Модифицированная формула Герасимова-Капуто

Автор: Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф.

Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi

Рубрика: Математика

Статья в выпуске: 1 (64), 2024 года.

Бесплатный доступ

В работе впервые получены модифицированные формулы Герасимова-Капуто. Модифицированные формулы учитывают значение производной функции в нуле с порядком на единицу меньше, чем порядок производной, стоящей под знаком интеграла Герасимова-Капуто. Без учета нового слагаемого в формулах Герасимова-Капуто не всегда корректно вычисление дробной производной на интервале любого порядка и для любой функции. В работе также описан простой численный алгоритм с квадратурной формулой Гаусса, позволяющей вычислять дробную производную с двойной точностью. Составлены таблицы дробной производной для функций синуса и косинуса. Причем первая половина таблиц (в интервале порядка (0,1)) и вторая половина таблиц (в интервале порядка (1,2)) получена программами по разным алгоритмам. В работе достигнута абсолютная погрешность вычисления дробной производной 10-15.

Еще

Численные методы, дробная производная герасимова-капуто, дробная производная капуто

Короткий адрес: https://sciup.org/147245556

IDR: 147245556   |   DOI: 10.17072/1993-0550-2024-1-5-14

Текст научной статьи Модифицированная формула Герасимова-Капуто

Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. распространяется под лицензией CC BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите

В работе [1] показано, что в задачах аномальной диффузии необходимо использовать производные дробного порядка, принимающего значения на интервале (0,2). Другой пример, в задачах механики поток газа Трикоми на звуковой лини прямо пропорционален производной порядка 2/3 от функции тока [2]. Как известно, производная Герасимова–Капуто определяется [1], [2], [3], [4] интегральной формулой (1) .

В работе показано, что для явного вычисления производной Герасимова–Капуто необходимо еще одно слагаемое, которое зависит от значения функции u(0), переменной t и порядка дробной производной α на интервале (0,1). Данное слагаемое необходимо для согласования производной функции целого порядка и предельного значения производной дробного порядка, когда ее порядок становится целым. Для некоторых функций новое дополнительное слагаемое в точке t=0 не требуется, например, для функции u(t)=sin(t) в интервале α = (0,1). В работе максимально упрощен алгоритм вычисления дробных производных квадратурной формулой Гаусса. В программу вводится исходная функция, первая или вторая ее производные. Гладкости первого или второго порядка используемой функции требует также формула-определение (1).

В работах [5], [6], [10] рассмотрены разностные уравнения и аналог задачи оптимального управления Л.С. Понтрягина с производными дробного порядка.

Постановка задачи

Пусть заданная функция u(x,t) является достаточно гладкой по переменной t, u ( x, t ) e C n (0, t ) , тогда производная функции целого порядка n по переменной t является непрерывной и интеграл в формуле (1) сходится, так как в особой точке т ^ t знаменатель дроби пропорционален 1/ ( t - т ) а- n + 1 учитывая - 1 а - n + 1 0 .

Определение 1. Производной дробного порядка α>0 Герасимова–Капуто от функции двух переменных u(x,t) (по переменной t ) [1], [2], [3] называется функция

( D а + , t u \x , t ) =

1 rd nu ( x , т )      d r

Г ( n - а ) J    df   ( t - т ) а - n + 1

n = [ a ] +1, n e Na e R , а - n +1 = { a } e ( 0,1 ) .

Для простоты рассмотрим частный случай дробной производной для функции одной переменной u(t) , так как в нашей задаче переменная x не используется. Для двух интересующих нас интервалов порядка производной с учетом формулы (1) получим:

  • 1) . 0 a 1, n = 1

( D a U\t ) = — j- du ^ r )         , n = 1,0 a 1 (2)

V 0+, t Л >  г ( 1 - a ) J d T   ( t - r ) a ,      ,           1 7

  • 2) . 1 a 2, n = 2

( D •> ) ( 1 ) =         J dur       ' " = 2, 1 2 ' (3)

Г (2 a) 0 dr   (t - т)

Гамма-функция в формулах (2), (3) вычисляется по формуле Эйлера (4):

Г ( a ) = J t a 1 e‘dt , t e [0, ® ), a >  0 .        (4)

Поскольку дробные производные в формулах (2), (3) определены с точностью до множителя Г ( 1 - a ), Г ( 2 - a ) , то сложность вычисления производной дробного порядка заключается в сложности численного алгоритма для соответствующего интеграла. В языке FORTRAN вызовом функции dgamma( a ) Г ( a ) вычисляется с относительной точностью 10 - 15.

Очевидно, что производная дробного порядка α в (2), (3) должна переходить в производную целого порядка n -1 в случае a ^ n - 1 . Если в формуле (2) a ^ n - 1 = 0 , то

( D " и \<) = 4| j du T) dd'' = " ( t ) - " (0) ■ (5)

Г ( 1 ) 0 d T ( t - T )

для a e (0,1) :

Г (1 - a )j

d" (t )  dr dT  (t - т)a

_     1

= Г ( 1 - a )

f " (0)

-—+ lim f   £ _|>

V

" ( t - £ )

£

"( T )  ‘ т .(9)

! ( t - т ) a + 1    jju

В формуле (9) под знаком предельного перехода два слагаемые, зависящие от переменной ε, стремятся к бесконечности, и именно их разность может дать конечное число. Уточняя формулу (7), получим

( D O S t ) =                    + — I ® e (0,1)( . (10)

0 + , t Л '   Г ( 1 - а d T ( t - т ) a     t a J ,                ;

Преобразуем также (3):

1 r d2" ( t )    d r

Г ( 2 - a ) j dd  ( t - т У - 1

Аналогично, если в формуле (3) a ^ n - 1 = 1 , то

1 r d 2 " T ) d T       d , d

( D£"It )=7o f а Л  v-1 = ^ " ( t ) " (0) ■ (6)

Г ( 2 - 1 )* d r ( t - т )      dt       dt

Рассмотрим пример:

" ( t ) = sin( t ) : D 0 + 0 " ( t ) = sm( t ) - sm(0) = sm( t )

D a ^' ' " ( t ) = sin ( t ) - sin (0) = cos( t ) - 1 ^ cos( t )

Получаем противоречие для производной синуса первого порядка и формулой (6) на интервале a e (1,2) , хотя противоречия для производной синуса нуль порядка на интервале a e (0,1) и формулой (5) нет.

Чтобы устранить противоречие, в формулу (2) нужно добавить слагаемое вида '■) t ) = Г й [ i dd r Zr + " (0) g '<' a )} (7)

Сравнивая формулы (5) и (7), получим g j ( t , a ^ 0 + 0) = 1, a e (0,1) . Также добавим в формулу (3) слагаемое вида

\      1     | r d2" ( т )    т d           J ™

( D 0 + , t " X t )       J кт/—ы + -т» (°) g 2( t , a ) (8)

Г ( 2 - а ) (• т ( t - т )      dt            J

g 2 ( t , a ^ 1 + 0) = 1, a e (1,2) .

Преобразуем интеграл в формуле (2) по частям

1 f " ’(0)   r

—,---г —¥+ lim

Г ( 2 - a )     t a 1    £

t —£

( a 11 j

"T. ( t T a

d r

. (11)

Аналогично формуле (10), для интервала (0,1) на интервале (1,2) получим модифицированную формулу Герасимова–Капуто (12):

1 a 2, n = 2

( DI, t " ) ( t ) =

1 ff d 2" ( t )    d T

Г ( 2 - a )P d r 2   ( t - т a 1

+ " '(0 ) ta - 1

Заметим, что формула (10) переходит в функцию "(t) при a ^+0, а формула (12)

переходит в производную

d" ( t ) dt

при a ^ 1 + 0 .

Определение 2. Модифицированной формулой Герасимова–Капуто на интервале 0 a 1, n = 1 определим формулой (10), а на интервале 1 а 2, n = 2 определим формулой (12) .

Определение 3. Модифицированной формулой Герасимова–Капуто на интервале n - 1 a n , n = [ a ] + 1 определим формулой

( D E7X t ) =

1 f^ d n " ( т ) d r        "(n ч(0) 1

Г ( n a ) Vj ~dF ( t - т ° n + 1 + t a n + 1 J

. (13)

Формула (13) переходит в формулу " ( n 1) ( t ) при а ^ n - 1 + 0 .

Рассмотрим обобщение производной дробного порядка от степенной функции:

dkxn dxk

= n ( n - 1)...( n - k + 1) x" k

n!    x k

( n - k )!

Для производной дробного порядка получим аналогичное выражение:

α

d a xn

ri n   „n—a

---==----- x dX    ( n a )!

Г ( П + 1)   x a

Г ( n a + 1)

.

Разложим гладкую функцию в ряд Маклорена, используя предыдущую формулу:

В работе [9] получена составная квадратурная интегральная формула с равномерным шагом и с 12 порядком погрешности O ( h 12), которую мы используем для первого интеграла в (17) на отрезке [0,b]

bn f u (x) dx = 5 h £ Ciu (xi) + O (h12 J n = 10 m, h =

b a ----, m e N ,

n

X u ( t ) = £ n = 0

u ( n ) (0) tn

n !

= u(n ) (0) tn

=£ Г ( n + 1),

если

( D . u i t ) = У Г ( n + 1) u ^ =V

7 0 Л n = 0 Г ( n a + 1) Г ( n + 1) n = 0 Г ( n a + 1)

i = 0 v i = n

( 1) k

Для функции u ( t ) = cos( t ) = £ ^^ t 2 k получим

X

У

Г (1 a ) £

I                    \(14)

( D a + , t cos( t )H

X

£

Г (2 - a ) kl

( 1) kt 2 k —a

~2k

П ( i a )

i = 1

/     k ,2 k a

(—1) t t 2 k

П ( i a )

i = 2

, a e (0,1)

. (15)

, a e (1,2)

( 1) k

Для функции u ( t ) = sm( t ) = £ ^ ^ t2 k 1 имеем

X

У

Г (1 a ) k = 0

/                  \(14)

( D . t sin( t )H

X

£

Г (2 - a ) k = 0

(  1) k ?2 k + 1 a

2 k + 1

П ( i a )

i = 1

/     k <2 k + 1 a

(—1) t t 2 k+1

П ( i a )

i = 2

, a e (0,1)

. (16)

, a e (1,2)

Опишем численный алгоритм, аппроксимирующий формулу (10), отбрасывая известный

1 множитель           и слагаемое

Г ( 1 a )

Представим интеграл (2) в виде используя во втором интеграле переменных z |0_b = t rj t , dz = — d r .

u ( o )

.

. ta суммы, замену

, ( i = 0mod10 ) A ( 0 i n )

149688 ,v                v        7

( i = 1mod10 ) v ( i = 9mod10 )

16175

( i = 2mod10 ) v ( i = 8mod10 )

( i = 3mod10 ) v ( i = 7mod10 )

5544 , ( i = 4mod10 ) v ( i = 6mod10 )

i = 5mod10

Вычислим второй интеграл в (17)

t г b u( t z ) dz

J a

0       z

Предварительно введем вспомогательный интеграл с параметром a под аргументом функции:

т           , t f b u ( t + a z ) dz

1 2( b , t , a , a ) = I                     .          (19)

0       z

t

I ( u ( t ^f

u ( r ) d r

к a

b

= f

u ( r ) d r

a a

t

+ f

b

u ( t ) d r _

a

_ b u ( r ) d r 0 ( t r ) a

0 I t b

u (t — z)dz a z

_ b u ( r ) d r 0 ( t r ) a

t b

+1

u ( t z ) dz (17) z a

Для

максимального

упрощения

алгоритма, первую производную в (17) от известной функции считаем заданной.

Параметр a необходим для аппроксимации первой производной в (10) квадратурной формулой, которая в данной работе не используется, но получена в работе [9].

Весовая функция неотрицательна p ( z ) = E 0 на отрезке [0, t b ] . z a

Построим [8] квадратурную формулу Гаусса с тремя узлами.

Утверждение 1. Если функция u ( t )

непрерывно дифференцируема на отрезке [0,t-b] с весом p(z) = — > 0, z e [0,t — b], то za квадратурная формула Гаусса имеет вид

I u ( t + a z ) dz = Cu ( x ) + Cu ( x^ ) + Cu ( x ) + O ( ( t b ) 6 ) , (20)

0       za где неизвестные C1, C2, C3, x1, x 2, x3 равны

C i =

( X j — x 2 )( X j —

(ft ,                    J t b )

-^-1 ( t + a - X 2 )( t + a - X 3 У    7

X 3 ) к                            (1 a )

C 3

з           \ ( t b ) 2 a   ( t b ) )

( 2( t + a ) x? _ x^ )-- 1--I,

327 (2 a )    (3 a ) I’

C 2

1

(

( x 1 x 2 X x 2 x 3 )

( t + a x 3)( X j — t

к

a )

+ ( 2( t + a ) X 1 x 3 )•

( t b )"-

d— a

-——C -C

,      2 H ,

(1 a )

( t - b r +

(1 a )

( t b Г

(2 a )     (3 a ) I ’

.„= , + a - 2       s 1 ]+1,

, bb?   (1 + 2n) b x 2 = t + a — 2, c°s    ^—l + J,

Y 7 W 1 + 4 п К b 1 x-> = t + a 2-. — cos i------i +—,

3            v 3    \   3    7    3

( Z X

’1

1 = arcco;

= arccos

bc

— + d

A

к

2 f

В формуле (20)   b 1 , c , d

неизвестные

для

ортогонального полинома [8]:

P ( z ) = z 3 + bz 2 + cz + d , p ( z ) =~7> 0, z e[0, t — b ], z

b _ — 3(3 a )( t b )   _ 3(2 a )(3 a )( t b )2

1 =      (6 a )    ’ c =     (5 a )(6 a )    ’

d_ (1 a )(2 a )(3 a )( t b )3 =     (4 a )(5 a )(6 a )

Доказательство . Определим ортогональный полином

( t b ) 4 a   ,

( t b ) 3

+ с ( t b ) 2 a

+ d ( t ~

<1 = 0

(4 a )     1

(3 a )

(2 a )

(1-

)

( t b ) 5 a +b

( t b ) 4

+ с ( t b ) 3 a

+ d ( t ~

b ) 2   = 0 • (22)

(5 a )      1

(4 a )

(3 a )

(2

—   )

+ b

( t b ) 5 '

+ с ( t b ) 4 '

+ d ( t ~

b ) 3 —   = 0

(6 a )      1

(5 —   )

(4 a )

(3

—   )

Из системы (22) получим уравнения (23), (24):

( t b )3 +b     ( t b )2        с ( t b ) +        d         0

(4 a )(2 a )   1 (3 a )(2 a )  (2 a )2  (1 a )(2 a )        (23)

'     ( t b )3    +b ( t b )2          с ( t b )    +        d

(5 a )(1 a )    1 (4 a )(1 a ) (3 a )(1 a ) (2 a )(1 a )

'   (t—b)3 +b (t—b)2    । с(t — b) +

(5 — a )(3 — a)   1(4 — a )(3 — a)  (3 — a )2  (3 — a )(2 — a )

'                + b,    (t—b)2    +               +       d=

(6 a )(2 a )    (5 a )(2 a )  (4 a )(2 a )  (2 a )(3 a )

Вычитая из вторых уравнений систем (23) и (24) первые уравнения в (23) и (24) соответственно, получим систему двух уравнений (25) с константами b 1 , c :

= 0

= 0

Второе уравнение в (25) умножим на дробь       , затем вычтем из полученного

(2 a )

выражения с множителем —--- первое

уравнение

3( t b ) (        1 ___ 1    )

(5 a ) [ (6 a )(2 a )  (4 a )2 J

2 b  (        11

(4 a ) к (5 a )(2 a )  (4 a )(3 a )

= 0 о

z3 + bz2 + cz + d,z|° t = t — dt > 0 1                ’It—b          lb с 3 узлами и  p( z) = —> 0, z e [0, t - b ]

(z ) a помощью системы уравнений [8]:

3( t b ) ( 16 8 a + a 2 (12 8 a + a 2) (5 a ) I     (6 a )(2 a )(4 a )2

с

2 b  Г 12 7 a + a 2 — (10 7 a + a 2 ) Л

+----1--------------I = 0 о

(4 — a ) к (5 — a )(3 — a )(2 — a )(4 — a ) J j p(z)P3(z)dz = 0 о j z + b1 z a+ cz + d dz = 0

0                            0

J p(z)?3(z)zdz = 0 о J (z3 + b z2+ cz + dz dz = 0 о a                           0

t f b          3 2л    n     t b ( z 3 + bz 2 + cz + d ) z 2

J p ( z ) P 3 ( z ) z dz = 0 о j 2-------- a-----1— dz = 0

a                               0

3( t b ) (___________ 4__________

(5 a ) к (6 a )(2 a )(4 a )2

2 b  (___________2___________

(4 a ) к (5 a )(3 a )(2 a )(4 a )

3( t b )(3 a ) by =--

(6 —   )

= 0 о

Выражая из первой формулы системы

(25), найдем с с учетом результата (26):

с =

- (3 - а )(2 - a ) l ( t - b )2

(5 - а )(4 - а )

+ ( t - b ) b,

(4 - а )(3 - а )

3(3 - а )(2 - а )( t - b )2 (    1        2 I

----

(4 - а )        ( (5 - а )  (6 - а ) )

— 30- а (15 - 8а + а - (12 - а + а 2)) — 9^ > 0 , (6 - а )2(5 - а )                                (6 - а )2(5 - а )

так как 0 а 1 .

Поэтому воспользуемся формулами А.Д. Фаддеева [7, стр. 65] для трех действительных различных корней уравнения (29).

После-довательно вычисляем:

3(3 - а )(2 - а )( t - b )2 (       )_ 3(2 - а )(3 - а )( t - b )2 (27)

(4 - а )(5 - а )(6 - а ) 1      1      (5 - а )(6 - а )    

Получим d из первой строки системы (22) с учетом (26), (27) для найденных b 1 , с :

d = - (1 - а )

= - (1 - а )( t - b )3

( t - b ) 3 и ----— + b.

I (4 - а )   1

, ( t - b )2 , с ( t - b ) 1 (3 - а )   (2 - а )

3        3(3 - а )

(4 - а )  (6 - а )  (5 - а )(6 - а )

y 2

„ V      ( 6 - а - (12 - 3 а )     3(3 - а )

= -(1 - а )( t - b )31---------------- +-----------—

( (4 - а )(6 - а )    (5 - а )(6 - а )

(1 - а )(3 - а )( t - b )3 (    2        3 I

----

(6 - а )        ( (4 - а )  (5 - а ) )

(1 - а )(3 - а )( t - b )3 ( 10 - 2 а - ( 12 - 3 а ) I (6 - а )        [   (4 - а )(5 - а ) J

(1 - а )(2 - а )(3 - а )( t - b ) 3 (4 - а )(5 - а )(6 - а )

Получен ортогональный полином с учетом формул (26), (27), (28):

3,2         ,    3    3( t - b )(3 - а ) 2

P ( z ) — z + bz + cz + d — z--z +

3            1                      (6 - а )

r,ф,y1,y2,y3,z 1,z2,z3,%рx2,x3 r — bc , — + d j q I ф — arccoS--I — arccoS

1  2 r у 3 — 2

< z —2

f, z 3 2

,(30)

b l 3 ’

+1 • (31)

b 1

“ •

А также

t + a - 2

+ b l 3

3 ’ x — t + a - zj x2 — t + a - z2 — t + a - 2

x 3 t + a - z 3 t + a - 2

3(2 - а )(3 - а )( t - b )2    (1 - а )(2 - а )(3 - а )( t - b )3

+     (5 - а )(6 - а )     z (4 - а )(5 - а )(6 - а )     '

Поскольку корни ортогонального полинома действительны [8], попарно различны, то уравнение (29) имеет три положительных корня на отрезке [0,t-b]. Кубическое уравнение (29) согласно работе [7] следует привести к каноническому уравнению заменой переменных:

bi   3             п          b,2      (2 I 3 bc , y — z+у, y + py+q— 0, p — c- у. q— l —I b1 - у-+d •

По критерию Д.К. Фаддеева [7] кубическое уравнение (29) имеет три раз-личных b2 п вещественных корня если p 1 — - p — у - c 0

Весовые коэффициенты C 1 , C 2 , C 3 в формуле Гаусса с найденными корнями (31) найдем с помощью классической задачи [8]:

\  1  { u (t + a - z) dz d dz   (t - b)      „   „„

и ( t + a - z ) = 1: I -------------- I                    C 1 + C 2 + C 3

0       z         0 z    (1 - а )

t -b (t + a - z) dz         t -b dz  t -b zdz u (t + a - z) — t + a - z: I -------------— (t + a) I--I

00       z                    0 z0

,     . (t - b)1-а   (t - b)2-а    „      „„

( t + a )--- Cx , + C^x^ + C^x^

(1 - а)     (2 - а)      1 1     2 23 3

t - b    , _ _\2 j_               t - b j_              t - b _,_ t - b _2j_ z         x i         \ 2 c (t + a - z) dz , x? r dz            r zdz z zdz и (t + a — z) = (t + a — z) : I ---------------= (t + a) I--2(t + a) I--+ I

0        z”                     0 z”              0 z”0

2(t - b(°            t - b)2” +(t- b (°        2        22

—(+ a )       z-2( t + a г+z:Z C i x i + C 2 x 2 + C 3 x 3 °

(1 - а )            (2 - а )    (3 - а )

НТ (1 - а )

C + C + C

Это условие выполнено и для нашего ортогонального полинома (29).

( t + a )

(мр ( t - bf” (1 - а ) - (2 - а )

C 1 x 1 + C 2 x 2 + C j x 3

•(32)

b i    _ 3( t - b )2(3 - а ) ( (3 - а )  (2 - а ) )

3 c —    (6 - а)    ^ (6 - а)  (5 - а) J z \ 2 (t - b )1 а lit х Jt - b )2” 1(t - b f”-Г 2  „  2  „ 2

( t + a )--2( t + a )-- 1--- Cx i + Cx + Cx

(1 - а )              (2 - а )     (3 - а )      1 1     2 2     3 3

Первую строку в системе уравнений (32) умножим на x 3 и вычтем из второй строки:

( t + a - x 3 ) (\. Ь ^   "Ут = C 1 ( x 1 - x 3 )+ C 2 ( x 2 - x 3 )• (33)

(1 - а )    (2 - а )

Затем вторую строку системы (32) умножим на число x 3 и вычтем из третьей строки:

( t + a )2

( t - b Г (1 - а"

-

2( t + a )

( t - b ) 2 - а (2 - а )

, ( t - b (3 - а )

— ( t + a ) X j

( t - b ) 1- а + x j t - b r ^ (1 - а )     (2 - а )

= C 1 x 1 ( X 1

- x 3 )+ C 2 x 2 ( x 2 - x 3 ) °( t + a )( t + a - x 3 ) (    )

(1 - а )

-( 2( t + a ) - x 3 /    ’    +^   )    = C 1 x 1 ( X 1 - x 3 )+ C 2 x 2 ( x 2 - x 3 ) .(34)

(2 - a )    (3 - a )

Выражение (33) умножим на x 2 и вычтем из полученного (34).

( t + a )( t + a - x 3 ) ( t - b )     I 2l t + a ) - x 3 ) ( t - b )   + ( t - b )   -

(1 - а )                  (2 - а )    (3 - а )

- ( t + a - x^ ) % 2

MT (1 - а )

+ x

2 (2 - а )

= C 1 x 1 ( x 1

- x 3 )- C 1 x 2 ( x 1

- x 3 ) = C 1 ( x 1 - x 2 )( x 1 - x 3 ) =

( t - b а                          t - b '2" +( t - b ) ' "

= ( t + a - x 2 )( t + a - x 3) -(2( t + a ) - x 3 - x 2 ) -(2—)- + -(3—)-

Из последнего уравнения выразим С :

(или в формуле (19) с параметром a =0) используется одни раз. Как и используется один раз формула (18) с равномерным шагом для вычисления первого интеграла в (17).

Замечание 1. Для дробной производной на интервале (0,1) в упрощенном алгоритме в Утверждении 1 нужно выбрать функцию и вес: u ( t - z ) ^ u ' ( t - z ) a = 0, р ( z ) = 1/ za , a e (0,1)

А на интервале (1,2) нужно выбрать функцию u ( x ) c другим весом:

u ( t - z ) ^ u " ( t - z ), a = 0, p ( z ) = 1/ z а - 1, a e (1,2) .

И в этом случае две формулы (20), (21) Утверждения 1 останутся верными, если в них формально заменить a-->a-1 и заменить весовую функцию.

Пользуясь формулами (10), (12) и соответствующим численным алгоритмом (18), (20), (21), составим таблицу для численного значения дробной производной и аналитического значения производной с помощью ряда (16) для функции f ( t ) = sin( t ), t = 1, а e (0,2) .

Таблица 1. Производная Герасимова-Капуто для функции u ( t ) = sin( t ), t = п /2, а e (0,2)

C 1 =

( x 1 - x 2 X x 1

-

x 3 )

( t + a - x 2)( t + a - x 3)

( t - b ) 1

(1 - а )

-

- ( 2( t + a ) - x - x 2 ) ( t  b )   + ( t  b )   ] •  (35)

V            3    27 (2 - а )     (3 - а ) I V 7

С учетом (35) из формулы (33) найдем C 2 :

С ( x - x ,)        1     (             ( t - b ) 1 а   ( t - b ) 2 a >

= -            +         I ( t + a - x 3)-

( x - x s )   ( x 2 - x 3 ) ^             (1 - а )    (2 - а ) ;

1            f.                          .( t - b ) 1 - а

■7------V-------J ( t + a - x 2)( t + a - x 3),, \--(2( t + a ) - x 3

( x 1 - x 2 \ x 2 - x 3 ) I                            (1 - a )

x > ( t - b У- а 2   (2 - а )

l ( t - b ) 3 - " ) (3 - а ) J

+ 7--------г1 ( t + a - x-, )

( x 2 - x 3 Ж        3j

( t - b ) 1 - "    ( t - b )

(1 - а )    (2 - а ) J

( t + a - x 3 )( x 1 - 1 - a ) ( t - b )     ( 2( t + a ) - x - x 3 it t - b )              ( t - b )

( x - x )( x - x )    (1 - а )    ( x - x)( x - x ) (2 - а )    ( x - x \ X - х з ) (3 - а )

=         1

( x 1 - x 21 x 2 - x 3 )

2         v        J t - b ) " ° hr \        \( t - bV ( t - b )3- а

( t + a x 3X x 1 t a ) ^^ +( 2( t + a ) x 1 x 3 )^^ ■ ^^

Из системы (32) выразим С 3:

с 3         , - с 2 - с 1              (37)

(1 - а )

Результаты формул (37), (36), (35), (31), (30), (29), (28), (27) совпадают с формулами (20), (21) и Утверждение 1 доказано. Отметим также, что в упрощенном алгоритме квадратурная формула Гаусса (20), (21) для вычисления второго интеграла в формуле (17)

a

( D 0 + , t sin( t ) ) ( t = п / 2 )

( D" t s in( t ) )

\  0+, t      \ n>num

( t = п / 2 )

a ( d "+ , t ) ( t = п /2 )

10-14

0.9999999999

99995

0.99999999999

9994

1.7763568

3E-015

10-8

0.9999999952

79993

0.99999999527

9997

-4.1078E-015

0.1

0.9470275154 07809

0.94702751540

7803

5.9952043 32E-015

0.4

0.7184255171

19136

0.71842551711

9135

1.4432899

32E-015

0.5

0.6197920300

73509

0.61979203007

3510

-1.4432E-015

0.6

0.5109932063

84873

0.51099320638

4873

2.2204460 49E-016

0.9

0.1357686082

62797

0.13576860826

2797

2.4980018 05E-016

1-10-8

1.3707621751 9046E-008

1.37076218024 3091E-008

-5.0526E-017

1-10-14

1.3871023850 6829E-014

1.37579260713 4274E-014

1.1309777

93E-016

1+10

14

-1.371991E-014

-1.3100631E-014

-6.1927E-016

1+10-8

-1.370762E-008

-1.3707621E-008

-3.7398E-016

1.1

-0.13758466 5279301

-0.13758466 5279305

3.9690473 13E-015

1.4

-0.53501308 1857711

-0.535013081

857709

-2.2204E-015

1.5

-0.65277766 5939620

-0.65277766 5939619

-8.8817E-016

1.6

-0.75817951 8757917

-0.758179518 757916

-6.6613E-016

1.9

-0.97151962

2786878

-0.971519622

786876

-2.3314E-015

2-10-8

-0.99999999

8353808

-0.999999998

353809

-  2.220E-

016

2-10-14

-0.99999999 9999998

-0.999999999

999998

1.1102230

2E-016

Аналогичную таблицу для численного и аналитического значений производной с помощью ряда (15) составим для функции f ( t ) = cos( t ), t = 1, a e (0,2) . Первая часть и вторая часть каждой таблицы на интервалах (0,1) и (1,2) находится разными алгоритмами и программами с особенностями, описанными в Замечании 1.

Из табл. 1 для функции

u ( t ) = sin( t ), t = n/2, a e [ 0,2lsin| I ^ 1 - 0

I 2 J a —+ 0

(П I   , , л • I П I            ~ cos| — I   ^ + 0,— sin| — I   ^ — 1 + 0,

I 2 J a 1 0           I 2 J a 2 0

что соответствует производным u ( t ) = sin( t ) .

Из табл. 2 для функции

Таблица 2. Производная Герасимова–Капуто для функции u ( t ) = cos( t ), t = n /2, ae (0,2)

a

( D 0 a + , t cos( t ) ) ( t = П / 2 )

( Da 1 cos( t ) )

u + , 1       п/тт

( t = П / 2 )

a ( d 0 + , tcos(t ( t = П /2 )

10-14

-1.36710160 44627E-014

-1.310063169 057677E-014

-5.70384E-016

10-8

-1.37076214 99648E-008

-1.370762118 117236E-008

-3.18475E-016

0.1

-0.13758466 5279301

-0.137584665

279305

4.218847493

57E-015

0.4

-0.53501308 1857711

-0.535013081

857709

-1.77635E-015

0.5

-0.65277766 5939620

-0.652777665

939619

-8.88178E-016

0.6

-0.75817951 8757917

-0.758179518

757916

-1.22124E-015

0.9

-0.97151962 2786878

-0.971519622

786876

-2.22044E-015

110-8

-0.99999999 8353808

-0.999999998

353809

2.220446049

25E-016

1-10 14

-0.99999999 9999998

-0.99999999 9999998

1.110223024

625E-016

1+ 10-14

-0.99999999 9999998

-0.9999999

99999998

1.110223024

625E-016

1 +10-8

-0.99999999 95279994

-0.999999995

279997

3.885780586 188E-015

1.1

-0.94702751 5407809

-0.947027515

407803

-5.99520E-015

1.4

-0.71842551 7119136

-0.718425517

119135

-1.33226E-015

1.5

-0.61979203 0073509

-0.619792030 073510

1.443289932

012E-015

1.6

-0.51099320 6384873

-0.510993206

384873

-5.55111E-016

1.9

-0.13576860 8262798

-0.135768608

262797

-3.33066E-016

210-8

-1.37076217 51904E-008

-1.370762165 002316E-008

-1.01881E-016

2 10-14

-1.38710238 50682E-014

-1.375792607 134274E-014

-1.13097E-016

Таблицы 1 и 2 получены при следующих параметрах n=10000,nh=b (n-число интервалов для отрезка в первом интеграле в (17)), l=45, 45h=t-b –длина правого отрезка в квадратуре Гаусса.

Первый столбец – порядок производной a , второй столбец - аналитическое значение производной Герасимова по формулам (15), (16), третий – численное значение производной по алгоритму (18), (20), (21). Четвертый столбец – разность между аналитическим и численным значениями дробной производной.

u ( t ) = cos( t ), t = n /2, a e [ 0,2 ], cos| П | = —0 — a = +0

  • • I П I      1   ,        1         I П I      Л .        Л Л

  • — sin| — I = —1 —— a = 1,—cos| — I = —0 —— a = 2 — 0 ,

  • 12 J               \ 2 J

что соответствует производным u ( t ) = cos( t ) .

Основные полученные результаты:

  • 1)    Впервые получены модифицированные формулы (10), (12), (13) Герасимова– Капуто.

  • 2)    С учетом модифицированных формул (10), (12) получен численный алгоритм (18), (20), (21) и доказана корректность алгоритма – Утверждение 1 .

  • 3)    Результаты алгоритма (18)–(21) сравнены с аналитическими формулами (15), (16), невязка вычислений не превышает 10-15 .

  • 4)    Формулы (20), (21) Утверждения 1 остаются верными при формальной замене в них α на интервале (0,1) на α-1 на интервале (1,2) .

Список литературы Модифицированная формула Герасимова-Капуто

  • Корчагина А.Н. Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред // Известия Алтайского государственного университета. 2014. № 1-1(81). С. 65-67. DOI: 10.14258/izvasu(2014)1.1-14 EDN: SECUCD
  • Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с. EDN: UGLEPD
  • Бештокова З.В. Устойчивость и сходимость монотонных разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя / З.В. Бештокова, М.Х. Бештоков // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2021. № 3. С. 26-50. EDN: GMBWPR
  • Бештоков М.Х. Краевые задачи для нагруженного модифицированного уравнения влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя и разностные методы их решения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30, № 2. С. 158-175. 10.35634/vm200202. DN. DOI: 10.35634/vm200202.DNHMCSFN EDN: HMCSFN
  • Алиева С.Т., Мансимов К.Б. Условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина в задаче управления линейными разностными уравнениями дробного порядка // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 4(63). С. 5-11. DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-5-11 EDN: ACKUPX
  • Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Аналог принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления системой дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто и многоточечным критерием качества // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 3(58). С. 5-10. DOI: 10.17072/1993-0550-2022-3-5-10 EDN: THSSNA
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Физматлит, 1984. 416 с.
  • Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 240 с. EDN: RBARWH
  • Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф., Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К. Вычисление производных дробного порядка с высокой степенью точности. Новополоцк: ПГУ, 2020. 21 с. URL: hhtps://elib.psu.by/handle/123456789/25335.
  • Гербер А.Д. Описание алгоритма приближенного вычисления несобственного интеграла, определяющего значения дробной производной // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Т. Вып. 16. Ярославль: Ярослав. гос. техн. ун-т. 2021. С. 22-31. EDN: CYCCAJ
Еще
Статья научная