Начально-конечная задача для линейной стохастической модели Хоффа

В [1] впервые было рассмотрено линейное стохастическое уравнение соболевского типа

Ldu = Mudt + NdW

с начальным условием Коши. Здесь операторы L, M , N Е L (U; F), где U и F — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства, а оператор M (L,p)-ограничен, p Е { 0 } U N. Между тем было отмечено, что для уравнений соболевского типа более ≪ естественным ≫ (по сравнению с условием Коши) являются другие начальные условия, например условие Шоуолтера – Сидорова [2]. В [3] впервые была рассмотрена начально-конечная задача, ошибочно названная ≪ задачей Веригина ≫ . Впоследствии ошибка, дезориентирующая многих исследователей, была исправлена. Начально-конечное условие

P in (u(0) — U o ) = P fin (u(T ) - U t ) = 0, т Е R ₊ ,

где P in , P fin Е L (U) — относительно спектральные проекторы, было использовано во множестве случаев, имеющих прикладное значение (см. обзор [4]), и даже было применено в теории оптимального управления [5]. Поскольку условие (2) приобретает все большую популярность [6], то предлагается впредь именовать его ≪ условием Свиридюка – Загребиной ≫ ради купирования возможной путаницы.

(SZ)

Заметим, что P in + P fin = P — единица разрешающей группы однородного уравнения (1). Кроме того, (SZ) гарантирует существование проекторов Q in , Q fin Е L (F), которые в сумме равны единице Q группы, порожденной однородным уравнением (1) на F.

В последнем слагаемом правой части (1) символом W = W(t) обозначен F-значный K -винеровский процесс

∞

W (t) = E х v вк (t)Vk, к=0

t E R + , где { в к (t) } — последовательность независимых броуновских движений, { Л к } — последовательность собственных значений самосопряженного и положительно определенного ядерного оператора K E L (U), занумерованных по невозрастанию с учетом их кратности, а { ^ к } — последовательность собственных векторов.

В дальнейшем считаем оператор M (L, 0)-ограниченным, а также выполненным условие

QN = N.

( * )

Следуя идеологии [1], [4], выпишем ≪ мягкое решение ≫ (mild solution) задачи (1), (2)

u(t) = U in U o + S in [ U^ s L - l Q in NW(s)ds + L ^{- 1} QNW(t) +

J o t-T        U-EsL-1QfmNW(slds fin      fin      fin fin fin                 fin fin         .

Теорема 1. Пусть оператор M (L, 0)-ограничен и выполнены условия (SZ) и (*). Тогда для любых независимых друг от друга и от K -винеровского процесса W U -значных гауссовых случайных величин u o и и _Т существует единственное решение u E CL 2 задачи (1), (2).

Пусть теперь G = G (V, E) — конечный связный ориентированный граф, где V = { V i } -множество вершин, а E = { E i } — множество ребер, причем каждое ребро E j имеет длину l j E R ₊ и площадь поперечного сечения d j E R + . В вершинах V графа G зададим условия ≪ непрерывности ≫ и ≪ баланса потока ≫ соответственно

U j (0, t) = и к (0, t) = U m (l m , t) = U n (l n , t),E j , E k E E ^a (V), E m , E n E E (V i ),        (3)

52    d j U jx (0,t) -

52     d k и кх (1 к , t) = 0,

ИЕЕ/ ( V i )

j : E j e E “ ( V i )

где через E ^а(ш) (^) обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине V i , t E R. Если граф состоит из одного нециклического ребра (т.е. вершин у графа две), то условие (3) отсутствует, а условие (4) превращается в условие Неймана. Если же ребро циклическое (т.е. вершина у графа одна), то условия (3), (4) превращаются в условия согласования. Заметим еще, что в контексте условий (3), (4) ≪ отсутствовать ≫ не значит ≪ быть равным нулю ≫ . Например, если в вершину V i все ребра ≪ входят ≫ , то первые два равенства в (3) и уменьшаемое в (4) именно ≪ отсутствуют ≫ , а не равны нулю.

Теперь на графе G с условиями (3), (4) рассмотрим линейную стохастическую модель Хоффа

Лdu j + du jxx = au j dt + N j dW j ,                          (5)

описывающую динамику выпучивания двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой в конструкции со случайным внешним воздействием. Здесь случайный процесс U j = U j (x,t), (x,t) E (a, b) x R, характеризует отклонение j-той балки от положения равновесия; параметры Л E R + , a E R характеризуют нагрузку и свойства материала балок, dW j = dW j (t) отвечает случайной нагрузке на j-ю балку (аддитивный белый шум).

Чтобы редуцировать (3) – (5)

к (1), введем в рассмотрение гильбертово пространство

G W2(0,l j ), и выполнено (3) } со скалярным произве-

U = { u = (u i , U2,..., U j ,...) : U j l j дением ( u,v ) = £ dj [(u jx V jx

+ U j V j )dx. Затем построим еще одно гильбертово про-

E j GE 0

странство L 2 ( G ) = { g = (g i , g2,..., g i ,...) : g i G L 2 (0,l j ) } . со скалярным произведением l j

(g, h) = ^^ d j / g j h j dx, причем заметим плотность и непрерывность (даже компактность) E j ^GE 0

вложения U ^ L 2 ( G ). Отождествим L 2 ( G ) со своим сопряженным, и через F обозначим сопряженное относительно двойственности (• , •) пространство к U. Очевидно, F - гильбертово пространство, причем вложение U ^ F компактно.

l j

Фиксируем a G R + и формулой ( Au, v ) = ^^ d j / (u jx V jx - au j V j )dx определим оператор E j ^GE 0

A : U ^ F. Поскольку ci||u||U < (Au,u) < C2^u^U при всех u G U и некоторых ck G R+, k = 1, 2, то линейный оператор A : U ^ F биективен и непрерывен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора A-1 : F ^ U. Поскольку вложение U ^ F компактно, то оператор A-1 G L(F) является компактным. Значит, спектр оператора A вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го. Более того, (Au, u) > const||u||U, где || • ||и - норма пространства U. Отсюда следует, что спектр a(A) С R+. Наконец, фиксируем

• a, A G R и построим операторы L = (А — a)I + A, M = a(aI + A). Справедлива

Лемма 1. (i) При любых a, A G R операторы L, M G L (U; F), причем спектр a(L) оператора L вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к + го .

• (ii) При любых a, A G R \ { 0 } оператор M (L, 0)-ограничен.

Пусть { v k } - собственные значения оператора L, занумерованные по невозрастанию с учетом их кратности; а { ^ k } - соответствующие им ортонормированные в смысле L 2 ( G ) функции. Построим проекторы и разрешающую группу задачи (3) – (5) соответственно

P ■{

I, если 0 G ^(L);

I — Е ( • , V k Nk, если 0 G a(L);

V k =А—a

Q = I

I, если 0 / o(L);

I — Е ( • ,V k )V k , если 0 G a(L);

A k = A — a

∞

U t = ^y^kt( •     )v k ,                               (6)

k =1

где штрих у знака суммы означает отсутствие членов ряда с номерами k такими, что V k = А + а. (Заметим, что, несмотря на « похожесть » , проекторы P и Q определены на разных пространствах).

Теперь у нас все готово для определения свободного члена в правой части уравнения (1) по правым частям уравнений (5). Вернемся к оператору A, и в качестве оператора K возьмем оператор Грина A ^{- 1} . Его собственные значения A k = (v k — а) ^—1 , занумерованные по невозрастанию, сходятся к точке нуль. Асимптотическое поведение собственных чисел { v k — а } оператора A изучено плохо, поэтому мы нуждаемся в гипотезе

V k ~ k ² при k ^ го ,                                 (7)

которая заведомо выполняется, если граф G представляет собой цепочку последовательно соединенных ребер. Считая, что (7) выполнено, заключаем, что K – ядерный оператор.

Наконец, построим K -винеровский процесс

∞ w (t) = E ‘V^k ek(t)^k,                              (8)

k=i где штрих означает то же самое, что и в (6). В силу леммы 1 существование этого штриха гарантирует выполнение (*).

Стало быть, все символы абстрактного решения определены и значит, справедлива

Теорема 2. Пусть a, A G R \ { 0 } . Тогда для любой U-значной случайной величины u g , независимой от K -винеровского процесса (8) существует единственное мягкое решение задачи (2) – (5).

В заключение объясним свободные члены уравнения (5). По построению пространство L 2 ( G ) является конечной прямой суммой попарно ортогональных подпространств. Обозначим через П , ортопроектор на j-ое подпространство. Так вот, W j = H j W , где W = W (t) (8).