Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява
Автор: Замышляева Алена Александровна
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 37 (254), 2011 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява. Проводится редукция к абстрактной начально-конечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.
Уравнения соболевского типа, n-функции, начально-конечная задача
Короткий адрес: https://sciup.org/147159108
IDR: 147159108
Текст научной статьи Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява
Рассмотрим уравнение Буссинеска – Лява [1]
(A — A)u tt = a(A — Ar)u t + в(А — A ‘‘ )u + f, (1)
описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом поперечной инерции и при внешней нагрузке, где параметры A, A ’ , A ’’ G R, a > 0, в > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра λ не противоречат физическому смыслу.
Задачу Дирихле для уравнения (1) удается в подходящих банаховых пространствах редуцировать к абстрактному уравнению соболевского типа [2]
Av = BiV + Bov + f. (2)
Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для такого уравнения. Термин ≪ начально-конечная задача ≫ появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временн´ого промежутка [0,T], а другая часть – в конце. Первоначально такая задача называлась ≪ задачей сопряжения ≫ и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [3],[4]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа второго порядка.
В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных M,N -функций [5]. В п.2, следуя [3], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.3 посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (1).
1. Вырожденные M, N-функциии задача Шоуолтера – Сидорова
Пусть V и G - банаховы пространства, операторы A, B1,Bo Е L (V; G). Обозначим через
B пучок операторов Bi и Bo.
Определение 1. Множества p A (B ) = ^p Е C : (p2 A — pBi — Bo)
1 Е L (G; V) } и
Заметим, что множество p A (B ) всегда открыто, поэтому A-спектр a A (B ) пучка B всегда замкнут.
Определение 2. Оператор-функцию R A (I3 ) = (p2A — pB1 — Bo) p A (B ) будем называть A-резольвентой пучка B.
^
1 с областью определения
A-резольвента пучка B всегда аналитична в своей области определения.
Определение 3. Пучок операторов B называется полиномиально ограниченным относительно оператора A (или просто полиномиально A-ограниченным), если
З а Е R+ V p Е C ( | p | > а) ^ (R A (B ) Е L (G; V)).
Если существует оператор A - 1 Е L (G; V), то пучок B полиномиально A-ограничен.
Если ker A Q( Q ker B k ) = { 0 } , то пучок B не будет полиномиально A -ограниченным.
k =0
Зафиксируем 7 = { p Е C : | p | = r > a } - контур, ограничивающий круг, содержащий o- A (B ). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок 13 полиномиально A-ограничен, то можно потребовать, что
j r M (B)dp = O.
(A)
γ
Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор A - 1 Е L (G; V) или оператор B1 = O (уравнение неполное), то условие (A) выполняется; а если оператор A = O и существует оператор B - 1 Е L (G; V), то нет.
Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:
P = -1. [ pR A (B)Adp, Q = 1- [ pAR A (B)dp.
2пг J ^ 2кг J ^
γ
γ
Лемма 1. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено условие (А).Тогда операторы P Е L ( G) и Q Е L ( G) — проекторы.
Положим V0 = ker P, G0 = ker Q, V1 = im P, G1 = im Q. Из леммы следует, что V = V0 ф V1, G = G0 ф G1. Через A k (B ^ ) обозначим сужение оператора A (B i ) на V k , k,l = 0,1.
Теорема 1. Пусть пучок B ^ полиномиально A-ограничен и выполнено условие (А).Тогда действия операторов расщепляются:
-
(i) A k E L (V k ; G k ), k = 0,1;
-
(ii) B k E L (V k ; G k ), k,l = 0,1;
-
(iii) существует оператор (A1) - 1 E L (G1; V1);
-
(iv) существует оператор (B0) - 1 E L (G0; V0).
Теперь рассмотрим уравнение соболевского типа второго порядка
Av = BiV + Bov. (3)
Вектор-функцию v E C 2(R; V) назовем решением уравнения (3), если оно обращает его в тождество. Решение v = v(t) уравнения (3) называется решением задачи Шоуолтера -Сидорова , если
P (v(0) - vi) = 0, P (v(0) - vo) = 0, (4)
Определение 4. Оператор-функцию V • E C “ (R; L (G)) будем называть пропагатором уравнения (3), если для любого v E V вектор-функция v(t) = V t v будет решением этого уравнения.
Рассмотрим семейства операторов
Vi t =
Л [ RA(B)Ae^dp,t E R, 2ni J ^
γ
t
V0
=--- f R A (B )(^A — B 1 )e^td^,t E R.
2ni J ^
γ
Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (3). Причем если контур y C p A (B ) и ограничивает область Г, такую, что a A (B) П Г = 0 , то в силу теоремы Коши V t = V t = O при всех t E R, и утверждение очевидно.
Определение 5. Семейства M * ,N • : R ^ L (V) называются семейством вырожденных M, N -функций уравнения (3), если
-
(i) M • и N • — пропагаторы уравнения (3);
-
(ii) M0 = N 0 = O; M 0 = N 0 = P.
Теорема 2. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, выполнено условие (A). Тогда существует единственное семейство вырожденных M, N -функций уравнения (3), причем M t = V0 t , N t = V1 t .
Определение 6. Определим семейство операторов { K q 1, K q 2 } следующим образом:
K0 = O, K0 = I
K11 = H0, K2 = — Hi
K q 1 = K q 2 - 1H0, K q 2 = K qL i — K q 2 - i H,q = 1, 2, ...
Определение 7. Точка ∞ называется
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
-
(i) устранимой особой точкой A-резольвенты пучка B, если K1 = K2 = O;
-
(ii) полюсом порядка p Е N A-резольвенты пучка B, если K ps = O, при некотором s, но K p . 1 = O, при любом s = 1, 2;
-
(iii) существенно особой точкой A-резольвенты пучка B, если K p 2 = O при любом p Е N.
-
2. Абстрактная начально-конечная задача
Замечание 1. В дальнейшем, если пучок B ^ полиномиально A-ограничен, выполнено условие (A) и го является полюсом порядка p Е { 0 } U N его A-резольвенты, будем говорить, что пучок B (A, р)-ограничен.
Теорема 3. Пусть пучок B (A,p)-ограничен. Тогда при любых V k Е V,k = 0,1, существует единственное решение задачи (3), (4), представимое в виде: v(t) = M t Pvi + N t Pvo-
Пусть V и G - банаховы пространства, операторы A, Bi,Bo Е L (V; G). Рассмотрим уравнение соболевского типа
Av = B1v + Bo v + f. (5)
Если пучок B ^ полиномиально A-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из теоремы 2, существует единственное семейство вырожденных M, N -функций однородного уравнения (5). Пусть выполнено следующее условие:
A-спектр пучка B a A (B) = <7A(B ) U ^(B), причем a A (B) = 0 , k = 0,1; и существует контур Yo C C, ограничивающий область Го C C такую, что Го П - (B ) = a A (B ), Го П ^ A (B)= 0 .
(B)
(Ao)
Тогда существует оператор
P in = ^ [^R A (B)Ad^ Е L(V).
2ni J ^
γ 0
Потребуем выполнение еще одного условия j rA(B w = o.
γ 0
Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (B), (Ao). Тогда P in - проектор, причем P in P = PP in = P in .
Построим оператор P ex = P — P in Е L (V). В силу леммы 2 оператор P ex - проектор, причем P in P ex = P ex P in = O. Возьмем произвольные векторы v0, v0, v T , v T Е V. Решение v = v(t) уравнения (5) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим условиям:
P ex (v(0) — v0) = 0, P ex (v(0) — v0) = 0; P in (v(T) — v T ) = 0, P in (v(T ) — v T ) = 0.
Заметим, что если a A (B) = 0 , то P ex превращается в задачу (4), (5).
= O и P in = P . Тогда задача (6) для уравнения (5)
Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:
N in = [ R A (B )A^d^,t £ R,
2ni
γ 0
Mt n = ^ [ RA (B )(^A - Bx)^,t £ R.
2ni J p
γ 0
Оба семейства хоть и не являются семейcтвом вырожденных M, N -функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (ii)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.
Лемма 3. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (B), (Ao). Тогда
-
(i) M i • n и N i • n – пропагаторы уравнения (5);
•
•
(ii)N0 = M0 = O,N? n = M0 = P in -
Далее, построим семейства операторов Mj tx = M t — M in , N ^x = N t — N in .
Лемма 4. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (B), (A0)- Тогда
(i) M e • x и N e • x – пропагаторы уравнения (5);
(ii)N e 0 x = MM0 x = O, Ni x = M e 0 x = P ex -
Теорема 4. Пусть пучок B (A,p) -ограничен, и выполнены условия (B), (Ao). Тогда для любых T £ R, v0,v T £ V, k = 0,1, вектор-функции f = f(t), t £ [0,T], такой, что f0 = (I - Q)f £ C p +1([0,T];F0) П C p+2 ((0,T ];F0), f in = Q in f £ C([0,T ]; F in ), f ex = Q ex f £ C ([0, T]; F ex ) существует единственное решение v = v(t) задачи (5), (6), которое к тому же имеет следующий вид:
v(t) = - ^ K 2 q (B0)
q =0
+ f Re-sf ex(s)ds — Г RVfin (s>, 0t где Rtn = 2ni / RA(B)e^td^, R = ^ni /rA(B)Ae^, Rex = Rt — R^.
γ 0
γ
Заметим, что если T = 0, то задача (6) превращается в задачу (4).
-
3. Начально-конечная задачадля уравнения Буссинеска – Лява
Пусть Q С R n — ограниченная область с границей dQ класса C ^ . Введем в рассмотрение пространства V = {v £ W2(Q) : v(x) = 0, x £ д Q} и G = L2(Q)- Простанство V — банахово с нормой
n
+ ^ vXk + v2)dx, k=1
n
(E vx™
Ω k,l =1
а пространство G — гильбертово со скалярным произведением (• , •) . Формулой
n
( Lv, w ) ^С / V x k x k wdx,v,w £ V, k =1 Ω
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ зададим оператор L : V ^ G. Справедлива
Теорема 5. [6] Оператор L G L (V; G), его спектр a(L) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке -го .
Обозначим через { X k } множество собственных значений оператора L, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через ϕ k – множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле G. Положим A = X - L,B1 = a(L - X ' ),Bo = в(L - X '' ). Имеет место
Теорема 6. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:
-
(i) X / { X k } ;
-
(ii) (X G{ X k }Л (X = X ' );
-
(iii) (X G { X k } ) Л (X = X ' ) Л (X = X '' ).
Тогда при любых а, в G R \ { 0 } пучок B полиномиально A-ограничен.
Доказательство заключается в изучении A -спектра пучка B^ . Во всех случаях A -спектр пучка B^ составляют решения уравнений
(X - X k )^2 + a(X ' - X k )^ + в (X '' - X k ) = 0, k G N.
Рассмотрим A -спектр пучка B^ в зависимости от ситуации.
-
(i) a A (B ) = Lk’ 2 = a(X k - X ' ) ± ^ a 2 (X ' - X k ) 22 - 4e(X - X k )(X '' - X k ) : k G N } •
2( X - X k )
-
(ii) a A (B) = {^ , 2 : k G N \{ l : X = X i }} U ^1 = в^ - X/) : X = Xi} ’
-
(iii) o A (B ) = { ^ k’ 2 : k G N \{ l : X = X i }} .
-
7.—• У^ (( X - X k )^2 + a ( X ' - X k )^ + в ( А ' - X k )) 1 (> V k ) V k d^ =
Замечание 2. Как нетрудно показать, в случае (А G {X k } ) Л (Л = X' = Л ’’ ) пучок B не будет полиномиально A -ограниченным.
Следствие 1. [5] Пусть выполнено условие либо (i), либо (iii) теоремы 6. Тогда при лю бых а, в G R \ { 0 } имеет место условие (А), причем го — устранимая особая точка A-резольвенты пучка B .
Замечание 3. В случае (ii) теоремы 6
1 г _^_
2кг /
γ k =1
v ^Vk>Vk а(Л' - Xk) = O λk=λ и поэтому условие (А) не выполняется.
Итак, в силу теоремы 6 и следствия 1 в случаях (i), (iii) пучок B (A, 0)-ограничен.
Поэтому построим семейства вырожденных M, N -функций уравнения (2):
∞ µ 1k t
M t = у' —- k =1 µ 1 k
e µ 2k t
2 (• , V k ) V k , µ 2 k
AT t _ у ' ( ^ k ( X - X k ) + а ( Л ' - X k ) " k=1 I (X - XkЫ - ^ k )
, В 2( А — А к ) + а ( А ‘ — А к ) \
+ k ( А - A t 2 - „ к ) ' > ^
где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что А = А к . Кроме M, N -функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы P и P in . Построим проектор P :
I, если выполнено (i);
Р =
1 XI ( " ’^ к ) ^ к ’
если выполнено (iii).
Для построения проектора P in выберем область Го С C, содержащую конечное множество точек A-спектра a A (B) и такую, что дГо Q a A (B) = 0 . Как нетрудно видеть, область Го можно выбрать такой, что дГо = Yo — контур. По рецептам п.3 построим проектор
Ро = Е • λ i k
Здесь {A ik} = a A (B ) Q Го, A ik = А к , где к такое, что А к = А.
Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (2). В цилиндре Q х (0, T), T Е R+ рассмотрим уравнение
(А — A)v tt = а(А — A ‘ )v t + в(А — A ‘‘ )v + f (t),
выберем произвольно векторы v®, v T Е V, к = 0,1. Решение v = v(t) уравнения (8) назовем решением начально-конечной задачи, если
P ex (v(0) — v0) = 0, P ex (v(0) — V°) = 0;
P in (v(T) — v) = 0, P in (v(T) — v T ) = 0.
Здесь P ex = P — P in .
По рецептам п.2 построим вырожденные M in , N in -функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов K элементов множества λ i k . Тогда
Min = E k∈K
e^k — e ^ k t В к — Д
Д^ к ) Е к ’
Nt ^ / В к ( А — А к ) + а ( А ‘ — А к )
in = ^KV (А — А к )(в к — В к )
А к )e ^ k t) (- ’^ к > №•
+ В 2( А — А к ) + а ( А ‘ — ■ ( А — А к )( в 1 — В 2)
Теперь в силу теоремы 4 и следствия 1 имеет место
Теорема 7. При любых а, в Е R \ { 0 } и А Е R таком, что выполнено условие либо (i), либо (iii) теоремы 6, и любых T Е R+, v^, v ^ Е V, к = 0,1, существует единственное решение задачи (8),(9), которое к тому же имеет вид (7).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Список литературы Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява
- Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны/Дж. Уизем. -М.: Мир, 1977.
- Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.
- Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера -Сидорова/С.А. Загребина//Изв. вузов. Математика. -2007. -№ 3. -С. 22-28.
- Манакова, И.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Соболевского типа/И.А. Манакова, А.Г. Дыльков//Вестн. Юж,-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование:». -2011. -№17 (234), вып. 8. -С. 113-114.
- Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений Соболевского типа второго порядка/А.А. Замышляева//Вычислит, технологии. -2003. -Т. 8, № 4. -С.45 -54.