Направленные сплайны и их использование для сглаживания выбросов и изломов интерполянта
Автор: Коднянко Владимир Александрович
Статья в выпуске: 1 т.10, 2021 года.
Бесплатный доступ
Сформулирован и предложен метод построения направленного кубического сплайна для набора точек на плоскости. Проведено сравнение сплайна с B-сплайном Шёнберга, сплайнами Акимы и Катмулла-Рома. Показано, что для неравноотстоящих точек в сравнении с B-сплайном он дает значительно меньшие выбросы и практически лишен сильных изломов, которые свойственны сплайнам Акимы. Сплайн не дает петель и осцилляций, которые являются характерным недостатком параметрических сплайнов, в частности, эрмитовых, к числу которых относится сплайн Катмулла-Рома. Предложен быстрый метод оптимизации направляющего коэффициента сплайна, цель которой состоит в минимизации разрывов второй производной функции в ее промежуточных точках. Приведен пример оптимизации направленного сплайна третьего порядка. Также предложен направленный сплайн четвертого порядка, который лишен изломов. Сформулирован метод оптимизации направленного сплайна четвертого порядка, изложен алгоритм его оптимизации. Критериями оптимизации являются длина сплайна и наименьшее расстояние между его глобальными максимумом и минимумом. Показано, что в сравнении с сплайна Шёнберга направленный сплайн четвертого порядка имеет меньшие выбросы. Предложен метод автоматического притупления острых пиков кривых, который можно применять ко всем типам сплайнов.
Сплайн, сплайн шёнберга, сплайн акимы, направленный сплайн
Короткий адрес: https://sciup.org/147234289
IDR: 147234289 | УДК: 519.67 | DOI: 10.14529/cmse210101
Directional splines and their use for smoothing ejections and fractures of interpolant
A method for constructing a directional cubic spline for a set of points on a plane is formulated and proposed. The spline is compared with the Schoenberg B-spline, Akima and Catmull-Rom splines. It is shown that for unequally spaced points, in comparison with the B-spline, it gives significantly lower overshoots and is practically free of strong kinks, which are characteristic of Akima splines. The spline does not give loops and oscillations, which are a characteristic drawback of parametric splines, in particular, Hermitian ones, which include the Catmull-Rom spline. A fast method for optimizing the spline guiding coefficient is proposed, the purpose of which is to minimize the discontinuities of the second derivative of the function at its intermediate points. An example of optimization of a directional third-order spline is given. A fourth-order directional spline, which is free of kinks, is also proposed. The method of optimization of the directional spline of the fourth order is formulated, the algorithm of its optimization is stated. The optimization criteria are the spline length and the smallest distance between its global maximum and minimum. It is shown that, in comparison with the Schoenberg spline, the fourth-order directional spline has smaller outliers. A method for automatic blunting of sharp peaks of curves is proposed, which can be applied to all types of splines.
Список литературы Направленные сплайны и их использование для сглаживания выбросов и изломов интерполянта
- Powell M.J.D. Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press, 1981. 352 p. DOI: 10.1017/СВ09781139171502.
- Atkinson K.A. An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley and Sons, 1988. 615 p.
- Watson G.A. Approximation Theory and Numerical Methods. John Wiley, 1980. 229 p.
- Schatzman M. Numerical Analysis: A Mathematical Introduction. Clarendon Press, 2002. 496 p.
- Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45-99, 112-141.
- Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Application. Academic Press, 1967. 296 p.
- David F., Rogers J., Adams A. Mathematical Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 2 edition, 1989. 611 p.
- Cohen D. Incremental Methods for Computer Graphics. PhD Thesis. Harvard University, 1969.
- Warnock J.E. A Hidden Surface Algorithm for Computer-Generated Halftone Pictures. Computer Science Department, University of Utah, TR 1-15. 1969.
- Watkins G.S. A Real-Time Visible Surface Algorithm. Computer Science Department, University of Utah, UTECH-CSC-70-101, 1970.
- Akima H. A New Method of Interpolation and Smooth Curve Fitting Based on Local Procedures // Journal of the ACM. 1970. Vol. 17, no. 4. P. 589-602. DOI: 10.1145/321607.321609.
- Catmull E., Rom R. A class of local interpolating splines // Computer Aided Geometric Design. 1974. P. 317-326.
- Barry P.J., Goldman R.N. Recursive evaluation algorithm for a class of Catmull-Rom splines // Computer Graphics. 1988. Vol. 22, no. 4. P. 199-204. DOI: 10.1145/378456.378511.
- Kiefer J.K. Sequential minimax search for a maximum // P. Am. Math. Soc. 1953. P. 502506.
- Brent R.P. Algorithms for Minimization without Derivatives. Dover. 2002. 195 p.
- Круковец А.С., Горелкин Г.А. Разработка метода интерполяции значений номограммы // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5(2). URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53846 (дата обращения: 14.06.2020).
- Dobson A.J. An Introduction to Statistical Modelling. Chapman and Hall, London, 1983.
- Коднянко В.А. О вычислительной избыточности метода дихотомии и условной минимизации унимодальных функций методом экономной дихотомии // Системы и средства информатики. 2019. Т. 29, № 1. С. 164-173. DOI: 10.14357/08696527190113.
- Ruckdeschel F.R. Basic scientific subroutines. Vol. 2. BYTE/McGRAW-HILL, 1981.
- Яненко Н.Н., Квасов Б.И. Итерационный метод построения поликубических сплайн-функций // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, № 5. С. 1055-1057.
- Constantini P., Morandi R. An algorithm for computing shape-preserving cubic spline interpolation to data // Calcolo. 1984. Vol. 21. P. 295-305.
- Рябенький В.С. Локальные формулы гладкого восполнения и гладкой интерполяции функций по их значениям в узлах неравномерной прямоугольной сетки // Препринт. Ин-т прикл. математики АН СССР. 1974. № 21. 35 с.
- Dietze S., Schmidt J.W. Determination of shape preserving spline interpolants with minimal curvature via dual programs // J. Approxim. Theory. 1988. Vol. 52, no. 1. P. 43-57.
- Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
- Мирошниченко В.Л. Изогеометрические свойства и погрешность аппроксимации взвешенных кубических сплайнов // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО РАН, Вып. 154: Сплайны и их приложения. 1995. С. 127-154.
- Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка. 1992. 304 с.
- Dzyubenko G.A., Gilewicz J., Shevchuk I.A. New phenomena in coconvex approximation // Analysis Mathematica. 2006. Vol. 32, no. 2. P. 113-121. DOI: 10.1007/s10476-006-0005-x.
- Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.
- Волков Ю.С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 2. C. 231-241.
- Коднянко В.А. Video DS4-spline optimization 1. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/ kodnyanko/site/science/Video1.mp4 (дата обращения: 12.07.2020).
- Коднянко В.А. Video DS4-spline optimization 2. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/ kodnyanko/site/science/Video2.mp4 (дата обращения: 12.07.2020).
- Коднянко В.А. Video DS4-spline optimization 3. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/ kodnyanko/site/science/Video3.mp4 (дата обращения: 12.07.2020).
