Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе

Пусть Я и $ - банаховы пространства; оператор L Е С^З) (т.е. линеен и непрерывен), а оператор М Е С1^Х\^ (т.е. линеен, замкнут и плотно определен). Введем в рассмотрение L-резольвентное множество p^L (М) = {ц Е С : (pL — М)~^х Е £(5;Я)} и L-спектр ct^l (JVT) = С \ р^М^ оператора М [1]. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. [1] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален справа и слева. Тогда существуют проекторы Р Е £(Я) и Q Е С^ такие, что операторы L Е £(ker P;ker Q) А £(imP; imQ) и M Е CZ(ker Р; ker Q) A CZ(imP; imQ).

Замечание 1. Теорема 1 верна и в случае (Т,р)-секториальности оператора М, но при дополнительном требовании рефлексивности пространств Я и 5 (теорема Яги - Федорова).

Теорема 2. [2] Пусть cr^L(M) = <т^(М) U сг^М), причем ст^М^ содержится в ограниченной области Q С С с кусочно гладкой границей Э9. и ЭП Па^ь(М) = Ф. Тогда существуют проекторы Pm Е £(Я) и Qm Е Т(5') такие, что операторы L Е £(ker Pi_n; ker Qm) A T(imP_in; imQjn) и M E CZ(kerP_m;kerQ^) ACZ(imP_m;im(2_in).

Проекторы Pm и Qm имеют вид

Pin =   /Ri(MW, Qin = ^ [RpWdp,

2тп                            л-кг '

где контур 7 = dEL

Следствие 1. Пусть выполнены условия теорем 1 и 2. Тогда РтР = РРт = Pm « QinQ = QQm ⁼ Qin-

Положим Р_еж = Р — Рщ, в силу следствия 1 Р_ех Е £(Я) - проектор. Возьмем Т Е R+, ио, ит Е Я и рассмотрим задачу

РехНО") ~ «о) = 0, Рщ(и(Т) - и_т) = 0                     (1)

для линейного уравнения Соболевского типа

Ьй = Ми + /.                               (2)

Вектор-функцию и € (7¹((0, Т);11) П <7([0,Т];11), удовлетворяющую уравнению (2), назовем его решением; решение и = u(t) уравнения (2) назовем решением задачи (1), (2), если lim P_ex(u(f) — un) = 0 и lim Pi_n(u(t) — ut) = 0.

i->0+ t^T-

Теорема 3. [3] Пусть оператор M (Ь,р)-секториален, выполнены условия Я0 ф 111 = 11, 3ю Ф З1 = 5 и условия теоремы 2, существует оператор L^1 Е £(31;Н1)- Тогда для любых uq,ut Е В и вектор-функции / = f^t), t Е [0, Т], такой, что f° Е (7Р([О,Т];30) П С'Р+1((0,Т);3°), fw Е <7([0, ТфЗ”1), /еж Е ^([О,^;^®), существует единственное решение задачи (1), (2), которое к тому otce имеет вид и^^-^ош^^Чгни^ит- R^rWs-VU^P В£ГЖ 9=0

Здесь R*„ = (2тгг)-¹ J(pL - M^e^dp, R^ = Р_еж(2тг?)-¹ j (pL - M^e^dp.

История задачи (1) начинается с одной стороны в [4], где она названа задачей Веригина, а с другой стороны и независимо - в [5], где она названа задачей сопряжения. Однако в обоих случаях вместо относительно спектральных проекторов Р^ и Р_ех рассматриваются спектральные проекторы оператора L, причем L вдобавок предполагается самосопряженным. Наш подход основан на концепции относительного спектра, предложенной Г.А. Сви-ридюком. Первые результаты в этом направлении изложены в [6], где рассмотрен частный случай задачи (1), причем с более жесткими, чем здесь, условиями на L-спектр оператора М. В [7] рассмотрена задача (1), но для тех же условий на L-спектр оператора М, что и в [6], однако для (£,р)-ограниченного оператора М отмечена возможность большего произвола в относительно спектральных условиях. В [8] результаты [7] распространены на случай (L, р)-радиального оператора М. Нам кажется, наиболее удобным эту задачу называть начально-конечной задачей.

Пусть теперь G = G(Q3;6), где 21 = {К} - множество вершин, а £ = {РД - множество ребер, - конечный связный ориентированный граф, причем каждое его ребро Ei имеет длину l_t Е R+ и площадь поперечного сечения d₃ Е R^. На графе G рассмотрим линейные уравнения в частных производных

Xu₃t Ujt_xx = 0и_зхх — 3XXXX + ^uj + f₃. (3)

Дифференциальные уравнения на графах - сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие XX века, первая монография - в 2004 г. [9]. Уравнения Соболевского типа на графах впервые были рассмотрены в 2002 г. [10]; первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002 - 2005 гг. [11]. Обобщенная задача Шоуолтера - Сидорова была рассмотрена в 2006 г. [12]. Заметим еще, что уравнения (3) относятся к эволюционным [13], так как их линейные дифференциальные операторы порождают разрешающую полугруппу, в то время как линейные операторы, рассмотреных в [11] динамических уравнений, порождают разрешающие группы.

Нас интересуют решения задачи (1), (2), удовлетворяющие следующим условиям:

Uj(0, Z) = u_k(0, t) = u_m(l_m, Z) = w_n(Z_n, Z), (4) где E₃,E_k E E“^\E_miE_n E Е^ш^Е^а^^ - множество ребер с началом (концом) в вершине %);

' d₃u_3$^₁t^ ^ ' d_ku_kx(l_k,t) ⁼ 0; (5) Е^Е»^ Е_кбЕ"№

С.А. Загребина, Н.П. Соловьева

IJ — 'U’kxxvbt) — 'U-mxxvmiH — ипхх^п, *),                   (w где Ej,Ek E Еа(УгуЕт,Еп E Еш(угу

52 djUj_XXX(0, t) 5 , ЙкИкхххУк,^ — 0}                  (7)

EjGE"^          ЕкЕЕ«^

с нормой ll«L 5 V d3 I (ujxxxx + ^jxxx + ^jxx + U3X + U^dX. Ej Ge 0

Все пояснения по физическому смыслу этих условий можно посмотреть в статье П.О. Пивоваровой в данном Вестнике.

Введем в рассмотрение банаховы пространства 5 = ^9 = (91,92, •••, Vj, •••) ^: 9) € ^(0, ЦУУ Я = {it = (ui,«2, •••,«j, ■••) : Uj Е W^ (0, lj) и выполняются (4), (5)} с нормой

Ь ы? = 52 d31 i^+«^+^)^

EjGs q и зададим оператор А : it —> (—М1ЖЖ, —«2^,—^жж,...), А Е £(Я;3'). Возьмем А Е R и построим оператор L = А + А. По построению оператор L Е £(U;$), а его спектр <т(£) = {Л + Х^, где {А^} собственные значения оператора А, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности.

Наконец, введем в рассмотрение еще одно банахово пространство domM = {it Е Я : Uj Е W2 (0,/₇) и выполняются условия (4) - (7)}. Формулой В : и ^ (ui_xxxx,U2xxxx, —,Ujxxxx,...) зададим оператор В Е £(domM;S) и <т(В) = {А^}. Возьмем а,Р,^ Е R и построим оператор М = —РА — аВ + 7. По построению оператор М Е £ (domM; 5), а значит М Е С/(Я;3').

Лемма 1. При любых а Е R+ и ^,7, А Е R таких, что либо —А ^ с(А), либо —А Е ст(А) it —А не является корнем уравнения аа² + ра — ч = 0, оператор М сильно (Ь,0)-секториаден.

Тогда L-спектр оператора М oLW = Lfc =              : k eN\{Z : A + A, = 0}} вещественен, дискретен и сгущается только к +оо. Это значит, что выполняются условия теоремы 2, причем для любого замкнутого контура 7 Е С, ограничивающего область, содержащую конечное множество точек из сть(Му и непересекающегося с аь^М\ Итак, все условия теоремы 3 выполнены, и поэтому справедлива

Теорема 4. При любых а Е R+, Р, А Е R, Т Е R, любой вектор-функции f Е С'¹([0, Т], 5) it любых начальных, конечных значениях uq, ut € Я, существует единственное решение задачи (1) для уравнения (3) с условиями (4) - (1).

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе.