Напряженное состояние полосы с прослойкой при значительной механической неоднородности

Теоретическое изучение сжатия пластического слоя впервые проводилось в работе [1] и затем многими авторами. Так как напряжения на контактной поверхности между слоем и основным материалом неизвестны, возникает обратная граничная задача, в которой требуется для определения сжимающего усилия найти нормальные напряжения на контактной поверхности. Дополнительные условия формулируются в виде ограничений на классы функций, в которых ищется решение. Например, в тонких слоях допускают линейную зависимость касательных напряжений по толщине слоя [2, 3]. Ограничения преследуют две цели: упрощение математической модели и постановку обратной граничной задачи. Список таких условий приведен в работах [4, 5]. Часто применяются гипотеза разделения переменных для касательных напряжений [4–6]

Т у = X ( x ) Y ( У ) ,                                       (1)

и гипотеза поперечных плоских сечений [2, 4, 5, 7–10], когда прямые координатной сетки y = const после деформирования остаются прямыми:

V y = W ( У ).

Здесь v_y – скорость смещения точки слоя в поперечном направлении. В работах [4, 5, 8] деформированные координатные линии аппроксимировались фрагментами синусоид. Это позволило дать описание напряженного состояния слоя в явной аналитической форме. В работах [4, 7, 8] показана эффективность применения гипотезы (1) в форме

Т у = ^xY ( У )                                       ⁽²⁾

для «не очень» тонких слоев. В работах [11–13] методы работ [2, 4, 5, 7–10] перенесены на неоднородный слой. Одно из обобщений гипотезы (1) использовалось в [14]. В работе [15] подходы работ [2, 4, 5, 7–10] применялись для изучения критического состояния кольцевого слоя в составе растягиваемой цилиндрической оболочки, не обязательно тонкостенной. Эффективность упомянутых методов подтверждается возможностью их применения при решении осесимметричных задач [16–21]. Упомянутые гипотезы распространяются на часть слоя кроме окрестностей свободных поверхностей. Около такой поверхности приходится решать задачу Коши для системы уравнений в частных производных гиперболического типа с разрывными граничными условиями [4, 8, 22]. Основным шагом решения этой задачи является решение задачи сопряжения для напряжений на контактной поверхности [4, 8, 22]. В работе [22] показано, что следствием разрывности граничных условий на контактной поверхности является разрывность напряжений в более прочной части соединения. В работах [4, 23, 24] установлен силовой критерий вовлечения основного материала в процесс пластического деформирования – зависимость коэффициента K = оВ / св_в механической неоднородности соединения от угла наклона контактной поверхности. Здесь о В и о _в - пределы прочности основного материала и материала слоя соответственно. В

Математика

частности, если слой ортогонален внешнему усилию, коэффициент K имеет критическое значение K cr = 1,98. Знание K cr необходимо для получения критериев прочности неоднородных (в частности, сварных) соединений в зависимости от их механических и геометрических параметров и разработки вычислительных схем для определения несущей способности неоднородных соединений.

Методы и результаты упомянутых работ [3-24] относятся к случаю 1 <  K <  1,5, наиболее характерному для сварных соединений. В сварных, а тем более в паяных и клееных, соединениях K может быть больше, чем 1,5 . В работах [25–27] исследована прочность наклонных сварных швов тонкостенных цилиндрических оболочек и разработаны вычислительные схемы для ее определения. В этих схемах параметр K заменяется на другую величину K incl вследствие реализации более сложного напряженного состояния в наклонном слое. K incl зависит не только от K , но и от угла наклона слоя и условий нагружения оболочки, и может достигать любых значений в диапазоне ( 1; ~ ) .

Целью данной работы является изучение напряженного состояния пластических слоев в неоднородных соединениях под сжимающей нагрузкой при любых значениях параметра K , и разработка вычислительной схемы нахождения прочности таких соединений. Эта схема базируется на полученных в работе аналитических зависимостях для ряда внутренних параметров задачи. В основе лежит исследование математической модели напряженно-деформированного состояния пластического слоя, содержащей гипотезу (2).

Задача сопряжения на контактной границе

Напряженное состояние пластического слоя при плоской деформации в безразмерных переменных задается системой уравнений [2]:

дет    дт„,

₊ _2xy = 0;                                    (3)

дх ду                                              ’ дгу + дтху ду    дх

= 0;

Г — Г + 4 т = 4.

xy xy

Здесь г _х , r y и т _ху - напряжения. Функции из уравнений (3)-(5) определены на прямоугольном сечении B 1 A 1 AB слоя длиной 2 и толщиной 2 к , к е ( 0;1 ] с осями симметрии в качестве осей декартовой системы координат. A ₁ A и B ₁ B – контактные (длины 2), AB и A ₁ B ₁ – свободные поверхности, точка H = Oy n A 1 A . На осях симметрии слоя касательные напряжения равны нулю:

т ( х ,0 ) = т ( 0, у ) = 0.                                        (6)

На свободной поверхности AB ( х = 1 )

Г = 0; т = 0.                                   (7)

xxy

Напряженное состояние в окрестности свободной поверхности определяется решением задачи Коши для уравнений (3)–(5) при условиях (6), (7). Уравнение (5) получено нормировкой размерных уравнений 22

Г — Г + 4т2 = 4 r± xy xy величинами rB в слое и оВ в основном материале соединения. Поэтому на контактной границе безразмерные напряжения терпят разрыв:

^r - = ^{K r} + ; ^т ^у = ^{К т} ^у .                                  ⁽⁸⁾

Задачей сопряжения для напряжений называется задача нахождения напряжений на контактной границе по уравнениям (8). Обозначим через to угол поворота характеристики при переходе от точки B 1 к точке (обозначим ее F ) контактной поверхности. Аналогично, to - положительный

Дильман В.Л., Напряженное состояние полосы с прослойкой

Дияб А.Н. при значительной механической неоднородности угол поворота характеристики при переходе от точки свободной поверхности к F в основном материале. Тогда система (8) для всех точек отрезка FA приобретает вид [4, 5, 8]:

1 + 2 to + cos2to = К (1 - 2to+ + cos2to+); sin 2 to = К sin 2to+.

Отсюда следует, что на отрезке FA углы to ⁺ и to постоянны, и поэтому там же постоянны напряжения о ^у , о у и т у . В работах [4, 5, 8] получено приближенное решение системы (9):

to

К — 1 1 ( K + 1)( K — 1)

-Г1+—16—

V                   7

to+

^{К -} 1 ⁽ K ^- 1 ) ------- 1 +--

2 К       16

V            7

Сравнение формулы (10) этого решения с полученным там же численным решением показало, что при К <  1,5 с точностью до 0,005 эти решения совпадают, но при К >  1,5 формула (10) непригодна. Формула (11) дает совпадение с численным решением с указанной точностью как минимум на промежутке [1; 2]. В тех же работах на основании численного решения показано, что при К = 1,9816 угол to = П 4, что является условием прекращения роста внешней нагрузки. При

К > Kcr = 1,9816 основной материал деформируется упруго вплоть до состояния предразрушения материала слоя. Для получения более точного аналитического выражения для напряжения оу воспользуемся формулой

оу = К (1 - 2to++ cos2to+)                               (12)

и формулой (11). Подставляя правую часть (11) в (12), получим, что в точках отрезка FA , то есть в точках с координатами ( x ; к ) , x е [ x_F ;1 ] , о ^- ( x , к ) = о у * , где

оу * = 2 + (К -1)

. ( к - 1 ) 2

1--

1+1+CKZ1L

К

V

К

Эта формула дает весьма точные значения для всех К е [ 1; K cr ] . В частности, при

(14) FA .

К = K cr = 1,9816 о _у = 2,5707 = 1 + П 2 = 1 + 2 ( П 4 ) + cos ( 2 ( П 4 ) ) • В общем случае, в точках отрезка FA о у = о у , где

_ . ₌ Г a *. , К е [ 1; К , ] ; ^у [ 1 +п/ 2, К е [ К„ ; - ) .

Здесь а * задано формулой (13). Вычислим касательные напряжения т Ху в точках отрезка Для всех К е [ 1; K_cr ]

тХ. = К sin (2to+) = К V 2to+-( 2to+)3 6 ) = К

К -1 1 , (К - 1)

------- 1 +--

К      8 К

V            7

3                 2 ³

• ¹    Г ^{К - 1} ) 1 4- ^{( К -} 1 )

1 +

• 6    V К 7      8 К

V7

= ( К -1)

^{( К - 1 ) 2}Г, 4 ⁽ K ^{- 1 ) 3}

¹⁺"-8Г" ¹" К   2—

V7

Следовательно, в точках отрезка FA т _ху ( x , к ) = т* . _у , где

*

^T xy

т * * , К е [ 1; K cr ] ;

1, К е [ K cr ; ~ ) .

Математика

Здесь T xУ задано формулой (15). Найдем абсциссу x_F точки F . Когда K е [ 1; K cr ] , в [4, с. 83]

показано, что xF

= 1 -

2к

cos to + sin to

cos to + sin to

= ./1 + K sin(2 to ) = л/1 + T* . xy

Отсюда

¹ /        , K ^е [ ^1; K cr ] ;

^x F =

V¹ + T y

1 - V2 K , K e [ K_cr ; ~ ) .

Вычисление касательных напряжений

Представим уравнение (5) приближенно в виде [3–6]:

° x ^— ^ = 2-^1 ^{— T} xy ~ ^{2 — T} xy .

Используя (18), исключим из (3) и (4) нормальные напряжения. Получим [4, 5] нелинейное уравнение относительно неизвестной функции T xy :

д2 Vy)  д^т   д 2т xy xy дx дy     дx 2    дy y

Подставляя в (6) и (19) правую часть (2), получим, что функция Y (y) удовлетворяет уравнению и начальному условию:

Y ‘ + 4YY ‘ = 0, Y ( 0 ) = 0.                                   (20)

Решение этой задачи в случае сжатия имеет вид:

Y ( y ) = — 0,5 a tg ( ay ) .

Здесь a – произвольный положительный параметр. Из (2) следует, что всюду в слое, за исключением зон свободных поверхностей,

T _xy =— 0,5 axtg ( ay ) .                                    (21)

Для нахождения параметра a следует приравнять значения T _xy , вычисленные в точке F по формулам (16) и (21). Когда K е [ 1; K_cr ] , получим уравнение:

ax F tg ( a к ) = 2 т Хy .

Введем обозначение [4] для функции, обратной функции y = xtgx :

x = ytgy ^ y = atgd ( x ) , x е ( —^ ; +^TO ) , Тогда уравнение (22) можно записать в виде:

y е ( — П 2; П 2 ) .

Если K е [ K_cr ; ~ ) , то

a = — atgd к

( 7 F ^ -xy k xF J

.

a =

Для вычисления приближенных значений функции atgd леммой [4].

Лемма 1 . Функцию atgd можно представить в виде: atgd ( x ) = x ^ ( — x ) , где функция у аналитическая, причем

можно воспользоваться следующей

1     4 2 16 3

ш\ x ) = 1 +— x +-- x +-- x +

3   45    945

4      1984     5

x +-- x + ...

127575     33 - 127575

Дильман В.Л., Дияб А.Н.

Формулы (25), (26) для вычисления функции y = atgd ( x ) удобны для значений x , близких к нулю, и малопригодны для x , близких к ^ . В этом случае можно воспользоваться следующей леммой.

Лемма 2. Функцию atgd можно представить в виде:

atgd (x ) = ф(1( x), где функция ф аналитическая, причем

ф(t) = (П2)(1 -t +t2 -(1 - п2/12)t3 + (1 - п2/з)t4 -...).                   (27)

Доказательство . Сделаем замену переменной x = 1/ t в уравнении x = ytgy . Продифференцируем по t уравнение tytgy = 1. После преобразований, с повторным использованием последнего уравнения, получим:

( 1 + 1 + 1 ² y ² ) y' + y = 0, y (0) = П 2.

Представим решение этой задачи y = ф ( t ) в виде степенного ряда

ф ( t ) = а о + a ^ + a 2 1 + a 3 t ³ + ....

После подстановки правой части этого выражения в предыдущее уравнение вместо неизвестной функции y получим бесконечную последовательность рекуррентных соотношений:

a ₀ = П 2; a₁ = - a ₀ ; a₁ + 2 a ₂ =- a ₁ ; a 0 a ₁ + 2 a ₂ + 3 a ₃ =- a ₂ ;

2 a ₀ a 2 + 2 a 2 a ₂ + 3 a ₃ + 4 a 4 =- a ₃ ; a ³ + 6 a ₀ a ₁ a ₂ + 3 a 2 a ₃ + 4 a 4 + 5 a ₅ =- a 4 ;

и так далее. Отсюда следует:

a1 =-П2; a2 = nJ2; a3 = (-п/2)(1 -п2/12); a4 =(П2)(1 -п2/з); a5 = (-п/2)(1 -п2/б + п4/80);

и так далее. Вычисления показывают, что при значениях x <  2,75 следует использовать формулу (26). В противном случае нужно воспользоваться леммой 2 (формула (27)). Наибольшее отклонение значений функции y = atgd ( x ) , вычисленных по указанным формулам, от полученных численно, составляет около 0,01.

Вычисление нормальных напряжений и критической нагрузки

Существует, как было установлено в работах [4, 27], два различных типа критических состояний менее прочного слоя, связанных с распределением нормальных напряжений Gy по кон тактной границе. В первом случае напряжения Gy нигде на контактной границе не достигают наибольшего возможного для них значения 2K . Во втором случае существует отрезок HM контактной границы, на котором Gy = 2K . Нормальные напряжения и критическая нагрузка в этих случаях находятся по различным вычислительным схемам.

Первый случай . Подставляя выражение (21) в уравнения равновесия (3) и (4) и используя условие текучести (5), после интегрирования уравнений получим:

^G x

----—— --ln|co ^{s (} ay ^{) +} С , 4cos² ( ay ) 2

G = — Gy

Постоянная C находится из уравнения

2 2 ax

- 2ln|cos ( ay )| - 2 + C .

Gy ( xf ,к) = gy , где G* задано формулой (14), а Gy (xF,к) - значение G-, вычисленное в точке (28), причем x = xF находится по формуле (17), а y = к. В результате получаем:

F по формуле

^G x

2 ( a

x ²

4 ^ cos² ( ay )

( xf ) ² + -2ln|cos ( a K )| - g y + 2, x e [ 0; xf ] ,

Математика

о-= 4 (x2 -(xF)2) +2ln

cos ( a к ) cos ( ay )

- о у , x е [ 0; Xf ] .

Из (29) следует, что на контактной границе, то есть при у = к, оу( x ,к ) =

4 ( x ² - x F ) - о у , x е [ 0; x_F ] , - о у , x е [ Xf ;1 ] .

Критическая нагрузка определяется средним напряжением о _yav по контактной поверхности:

оyav = J ОУ( x,к) dx .

Подставив в формулу (31) правую часть (30), получим: 1

оyav =-Joydx + 0,25a2 J (x2 -xF)dx = -(oy + a2xF/б).(32)

Напомним, что о у вычисляется по формуле (14), x_F - по формуле (17), коэффициент a - по формулам (23) и (24). Значения функции у = atgd ( x ) при 0 <  x <  2,75 можно найти по формулам (25), (26), а при x >  2,75 по формуле (27), положив в ней t = 1/ x .

Данный случай характеризуется условием:

max о - ( x , к ) <  2 K .

x e [ 0;1]l ^{yV 4}

В силу (30) это условие можно представить в виде:

о y + a ² x F /4 <  2 K .                                   (33)

Второй случай. Предположим, что условие (33) не выполняется, то есть оy + a2xF/4 > 2K .                                   (34)

В этом случае существует отрезок контактной границы HM (M е HF), на котором оу = 2K . На участке MF функция напряжений оу должна иметь такую же структуру, как в первом случае:

оу = a 2 (x - Xm ) /4 + C.

Для вычисления постоянных x_M и C есть два уравнения:

Отсюда

На отрезке MF

a ²

о-(x ,к ) = у (x - Xm

о-( XF ,к) = -оУ, о-( xM ,к) = - 2 K.

x_M = x_F - ( 2/ a ) 2 K - о у .

A 2 T a Г

) - 2K =— x - xF

*              4 I ^F

2 у

+ -J2K - оу I - 2K, x e[xM; xF ]. a j

Абсцисса x_M точки M положительна по смыслу этого случая. Заметим, что величина x_M , вычисленная по формуле (35), положительна тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (34).

Вычислим критическую нагрузку. Подставив в интеграл (31) выражение (36), получим:

^о У av = J ^{1 о} - ( ^X , ^к ) d ^X = ^{- 2 K X} M ⁺ f ^{XF (} 4 ^{( X - X} M ) 2 ^{- 2 K} ) d ^{X - о y (1 - X} F ) =

0                             x_M

= - 2 Kxm

- 3 ( 4 K + оУ )( xF - XM )-оУ (1 - XF ) .

Дильман В.Л., Дияб А.Н.

Здесь x_M вычисляется по формуле (35), σ ^∗ _y вычисляется по формуле (14), x_F – по формуле (17), коэффициент a – по формулам (23) и (24). При условии (33) критическая нагрузка вычисляется по формуле (32), а при условии (34) – по формуле (37).