Начально-краевые задачи для уравнения влагоперноса с дробными производными разных порядков и нелокальным линейным источником

Движение воды в капиллярно-пористых средах, к каковым относятся почвы, может происходить под воздействием самых разнообразных движущих сил. На основе анализа механизма диффузии в пористом массиве, когда учитывается возникновение потоков влаги под действием градиента капиллярного давления получено нелинейное уравнение (см. [1, c. 136])

Wt = (D(W)Wx)x, здесь W — влажность в долях единицы, x — глубина, t — время, D(W) — коэффициент диффузивности почвенной влаги.

Диффузионная модель, предполагающая, что если в начальный момент задана неравномерная влажность, то должен возникнуть поток влаги из более влажных в менее влажные слои, часто не оправдывается. Объяснить, когда и при каких условиях происходит движение влаги в прямом и обратном направлении, можно с помощью модифицированного уравнения диффузии (или уравнения влагопереноса, уравнения Аллера [2]):

W t = (D(W)W x + AW xt ) x ,

( * )

где A — положительная постоянная.

Вопросы моделирования переноса влаги в почвогрунтах [1, 2], течения жидкости в трещиновато-пористых средах [3, 4], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [5, 6], теплопроводности в двухтемпературных системах [7] и течения некоторых неньютоновских жидкостей [8] связано с необходимостью исследования краевых задач для уравнения вида ( * ).

Дифференциальные уравнения дробного порядка служат хорошим математическим аппаратом для более точного описания систем и процессов природы, для которых необходимо учитывать предысторию (память, наследственные свойства) процесса. Характеристиками, позволяющими учитывать память процесса в таких уравнениях, являются функции памяти, которые представляют собой ядра интегралов, определяющих операторы дробного интегро-дифференцирования. К примеру, такой функцией памяти может быть степенная функция. Показатель степенной функции памяти определяет порядок производной и связан с фрактальной размерностью среды, в которой протекает исследуемый процесс [9–12].

При рассмотрении вышеперечисленных процессов и явлений с эффектами памяти уместно использование производных дробного порядка. Именно по этой причине в настоящей работе рассматривается уравнение ( * ) с дробной производной по времени в смысле Герасимова — Капуто. Для описания более сложных процессов могут привлекаться функции памяти, более сложной структуры, чем степенная функция.

Так, в работе [13] предложены и исследованы математические модели водного режима в почвогрунтах с фрактальной структурой. В основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. Математически обосновывается переход от уравнения с целочисленной производной к уравнению с дробной производной в смысле Герасимова — Капуто. Для задачи Коши выписывается единственное представление решения.

Численным методам решения различных краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [14–19].

В настоящей работе исследуются начально-краевые задачи для уравнения влагопере-носа дробного порядка с нелокальным линейным источником и переменными коэффициентами. Основным методом исследования является методом энергетических неравенств. При предположении существования регулярного решения для каждой из рассмотренных первой и третьей начально-краевых задач получена оценка в дифференциальной форме, откуда следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных исходной задачи. На равномерной сетке в соответствие каждой дифференциальной задаче ставится соответствующая разностная схема порядка аппроксимации O(h 2 + т 2 ) при а = в и O(h 2 + т ^2-тах { ^{а,в }} ) при а = в, где 0 < а, в <  1 — порядки дробных производных Герасимова — Капуто. Для каждой разностной задачи в предположении существования решения получена оценка в разностной форме, из чего следуют единственность и устойчивость решения разностной задачи по правой части и начальным данным. В силу линейности рассматриваемых начально-краевых задач полученные оценки в разностной

Начально-краевые задачи для уравнения влагоперноса с дробными производными 7 форме позволяют утверждать сходимость решения каждой разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи (в предположении существования последнего в классе достаточно гладких функций) со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Проведены численные расчеты.

Настоящая работа является продолжением серии работ автора в этом направлении [19–24].

• 2.    Постановка задачи и оценка в дифференциальной форме

В замкнутой области Q t = {(x,t) : 0 С x С l, 0 С t С T } рассмотрим следующую задачу для обобщенного уравнения влагопереноса:

∂       ∂u β ∂ ∂u∂u дwи =     k(x,t) — + dot^T n(xhr + r(x,th-

• 0 dx \ dx J dx \   dx Jdx

l

• -q(x, t)u(x, t) + У p(C,t)u(^,t) d^ + f (x,t) 0 0 < t С T, 0

u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 С t С T,(2)

u(x, 0) = uo(x), 0 С x С l,(3)

где

0 < c o С k(x,t), n(x) С c i , \q(x,t)\, \r(x,t)\, \r _x (x,t)\, \k _x (x,t)\, \p(x,t)\ С C 2 , (4) d o t u = r(i— y ) Jo u T — TT ) dT — дробная производная в смысле Герасимова — Капуто порядка y , 0 <  y <  1.

Отметим, что приведенная выше конструкция дробной производной введена [25] итальянским механиком М. Капуто в 1967 г. Поэтому за рубежом ее называют дробной производной Капуто. Однако правильнее называть ее дробной производной Герасимова — Капуто, так как еще в 1948 г. советский механик А. Н. Герасимов рассматривал [26] подобные выражения:

t

1 Г u _T (x,T ) r(Y) J (t - t ) y

-∞

Присутствие в исследуемом дифференциальном уравнении нелокального источника в интегральной форме из физических соображений совершенно естественно и возникает при математическом моделировании в тех случаях, когда имеются источники (или стоки в зависимости от знака p(^,t)) и невозможно получить информацию о происходящем процессе с помощью непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины.

Также отметим, что рассматриваемое нелокальное уравнение влагопереноса, ввиду присутствия интеграла по пространственной переменной и производной дробного порядка в смысле Герасимова — Капуто, относится к классу нагруженных уравнений [27].

Предположим, что решение задачи (1)–(3) существует и обладает нужными по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

Обозначим через M i (i = 1, 2,...) положительные постоянные числа, зависящие только от входных данных исходной задачи.

Для получения оценки решения задачи (1)–(3) в дифференциальной форме умножим уравнение (1) скалярно на u :

(d 0 t u,u) = ((ku x)_x ,u) + d^e^( (n(x)u x )_x ,u^ + (ru x (x,t),u)

( l                     \

J P& t, №, t) d^^,u I + ^{(f (х}, ^t),u) ,    ⁽⁵⁾

o где (u,v) = fl uvdx, (u,u) = ||u(-,t)\2 = ||u||o, где u, v — заданные на [0, l] функции.

Лемма 1. Для всякой функции u(x), обращающейся в нуль при х = 0, справедлива оценка

Ы2 <  2 i u 112.

<1 Действительно, в силу условия u(0, t) = 0 справедливо неравенство

x

u(x,t) = У u x (x,t) dx.

o

Возведем в квадрат обе стороны, тогда на основании неравенства Коши — Буняковского получим x2 У ux(x, t) dx I o

x

< х У u X (x, t) dx.

o

Проинтегрируем обе части по x от 0 до l, тогда по формуле Дирихле получим:

l      lx

I .Axx dx « У [ x У u²^, t) d^ I dx o                 o \ o             /

l

l ²

= 2   u X (x, t) dx

o

ll

• 1    Г .       ,      ._ l² Г .

• 2    (xu x (x,t))² dx < — I u X (x,t) dx.

Следовательно, \ u \2 <  ^l- 2 2 \u x \ 2 .

о

Лемма 2. Для всякой функции у(х), заданной на равномерной сетке

^h = {xi = ih, i = 0,..., N, h = l/N, xq = 0, xn = l} и обращающейся в нуль при х = 0, справедлива оценка

\\у\\ 0 <  ^ШО-

< Действительно, в силу условия y(0, t) = 0 справедливо неравенство ii yi = У0 + ^yx,sh = ^y^sh- s=1         s=1

Возведем в квадрат обе стороны, тогда на основании неравенства Коши — Шварца по-

лучим

У 2 = ^ У х^

ii  i

< Ey ^ ,shEh = xiE yl s h.

s =1       s =1         s =1

Умножим теперь обе части на h и просуммируем по i от 1 до N

N        N  / i      \      N       N        //2/ N ^N

Е y 2 h <  Е Xi Е &^h h = Е    Ex s h <  I + 2h E y^ <  I ² ^ yx] 12

i =1         i =1 \    s =1      /       i =1       s =1         '          ' s =1

для любого h G [0,1]. Следовательно,

НуН 0 <  121Ш 12 . >

Пользуясь неравенством Коши с ε [28, с. 100] и леммой 1 из [17], преобразуем инте-

гралы, входящие в тождество (5):

(do>,u) >  2 (Wu ² ) = 2 d a I u |2 ,                       (6)

l

l

^((k“^x)x^,u) = fu (ku^ dx = uMl, - ^u dx,

l

( ^d 0 t ⁽nu x ) x ■ ^u ) = j ^{ud e (}nu x)_x ^dx = n^{ud e} u x 1 0 0

l

- У n(x)u x d ^e U x dx

<

l nu^d 0 tux ^| 0 ^- 2 j п^д ы ⁽ux^{) 2} dx, 0

(rU x ,u)

l

= У ruu _x dx <

l

l

4e У u ² dx + e У u X dx <  M i ( e )||u||0 + e|u _x Ц2 ,

^{- (}q^(x,t^)u,^u) < C2IHI²,

< 2 нию+ 1 2 ■

( l                         \ l l

J p^tyu^t) d^u i = yuy p&tyu&t) ^d^^dx

( l                 \ 2 \               / l

< 2^|u| 0 + M 2 j ^dx !u^t) d^ <  M aH u H ² ■

l fudx < 2Hu|2 + 2Hf H0-

Учитывая преобразования (6)–(12), из (5) c учетом (2) находим l

1 да|u|0 + 1% [n(Ux)2 dx + coIIM0 « Cfu,По + MWIIUlO + 1 Ilf Io-(13)

2            22

Выбирая e = C 0 , из (13) получаем

l d0t |u|0 + d0t j n(ux)2 dx + IK 12 < M4|u|o + M5|f 112.

I случай. Пусть α > β, тогда, применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования D ₀ ^- _t ^α , получаем

IM2 + D^fux|2 < MeD-ta||u||0 + IM (D-nf |2 + |Ых)|Ю) ,(15)

где D — u = Г т ) J o t ( t-urjT - Y — дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка y, 0 <  y < 1.

На основании [17, леммы 2] из (15) находим оценку

IM? < M8 (Dot“|f Й + |uo (х)Ю) ,(16)

где B u B? = l u lo ⁺ D -^^ Wu x Io -

II случай. Пусть а = в, тогда, применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования D ₀ ^- _t^α , получаем

ИКЮ + IM|2 « M^v |u|2 + M?o (Dot“|f |o + |uo(x)|o + IW(x)Ho).(17)

На основании [17, леммы 2] из (17) находим оценку

|и|^Ш < M11 (D-t"Hf |2 + |Ых)|?у.(o,i)) ,(18)

где llullWi(o;) = ^|u| o ⁺ IKllo-

III случай. Пусть α < β, тогда, применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования D ₀ ^- _t^β , получаем

• IK|2 + D-Z^Hu^ < Мп^— |u|2 + M13 (D-.e|f |2 + |K(x)|2) .(19)

x 0      0t            0             0t      0               0t      0       00

В силу леммы 1 из (19) получаем

• IK|2 + D-Z^Iu^ ^ M^D— IK|2 + M15 (D—|f |2 + IK(x)|2) .(20)

x 0      0t            0             0t     x 0               0t      0       00

На основании [17, леммы 2] из (20) находим оценку

|u|2 < M?6 (D-T3 If Io + KOOIo) ,(21)

где ^|u| 2 = ^|ux^| o ^{+ D} o t ^{( S -} ” ^{) |u| 2} .

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Если k(x,t) G C ^{1 , 0} (QT), n(x) G C ¹ [0,l], r(x,t),q(x’t)’ p(x,t), f (x,t) € C ( Q t ), u(x,t) G C ^{2 , 0} ( Q t ) П C ^{1 , 0} Q_T ) , d & u(x,t) G C ( Q t ), d at U xx (x,t) G C ( Q _t ) и выполнены условия (4), то для решения задачи (1)-(3) справедливы оценки: (16) в случае, когда a > в; (18) в случае, когда a = в; (21) в случае, когда a < в.

Из полученных оценок (16), (18), (21) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным.

• 3.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для приближенного решения задачи (1)–(3) применим метод конечных разностей. В замкнутой области Q t введем равномерную сетку ш у_т = W h х W_T , где Wh = {x i = ih, i = 0,... ,N, h = l/N } , W_T = {t j = jT , j = 0,1,... ,j o , т = T/j o } .

На равномерной сетке ω h_τ дифференциальной задаче (1)–(3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h ² + т ² ) при a = в и O(h ² + т ^{2-max{ a,e }} ) при a = в:

^A0 j+_CT У = X i { a y Ух?) xi + &ы + ⁽Y i y^ i + bi j ^aj уХц + b + j ^уЦ

- d j У^ + E•• n + 4 ,  (x,t) G Wh,T,    (22)

s =0

S ^ )        S ^a )     n

y ₀ = y _N = 0 ,

y(x, 0) = u0(x), где А^+^y = r^—Y) £s=0 c^Ys)ys — дискретный аналог дробной производной Герасимова — Капуто порядка Y, 0 < y < 1, обеспечивающий порядок точности О(т3-Y) при a = 1 — 2, и О(т2-y) при a = 0.5 [18],

.    ' = a ^1- Y ,   a^ = (l + a) ^{1- Y} — (l — 1 + a) ^{1- Y} , l >  1,

ь

2_y [(l + a)2 Y - (l - 1 + a)2 Y] - 2 [(l + a)1 a + (l - 1 + a)1 Y] ’ l ^ 1’ при j = 0

при j >  0

' '■”

c ₀

' ''”

= a ₀

_c (Y,^ c _s

' a ' + ь ,            s = 0;

< a^ + b ' _ b^,  1 <  s <  j _ 1;

_y - _ bM,         s = j,

a = 1 — Y, при a = в и a = 0.5 при a = в,

cS^{Y,a )} >  —2^(s + a) ^Y >  0’   y(' = ay^{j +1} + (1 — a)y j ,

n = / ² ’ ^{s 0,N}’ h, s = 0 , N,

^a i — ^k^^x i — 0 . 5 ’t j + a ) ’

a ^S+1) = ai +1 , Y i = n(x i - 0 . 5 ),

b ± j =

r j xt j + o ) ^k(x i ’ t j + & )

$ = f (xi’tj+"), dj = q(xi,tj+"), Pj = p(xi,tj+a), r(x,tj+") = r+(x,tj+a) + r-(x’tj+"),   \r(x,tj+")| = r+(x,tj+a) - Г-(x,tj+a), r+(x,tj+a) = 0.5(r(x,tj+") + \r(x,tj+a)\) > 0, r-(x,tj+a) = 0.5(rxx, jj+a) - \r(x,tj+")\) ^ 0,

x(xj ,t j + " ) = i_+R(X i ,_{t j + a}. ) , R(x i ,t j + " ) = ^ . ^ к! ; ;;-^ — разностное число Рейнольдса.

Оценку решения задачи (22)–(24) найдем методом энергетических неравенств, тогда введем скалярные произведения и норму в виде:

N - 1                 N

(u, v) = ^U i V j h, (u,v] = ^U i V j h,   (u,u) = (1,u²) = ||u|| - .

i =1                     i =1

Умножим теперь (22) скалярно на y ⁽ " ) :

( ^Aat -+. У’У " " ) = ( x ( ayX^{CT )} ) x K) ⁺ ( ^Aot -₊, ⁽ Yy x ) x ’У " "")) + ( ^ь — ^ууХ" ^{) ,}У ⁽ " ⁾ ) + (b ⁺ a ⁽⁺¹⁾ y X^{a )} ,y^ ) - (dy ^ ) ’у " " ) + ^ p_sy " ^{7 )} h,y " "^ + ( ^,y ^{( a )} ) .

С учетом [18, леммы 1] преобразуем суммы, входящие в тождество (25), тогда получим

(4; ,+. y,y ⁽ ’>") >  2 v     | y |J ;                           (26)

ш/" v;"") ) vo?;"")?;"") I N     (a v/"")     //'" -"I (av ^/""М") ]

^x(yy x ⁾ x ,y J — ^xay x ^{y |} 0     ^yyyx , ^(xy )xj — a^ X xyUx ^y J

• ^- ( ^yx ^(-1) , ⁽yX" ) ^{) 2} ] <  ^- ( axx’yX" ) y ⁽ " ] ^- (f+hMiy ( ax, ⁽ у Х" ^{) 2} ] ;

(^AM_j+a⁽Yy x ) x ’У " ⁷ ) = Yy ⁽ " ^j y x \ N ^- (ъуХ^{7 ) А}м-+. (yx) ]

^ ^- ( 2, ^Aot -₊. ^(yx^{) 2} ] <  ^- -2 ° ^Aot j₊. Il^yx] \2 ;

- [dy^J") ) ^ c 2 || y ^{( 7 )} || 2 ;

fy\ u<"W"^    - H ^(" ) н ²+1 - fy\ «(" ) I   - H ^(" ) H ²

I     v ^p s ^y s   ^,^y 1^ 2 I ^y   0° ⁺ I 2 ’ I 2 - ^{P s y} s   у I ^ 2 I ^y   °⁰

N N            NN

+ 2’E^E(ys^{7 )}н <  - « y'” « 0 +тE*E(y/") ² * « M 2 . | 2 ;

V s =0     s =0       /                 ² s =0 s =0

( f’y ' " ) <  2 | y ⁽ ' ⁾ l 0 + 2 1Ы0 .

Из (25) с учетом (26)–(30) получим

2^Aot -+. Ilyll 0 ⁺ MahX" ) ]^{| 2 +} 2^Аы- + . НухШ < ^- (ax x ’y " у"" ] + ( b ay x" , y ⁽ " ) )

+ (ь ⁺ у ⁽⁺¹⁾ у Х⁷⁾ ,y ^{( 7 )} ) + M^E + 2 IK.

Оценим первое, второе и третье слагаемые в правой части (31), тогда получаем

- (aaX x ^y " y '  + (b^y^y " ) ^ + ( b ' a ' ' ' y ' ” , y ' ” j <  ^e У ' ” J ° ⁺ -^М-^;ч •'/”   0 ⁽³²⁾

Перепишем последнее в другой форме:

△jlylO + aj |ЫЮС m?|y,+1I0 + M9№Il0 + АМУ10■(33)

I случай. Пусть α > β, тогда на основании [22, леммы 7] из (33) получаем неравенство lyj+1l2 < M8 (VlO■ ■ ■Ik ‘ Iio) ■(34)

\          ^{0c j Cj} /

II случай. Пусть a = в, тогда в силу [22, лемма 7] из (33) получаем неравенство к ' W С M9 (|yO|W^(O,l) + j И‘|0) , где Iy0lW2i(0,l) = 1И10 + 1У0]10.

III случай. Пусть α < β, тогда в силу (23) и [22, лемма 2, лемма 7] из (33) получаем неравенство k+1J|0 ^ Мэ(|У°|о + max Ik‘ 11°^■(36)

^x -110 ^lll^xl 10     0 < j ‘ < j

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4), тогда существует такое малое Т 0 = 7o (c 0 ,C 1 , c ° ,a,a), что если т С Л э , то для решения разностной задачи (22)-(24) справедливы оценки: (34) в случае, когда a > в; (35) в случае, когда a = в; (36) в случае, когда α < β .

Исследуем вопрос о разрешимости задачи (22)–(24). Для этого рассмотрим однородную задачу (^ = 0, U 0 (x) = 0), решение которой заведомо существует

^AjУ = X i ay у Х" ) x i ⁺ A j ⁽Yi ys^ i

N

^{+ b - j a j} у Х" ^{+ b}i ^{+ j a} i +1 y X" — d i у ' " ⁺ E p s y ( " ^h - ^{(x,t) 6 ш}^т ,     ⁽³⁷⁾

s =0

У ⁽ = y ' N = ⁰, y^(x,⁰⁾ = ^{0                            (38)}

Пусть y(x,t) — одно из решений однородной задачи (37)—(38). Из неравенства (34) следует, что | y^{i +1} |° С 0, из (35) — | y^{i +1} |° С 0, а из (36) — | yX ⁺¹ |° С 0, но | y^{i +1} |° = 0 и |у Х⁺¹ | ° = 0 лишь при у = 0, x 6 W h . Поэтому из оценок (34) при a > в, (35) при a = в, (36) при a < в следуют, что единственным решением однородной задачи (37)(38) является у = 0. Тем самым решение задачи (22)-(24) при любых ^, U 0 (x) существует и единственно.

Таким образом, из оценок (34) при a > в, (35) при a = в, (36) при a < в следуют единственность и устойчивость решения задачи (22)–(24) по начальным данным и правой части.

Пусть u(x,t) — решение задачи (1)-(3), y(x. ,t j ) = y j — решение разностной задачи (22)–(24). Для оценки точности разностной схемы (22)–(24) рассмотрим разность z^j = y ^j — u ^j , где U i = u(x i ,t j ). Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (22)-(24), получаем задачу для функции z :

А^  z = X (jz z^ ) + Аад., (YiZx )x i + b-j aj z^^ + b+j aj+ ^z^} tj + ^      i^l     i x .       Utj+j      X'd^l              X,l            l+1 x,i

N

• - dj z^ + ^ PszS^ h + Фj,  (x,t) G WhT,(39)

s =0

z^} = zN^ = 0,

z(x, 0) = 0, x G Uh,(41)

где Ф = O(h? + т ²) при a = в и Ф = O(h ² + т ² - ^ma x { ^a,e}) при a = в — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1)–(3) разностной схемой (22)–(24) в классе решении u = u(x,t) задачи (1)-(3).

В силу того, что задача (39)–(41) линейна, тогда

I случай. Пусть a > в, тогда применяя оценку (34) к решению задачи (39)-(41), получаем неравенство

I|zj+1ll2 с M

^{oСz Сj}

II случай. Пусть a = в, тогда применяя оценку (35) к решению задачи (39)-(41), получаем неравенство

ИЧ^ с M jjllHO-(43)

III случай. Пусть a < в, тогда применяя оценку (36) к решению задачи (39)-(41), получаем неравенство

|zX+1]|2 С Mотxhj't oСz Сj

Из полученных оценок (42)–(44) следует сходимость решения разностной задачи (22)– (24) к решению дифференциальной задачи (1)-(3) так, что существует такое то, что при т С То справедливы оценки:

• 1)    в случае, когда a > в: ||y^j+1- u^j+1||2 С M (h² + т^{2—тах{а,в}}) ;

• 2)    в случае, когда a = в: ^|У^j+1- u^j+111Wi(₀,l) С M (h² + т²);

• 3)    в случае, когда a < в: ||yx⁺¹- Ux⁺¹]|2 С M (h² + т²-^тах{ав}),

• 4.    Постановка третьей краевой задачи

где M — const > 0, не зависящая от h и т.

Второе краевое условие в (2) заменим условием третьего рода, тогда вместо усло- вия (2) имеем

u(0, t) = 0,

(-n(l,t)= в(t)u(l,t) - ^(t), где

|в| С С2, n(x,t) = k(x,t) u_x + nd»Ux.

Из (5) с учетом (6)–(12) находим

l

2 ^datll^ull2 + 2 С У n(ux⁾²dx + ЬК 112 ^fu^n(x,t)|0 + e|l^uxll2 + M1(^E)ll^ull0 + | Ilf llo- ⁽⁴⁷⁾

Оценим первое слагаемое в правой части (47) с учетом (45)

иП(х, t) 10 = П(1, t)u(l, t) = u(l, t) (^(t) — в(t)u(l, t)) = —в(t)u²(l, t) + ^(t)u(l, t) ^fM2u^2(l,t^{) +} 2^^{2(t) f M}3(e)||u||0 ⁺ E^|ux 112 ⁺ 2^^2(t).

Из (47) с учетом (48) при е = С0 находим d0tllullo + d0t / n{ux}2dx + llux H0 f M4||u||0 + M5 (HfH0 + ^2(t)) -

I случай. Пусть α > β, тогда, применяя к обеим частям неравенства (49) оператор дробного интегрирования D₀^-_t^α , получаем

HuH2 + ^^^luxH2 f MeD^-“HuH2 + MtId^- (Hf Ho + b(t)) + lb(x)!^-     (50)

0      0t          ^x0           0t      0             0t        0                           0

На основании [17, леммы 2] из (50) находим оценку h«hi « M8 (d^ (if h0+к (t)) + hmx)H0) -

II случай. Пусть a = в, тогда применяя к обеим частям неравенства (49) оператор дробного интегрирования D0-tα , получаем hii0+кн0 < M9D0."i»H2+M10(D-£a (Hfii0+At) + Hu0(x)H0+IK(x)H0)-   (52)

На основании леммы 2 [17] из (52) находим оценку

MW₂(0,1) < M11 (d«“ (HfII0 + At) + IKMIlWj(0,1))-

III случай. Пусть α < β, тогда применяя к обеим частям неравенства (49) оператор дробного интегрирования D₀^-_t^β , получаем

IK П0 + D0<^le-a,HuH0 f M12 D)* IMl0 + M13 (4? (Hf H2 + At) + IK(x)H2) -    (54)

В силу леммы 1 из (54) получаем

IK H0 + D0<'^e-a,ll“ll0 f M14d„' IKII0 + M15 D-e (Hf H0 + At) + lK(x)H0) -   (55)

На основании леммы 2 [17] из (55) находим оценку

HuH2 f M16 (D«^e(Hf H0 + K(t)) + IK(x)H0) -

Теорема 3. Если k(x,t) G C ^1,0(QT), n(x) € C¹[0,l], q(x,tff (x,t) € C(QT), u(x,t) G C^2,0(QT) H C^1,0(QT), d0tu(x,t) G C(QT), datu_xx(x,t) G C(QT) и выполнены условия (4), (46), то для решения задачи (1), (3), (45) справедливы оценки: (51) в случае, когда a > в; (53) в случае, когда a = в; (56) в случае, когда a < в.

Из полученных оценок (51), (53), (56) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным.

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сетке ω_hτ дифференциальной задаче (1), (3), (45) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h²+ т²) при а = в и O(h² + т2-max{^a,e}) при а = в:

^0tj_+ay = Xi (ayУ^_xi + &0tj_+a⁽Yiyx)x,i + bi j^ajy” + b^+iaj JL,

N

di у'” + £ Psyf’h + ^j,  (x,t) G ^h,r, s=0

y(0,t) =0, t G w_T, x = 0,

^-(xnaNyXNN + ^A0tj+v ⁽YNyx,N)) = fiyN + ^05h (Aj yN

N

-£p_sys”h\ -s=0

µ,

x

= l,

y(x, 0) = uo(x), x G шн, где ej = ej + 0.5hdjN, pj = pj + 0.5h^N.

Найдем оценку методом энергетических неравенств, для этого умножим

уравне-

ние (57) скалярно на y. Тогда, учитывая (25)–(31), после нетрудных преобразований получаем

(Aj y ' + M . ]|0 + ₂ A < j ay^ +^A

⁺ M2 y'” ]^|2+ (^b-iaiy^,y⁽”’) + (b⁺ⁱa^j₊₁y^],y⁽”’)

N

(dy^,y^) + ^psy^K,y(”^ + (^,y(”’) , где (u,v]= E^ UiVih, n =r°5h  i  N’   (и,и]=(11и2] = Hu12, (u,v) = ^N-1

uivih.

h, i = 0, N,

Преобразуем первое слагаемое в правой части (61) с учетом (44)

(xja!N + ^tj+v ⁽Yiyx)) у'””^|₀ = (xNay^N + ^A0j+.

= L + ^{05hi - e}yN^{- 0}.^5hdyN^{- 05h А}0\₊yN

_а⁽Yiy^,N)) yN

£ РэУ^ⁿ^ j yN

< -°bhyN^AjyN + Mailly'”)]^|0 + E^yX”]^|0

2^N

+ M^y² + 0.5hyN^N - 0.5hd ^N ) + 0.5hyN £p^h. s=0

Учитывая (62) при e = M, из (61) находим

(^Aa,j+,y,y⁽’>] + M-lly”’]|0 + 2A.y « Mils'"]|0 + (-ajy^N”)

N

^- (b+j^ai+iy⁽x”i ,y⁽”^})^-djiy⁽”,y⁽”] + £Psys”)^y'” s=0

+ 2P²+ (^,У^(ст)] ■

Начально-краевые задачи для уравнения влагоперноса с дробными производными 17 Из (63) после несложных преобразований с учетом неравенства Коши с ε получим △U Ы2 + -\   . |Ы12 + .« M ]I0 + MM (М2 + ■■).(64)

Перепишем (64) в другой форме:

△0'/,+.Ы0 + Ao’j+.I yx 10 « Ms I|yj+1]I2 + M9Wvj]I0 + Mt (!f]0 + P2) ■(65)

I случай. Пусть α > β, тогда на основании [22, лемма 7] из (65) получаем к+1]|2 " M10 fh!2 + nmax. (1И1 о + M2)] ■

^0Cj^^j

II случай. Пусть a = в, тогда на основании [22, лемма 7] из (65) получаем k+lWiw) < Mio (1Ю1 W2i(o,i)+0jj си 2+^2)), где Iy01 W21(O,1) = Iy01 2 + Iyo 1 2.

III случай. Пусть α < β, тогда из (65) с учетом леммы 2 получаем неравенство

△У^ ||y]|2 + Ав,   Uy,12 С Mi1 Wyj+1]|2 + Ml2 Wyj]|2 + Ml s(Ml2 + Д2) ■(68)

На основании [22, лемма 7] из (67) находим

ЦУх1 2 < MnfhX]12 +max. (^j‘]|2 + ^2)Y

^O^^{j Cj}

Теорема 4. Пусть выполнены условия (4), (46), тогда существует такое малое to = To(co,С1, С2,a,a), что если т С To, то для решения разностной задачи (57)-(60) справедливы оценки: (66) в случае, когда a > в; (67) в случае, когда a = в; (69) в случае, когда α < β .

Из оценок (66) при a > в, (67) при a = в, (69) при a < в следуют единственность и устойчивость решения задачи (57)–(60) по начальным данным и правой части.

Пусть u(x,t) — решение задачи (1), (3), (45) y(xi,tj) = yj — решение разностной задачи (57)–(60). Для оценки точности разностной схемы (57)–(60) рассмотрим разность ^zj = y^j— u^j, где u^j = u(xi,tj). Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (57)-(60), получаем задачу для функции z :

α            j j (σ)            β                      -j j (σ)     +j j     (σ)

^AOtj+.^{z   x}i a^ai ^zx Xxi + ^AOtj₊. ^(Yiz^x)x,i ⁺bi ai ^zx,i⁺bi ai+1^zx,i

N                                                    (70)

- dj z(l) + £ Pszf^ +^j ,  (x,t) € ^h,T, s=0

z(0,t) =0,   t € w_t,   x = 0,

X = l, (72)

z(x, 0) = 0, x € Wh, где Ф = O(h2 + т2), v = O(h2 + т2) при а = в и ^ = O(h2 + т2-тах{“>вГ), v = O(h2 + т2 max{a,e\^ при а = в — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1), (3), (45) разностной схемой (57)-(б0) в классе решении u = u(x,t) задачи (1), (3), (45).

В силу того, что задача (70)–(73) линейна:

I случай. Пусть α > β, тогда применяя оценку (66) к решению задачи (70)–(73), получаем неравенство

Wzj+1]12 Ч Momx (|Фj‘ 112 + v2) •

• ^o4jЧ/

II случай. Пусть а = в, тогда применяя оценку (б7) к решению задачи (70)-(73), получаем неравенство

Wzj+1]lW2i(o,i)Ч M 0™. (||Ф j ‘ но+ v 2) •

III случай. Пусть α < β, тогда применяя оценку (68) к решению задачи (70)–(73), получаем неравенство llzx]|2 Ч Mm"* (НФj']|2 + v2) ■ o4j 4j 4                 7

Из полученных оценок (74)–(76) следует сходимость решения разностной задачи (57)– (60) к решению дифференциальной задачи (1), (3), (45) так, что существует такое τ0, что при т Ч то справедливы оценки:

• 1)    в случае, когда а > в: ||yj+1 — uj+1]|2 Ч M (h2 + т2-max{a,e})

• 2)    в случае, когда а = в:  y^{j +}' - uj+^Wi^l) Ч M (h² + т2) ;

• 3)    в случае, когда а < в: ЦуХ+1 — uX+1]|2 Ч M (h2 + т2-max{a,e})

• 7.    Заключение

где M — const > 0, не зависящая от h и т.

Замечание. Для проведения численных экспериментов для задачи (1)–(3) необходимо привести схему (22)-(24) к расчетному виду. Как видно, слагаемое £No Psyf') h в (22) приводит к нарушению трехдиагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы (22)–(24), решение данной системы возможно с помощью метода Гаусса или какого-либо итерационного метода. Однако, если брать значения искомой сеточной функции при вычислении указанной суммы с нижнего слоя, тогда схема (22)–(24) приводится к системе разностных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, решение данной системы возможно уже с помощью метода прогонки [28, c. 40].

Таблица 1

α	β	h	max \[zj]|о 0	ПС в 1Н1о
0.01	0.01	1/20	0.000714141
		1/40	0.000178643	1.9991
		1/80	0.000044667	1.9998
		1/160	0.000011167	2.0000
0.5		1/20	0.000835511
		1/40	0.000209953	1.9926
		1/80	0.000052735	1.9932
		1/160	0.000013260	1.9917
0.99		1/20	0.000821499
		1/40	0.000206122	1.9948
		1/80	0.000051690	1.9955
		1/160	0.000012983	1.9933
0.01	0.5	1/20	0.001031277
		1/40	0.000287001	1.8453
		1/80	0.000082060	1.8063
		1/160	0.000024206	1.7613
0.5		1/20	0.000746853
		1/40	0.000186587	2.0010
		1/80	0.000046589	2.0018
		1/160	0.000011634	2.0016
0.99		1/20	0.001016075
		1/40	0.000283307	1.8426
		1/80	0.000081198	1.8028
		1/160	0.000024024	1.7570
0.01	0.99	1/20	0.000810871
		1/40	0.000211283	1.9403
		1/80	0.000057013	1.8898
		1/160	0.000016374	1.7999
0.5		1/20	0.000809828
		1/40	0.000211435	1.9374
		1/80	0.000057191	1.8864
		1/160	0.000016464	1.7964
0.99		1/20	0.000766004
		1/40	0.000191709	1.9984
		1/80	0.000047931	1.9999
		1/160	0.000011980	2.0003

В работе рассмотрены начально-краевые задачи для одномерного по пространству уравнения влагопереноса с краевыми условиями первого и третьего родов с двумя операторами дробного дифференцирования разных порядков α и β и нелокальным линейным источником. Исследование начально-краевых задач проводится с помощью метода энергетических неравенств. При предположении существования регулярного решения для каждой из рассмотренных первой и третьей начально-краевых задач получены априорные оценки в дифференциальной форме при различных соотношениях α и β , откуда следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных исходной задачи. На равномерной сетке в соответствие каждой дифференциальной задаче ставится соответствующая разностная схема порядка аппроксимации O(h2 + т2) при а = в и O(h? + т2-max{“>e}) при а = в, где 0 < а, в < 1 — порядки дробных производных Герасимова — Капуто. Для каждой разностной задачи в предположении существования решения получена оценка в разностной форме, из чего следуют единственность и устойчивость решения разностной задачи по правой части и начальным данным. В силу линейности рассматриваемых начально-краевых задач полученные оценки в разностной форме позволяют утверждать сходимость решения каждой разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи (в предположении существования последнего в классе достаточно гладких функций) со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Проведены численные расчеты на ЭВМ, иллюстрирующие полученные теоретические результаты в работе.