dz t -b dz t -b zdz u (t + a - z) — t + a - z: I -------------— (t + a) I--I
00 z 0 z0
, . (t - b)1-а (t - b)2-а „ „„
— ( t + a )--- — Cx , + C^x^ + C^x^
(1 - а) (2 - а) 1 1 2 23 3
t - b , _ _\2 j_ t - b j_ t - b _,_ t - b _2j_ z x i \ 2 c (t + a - z) dz , x? r dz r zdz z zdz и (t + a — z) = (t + a — z) : I ---------------= (t + a) I--2(t + a) I--+ I
0 z” 0 z” 0 z”0
2(t - b(° t - b)2” +(t- b (° 2 22
—(‘+ a ) z-2( t + a г+z:Z — C i x i + C 2 x 2 + C 3 x 3 °
(1 - а ) (2 - а ) (3 - а )
НТ (1 - а )
— C + C + C
Это условие выполнено и для нашего ортогонального полинома (29).
( t + a )
(мр ( t - bf” (1 - а ) - (2 - а )
— C 1 x 1 + C 2 x 2 + C j x 3
•(32)
b i _ 3( t - b )2(3 - а ) ( (3 - а ) (2 - а ) )
3 c — (6 - а) ^ (6 - а) (5 - а) J z \ 2 (t - b )1 а lit х Jt - b )2” 1(t - b f”-Г 2 „ 2 „ 2
( t + a )--2( t + a )-- 1--- Cx i + Cx + Cx
(1 - а ) (2 - а ) (3 - а ) 1 1 2 2 3 3
Первую строку в системе уравнений (32) умножим на x 3 и вычтем из второй строки:
( t + a - x 3 ) (\. Ь ^ "Ут = C 1 ( x 1 - x 3 )+ C 2 ( x 2 - x 3 )• (33)
(1 - а ) (2 - а )
Затем вторую строку системы (32) умножим на число x 3 и вычтем из третьей строки:
( t + a )2
( t - b Г (1 - а"
-
2( t + a )
( t - b ) 2 - а (2 - а )
, ( t - b ‘ (3 - а )
— ( t + a ) X j
( t - b ) 1- а + x j t - b r ^ (1 - а ) (2 - а )
= C 1 x 1 ( X 1
- x 3 )+ C 2 x 2 ( x 2 - x 3 ) °( t + a )( t + a - x 3 ) ( )
(1 - а )
-( 2( t + a ) - x 3 / ’ +^ ) = C 1 x 1 ( X 1 - x 3 )+ C 2 x 2 ( x 2 - x 3 ) .(34)
(2 - a ) (3 - a )
Выражение (33) умножим на x 2 и вычтем из полученного (34).
( t + a )( t + a - x 3 ) ( t - b ) I 2l t + a ) - x 3 ) ( t - b ) + ( t - b ) -
(1 - а ) (2 - а ) (3 - а )
- ( t + a - x^ ) % 2
MT (1 - а )
+ x
2 (2 - а )
= C 1 x 1 ( x 1
- x 3 )- C 1 x 2 ( x 1
- x 3 ) = C 1 ( x 1 - x 2 )( x 1 - x 3 ) =
( t - b а t - b '2" +( t - b ) ' "
= ( t + a - x 2 )( t + a - x 3)— -(2( t + a ) - x 3 - x 2 ) -(2—)- + -(3—)-
Из последнего уравнения выразим С :
(или в формуле (19) с параметром a =0) используется одни раз. Как и используется один раз формула (18) с равномерным шагом для вычисления первого интеграла в (17).
Замечание 1. Для дробной производной на интервале (0,1) в упрощенном алгоритме в Утверждении 1 нужно выбрать функцию и вес: u ( t - z ) ^ u ' ( t - z ) a = 0, р ( z ) = 1/ za , a e (0,1) •
А на интервале (1,2) нужно выбрать функцию u ( x ) c другим весом:
u ( t - z ) ^ u " ( t - z ), a = 0, p ( z ) = 1/ z а - 1, a e (1,2) .
И в этом случае две формулы (20), (21) Утверждения 1 останутся верными, если в них формально заменить a-->a-1 и заменить весовую функцию.
Пользуясь формулами (10), (12) и соответствующим численным алгоритмом (18), (20), (21), составим таблицу для численного значения дробной производной и аналитического значения производной с помощью ряда (16) для функции f ( t ) = sin( t ), t = 1, а e (0,2) .
Таблица 1. Производная Герасимова-Капуто для функции u ( t ) = sin( t ), t = п /2, а e (0,2)
C 1 =
( x 1 - x 2 X x 1
-
x 3 )
( t + a - x 2)( t + a - x 3)
( t - b ) 1 -а
(1 - а )
-
- ( 2( t + a ) - x - x 2 ) ( t b ) + ( t b ) ] • (35)
V 3 27 (2 - а ) (3 - а ) I V 7
С учетом (35) из формулы (33) найдем C 2 :
С ( x - x ,) 1 ( ( t - b ) 1 а ( t - b ) 2 a >
= - + I ( t + a - x 3)-
( x - x s ) ( x 2 - x 3 ) ^ (1 - а ) (2 - а ) ;
1 f. .( t - b ) 1 - а
■7------V-------J ( t + a - x 2)( t + a - x 3),, \--(2( t + a ) - x 3
( x 1 - x 2 \ x 2 - x 3 ) I (1 - a )
x > ( t - b У- а 2 (2 - а )
l ( t - b ) 3 - " ) (3 - а ) J
+ 7--------г1 ( t + a - x-, )
( x 2 - x 3 Ж 3j
( t - b ) 1 - " ( t - b )
—
(1 - а ) (2 - а ) J
( t + a - x 3 )( x 1 - 1 - a ) ( t - b ) ( 2( t + a ) - x । - x 3 it t - b ) ( t - b )
( x - x )( x - x ) (1 - а ) ( x - x)( x - x ) (2 - а ) ( x - x \ X - х з ) (3 - а )
= 1 ( x 1 - x 21 x 2 - x 3 ) |
2 v J t - b ) " ° hr \ \( t - bV ( t - b )3- а ( t + a x 3X x 1 t a ) ^^ +( 2( t + a ) x 1 x 3 )^^ ■ ^^ |
Из системы (32) выразим С 3:
с 3 , - с 2 - с 1 (37)
(1 - а )
Результаты формул (37), (36), (35), (31), (30), (29), (28), (27) совпадают с формулами (20), (21) и Утверждение 1 доказано. Отметим также, что в упрощенном алгоритме квадратурная формула Гаусса (20), (21) для вычисления второго интеграла в формуле (17)
a |
( D 0 + , t sin( t ) ) ( t = п / 2 ) |
( D" t s in( t ) ) \ 0+, t \ n>num ( t = п / 2 ) |
a ( d "+ , t ) ( t = п /2 ) |
10-14 |
0.9999999999 99995 |
0.99999999999 9994 |
1.7763568 3E-015 |
10-8 |
0.9999999952 79993 |
0.99999999527 9997 |
-4.1078E-015 |
0.1 |
0.9470275154 07809 |
0.94702751540 7803 |
5.9952043 32E-015 |
0.4 |
0.7184255171 19136 |
0.71842551711 9135 |
1.4432899 32E-015 |
0.5 |
0.6197920300 73509 |
0.61979203007 3510 |
-1.4432E-015 |
0.6 |
0.5109932063 84873 |
0.51099320638 4873 |
2.2204460 49E-016 |
0.9 |
0.1357686082 62797 |
0.13576860826 2797 |
2.4980018 05E-016 |
1-10-8 |
1.3707621751 9046E-008 |
1.37076218024 3091E-008 |
-5.0526E-017 |
1-10-14 |
1.3871023850 6829E-014 |
1.37579260713 4274E-014 |
1.1309777 93E-016 |
1+10 14 |
-1.371991E-014 |
-1.3100631E-014 |
-6.1927E-016 |
1+10-8 |
-1.370762E-008 |
-1.3707621E-008 |
-3.7398E-016 |
1.1 |
-0.13758466 5279301 |
-0.13758466 5279305 |
3.9690473 13E-015 |
1.4 |
-0.53501308 1857711 |
-0.535013081 857709 |
-2.2204E-015 |
1.5 |
-0.65277766 5939620 |
-0.65277766 5939619 |
-8.8817E-016 |
1.6 |
-0.75817951 8757917 |
-0.758179518 757916 |
-6.6613E-016 |
1.9 |
-0.97151962 2786878 |
-0.971519622 786876 |
-2.3314E-015 |
2-10-8 |
-0.99999999 8353808 |
-0.999999998 353809 |
- 2.220E- 016 |
2-10-14 |
-0.99999999 9999998 |
-0.999999999 999998 |
1.1102230 2E-016 |
Аналогичную таблицу для численного и аналитического значений производной с помощью ряда (15) составим для функции f ( t ) = cos( t ), t = 1, a e (0,2) . Первая часть и вторая часть каждой таблицы на интервалах (0,1) и (1,2) находится разными алгоритмами и программами с особенностями, описанными в Замечании 1.
Из табл. 1 для функции
u ( t ) = sin( t ), t = n/2, a e [ 0,2lsin| — I ^ 1 - 0
I 2 J a —+ 0
(П I , , л • I П I ~ cos| — I ^ + 0,— sin| — I ^ — 1 + 0,
I 2 J a — 1 — 0 I 2 J a — 2 — 0
что соответствует производным u ( t ) = sin( t ) .
Из табл. 2 для функции
Таблица 2. Производная Герасимова–Капуто для функции u ( t ) = cos( t ), t = n /2, ae (0,2)
a |
( D 0 a + , t cos( t ) ) ( t = П / 2 ) |
( Da 1 cos( t ) ) u + , 1 п/тт ( t = П / 2 ) |
a ( d 0 + , tcos(t ( t = П /2 ) |
10-14 |
-1.36710160 44627E-014 |
-1.310063169 057677E-014 |
-5.70384E-016 |
10-8 |
-1.37076214 99648E-008 |
-1.370762118 117236E-008 |
-3.18475E-016 |
0.1 |
-0.13758466 5279301 |
-0.137584665 279305 |
4.218847493 57E-015 |
0.4 |
-0.53501308 1857711 |
-0.535013081 857709 |
-1.77635E-015 |
0.5 |
-0.65277766 5939620 |
-0.652777665 939619 |
-8.88178E-016 |
0.6 |
-0.75817951 8757917 |
-0.758179518 757916 |
-1.22124E-015 |
0.9 |
-0.97151962 2786878 |
-0.971519622 786876 |
-2.22044E-015 |
110-8 |
-0.99999999 8353808 |
-0.999999998 353809 |
2.220446049 25E-016 |
1-10 14 |
-0.99999999 9999998 |
-0.99999999 9999998 |
1.110223024 625E-016 |
1+ 10-14 |
-0.99999999 9999998 |
-0.9999999 99999998 |
1.110223024 625E-016 |
1 +10-8 |
-0.99999999 95279994 |
-0.999999995 279997 |
3.885780586 188E-015 |
1.1 |
-0.94702751 5407809 |
-0.947027515 407803 |
-5.99520E-015 |
1.4 |
-0.71842551 7119136 |
-0.718425517 119135 |
-1.33226E-015 |
1.5 |
-0.61979203 0073509 |
-0.619792030 073510 |
1.443289932 012E-015 |
1.6 |
-0.51099320 6384873 |
-0.510993206 384873 |
-5.55111E-016 |
1.9 |
-0.13576860 8262798 |
-0.135768608 262797 |
-3.33066E-016 |
210-8 |
-1.37076217 51904E-008 |
-1.370762165 002316E-008 |
-1.01881E-016 |
2 10-14 |
-1.38710238 50682E-014 |
-1.375792607 134274E-014 |
-1.13097E-016 |
Таблицы 1 и 2 получены при следующих параметрах n=10000,nh=b (n-число интервалов для отрезка в первом интеграле в (17)), l=45, 45h=t-b –длина правого отрезка в квадратуре Гаусса.
Первый столбец – порядок производной a , второй столбец - аналитическое значение производной Герасимова по формулам (15), (16), третий – численное значение производной по алгоритму (18), (20), (21). Четвертый столбец – разность между аналитическим и численным значениями дробной производной.
u ( t ) = cos( t ), t = n /2, a e [ 0,2 ], cos| П | = —0 — a = +0
-
• I П I 1 , 1 I П I Л . Л Л
-
— sin| — I = —1 —— a = 1,—cos| — I = —0 —— a = 2 — 0 ,
-
12 J \ 2 J
что соответствует производным u ( t ) = cos( t ) .
Основные полученные результаты:
-
1) Впервые получены модифицированные формулы (10), (12), (13) Герасимова– Капуто.
-
2) С учетом модифицированных формул (10), (12) получен численный алгоритм (18), (20), (21) и доказана корректность алгоритма – Утверждение 1 .
-
3) Результаты алгоритма (18)–(21) сравнены с аналитическими формулами (15), (16), невязка вычислений не превышает 10-15 .
-
4) Формулы (20), (21) Утверждения 1 остаются верными при формальной замене в них α на интервале (0,1) на α-1 на интервале (1,2) .
Список литературы Модифицированная формула Герасимова-Капуто
- Корчагина А.Н. Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред // Известия Алтайского государственного университета. 2014. № 1-1(81). С. 65-67. DOI: 10.14258/izvasu(2014)1.1-14 EDN: SECUCD
- Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с. EDN: UGLEPD
- Бештокова З.В. Устойчивость и сходимость монотонных разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя / З.В. Бештокова, М.Х. Бештоков // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2021. № 3. С. 26-50. EDN: GMBWPR
- Бештоков М.Х. Краевые задачи для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя и разностные методы их решения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30, № 2. С. 158-175. 10.35634/vm200202. DN. DOI: 10.35634/vm200202.DNHMCSFN EDN: HMCSFN
- Алиева С.Т., Мансимов К.Б. Условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина в задаче управления линейными разностными уравнениями дробного порядка // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 4(63). С. 5-11. DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-5-11 EDN: ACKUPX
- Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Аналог принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления системой дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто и многоточечным критерием качества // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 3(58). С. 5-10. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-3-5-10 EDN: THSSNA
- Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Физматлит, 1984. 416 с.
- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 240 с. EDN: RBARWH
- Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф., Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К. Вычисление производных дробного порядка с высокой степенью точности. Новополоцк: ПГУ, 2020. 21 с. URL: hhtps://elib.psu.by/handle/123456789/25335.
- Гербер А.Д. Описание алгоритма приближенного вычисления несобственного интеграла, определяющего значения дробной производной // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Т. Вып. 16. Ярославль: Ярослав. гос. техн. ун-т. 2021. С. 22-31. EDN: CYCCAJ