Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром

Вопросы нахождения собственных значений и собственных функций для возмущенных самосопряженных операторов в последнее время приобретают большое значение [1 – 3].

Обозначим через H = L q ( D ) сепарабельное гильбертово пространство, с нормой || f || q =

(R l f ( x ) | q ^ш ( x ) dx )⁽¹ /q ) ( q = (1 , ^ )), с весом ^ ( x ) >  0. D — компактное многообразие.

b

Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор T с простым спектром и

ограниченный оператор P , заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Пусть {An}^=1 — собственные значения оператора T, занумерованные в порядке возрастания их величин, а {«п}^=1 — его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным значениям и образующие базис в H . Обозначим количество всех неравных друг другу собственных значений λn оператора T , которые лежат внутри окружности Tn0 радиуса

_ |Anо+1 + A™0 ।                                                                                 J I рпо = ----------- с центром в начале координат комплексной плоскости, через nq. Пусть

{ ^ _п } ^ ₌₁ — собственные значения оператора T + P , занумерованные в порядке возрастания

их действительных частей, а { и _п } ^ =1 — соответствующие им собственные функции. Если

для всех n >  n q выполняются неравенства g _n =

2 II P II | λ _n +1 - λ n |

< 1, тогда первые n q собственные

функции { и _п } П =1 оператора T + P являются решениями системы нелинейных уравнений

вида

0                   0

52 ^puj (x) Uj (y ) = 52 Ap«j (x) «j (y) + 52a k)(nq) , p = 1 ,n q •(1)

j=1                  j=1

Здесь a kp ) ( n q ) = (^т R A p [ K t ( z q , z k , A ) о P z k ] ^k о K t ( z k ,z k +1 , A ) dA - k -тые поправки T n ₀

теории возмущений к « взвешенной » спектральной функции оператора T + P целого порядка p ; K t ( x, y, A ) - ядро резольвенты R \ ( T ) оператора T , а операция « о » вводится по правилу

( К о P о Q )( x,y,

^A )=/

К ( x, z, A ) P z Q ( z, y, A ) dz.

D

Известно, что в этом случае в контуре T n ₀ количество собственных значений оператора T при возмущении P не изменяется [4].

Используя систему уравнений (1), разработан численный метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов в узловых точках дискретизации. Следуя научным результатам полученным в работах [5 – 8, 11] данный метод можно назвать методом регуляризованных следов (РС).

Из системы уравнений (1) для ng = n и ng = n — 1 и некотором фиксированном натуральном p, получим nn

^ ^Puj(x)uj(у) = ^ ^jvj(x)vj(у) + ^ akP)(n),( j=1                  j=1

n—1                 n—1

^ ^juj (x)uj (y) = ^ ^jvj (x)vj (y) + ^ akp)(n — i)- j=1                 j=1

Вычитая из уравнения (2) уравнение (3), найдем:

∞

Un (x)Un(y) = ^p (AnVn(x)vn(y) + ^[akp)(n) — akp)(n — 1)]).(4)

^

Если известны значения сумм функциональных рядов ^2 a^ (ng) «взвешенных» по____k=1

правок теории возмущений целого порядка p = 1,n g дискретного оператора T + P , тогда система нелинейных уравнений (1) позволяет находить его первые n g собственные функции { и п } П =1 .

1. Нахождение ≪ взвешенных ≫ поправок теории возмущений дискретных операторов

Пусть все предположения, которые сделаны во введении относительно собственных значений и собственных функций операторов T и T + P, выполнены. Тогда справедливы сле-дующаие теоремы.

Теорема 1. Если T – дискретный полуограниченный снизу оператор, а P – ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H = L q (D), где D — компактное многообразие, и для всех n G N выполняются неравенства g _n <  1 , то « взвешенные » поправки теории возмущений a kp ) (n g ) для любых натуральных k, p и n g можно найти по формулам:

no     ^

akP)(ng) = -52    52    vji(x)vjk+i(У)rkP)(n,j1,...,jk+1) П Vjmjm+1 , n=1 j1,...,jk+1=1

где

0, V j m = n,m = 1, k + 1;

^r k^{p ) ( n,j} 1 , ... ^,j k +1 ⁾ = <

z ^r _A ^lim dS ^A p , l = ^{k +} 1;

λ → λ n

■   li _m d-L( ____Ap____\

0 < l <  k;

( 1 —1)! xlim dX¹ - ¹ lk- i+1

^"n"      V Q (X — Xjm m=1

Vi j = (Pv i , V j ) - скалярное произведение; l - число совпадений j _m = n, m = 1, k + 1 .

Доказательство. В случае, если оператор T дискретен и полуограничен снизу, то его резольвента R \ (T ) является интегральным оператором [10], ее ядро K t (x, у, А) представимо в виде:

/ ха ^E v i ^{( x )}v i ⁽У)                                      Z_RX

K T ⁽x,y, ^{A )} = 2^ _А. - А •                              ⁽⁶⁾

i =i i

Учитывая определение « взвешенной » поправки теории возмущений a kp ) (n g ) и спектральное представление ядра резольвенты (6), получим цепочку равенств

^CnB =

[ А ^р [К т (z o ,zk , A)

2ni J

T n0

° P z k ] k ° K t (z k , z k +i , A)dA =

( - 1) ^k

2ni

A ^p K t (z g , z i , А) ° P z i ° K t (z i , Z 2 , A) ° P z ₂ ° ... °

T n0

° K t (z k -i , z k , А) ° P z k ° K t (z k , z k +i , A)dA =

T n₀      D D j ⁱ =ⁱ

v j i ^{( z} 0 ^{) v} j i ^{( z} i )

^A j i ^{— A}

∞

E j2 = i

P z i ^v j 2 ^{( z} i ^{) v} j 2 ^{( z} 2 )

^A j 2 — ^A

x ... x

∞ x E jk=i

P Z k - 1 v j k ^{( z} k -i ^{) v} j k ^{( z} k ) ^A j k ^{- A}

∞

. E jk+1=i

^z k ^v j k+1 ⁽z k ) ^v j k+1 ^{( z} k +i ),7      д Ba

^A jk+i ^{— A}                  J

(i^ /ар[/-/Е T n₀ D D ^{j 1}

v j i Cz o yv j i Cz i )

^A j i ^{— A}

k +i

ПЕ m=2 jm

∞

=      52     vji (z0)Vjk+i (zk+i)(Pvji ,vj2 )(Pvj2 ,vj3 )...(Pvjk ,vjk+i)x ji,j2,...,jk+1 = i x (—1)k Г         ApdA

2ni j , , ^k+ⁱ

T no ( — 1) ^{k +i} П (A — A j m ) m =i

∞ k

(—1)2k+i    E    (vji (z0)Vjk + 1 (zk+i)rkP)(n,ji,...,jk+i) П Vjmjm+1) = ji,...,jk+i=i                                                     m=i

∞ k

= — E    (vji (z0)Vjk+1 (zk+i)rkP)(n, ji, ..., jk+i) П Vjmj'm + 1) , ji,...,jk+i=i                                                     m=i где rkp)(n, ji, ..., jk+i) = 2П / k+i xpdx—.

T no Q ( ^ ^- ^ jm )

m=1

Здесь V ij = (Pv i , v j- ) = J P _z v i (z)v j (z)dz. Функция _{k +1} ^a p ---- в круге T n _Q имеет в точках D                              Q ( A - A jm )

m = 1

X _n (n = 1,n o ) полюсы кратности l, где l - количество совпадений j _m = n, m = 1, k + 1.

Поэтому на основании теоремы о вычетах имеем:

r k^{p ) ( n} , j i ,

..

. _A 1 [      X^pdX

^{.,j k +i )} = 2П J k+i

T nQ n(X - X j m ) m =i

λ ^p

= r A es fc+i

П (X - X j m ) m =i

0, ^ j m

= n, m = 1, k + 1;

k A l ™ dA k ^XP,¹ = 1;

—Etm lim ^{( k -} l +ⁱ⁾! A ^ A n

d ^{k-l +1} dA ^{k-l +1}

/     Ap

I l- 1

^x Q ( A - A jm ) m = 1

), l> 1.

( p )                ^ ( p )

Получим оценки остатков e^ (no) рядов E akP (no) «взвешенных» поправок теории k=i возмущений оператора T + P.

Теорема 2. Пусть T – дискретный полуограниченный снизу оператор, а P – ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H . Если для некоторого натурального числа no выполняются неравенства п—2||P|I—, < 1, то для t остатков |^nQ + 1 ^nQ | etp) (no) рядов E akp)(no) «взвешенных» поправок теории возмущений оператора T + P k=i справедливы оценки:

|e ^{( p )} (n0) | <  C o² P n + ⁱ A ² (n«) || P || T^- . 1 - g

Здесь g =

2|| P ||

| ^ n₀ + 1 ^A nQ |

n o

, A(n o ) = E _p ⁱ _-A. , | v i (x) l <  C o V i = 1, ro , x G D. i =i ^{p n Q} i

Доказательство. Запишем вспомогательную цепочку равенств, используя спектральное представление ядра резольвенты (6):

([Kt о P] ^k о K t )(x,y,X) = J ... J K t (x,z i ,X)P z 1 K t (z i , Z 2 , X^P z ^ x ... x

DD

∞

=/JS

i =i

DD

=

V i (x)V i (z i )

X i - X

V i (x) J V i (z i )P z i [Ra(T )P ] ^{k i} V j (z i )dz i V j (y) D

^{( X} i ^{- X )( X} j — A)

=

v j ^{( z} k ^{) v} j ⁽ y)

X j - X

V i (x)(P [Ra (T )P ] ^{k i} V j ,V i )v j (y)

^{( X — X} i ^{)( X}

-

^X j )

.

Оценим модуль a k^{p )} (n o ), используя последнее равенство:

^{| a} i^{P ) (}n o ^{) |} =

( - 1) ^k 2ni

λp i,j

T nQ

V i (x)(P [Ra(T )P] ^{k i} v j ,v i )v j (y)

(X — X i )(X

-

^X j )

dλ

<

< — ” 2п

IAP £ i,j Tn0

^{| v} i (x) ^|| ( ^{P [}R A ^{( T ) P} ] k 1 v j ^i ) Hv j (y) | d_x <  ^{I A} — A i || A — A j |

< 2 _n ^{2 n} ^ ^{| A} n o I ⁺

^{| A} n o + 1 ^{— A} n o I

⁾ P +1

sup^ ^{λ n} 0 i,j

C

^{| A — A} iH ^{A — A} j ¹

X

X

II P II ‘(

| A n 0 +1 ^— A n 0 |

^ k —1

< CtC 4| P II ^k(

k -1

| A n 0 +1 ^— A n 0

|

X

_X f^£__¹__)

_i A _{n 0} — A i

< C o p p ,' I P g k ¹ (£-------- A „_A ) 2 <  ⁰                                  λ n₀+1 - λ n₀

i n_nQ   ^Аг ⁺      o

n 0

< o^ 1IIP Igk (£ i=1

p _{n 0} — A i

∞

+ £ i=no+1

p _{n 0} — A i

r

< c«p!P + 1 I P I| g ^{k — 1} A ² (n o ),

где g = | A n ₀ ² +1 P — ' n o | , Ain ⁰ ) = £ ono. V •

В итоге для e^p (n g ) справедливы оценки

∞

I^ t^{P )} (n g ) I <  C o² A ² (n i )gP, + ^IP II ^£ « ' k = t +1

= C g Ap-K.' 11 P I I^ • 1 — g

Используя доказанные Теоремы 1, 2 и формулу (4), строится приближенный метод нахождения значений собственных функций в узлах дискретизации возмущенных самосопряженных операторов. Для проверки разработанного метода рассмотрим численный эксперимент нахождения значений собственных функций оператора Лапласа с областью определения на прямоугольнике.

2. Численный эксперимент

Для проверки полученных формул (5) рассмотрим спектральную задачу для оператора

Лапласа. Пусть оператор T = — А задан на прямоугольнике П = [0, a] X [0, b] с границей d ² d ²

Г. Здесь А = d^о + др о — оператор Лапласа. В качестве возмущения P возьмем оператор умножения на дважды непрерывно дифференцируемую функцию p(x,y), определенную на прямоугольнике П.

Рассмотрим спектральную задачу

(T + P > = в^, v е D t •

D t = {^ I v е C ² (П) Q с [п], Av е L o [n]: v | _r = 0}•

Известно, что собственные числа λ _nk и собственные функции v _nk оператора T имеют вид:

₂/n²   k²\                 ²   . ^nnx . ^kny         ----

A nk = п (^02 + bpj, V nk (x,y) = —ab sin —ps sin        n,k = 1, ro .

Система собственных функций { v _nk } “ k =1 образует базис пространства L o [n]. В случае, a ²

когда – иррациональное число оператор, T имеет однократные собственные числа. b ²

Пронумеруем собственные числа { A _nk } ^ к =1 и собственные функции { v _nk } ^° k =1 оператора T одним индексом в порядке возрастания их действительных частей.

Собственные числа возмущенного оператора T + P можно найти, следуя методу РС по формулам [11]: /../,, = A n + (Pv nn ,v _nn ) + d i (n),n = 1,n o , где для d i (n) справедливы оценки 2

| 5 i (n) | <  (2n - 1)p n 1 g- , g = max g n

λ n

Таблица

Значения n n и u _n для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при a = у^, b = 1 и p(x, y) = х ⁴ у ²

n	у	х	U n	U n	| U n - U n |	| u n u n u n | х 100%
1	0 , 2	0 , 2	1 , 055176	1 , 054458	0 , 000718	0 , 06808
	0 , 4	0 , 2	1 , 707129	1 , 706150	0 , 000979	0 , 05739
	0 , 6	0 , 2	1 , 706897	1 , 70615	0 , 000747	0 , 04380
	0 , 8	0 , 2	1 , 054794	1 , 054458	0 , 000336	0 , 03187
	0 , 2	0 , 4	1 , 363366	1 , 362589	0 , 000776	0 , 05699
	0 , 4	0 , 4	2 , 2056	2 , 204716	0 , 000883	0 , 04009
	0 , 6	0 , 4	2 , 205081	2 , 204716	0 , 000365	0 , 01655
	0 , 8	0 , 4	1 , 362481	1 , 362589	0 , 000107	0 , 00790
	0 , 2	0 , 6	0 , 706656	0 , 706302	0 , 000353	0 , 05010
	0 , 4	0 , 6	1 , 14306	1 , 142822	0 , 000238	0 , 02083
	0 , 6	0 , 6	1 , 142594	1 , 142822	0 , 000227	0 , 01993
	0 , 8	0 , 6	0 , 705863	0 , 706303	0 , 000439	0 , 06220
	0 , 2	0 , 8	- 0 , 450115	- 0 , 449893	0 , 000222	0 , 04942
	0 , 4	0 , 8	- 0 , 728074	- 0 , 727942	0 , 000132	0 , 01816
	0 , 6	0 , 8	- 0 , 727758	- 0 , 727942	0 , 000184	0 , 02529
	0 , 8	0 , 8	- 0 , 449577	- 0 , 449893	0 , 000315	0 , 07023
2	0 , 2	0 , 2	1 , 706643	1 , 706484	0 , 000159	0 , 00933
	0 , 4	0 , 2	1 , 054195	1 , 054766	0 , 000571	0 , 05417
	0 , 6	0 , 2	- 1 , 055815	- 1 , 054437	0 , 001378	0 , 13075
	0 , 8	0 , 2	- 1 , 70742	- 1 , 70628	0 , 00114	0 , 06681
	0 , 2	0 , 4	2 , 205432	2 , 205147	0 , 000284	0 , 01291
	0 , 4	0 , 4	1 , 362487	1 , 362987	0 , 0005	0 , 03670
	0 , 6	0 , 4	- 1 , 363518	- 1 , 362561	0 , 000956	0 , 07018
	0 , 8	0 , 4	- 2 , 205196	- 2 , 204884	0 , 000312	0 , 01415
	0 , 2	0 , 6	1 , 143141	1 , 143045	0 , 000096	0 , 00841
	0 , 4	0 , 6	0 , 706387	0 , 706509	0 , 000122	0 , 01728
	0 , 6	0 , 6	- 0 , 706174	- 0 , 7062885	0 , 000113	0 , 01611
	0 , 8	0 , 6	- 1 , 142299	- 1 , 142909	0 , 000609	0 , 05337
	0 , 2	0 , 8	- 0 , 728138	- 0 , 728084	0 , 000053	0 , 00736
	0 , 4	0 , 8	- 0 , 449958	- 0 , 450024	0 , 000065	0 , 01459
	0 , 6	0 , 8	0 , 449753	0 , 449883	0 , 000131	0 , 02903
	0 , 8	0 , 8	0 , 727537	0 , 727997	0 , 000459	0 , 06318

В таблице приведены результаты вычислений значений первых собственных функций в узлах дискретизации спектральной задачи (8) двумя методами. В случае метода РС, значения собственных функций обозначены n n (x,y). В случае метода А.М. Данилевского - n n (x,y). Аргументы х и у изменяются от 0 до 1 с шагом 0,2. Причем суммы рядов Рэлея- “

Шредингера ^ ^ak (m o ) в методе РС приближались их третьими частичными суммами, k =1

используя формулы (2).

Проведенные расчеты показывают, что результаты вычислений собственных функций возмущенного оператора Лапласа методом РС и методом А.М. Данилевского хорошо согласуются.