Начально-краевая задача с интегральными граничными условиями для одного класса уравнений составного типа

Пусть Ω – ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты, бесконечно дифференцируемой) границей Γ, Q – цилиндр Ω × (0, T) конечной высоты T, S = Γ × (0, T ) его боковая граница, a4 (x), bi (x, t), bi (x, t), (i, j = 1,...,n), a(x), b(x, t), f (x,t), и K(x,y, t) - заданные при x eQ, y eQ, t e[0, T] функции, A, B и L - операторы, действие которых на функцию v(x, t) определяется равенствами

^Av =     ⁽ ai ^{( x} ) ^vx. ) ⁺ a ^{( x} ) ^v ,

5xi

Bv = bi (x, t) vx,x, + bi (x, t) vx. + b (x, t) v, iji

Lv = Avtt + Bv

(здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от i до n ).

Краевая задача: найти функцию u ( x , t ) , являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lu = f (x, t)(1)

и такую, что для нее выполняются условия

u(x,0) = ut (x,0) = 0, x eQ,(2)

u(x, t) |( x, t )e S=^K(x, y, t)u(y, t) dy |( x, t )eS.

Краевые задачи с интегральным граничным условием вида (3) прежде всего для параболических и гиперболических уравнений, для (2 m + 1) -параболических уравнений, ультрапараболических уравнений активно изучаются в последнее время; как наиболее близкие к настоящей работе по постановке и технике отметим работы [1–7]. С другой стороны, уравнение (1) близко по типу к уравнениям составного типа и, в частности, содержит известное уравнение Буссинеска [8], но краевые задачи с граничным условием (3) интегрального вида для таких уравнений ранее не изучались.

Перейдем к содержательной части работы.

Определим оператор M равенством

( Mu )( x , t ) = u ( x , t ) - ∫ K ( x , y , t ) u ( y , t ) dy ,

Ω для удобства значение оператора M на функции u(x,t) обозначим как w(x,t) .

Пусть V есть следующее пространство функций

V ={v(x,t):v(x,t)∈L2(0,T;W22(Ω)),vt(x,t)∈L2(0,T;W22(Ω)), vtt(x,t) ∈ L2(0,T;W22(Ω))}, норму в этом пространстве определим естественным образом

|| v || ^V = || v || L ₂(0, T ; W ₂²( Ω )) + || v ^t || L ₂(0, T ; W ₂²( Ω )) + || v ^tt || L ₂(0, T ; W ₂²( Ω )) .

Введем обозначение

Φ ( x , t , u ) = ∫ K ( x , y , t ) a ( y ) u_tt ( y , t ) dy + ∫ K ( x , y , t ) A _{0 y}u_tt ( y , t ) dy +

Ω

Ω

+ ∫ K ( x , y , t ) B_yu ( y , t ) dy - ∫ A_xK ( x , y , t ) u_tt ( y , t ) dy - 2 ∫ A_xK_t ( x , y , t ) u_t ( y , t ) dy -

Ω

Ω

Ω

Ω где

- ∫ A_xK_tt ( x , y , t ) u ( y , t ) dy - ∫ B_xK ( x , y , t ) u ( y , t ) dy ,

Ω

∂ ij∂

A_xu =      ( a^ij ( x ) u_x ) + a ( x ) u , A_yu =      ( a^ij ( y ) u_x ) + a ( y ) u ,

∂xi            j                       ∂yi

∂ ij                                  iji

A _{0 y}u = _{∂ y} ( a^ij ( y ) u_yj ), B_xu = b^ij ( x , t ) u_xixj + bⁱ ( x , t ) u_xi + b ( x , t ) u , B_yu = b ^ij ( y , t ) u_yiyj + b ⁱ ( y , t ) u_yi + b ( y , t ) u .

Заметим, что для функции v ( x , t ) из пространства V , такой, что v ( x ,0) = v_t ( x ,0) = 0, v ( x , t ) | _S = 0,

(2')

(3')

имеют место следующие неравенства

n

n

∫ v ² ( x , t ) dx ≤ R ₁ ∑∫ v _x ² _i ( x , t ) dx ≤ R ₂ ∑∫ v _x ² _ixj ( x , t ) dx ,

Ω

i = 1 _Ω

i , j = 1 _Ω

в которых постоянные R ₁ и R ₂ определяются областью Ω,

τ

τξ

v ² ( x , t ) ≤ T ∫ v _ξ ² ( x , ξ ) dξ ≤ T ² ∫∫ v _z ² _z ( x , z ) dzdξ .

Положим

N(x,y,t) =K(x, y, t)a(y) -AxK(x, y, t), m = max   N2(x, y,t)dydx,m = max max   [K(x, y, t)aij(y)]2dydx,

• ¹    0 ≤ t ≤ T                                        ² i , j = 1,..., n 0 ≤ t ≤ T

ΩΩ                       ΩΩ m3 = max max   [K(x, y,t)aij (y)]2dydx, m4 = max max   Kx2 (x, y, t)dydx,

• i ,    j = 1,..., n 0 ≤ t ≤ T                              ^yi                                  i , j = 1,..., n 0 ≤ t ≤ T             ⁱ

ΩΩ                            ΩΩ

• m = max max K ² ( x , y , t ) dydx .

• ⁵ i , j = 1,..., n 0 ≤ t ≤ T           ^xixj

ΩΩ

Утверждение 1. Пусть w(x,t) есть функция из пространства V , для которой выполняются условия (2') и (3'), u(x,t) есть функция M-1w, и пусть выполняются условия aij(x) ∈ C1(Ω), bij(x,t) ∈ C(Ω), bi(x, t) ∈ C(Ω), i, j = 1,

...

, n ,

a(x) ∈ C(Ω), b(x, t) ∈ C(Ω), K(x, y,t) ∈ C3(Ω×Ω× [0; T]), b0 j w2 (x, t) dx  0, t e [0; T], u(x, t) e L2 (0, T; W2 (n)).

Тогда справедливо неравенство

J Ф 2( X, t, u ) dx < k 1 £ J w 2^ ( y, t) dy +k 2 £ J w( y, t) dy + n                          i, j=1n                           i=1 n t                            n tτ

+k3 J wt( y, t) dy+C2(J J wT y,T) dyd 1 SJ J J wyy..( y ,£) dydd + n                   0 n                  i,j=10 0 n n tτ                                   tτ

+ У J J w^ (y, ^)dyd^dT + J J J w^ (y, ^)dyd^dT), i=10 0 n                        0 0 n где k1 , k2 и k3 есть соответственно величины

2 m ₂( n ² + n )(1 + 5 ^ )(1 + 5 2 ), 2 m ₃( n ² + n )(1 + 5 ₁² )(1 + 5 ₃²) и

2 b ₁ m ₁(1 + 5 ₁)(1 + 5 ₁²)(1 + 5 ₂²)[ m ₁ + ( n ² + n )( m ₂ m 5 (2 + 5 42 ) + m ₃ m 4 (2 + 5 ₃²))], с произвольными сколь угодно малыми положительными числами δ ₁ , δ ₂ , δ ₃ и δ ₄ , C ₂ есть число, определяемое коэффициентами операторов A и B, числами δ ₁ , δ ₂ , δ ₃ , δ ₄ , а также функцией K ( x , y , t ) .

Доказательство. Учитывая введенные обозначения и используя неравенства Гельдера и Юнга, нетрудно получить следующее неравенство

J Ф ²( x , t , u ) dx <  (1 + 5 ²)[ m ₁ J u 2 ( x , t ) dx +

n

n

nn

+ 2m2 (n2 + n) S J uX x tt (x, t)dx + 2m3 (n2 + n)S J uX tt (x, t)dx] + i, j=1n                                          i=1 n

n

Sf ui„

V ¹ , j ^{= 1} n

n

\

i ^{= 1} n            n           n          7

где постоянная C ₁ определяется лишь коэффициентами операторов A и B , а также числом δ и функцией K ( x , y , t ).

Имеет место следующее равенство ut (x, t) - J K (x, y, t) ut (y, t) dy = wt (x, t) + J Kt (x, y, t) u (y, t) dy.

nn

Обозначим через w ₁( x , t ) правую часть данного равенства.

Учитывая условие (6), получаем

J u 2 ( x , t ) dx <  b ₁ J w 2 ( x , t ) dx .

n

n

Используя неравенство Гельдера, а также условие (6), оценим w ₁²( x , t ) :

<

^w 1 ^{2( x} , t ) = w t V

( x , t ) + J K t ( x , y , t ) u ( y , t ) dy . n                   7

< 2 w 2 ( x , t ) + 2 J K t ²( x , y , t ) dy J u ²( y , t ) dy <

n

n

< 2 w 2 ( x , t ) + 2 b 1 J K t ²( x , y , t ) dy J w ²( y , t ) dy .

n

n

Отсюда

I U 2 ( x, t ) dx <  2 b 1 J w 2 ( y , t ) dy + 2 b 2 J K ( x, y , t ) dy J w ² ( y , t ) dy.

n

n

nn

Справедливы равенства

U tt ( x , t ) - J K ( x , y , t ) u_tt ( y , t ) dy = w_tt ( x , t ) +

n

+ 2 J Kt (x, y, t) Ut (y, t)dy + J Ktt (x, y, t) и (y, t) dy, nn uxtt (x, t) = Wx,t (x, t) + ]T J Kx (x, y, t) Utt (у, t)dy + i=1 n

+ ² ^L J K xt ( x , y , t ) U_t ( y , t ) dy + jh J K xtt ( x , y , t ) и ( y , t ) dy , i = 1 n                                    i = 1 n

Uxt^n (x, t) = wxxjtt (x, t) + j^ J Kx^ (x, y, t) Utt (y, t) dy + i, j=1n

+ 2 ]L J Kxxt (x, y, t) Ut (y, t) dy + jh J Kxixjtt (x, y, t) U (y, t) dy, i, j=1n

i , j = 1 n

из которых, используя (8), нетрудно получить следующие неравенства:

n

n

n

I U 2 ( x , t ) dx <  b 1 (1 + 5 2 ) |

n

\

w 2 ( x , t ) dx + d 1 J w 2 ( x , t ) dx + J w ² ( x , t ) dx ,

n

У[ U 2 _tt ( x, t ) dx <  (2 + 5 2 ) ^J w x _tt ( x, t ) dx + (2 + 5 3 ²)(1 + 5 ₂²) b 1 m ₄ J w 2 _t ( x, t ) dx +

i = 1 n

i = 1 n

n

\

+ d ₂ J W 2 ( x, t ) dx + J w ( x , t ) dx , V n          n         2

n

n

Я и² ( x, t ) dx <  (2 + 5 2 ) У (wL„ ( x , t ) dx + (2 + 5 2 )(1 + 5 2 ) b m_; [ w² ( x, t ) dx + x _i x _j tt                       4             x _i x _j tt                      4          2 1 5 tt

i = 1 n

i , j = 1 n

n

+ d 3 J w^x,t ) dx + J w ²( x,t ) dx I .

V n           n         2

Здесь d ₁ , d ₂ и d ₃ – постоянные, зависящие от функции K ( x , y , t ). Используя полученные оценки (8) – (11) и неравенства (4), (5), продолжим (7)

n

J Ф ²( x , t , U ) dx <  2 m ₂ ( n ² + n )(1 + 5^ )(2 + 5 4 2 ) ^ J w^ tt ( y , t ) dy +

n

i , ^j = 1 n

n

+ 2 m 3(n 2 + n )(1 + 512 )(2 + 532)S J w 2_tt (y, t) dy + i=1 n

+ 2 b1 m1(1 + 512)(2 + 522)[ m1 + (n2 + n)(m 2 m 5(2 + 542) + n tτ

+ m 3 m ₄

( t

⁽² + ⁵ 2 ^))] J w tt ⁽ y , t ) dy + C 2 J J w T ⁽ y , ^T ) dyd ^T +

n n tτ

V 0 n tτ

\

⁺ SJJJ w ^v y ,^) ^dyd^d ^{T +} S J J J ^w^ ⁽ y , ^) ^dyd^^{d T + +} J J J w' ⁽ y , £ ) dyd^^{d T} ,

i . j = 10 0 n

i = 1 0 0 n

0 0 n

где постоянная C ₂ определяется функцией K ( x , y , t ) , а также постоянными δ ₁ , δ ₂ , δ ₃ и δ ₄ . Утверждение доказано.

Ниже нам понадобится второе основное неравенство для эллиптических операторов [11]

nn

^J ^v 2 ( x , t ) dx + ^J v x j x , t ) dx <  c 0 ¹¹ Av ^ ( П ) + c 1 || v € 2 ( Q ) ,        ⁽¹²⁾

‘=1 П                    ‘, j=1Q в котором числа c0 и c 1 определяются лишь оператором A и областью П.

Теорема 1. Пусть выполняются условия a4(x) g C*(Q), a4(x) = aj(x), i, j = 1,...,n, x gQ, K(x,y, t) g C3(QxQx [0;T]), aj (x )^. > kо | £ |2, kо > 0, a (x) < - a о < 0, ^ g R, x g П,     (13)

b ₀ J w ²( x , t ) dx < J u ²( x , t ) dx < b 1 J w ²( x , t ) dx , b ₀ >  0,

n

n

n

t g [0; T ], u ( x , t ) g L ₂ (0, T ; W ² ( П )) ( w = Mu ),

--+ — < min 2 a ₀ 2

_^; k ⁰ ; ^0. ( 4 k 1 c ₀ k ₂ 4 k ₃

.

Тогда краевая задача (1)-(3) имеет решение u ( x , t ) , принадлежащее пространству V , и это решение единственно.

Доказательство. Пусть g(x, t) есть произвольная функция из пространства L2(Q) . Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию u(x,t) , являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Lw = g(x, t) + Ф(x, t, u), w = Mu,(16)

удовлетворяющую условиям

w( x, t )|( x, t )g s = 0,(17)

w(x,0) = wt(x,0) = 0, xgQ.(18)

Уравнение (16) представляет собой уравнение "составного типа" относительно функции u ( x , t ) – его старшая часть представлена в виде суперпозиции двух операторов различных типов. С другой стороны, вследствие взаимной однозначности оператора M , вытекающей из условия (14), уравнение (16) можно рассматривать как уравнение относительно функции w ( x , t )

Lw = g ( x , t ) + Ф ( x , t , M ^{- 1} w ).                     (19)

Найдя решение w ( x , t ) данной задачи, т.е. задачи (16) – (18), вновь вследствие взаимной однозначности оператора M , мы сможем найти и собственно функцию u ( x , t ) .

Пусть λ есть число из отрезка [0, 1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию u ( x , t ) , являющуюся в цилиндре Q решением краевой задачи

Lw = g ( x , t ) + Л Ф ( x , t , u ),                     (16 _я )

и удовлетворяющую условиям (17), (18).

Обозначим для краткости:

F ( x , t ) = g ( x , t ) + Л Ф ( x , t , u ).

Обозначим через Л множество тех чисел X из отрезка [0,1], для которых краевая задача (16 _я ), (17), (18) имеет решение w ( x , t ) , принадлежащее пространству V для любой функции g ( x , t ) из L ₂ ( Q ) . Известно [9], что если множество Л не пусто, открыто и замкнуто, то оно совпадает со всем отрезком [0, 1].

Непустота множества Л следует из того, что задача (16 0 ), (17), (18) разрешима в пространстве V [10].

Открытость и замкнутость Л следуют из априорной оценки [9]

II wll v < K .

Установим ее наличие.

Умножим уравнение (16 _я ), записанное в переменных x и т , на функцию - w _T ( x,т ), результат проинтегрируем по области n и по переменной т в пределах от 0 до t :

t

t

t

- J J Aw _TT w _T dxdr = J J Bww_Tdxck - J J Fw _T dxck.

0 n

0 n

0 n

Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, а также условия (14) и (15), нетрудно получить следующее неравенство

n k 0 ZJ wx,t i=1 n

(‘

( x , t ) dx + a ₀ J w 2 ( x , t ) dx <  P 1 J J w 2 ( x , т ) dxdT +

n

V 0 n

+ ZL J J w x , x j ⁽ x , T ) dxdT + i , j = 1 0 n

t

\

2 ^t

tee .                  5 ²

J J g (x,T)dxdT + + T

0 n

JJ ф ² ( x , τ , u ) dxdτ , (20) 0 n

где число δ ₁ – произвольное положительное число, P ₁ есть число, определяющееся коэффициентами оператора B , а также областью n и числом 5 1 .

Далее, умножим уравнение (16 _я ), записанное в переменных x и т , на функцию - w _TT ( x,т ), результат проинтегрируем по области n и по переменной т в пределах от 0 до t :

t

t

t

- J J Aw _TT w _TT dxd r = J J Bww_{T T} dxdr - J J Fw _TT dxdr.

0 n

0 n

0 n

Интегрируя по частям и оценивая правую сверху, используя неравенства (4), (5), неравенство Юнга, условия (13), (14), получаем следующую оценку nt k 0 zJj w

¹=1 0 n

I nt..

t

t

'2„ ( x , t ) dxdT + a ⁰ [ [ w 2 ( x , t ) dxdT < 5₂ ² [ w 2 ( x , t ) dxdT + x i ττ                  2 ττ                          ττ

0 n

0 n

^{+ P} Z J J wX j ⁽ x , ^T ) ^{dxd T +} V i , j = 1 0 n

J J g 2 < x , ^T ) dxdT 1+ 21-

t

\

0 n

t

JJ ф 2 ( x , t , u ) dxdT. (21)

0 0 n

Теперь для получения оценок умножим уравнение (16 _λ ), записанное в переменных x и τ , на Aw _τ и затем на Aw _ττ , интегрируя и используя неравенство Юнга, имеем

n

t

V    ^1

t

t

I J J ( Aw _T ( x , t ) ) ² dxdT +

0 n

\

t

+ P 3 J J W 2 x ( x , t ) dxdT + JJ g 2 ( x , t ) dxdT + § 1 JJ ф ²( x , t , u ) dxdT,

V 0 n

0 n

7      0 n

1 ^{t                                                  t}

— J J (AwTT(x, t))2dxdT < 52 J J (AwTT(x,t))2dxdT +

I        t.

^{+ P} 2 Z J J w xx ⁽ x , ^T ) ^{dxd T +}

V i , j = 1 0 n

\

J J g ²( ^x , ^T ) ^{dxd T} + ¹

t

0 n

J J ф ²( x , t , u ) dxdT.   (23)

0 n

Здесь δ ₂ – произвольное положительное число, числа P ₂ и P ₃ определяются аналогично числу P ₁. Зафиксируем δ ₂

■ 2         ' I 1 ^a0

.

• 5 , = min —; —

• ²    V 2 2

Тогда из (20) – (23) вытекает неравенство ва

n k 0 Ejw i=1 n

nt

’ x _t ( x , t ) dx + a ₀ j w_t ²( x , t ) dx + k ₀ E j j w x "  ( x ,т ) dxd" +

n

_a t ₁ + "z° j j W " ( x , т ) dxdT + j ( Aw t ( x , t ) ) ² dx + —

0 n

t

n nt

< P 4 j j w 2 ( x , т ) dxdT + E j j w 2ixj ( x , т ) dxdT + к 0 n                       i , j = 1 0 n

i = 1 0 n

t j j(AwTT(x,т))2dxdT <

0 n

t

jj g ²( x , t ) dxdT +

0 n

t

+ 1 + П(AwT(X,T))2^ + к di 70 n

35_x ²     1     1

+--+_

2   2 a₀ 2

jj ф ²( x ,т, u ) dxdr.

' 70 n

Полученное неравенство можно продолжить, используя утверждение 1

n k 0 Ej w i=1 n

nt

’ x _t ( x , t ) dx + a ₀ j w_t ²( x , t ) dx + k ₀ Ej j w x "  ( x ,т ) dxd" +

n

i = 1 0 n

a t                                                1

+ "z° j j w " ( x , т ) dxd" + j ( Aw t ( x , t ) ) ² dx + —

0 n

t

n nt

< P 4 j j w² ( x , т ) dxd" + E j j W x _x ( x , т ) dxd" + к 0 n                       i >  j = 1 0 n

t j j(Aw"x,т))2dxd" < 0n

t

jj g ²( x ,т ) dxd" +

r

t

+ 1+E jj(AwT(x,"))2dxdr + к °1 7 о n

("+i+1 ] к      au0 ^y

n

0 n

t

Ejj ^w j i , ^j = 10 n

. ( y ,т ) dydr +

nt k2 Ejj w2" i=1 0 n

+

t

t

( y , т ) dyd r + k 3 j j w " y , т ) dyd r + k 4 j j w ² ( y , т ) dydr

0 n                   0 n

k 5 j j w ²( у , т ) dyd" + C ₂

0 n

^ nt ^т

Ejjj ^w "yps ⁽ y , ^ ) dyd^d" ⁺ к i , j = 1 00 n

+

_n t τ                                   t τ

+ E j j j w y i ss ( y , p ) dydpd" + j j j w ^ ( y , p ) dydpd"

i = 1 00 n                       00 n                   7

Число P ₄ определяется числами P ₂ и P ₃ . Уменьшим число δ ₁ так, чтобы выполнялись неравенст-

a ₀

—

f 3d(2     1    1)

++- к 2   2 a 0 2 7

k ₃ >  0, k ₀

—

f 3§x     1    1 7

k2--1---1— > 0,

² к 2   2 a ₀  2 J

—

(это возможно в силу условия (15)).

Отсюда и из неравенства (12) следует, что (24) можно привести к виду

n

k 0 Ej i=1 n

wx. _t ( x , t ) dx + a ₀ j w_t ² ( x , t ) dx

+

k 1 c ₀ >  0

< P 4

f £0 — к 4

3^2     11

++ _ к 2   2a0

\ 7

t

k 3 jj w " ( x,т ) dxd" + +

7 7

0 n

1t j (Awt (x, t))2 dx + — j j (Aw"" (x, т))2 dxd" < n               40 n

f t                  nt j jw2( x ,т) dxd"+E j j wx .xj к 0 n                      i > j =10 n

t                        ^

( x ,т ) dxd" + j j g ²( x ,т ) dxd"

0 n

г

t

+1 1 + -1 j J( Aw_T ( x , t ))² dxdr + к 5 / 0 n

L 3 5 !²    1    1 )

++-к 2   2 a 0 2 /

t k1 c0 j j (AwTT (x,T))2 dxdr+ +

0 n

к

' 3 5 ²    1    1Y,

—L + + - 11 k.

2   2 a 2

t

■ 2 ^- k 0 I c 0 jj⁽ Aw rr ⁽ x ^{, T ) ) 2 dxd T} .

0 n

В результате, учитывая неравенство (25), получим n

t

k 0 ^ j ^wx- ₁ ( x , t ) dx + a 0 j w 2 ( x , t ) dx + a ₁ j j w T ( x ,^T) dxdr +

i = 1 n

+ j ( Aw_t ( x , t ) ) ² dx + a 2 n

n

t

0 n

t

j j ( Aw _TT ( x , т ) ) ² dxdr < P 4 j j w 2 ( x , r ) dxdr +

0 n

к 0 n

nt

⁺ Zjj w x . x/ x , ^T ) ^{dxd T +} i >  j = 10 n

t

0 n

g ⁽ x , ^т ) dxdT + ¹ + -y

/

к

\

t j j (AwT (x, r ))2 dxdT.

¹ / 0 n

Имеет место представление

T w x i xS x , ^T ) = j 0

τξ wx,xj5 (x, ^Ж = j j wxxjnn (x, П)dnd^.

Из этого равенства, вновь из второго основного неравенства для эллиптических операторов и леммы Гронуолла, следует оценка

t

j ( Aw_t ( x , t ) ) ² dx + j j ( Aw _TT ( x,r ) ) ² dxdr < K ₀.

n

0 n

Эта оценка и дает требуемую оценку

II w ll r <  K

Как уже говорилось выше, этого достаточно для разрешимости краевой задачи (16) – (18). Возьмем функцию g ( x , t ) специальным образом: g ( x , t ) = Mf ( x , t ). Имеем

LMu = Mf + Ф или

M ( Lu - f ) = 0. .

В силу взаимной однозначности оператора M отсюда следует Lu = f .

Выполнение условий (2) и (3) для функции u ( x , t ) очевидно. Единственность решений также очевидна.

Теорема доказана.

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости задачи (1) – (3).

Теорема 2. Пусть выполняются условия (13) и (14) теоремы 1, и пусть также выполняется условие интегральное уравнение v (x, t) = Л j K (x, y, t) v (y, t) dy + ф( x, t)

(14')

n однозначно разрешимо в пространстве L2(Q) для всех t из отрезка [0,T] и для всех λ из отрезка [0; 1], и при этом для всех λ из отрезка [0; 1] выполняется неравенство

II v I L 2 ( Q ) < R 1 11 ^ I L 2 ( Q )

с некоторым фиксированным числом R ₁ . Тогда краевая задача (1) – (3) имеет решение u ( x , t ) , принадлежащее пространству V, и это решение единственно.

Доказательство. Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть λ есть число из отрезка [0; 1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти решение урав- нения (1), для которого выполняются условия (2), а также условие и (x, t) кx,t)Es = X J K(x, y, t)и(y, t)dy |(x,t)eS .                  (3λ)

n

Обозначим через Л множество тех чисел X , для которых краевая задача (1), (2), (3 _X ) разрешима в пространстве V для произвольной функции f ( x , t ) из пространства L ₂( Q ) . Если будет доказано, что множество Л не пусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем отрезком [0,1] [9].

Непустота Л очевидна, т.к. число 0 принадлежит ему. Покажем, что множество Л будет открытым. Пусть X q есть число из множества Л . Покажем, что при малых | X | число X ₀ + X также будет принадлежать Л .

Определим множество V ₀ :

V₀ = { v ( x , t ): v ( x , t ) e V , v ( x ,0) = 0, v t ( x ,0) = 0 при x eQ }.

Очевидно, что множество V ₀ есть подпространство пространства V .

Пусть v(x, t) есть произвольная функция из пространства V0 . Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t) являющуюся в цилиндре Q решением уравнения (1), такую, что для нее выполняются условия (2), а также условие u (x, t) kx, t )eS = X J K(x, У, t) u (У, t ) dy kx, t )eS +XJ K(x, У, t) V(У, t) dy kx, t )eS . (3X v ) n                     n

Покажем, что эта задача разрешима в пространстве V .

Пусть v0(x, t) есть функция, являющаяся решением интегрального уравнения vq( x, t) - Xq J K (x, y, t) vq( y, t) dy = XJ K (x, y, t) v (y, t) dy.      (26)

nn

Заметим, что функцияv0(x, t) определена корректно, она будет принадлежать пространству V , и при этом будут выполняться равенства v0(x,0) = 0, v01 (x,0) = 0 (вследствие условий (13) и (14'), а также равенств v(x,0) = 0, vt(x,0) = 0). Положим w = (x, t) = и (x, t) - иq (x, t), f (x, t) = f (x, t) - Lv0 (x, t).

Имеют место равенства

Lw = f ( x , t ), ( x , t ) e Q , w ( x ,0) = w_t ( x ,0) = 0, x eQ , w ( ^x , t ) k x , t ) e S = ^ 0 J ^{K ( x} , y , t ) w ( y , t ) dy k x , t ) e S ^. n

Эти равенства представляют собой краевую задачу (1), (2), (3 _{λ ,0}) ; поскольку функция f ( x , t ) принадлежит пространству L ₂ ( Q ) и поскольку число X₀ принадлежит множеству Л , то данная краевая задача разрешима в пространстве V ₀ . Возвращаясь к функции u ( x , t ) , получим, что краевая задача (1), (2), (3 _{λ , v} ) имеет решение u ( x , t ) , принадлежащее пространству V ₀ . Другими словами, данная краевая задача порождает оператор G , переводящий пространство V₀ в себя: G ( v ) = и . Покажем, что при малой величине | λ | у оператора G имеются неподвижные точки.

Пусть v ₁( x , t ) и v ₂( x , t ) есть произвольные функции из пространства V ₀ .

Положим и 1 = G ( v 1 ), и ₂ = G ( v ₂), и = и 1 - и ₂, v = v 1 - v ₂. Имеют место равенства

Lu = f ( x , t ), и ( x ,0) = u_t ( x ,0) = 0, x eQ , и ( x , t ) | ( x , t ) e S - X ) J K ( x , y , t ) и ( y , t ) dy = X J K ( x , y , t ) v ( y , t ) dy.

n

n

Перейдем к функции w ( x , t ) . Имеем

Lw ( x , t ) = - Lv ₀ ( x , t ), w ( x ,0) = w_t ( x ,0) = 0, x e П .

Справедливо неравенство

II wIV0 < R o||Lv0 IIl 2( Q),(27)

в котором число R ₀ определяется коэффициентами операторов A и B , а также областью О и числом T (доказательство теоремы 1).

Оценим || Lv ₀ || _{L ( Q )} . Имеем

• Vo(x, t) - A) JK(x,У, t)Vo(У, t)dy = A JK(x,У, t)v(У, t)dy.(28)

ОО

Из условия (14') и уравнения (26) следует справедливость оценки ~

|l v 0 |l L ₂( Q )<1 ^A I ^R 2 |l v |l L ₂( Q ) .

Переходя от уравнения (28) к уравнению для производных v _{0 t} ( x , t ), v _{0 x} ( x , t ), v _{0 xx} ( x , t ) и т.д., получим, что аналогичные оценки справедливы и для производных. Отсюда следует, что имеет место неравенство

II v o l ^ < \ A \ R 3 || v | V .                                      (29)

Постоянная R ₃ в этом неравенстве определяется числом R ₁ , а также коэффициентами операторов A и B , областью О и числом T .

Неравенства (27) и (29) дают оценку

II wll v ₀ < IAIR o II v I V .                                  (30)

Если теперь число А настолько мало, что выполняется неравенство IA IR0 < 1, то оператор G бу- дет сжимающим.

Как известно, сжимающий оператор имеет единственную неподвижную точку. Другими словами, существует функция u ( x , t ), принадлежащая пространству V₀ и такая, что G ( u ) = и . Очевидно, что для функции u ( x , t ) выполняются равенства

Lu = f ( x , t ), и ( x ,0) = u_t ( x ,0) = 0, x еО , ^{U (} x , t ) { x , t ) e S = ^{( A} 0 + ^{A )} J ^{K (} x , У , t ) ^{U (} У , t ) dy ^l ( x , t ) e S . О

Другими словами, функция u ( x , t ) является решением краевой задачи (1), (2), (3 _А + a ) , принадлежащим пространству V . А это и означает, что число A ₀ + А при выполнении указанного выше неравенства I A I R ₀ <  1, будет принадлежать множеству Л , и далее - что множество Л открыто.

Докажем, что множество Л замкнуто.

Пусть { A m } есть последовательность точек из множества Л такая, что A m ^ А₀ при m ^ да . Покажем, что число А ₀ также принадлежит Л .

Поскольку каждое число A m принадлежит Л , то существует функция u m ( x , t ), принадлежащая пространству V и являющаяся решением задачи (1), (2), (3 _λ ) . Обозначим w_mk ( x , t ) = u m ( x , t ) - u k ( x , t ). Для функций w mk ( x , t ) имеют место равенства

Lwmk = 0, wmk (x,0) = wmkt(x,0) = 0, x еО, wmk(x, t) kx,t)eS = Am JK(x, У, t)wmk(У, t)dV {x,t)eS +(Am — Ak )JK(x, У, t)Uk (У, t)dV {x,t)eS .Повторяя доказательст-ОО во неравенства (30), получим оценку

II W mk ll v <  R ) I A m — A k I.

Отсюда следует, что последовательность { u m ( x , t ) } будет фундаментальной в пространстве V . Следовательно, существует функция u ( x , t ) , принадлежащая пространству V и являющаяся пределом последовательности { u m ( x , t ) } . Для предельной функции u ( x , t ) будут выполняться уравнение (1), условие (2), а также условие (3 ^ ). А это означает, что число А ₀ будет принадлежать множеству Л .

Принадлежность множеству Л любой его предельной точки и означает, что Л - замкнуто. Итак, множество Л не пусто, открыто и замкнуто. Как уже говорилось выше, множество Л будет совпадать со всем отрезком [0; 1]. А это означает, что краевая задача (1) – (3) разрешима в пространстве V .

Теорема доказана.

Замечание. Отметим, что в теореме 1 требуется однозначная разрешимость интегрального уравнения v (x, t) = Л j K (x, y, t) v (y, t) dy + ф( x, t)

n лишь при Л = 1, а в теореме 2 - при всех Л из отрезка [0; 1], но при этом в первой теореме требуются условия малости (15), во второй таких условий нет.