Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява

Рассмотрим уравнение Буссинеска – Лява [1]

(A — A)u tt = a(A — A^r)u t + в(А — A ‘‘ )u + f,                      (1)

описывающее продольные колебания упругого стержня с учетом поперечной инерции и при внешней нагрузке, где параметры A, A ’ , A ’’ G R, a >  0, в > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра λ не противоречат физическому смыслу.

Задачу Дирихле для уравнения (1) удается в подходящих банаховых пространствах редуцировать к абстрактному уравнению соболевского типа [2]

Av = BiV + Bov + f.                               (2)

Нашей целью является изучение начально-конечной задачи для такого уравнения. Термин ≪ начально-конечная задача ≫ появился относительно недавно, и отражает тот факт, что при постановке такой задачи для уравнения (1) часть данных задается в начале временн´ого промежутка [0,T], а другая часть – в конце. Первоначально такая задача называлась ≪ задачей сопряжения ≫ и рассматривалась как обобщение задачи с данными на свободной поверхности. Именно в этом контексте была построена теория таких задач для линейных уравнений

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ соболевского типа первого порядка и разработаны приложения этой теории [3],[4]. Мы распространим эти идеи и методы на случай уравнений соболевского типа второго порядка.

В статье кроме Введения и Списка литературы содержится три параграфа. В п.1 приведены основные результаты теории операторных вырожденных M,N -функций [5]. В п.2, следуя [3], изучается абстрактная начально-конечная задача. П.3 посвящен постановке и исследованию начально-конечной задачи для уравнения (1).

1. Вырожденные M, N-функциии задача Шоуолтера – Сидорова

Пусть V и G - банаховы пространства, операторы A, B1,Bo Е L (V; G). Обозначим через

B пучок операторов Bi и Bo.

Определение 1. Множества p A (B ) = ^p Е C : (p² A — pBi — Bo)

¹ Е L (G; V) } и

^a (B ) = C \ p ^A (B ) будем называть A-резольвентным множеством и A-спектром пучка B.

Заметим, что множество p ^A (B ) всегда открыто, поэтому A-спектр a ^A (B ) пучка B всегда замкнут.

Определение 2. Оператор-функцию R A (I3 ) = (p2A — pB1 — Bo) p ^A (B ) будем называть A-резольвентой пучка B.

^

1 с областью определения

A-резольвента пучка B всегда аналитична в своей области определения.

Определение 3. Пучок операторов B называется полиномиально ограниченным относительно оператора A (или просто полиномиально A-ограниченным), если

З а Е R+ V p Е C ( | p | > а) ^ (R A (B ) Е L (G; V)).

Если существует оператор A ^{- 1} Е L (G; V), то пучок B полиномиально A-ограничен.

Если ker A Q( Q ker B k ) = { 0 } , то пучок B не будет полиномиально A -ограниченным.

k =0

Зафиксируем 7 = { p Е C : | p | = r > a } - контур, ограничивающий круг, содержащий o- ^A (B ). Введем и обсудим одно важное в дальнейшем условие. Если пучок 13 полиномиально A-ограничен, то можно потребовать, что

j r M (B)dp = O.

(A)

γ

Это условие, впервые введенное в [5], оказалось ключевым при рассмотрении уравнений соболевского типа высокого порядка. Заметим, что если существует оператор A ^{- 1} Е L (G; V) или оператор B1 = O (уравнение неполное), то условие (A) выполняется; а если оператор A = O и существует оператор B ^{- 1} Е L (G; V), то нет.

Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено (А). Тогда имеют смысл следующие операторы как интегралы от аналитических оператор-функций:

P = -1. [ pR A (B)Adp, Q = 1- [ pAR A (B)dp.

2пг J     ^                2кг J ^

γ

γ

Лемма 1. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнено условие (А).Тогда операторы P Е L ( G) и Q Е L ( G) — проекторы.

Положим V⁰ = ker P, G⁰ = ker Q, V¹ = im P, G¹ = im Q. Из леммы следует, что V = V⁰ ф V¹, G = G⁰ ф G¹. Через A k (B ^ ) обозначим сужение оператора A (B i ) на V k , k,l = 0,1.

Теорема 1. Пусть пучок B ^{^} полиномиально A-ограничен и выполнено условие (А).Тогда действия операторов расщепляются:

• (i)    A k E L (V ^k ; G k ), k = 0,1;

• (ii)    B ^k E L (V ^k ; G k ), k,l = 0,1;

• (iii)    существует оператор (A¹) ^{- 1} E L (G¹; V¹);

• (iv)    существует оператор (B⁰) ^{- 1} E L (G⁰; V⁰).

Теперь рассмотрим уравнение соболевского типа второго порядка

Av = BiV + Bov.                                 (3)

Вектор-функцию v E C 2(R; V) назовем решением уравнения (3), если оно обращает его в тождество. Решение v = v(t) уравнения (3) называется решением задачи Шоуолтера -Сидорова , если

P (v(0) - vi) = 0, P (v(0) - vo) = 0,                              (4)

Определение 4. Оператор-функцию V • E C “ (R; L (G)) будем называть пропагатором уравнения (3), если для любого v E V вектор-функция v(t) = V t v будет решением этого уравнения.

Рассмотрим семейства операторов

Vi t =

Л [ RA(B)Ae^dp,t E R, 2ni J ^

γ

t

V0

=--- f R A (B )(^A — B ₁ )e^^td^,t E R.

2ni J ^

γ

Как показано в [5], оба эти семейства являются пропагаторами уравнения (3). Причем если контур y C p ^A (B ) и ограничивает область Г, такую, что a ^A (B) П Г = 0 , то в силу теоремы Коши V t = V t = O при всех t E R, и утверждение очевидно.

Определение 5. Семейства M * ,N • : R ^ L (V) называются семейством вырожденных M, N -функций уравнения (3), если

• (i)    M ^• и N ^• — пропагаторы уравнения (3);

• (ii)    M⁰ = N ⁰ = O; M ⁰ = N ⁰ = P.

Теорема 2. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, выполнено условие (A). Тогда существует единственное семейство вырожденных M, N -функций уравнения (3), причем M ^t = V₀ ^t , N ^t = V₁ ^t .

Определение 6. Определим семейство операторов { K _q ¹, K _q ² } следующим образом:

K0 = O, K0 = I

K1¹ = H0, K² = — Hi

K q ¹ = K q ² - 1H0, K q ² = K qL i — K q ² - i H,q = 1, 2, ...

Определение 7. Точка ∞ называется

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

• (i)    устранимой особой точкой A-резольвенты пучка B, если K1 = K2 = O;

• (ii)    полюсом порядка p Е N A-резольвенты пучка B, если K ps = O, при некотором s, но K p . 1 = O, при любом s = 1, 2;

• (iii)    существенно особой точкой A-резольвенты пучка B, если K p 2 = O при любом p Е N.

• 2.    Абстрактная начально-конечная задача

Замечание 1. В дальнейшем, если пучок B ^{^} полиномиально A-ограничен, выполнено условие (A) и го является полюсом порядка p Е { 0 } U N его A-резольвенты, будем говорить, что пучок B (A, р)-ограничен.

Теорема 3. Пусть пучок B (A,p)-ограничен. Тогда при любых V k Е V,k = 0,1, существует единственное решение задачи (3), (4), представимое в виде: v(t) = M t Pvi + N t Pvo-

Пусть V и G - банаховы пространства, операторы A, Bi,Bo Е L (V; G). Рассмотрим уравнение соболевского типа

Av = B1v + Bo v + f.                               (5)

Если пучок B ^{^} полиномиально A-ограничен, и выполнено условие (А), то, как следует из теоремы 2, существует единственное семейство вырожденных M, N -функций однородного уравнения (5). Пусть выполнено следующее условие:

A-спектр пучка B a ^A (B) = <7A(B ) U ^(B), причем a ^A (B) = 0 , k = 0,1; и существует контур Yo C C, ограничивающий область Го C C такую, что Го П - (B ) = a A (B ), Го П ^ A (B)= 0 .

(B)

(Ao)

Тогда существует оператор

P in = ^ [^R A (B)Ad^ Е L(V).

2ni J    ^

γ 0

Потребуем выполнение еще одного условия j rA(B w = o.

γ 0

Аналогично лемме 1 можно получить следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (B), (Ao). Тогда P in - проектор, причем P in P = PP in = P in .

Построим оператор P ex = P — P in Е L (V). В силу леммы 2 оператор P ex - проектор, причем P in P ex = P ex P in = O. Возьмем произвольные векторы v0, v⁰, v T , v T Е V. Решение v = v(t) уравнения (5) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим условиям:

P ex (v(0) — v0) = 0, P ex (v(0) — v0) = 0; P in (v(T) — v T ) = 0, P in (v(T ) — v T ) = 0.

Заметим, что если a A (B) = 0 , то P ex превращается в задачу (4), (5).

= O и P in = P . Тогда задача (6) для уравнения (5)

Введем в рассмотрение следующие семейства операторов:

N in =     [ R A (B )A^d^,t £ R,

2ni

γ 0

Mt n = ^ [ RA (B )(^A - Bx)^,t £ R.

2ni J ^p

γ 0

Оба семейства хоть и не являются семейcтвом вырожденных M, N -функций в смысле определения 5 (так как не удовлетворяют условию (ii)), но тем не менее обладают рядом полезных свойств.

Лемма 3. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (B), (Ao). Тогда

• (i)    M _i ^• _n и N _i ^• _n – пропагаторы уравнения (5);

  •

  
  

  •

  
  

(ii)N0 = M0 = O,N? n = M0 = P in -

Далее, построим семейства операторов Mj tx = M t — M in , N ^x = N t — N in .

Лемма 4. Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и выполнены условия (A), (B), (A0)- Тогда

(i) M _e ^• _x и N _e ^• _x – пропагаторы уравнения (5);

(ii)N _e ⁰ _x = MM0 x = O, Ni x = M _e ⁰ _x = P ex -

Теорема 4. Пусть пучок B (A,p) -ограничен, и выполнены условия (B), (Ao). Тогда для любых T £ R, v⁰,v T £ V, k = 0,1, вектор-функции f = f(t), t £ [0,T], такой, что f⁰ = (I - Q)f £ C ^{p +1}([0,T];F⁰) П C ^p+2 ((0,T ];F⁰), f in = Q in f £ C([0,T ]; F in ), f ex = Q ex f £ C ([0, T]; F ^ex ) существует единственное решение v = v(t) задачи (5), (6), которое к тому же имеет следующий вид:

v(t) = - ^ K ² q (B0)

q =0

+ f Re-sf ex(s)ds — Г RVfin (s>, 0t где Rtn = 2ni / RA(B)e^td^, R = ^ni /rA(B)Ae^, Rex = Rt — R^.

γ 0

γ

Заметим, что если T = 0, то задача (6) превращается в задачу (4).

• 3.    Начально-конечная задачадля уравнения Буссинеска – Лява

Пусть Q С R n — ограниченная область с границей dQ класса C ^ . Введем в рассмотрение пространства V = {v £ W2(Q) : v(x) = 0, x £ д Q} и G = L2(Q)- Простанство V — банахово с нормой

n

+ ^ vXk + v2)dx, k=1

n

(E vx™

_Ω k,l =1

а пространство G — гильбертово со скалярным произведением (• , •) . Формулой

n

( Lv, w ) ^С / V x k x k wdx,v,w £ V, k =1 _Ω

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ зададим оператор L : V ^ G. Справедлива

Теорема 5. [6] Оператор L G L (V; G), его спектр a(L) вещественен, отрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке -го .

Обозначим через { X k } множество собственных значений оператора L, занумерованных по невозрастанию с учетом кратности, а через ϕ _k – множество соответствующих собственных функций, ортонормированных в смысле G. Положим A = X - L,B1 = a(L - X ' ),Bo = в(L - X '' ). Имеет место

Теорема 6. [5] Пусть выполнено одно из следующих условий:

• (i)    X / { X k } ;

• (ii)    (X G{ X k }Л (X = X ' );

• (iii)    (X G { X _k } ) Л (X = X ' ) Л (X = X '' ).

Тогда при любых а, в G R \ { 0 } пучок B полиномиально A-ограничен.

Доказательство заключается в изучении A -спектра пучка B^{^} . Во всех случаях A -спектр пучка B^{^} составляют решения уравнений

(X - X k )^² + a(X ' - X k )^ + в (X '' - X k ) = 0, k G N.

Рассмотрим A -спектр пучка B^{^} в зависимости от ситуации.

• (i)    _a A (B ) = Lk’ 2 = ^a(X k - ^X ' ) ± ^ ^a 2 ^(X ' ^- X k ^{) 2}2 ^- 4^e(X - ^X k ^)(X '' - ^X k ) : k G N } •

2^{( X - X} k )

• (ii)    a ^A (B) = {^ ^{, 2} : k G N \{ l : X = X i }} U ^1 = в^ - X/) ^: X = Xi} ’

• (iii)    o ^A (B ) = { ^ k’ 2 : k G N \{ l : X = X i }} .

• 7.—•    У^ ^{(( X - X} k )^2 ^{+ a ( X} ' ^{- X} k )^ + ^{в ( А} ' ^{- X} k )) 1 (> V k ) V k d^ =

Замечание 2. Как нетрудно показать, в случае (А G {X k } ) Л (Л = X' = Л ’’ ) пучок B не будет полиномиально A -ограниченным.

Следствие 1. [5] Пусть выполнено условие либо (i), либо (iii) теоремы 6. Тогда при лю бых а, в G R \ { 0 } имеет место условие (А), причем го — устранимая особая точка A-резольвенты пучка B .

Замечание 3. В случае (ii) теоремы 6

1 г _^_

2кг /

_γ k =1

v ^Vk>Vk а(Л' - Xk) = O λk=λ и поэтому условие (А) не выполняется.

Итак, в силу теоремы 6 и следствия 1 в случаях (i), (iii) пучок B (A, 0)-ограничен.

Поэтому построим семейства вырожденных M, N -функций уравнения (2):

^{∞ µ 1}k ^t

M t = у' —- k =1 ^{µ 1} k

e ^{µ 2}k ^t

2 (• , ^V k ) ^V k , _µ 2 _k

AT t _ ^у ' ( ^ k ^{( X} - ^X k ) ^{+ а ( Л} ' - ^X k ) " k=1 I  (X - XkЫ - ^ k )

, В 2^{( А — А} к ) ^{+ а ( А} ‘ ^{— А} к )            \

⁺ k ( А - A _t    2 - „ к )        '     > ^

где штрих у знака суммы означает отсутствие членов с номерами к такими, что А = А к . Кроме M, N -функций для постановки начально-конечной задачи необходимы проекторы P и P i_n . Построим проектор P :

I, если выполнено (i);

Р =

¹ XI ⁽ " ’^ к ) ^ к ’

если выполнено (iii).

Для построения проектора P in выберем область Го С C, содержащую конечное множество точек A-спектра a A (B) и такую, что дГо Q a A (B) = 0 . Как нетрудно видеть, область Го можно выбрать такой, что дГо = Yo — контур. По рецептам п.3 построим проектор

Ро = Е • λ ⁱ _k

Здесь {A ik} = a ^A (B ) ^Q Го, A ik = А к , где к такое, что А к = А.

Теперь у нас все готово для постановки и изучения начально-конечной задачи для уравнения (2). В цилиндре Q х (0, T), T Е R+ рассмотрим уравнение

(А — A)v tt = а(А — A ‘ )v t + в(А — A ‘‘ )v + f (t),

выберем произвольно векторы v®, v T Е V, к = 0,1. Решение v = v(t) уравнения (8) назовем решением начально-конечной задачи, если

P ex (v(0) — v0) = 0, P ex (v(0) — V°) = 0;

P in (v(T) — v) = 0, P in (v(T) — v T ) = 0.

Здесь P ex = P — P in .

По рецептам п.2 построим вырожденные M i_n , N i_n -функции. Для этого введем в рассмотрение множество индексов K элементов множества λ ⁱ _k . Тогда

Min = E k∈K

e^k — _e ^ k t В к ^— Д

Д^ к ) Е к ’

_Nt   ^ / В к ^{( А — А} к ) ^{+ а ( А} ‘ ^{— А} к )

in = ^KV (А — А к )(в к — В к )

^{А к )}e ^ k t) (- ’^ к > №•

+ ^В 2^{( А — А} к ) ^{+ а ( А} ‘ ^— ■ ^{( А — А} к ^{)( в} 1 ^{— В} 2)

Теперь в силу теоремы 4 и следствия 1 имеет место

Теорема 7. При любых а, в Е R \ { 0 } и А Е R таком, что выполнено условие либо (i), либо (iii) теоремы 6, и любых T Е R+, v^, v ^ Е V, к = 0,1, существует единственное решение задачи (8),(9), которое к тому же имеет вид (7).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ