Модули трансвекций в надгруппах нерасщепимого максимального тора

Настоящая статья продолжает работы 3. И. Боревича и авторов [1-5] и посвящена, исследованию траисвекций в подгруппах полной линейной группы G = GL(n, k) степени n над полем k. содержатних иерастнепимый максимальный тор T = T(d) связанный с радикальным расширением k( nd) степeiin n основного поля k нечетной характернсти-ки (минизотропный тор). В работе получена, исчерпывающая информация о модулях траисвекций, определенных промежуточной подгруппой H, T(d) 6 H 6 G. Точнее, получен полный список соотношений (и их число) модулей траисвекций, определенных промежуточной подгруппой. Доказано, что все кольца, множителей совпадают между собой, а. модули траисвекций являются целыми идеалами кольца, множителей.

Мы предполагаем, что основное поле k является полем частных области главных идеалов Л, d Е Л, d — произведение различных (неассоциированных) простых элементов из Л. Говорят, что подгруппа H «богата трансвекциями», если она содержит элементарные трансвекции tij (а) = e + aeij, а Е k, а = 0 на всех позициях (i, j), i = j. С промежуточной подгруппой H связаны модули траисвекций (i = j)

Aij = Aij(H) = {а Е k : tij(а) Е H} и их кольца, множителей

Rij = Rij (H ) = Rij (Aij ) = {А Е k : XAij C Aij }.

Очевидно, что Aij являются подгруппам и аддитивной группы k⁺ по ля k (Rij-моду.тп).

Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Пусть H — промежуточная подгруппа, T = T (d) 6 H 6 G = GL(n,k), содержащая элементарную трансвекцию. Положим Ai = A_i1 = A_i1 (H ), i = 2,...,n. Тогда.

• 1)    Подщэуппа H богата трансвекциями, при этом имеет место формула

Г Ai+1-j,     j

|^ ^dAn+i + 1-j , j >  i.

• 2)    Пусть n >  3. Модули Ai, i = 2,... ,n, подгруппы H связаны соотношениями:

Ai A. _c FAi+j-i,      i ⁺ j 6 n ^{+ 1};

^г j    [d Ai+j-i-n, i + j > n + 3.

Число соотношений «верхней» и «нижней» части формулы (2) совпадает и равно [(n^-1 )²] ([ ] — целая часть числа). Число всех соотношений, задаваемых формулой (2) равно ²^

• 3)    Пусть Aij являются Л-модулями (те. Л С Rij для всех i = j). Тогда все кольца множителей совпадают между собой: Rij = R, причем Aij — целый щщал кольца R, Aij С R, 1 6 i = j 6 n.

Замечание. В формулах (2) отсутствует случай, когда i + j = n + 2. Это связано с тем, что по формуле (1) модули Ai и Aj при i + j = n + 2 расположены симметрично относительно главной диагонали (и коммутаторная формула (3) не работает).

Следствие. Пусть H — иромежуточня подгруппа H, T 6 H 6 G, содержащая одномерное преобразование. Тогда подгруппа H богата трансвекциями и для модулей трапсвекцпй Aij. колец мпожптелей Rij подгруппы H справедливы утверждения 1)—3) теоремы.

Напомним, что согласно критерию Эйзенштейна xn — d — неприводимый многочлен степени n над полем k. Этот многочлен определяет радикальное расширение k( nd) степени n основного поля k. Обрат: мультипликативной группы поля k( nd) при регулярном вложении ее в группу автоморфизмов n-мерного пространства K = k( nd) является нерасщепимым максимальным тором T = T (d) (минизотропный тор). Если зафиксировать естественный оазис ei = 6^г-1. 1 6 i 6 n, радикального расширения K = k( nd). 9 = nd, поля K = k(9) над k, то группа автоморфизмов изоморфна полной линейной группе G = GL(n, k), а тор T = T (d) представляет собой матричную группу

T = T(d) = {c(x) = (cij) : x = (xi, X2, • • •, Xn) € kn \ 0}, где

{xi+1-j, dxn+i+ j 6 i;

j > i + 1.

совпадает с матрицей-перестановкой (п) (за исключением позиции (1, n), cin = d). Но так как мы пользуемся только «цикличностью» матрицы с, то (тор T содержит скалярные матрицы) можно считать, что промежуточная подгруппа T 6 H 6 G содержит матрицу-перестановку (п).

Следующее утверждение очевидно.

Лемма 1. Пусть п = (12 . . . n) — цикл длины n. далее, ст = ns. 1 6 s 6 n — 1. Тогда порядок |ст| эдем опта ст равен ⁿ

(n,s) ’ где (n,s) = НОД (n, s) причем этот порядок совпадает с наименьшим m. для которого стт(1) = 1: |ст| = min{m : стт(1) = 1}.

Предложение 1. Пусть ст = nk^-1 = (12 . . . n)^k-1, 2 6 k 6 n. Тогда переменные x_k в матрице с = (cij ) = c(x) (п соответствеиио модули Ak ) находятся па позициях (ст(i)’i). 1 6 i 6 n. Точнее.

x k , c^-'* =      ’

n >  ст(i) > i; ст(i) < i 6 n,

A-., , = |

Ak, n >  ст(i) > i; dAk, ст(i) < i 6 n.

C Доказательство вытекает iтз формулы (1) и того, что ст(i) — i = k — 1 щ>n ст(i) >  i ii ст(i) — i = k — n — 1 njin ст(i) < i. B

Предложение 2. Пусть ст = nk^-1 = (12 . . . n)^k-1, 2 6 k 6 n. Предположим, что ст² (1) = 1 (что эквивалентно согласно лемме 1 тому' что q =| ст |= 2, или ст² = (1)). Тогда

A-(1),1 A1,--¹ (1) A--¹ (i),--²^ 1 A- ²(1),--³(1)

• ^{. . . A}- 'q ²⁾ (1).- ^,q 0 (1) ^A-^-(q-1) (I).- ^q (1) — ^A-(1),1.

C Доказательство вытекает из последовательного применения коммутационной формулы (3) (здесь используется условие ст2(1) = 1) и предложения 1. B

Замечание. Условие |ст| = 2 в предложении 2 возеюжио лишь в случае n = 2m. k — 1 = m.

Предложение 3. Пусть n нечетно, или n = 2m, k = m + 1. Тогда

^A^ — Ak, где q = |ст|. ст = nk-1. npiтем t 6 q — 1-

C Доказательство вытекает из предложений 1 и 2, при этом нужно заметить, что ст(1) = ст^-(^^-1)(1) = k. ст-q (1) = 1. A-(1).1 = A--(q-l) (1).--q(1) = Ak. B

Из предложения 3 непосредственно вытекает следующее предложение.

Предложение 4. Пусть n нечетно, или n = 2m, k = m + 1. Toгда Ak — целый идеал кольца R = R(A_k ). A_k — R = R(A_k ).

Следующее предложение легко выводится из упражнения 4 [7, с. 92].

Предложение 5. Пусть поле k является полем частных области главных идеалов А, далее. R — промежуточпое подкольцо Л — R — k. Тогда R является также областвю главных идеалов, причем R = S ^-1Л, ут,е S — мультипликативная система, порожденная множеством простых Pr :

Pr = (p € P : 3 a € R, (a,b) = 1, p|b|, где P — множество все.в простых кольца Л.

Лемма 2. Пусть n — четно, n = 2m > 4. Тогда Am+1 С R(A2).

C Им сем A2Am+i С Am+2. dAm+2 Am+i С A2. откуда d(Am+1 )² С R2 = R(A2). Следовательно. Am+1 С R(A2). B

Лемма 3. Пуств A -Амод.ель. A С k. R(A) — кольцо мнойжителей модуля A. Пуств. далее. R_i — промежуточное подкольцо. Л С R_i = 5^-1Л С k. Тогла

• 1)    ее. th A С R_i. то R = R(A) С R_i:

• 2)    ее.та rR_i С A С R_i (r е R_i ). то R = R(A) = R_i.

C 1) Пусть T = (A)ring — подкольцо поля k. порожденное нодулем A (ясно, что T также является Л-модулем). О невидно, что T С R_i (так как R_i — кольцо). Далее, очевидно, что R = R(A) С R(T ). причем, так как T — кольцо, то T С R(T ) 1i T — идеал кольца R(T ). содержащего Л (так как T являетея Л-модутем). Следовательно. R(T ) = S^-1Л. T = qS^-4 С R1. Отсюда (так как T С Ri S2 С 5ц 1 R = R(A) С R(T ) = 5^-1Л С 5^-1Л = R_i.

• 2)    Согласно 1) мы имеем R = R(A) С R1. Далее, так как A С R_i. т о rR_iA С rR_iR_i С rRi С A. откуда rRi С R(A) 11. следовате.тыю. rRi С R(A) С R1. Так как R(A) — кольцо с 1 л Л С R(A), (A Л-моду.ть). то R(A) = S^—1Л. Но теж как rR1 С R(A) = S^—1Л, то S1 С S3 R1 С R(A). II вновь из 1) мы имеем R1 = R(A). в

Предложение 6. Пусть n = 2m, k = m + 1. Toгда Am+1 — целый идеал кольца R = R(Am+i). Am+1 С R = R(Am+i).

C Согласно (2) и лемме 2 мы имеем

• A2 • Am С Am+i С R = R(A2).                          (*)

Далее, согласно предложению 4 A2, Am — целые идеалы колец R(A2) и R(Am) со-ответствеппо. Л С R(A2),R(Am) С k. Согласно предложению 5 R(A2) = 5-1Л. R(Am) = Sm1Л. Тогда с опасно (*) Sm С S2 11 A2 • Am — идеал ко.твпа R(A2). Сле довательно. из (*) II предложения о мы имеем rR(A2) С Am+i С R(A2).

Таким образом, согласно лемме 3 мы имеем R(Am+1) = R(A2) и, в частности, Am+1 С

R=R(Am+1 *• B                                                        ..

с Доказательство теоремы. 1) Этот пункт теоремы вытекает из [3, 6].

• 2)    Из коммутаторного соотношения

[tir(a),trj(в)] = tij(ав), i= j,i = r, r = j,(3)

следует включение

Air • Arj С Aij.(4)

С помощью включения (4) и формулы (1) рассмотрим возможные случаи и соответствующие им соотношения:

j

r < j < i --У dAi+i-r An+r+i-j С Ai+i-j, j < i < r --У dAn+i+i-r Ar+i-j С Ai+i-j , i < r < j  V dAn+i+1-r An+r+1-j C An+i+1—j,(8)

r < i < j --V Ai+1-rAn+r+1-j C An+i+1-j,(9)

i < j < r --V An+i+1-rAr+1-j C An+i+1-j •

Положив в формуле (о) s = i + 1 —r. t = r + 1-j: в формуле (9) s = i + 1 —r. t = n+r + 1-j:

в формуле (10) s = n + i + 1 — r, t = r + 1 — j, тогда мы получим первую (верхнюю)

часть формулы (2). Положив в формуле (6) s = i +1 — r, t = n + r +1 — j; в формуле (7) s = n + i + 1 — r. t = r + 1 — j; в формуле (8) s = n + i + 1 — r. t = n + r + 1 — j. тогда мы получим вторую (нижнюю) часть формулы (2). Число соотношений, определяемых формулой (2) вычисляется несложно.

• 3)    Если n = 2, то доказательство теоремы вытекает из [1, 2]. Поэтому мы будем предполагать, что n > 3. Из предложений 4 и С следует, что Ak — полый идеал кольца Rk = R(A_k). Ak C Rk = R(A_k). 2 6 k 6 n. Из (2) мы имеем

A₂ • Ai C A_i+1, 2 6 i 6 n — 1.

Отсюда в силу предложения 5 (так как Ai — целый идеал кольца Ri) следуют включения: R₂ C R3 C ... C Rn. Аналогично, из (2) мы имеем

An • Ai C Ai-1,   3 6 i 6 n, а потому Rn C Rn-1 C ... C R2. Отсюда R2 = R3 = ... = Rn. B