Не единственность трансляционно-инвариантная мера Гиббса для одного типа из Hc модели на дереве Кэли

Пусть Т^к = (V, L) - дерево Кэли, где V есть множество вершин и L - его множество ребер. Две вершины х и у называются ближайшими соседями, если существует ребро I соединяющие их и обозначается через I (х, у) .

Рассмотрим HC (hard-core) модель с взаимодействиями ближайшего соседа, с тремя состояниями на дереве Кэли. В этой модели каждой вершине x∈V дерева Кэли ставится в соответствие одно из значений т(x) е {0,1,2}. Значения т(x) =1, 2 означают, что вершина x “занята”, и т(x) = 0 означает, что вершина x “вакантна”.

Конфигурация ст на дереве Кэли, т.е. на V определяется как функция т ( x ): V О {0,1,2} . Аналогично определяется конфигурация на V_n и W_n .

Мы рассмотрим один из плодородных графов, называемая “петля” с тремя вершинами 0, 1, 2 (на множество значений т ( x ) ), которые имеют вид:

(ПО

1        0        2 “петля”: {0,1}, {0,2}; петли в 0,1 и 2.

Обозначим через О = { ключ , жезл , петля , свисток} множество плодородных графов [1]. Другие графы, которые неплодородные, называется бесплодные.

Для G е O мы назовем конфигурация т G -допустимой конфигурацией (на дереве, в Vn или Wn), если {т(x), т(у)} является ребром G для любых ближайших соседних пар x, у (в V, в Vn или Wn соответственно). Обозначим множество G - допустимых конфигураций через QG (QG и QG ).

Vn       Wn

Для графа G рассмотрим функцию Л : G ^ R₊ (см. [1]). Значение Л функции Л в вершине i е {0,1, 2} называется ее “активностью”.

Для данных G и Л мы определим гамильтониан ( G -) HC модели, как нЛ (т)=

' Z^ln 4 ( x ) •

2 x e V

если т eQ ^G ,

+да , в противном случае.

HC модель вызывает интерес с точки зрения статистической механики, комбинаторики и теории нейронных сетей [2].

В работе [1] доказано, что 1) для каждого бесплодного графа G и некоторого множества с положительной активностью на G существует единственная инвариантная мера Гиббса на Q ^G ; 2) для любого плодородного графа G есть множество активности Л на G , для которого Q ^G имеет, по крайней мере, два простые, инвариантные меры Гиббса.

В этом статье мы рассмотрим случай Л = 1, Л = Л = Л >  0 и опишем соответствующие трансляционно-инвариантные меры Гиббса.

Зафиксируем x⁰ е V . Для x , y е V будем писать x <  y , если путь от x ⁰ до у проходит через x . Вершина у называется прямым потомком x , если у >  x и x, у являются ближайшими соседями. Через S ( x ) обозначим множество прямых потомков вершины x . Заметим, что в Т^к всякая вершина x е V , отличной от x ⁰, имеет k прямых потомков, и x ⁰ имеет к + 1 потомков.

Для °_п е Q G мы определим: # °_п = ^ 1 ( ° ( x ) Д 1 ) (число занятых вершин в ^{x e V} n

° n ).

Пусть z: x ^ zx = (z0 ,z1 x,z2 ) е R3 - векторзначная функция на V . Для n = 1,2,..., Л > 0 рассмотрим Un) вероятностное распределение на QG , которое Vn определяется как

U ^{n )} ( ° n ) = 7 Л ° - П z ° ( x ), x , ^Zn       x g W -

где Z есть:

Z = у Л' z (.

ⁿ                             ° ( x ), x

° n gQ ^      x е W_n

Говорят,

что вероятностное распределение U n ) согласовано, если V n >  1 и

° n - 1 ^{е Q} V n _ J

Е ^U n ^{{ а} . - 1 ^V ^ n ^{) 1 (} ° n - 1 ^V ^ n ^{G Q} G_n ) =^U n ~ ¹⁾⁽ ^ n - 1 ) . ® n ^eQ Wn

В этом случае существует единственная вероятностная мера и на ( Q G , B )

такая, что U ( { ° I V = ° _n } ) = U n \°_n ) для всех n и °_n е Q G .

Определение. Мера и , определенная равенствами (2), (3), называется ( G -) HC мерой Гиббса с Л >  0 , соответствующей функции z : x е V \{ x ⁰} ^ z_x . Множество таких мер (для всевозможного выбора z ) обозначается через S .

Для графа G через L ( G )   обозначается множество его ребер, а через

A = A G = ( a_t] ). _7=0t2 - матрица смежности G , т.е.

G a ij ^— a ij

1, если {i, j }e L (G), 0, в противном случае.

Каждой мере Гиббса сопоставляется совокупность векторов { z_x , x G V } .

Следующая теорема дает условие на z , гарантирующее согласованность распределения ^ n ) .

Теорема 1. Вероятностная мера ^ n ) , n = 1,2,... , заданная формулой (2), согласована тогда и только тогда, когда для любого x G V имеют место следующие равенства:

z1x = * П y G S ( x)

a 10 ⁺ a ll z 1, y ^{+ a}i2 ^z 2, y

'                                                         '

a 00 ⁺ a 01 ^z 1, y ^{+ a} 02 ^z 2, y

z2. = * П y G S ( x)

a 20 + a 21 ^z 1, y + a 22 ^z 2, y a 00 ⁺ a 01 ^z 1, y ^{+ a} 02 ^z 2, y

где zix = *z{ xz z0 x, i = 1,2.

i , x             i , x          , x

Мы полагаем, что z = 1 и z.   = z '.   >  0, i = 1,2 . Тогда в силу теоремы 1,

, x                    i , x           i , x для любых функций x G V ^ zx = (z x, z2 ), удовлетворяющих

a + az + a„z

z^ = * П  i0  —       , i = 1,2,

y G S ( x ) ^a 00 ⁺ a 01 ^z 1, y ⁺ a 02 ^z 2, y

существует единственная G -HC мера Гиббса ^ , и наоборот. Естественно начать с

2        ,    0

трансляционно-инвариантные (ТИ) решения (7), т.е. считать, что z_x = z G R₊ , x ^ x .

Случай петля .

В этом случае, предполагая

z_x = z , мы получим из (5) следующую систему

уравнений:

k

к

^z 1

= *

+ z1

У 1 + z1 + z 2 ;

k

,

z 2

= *

+ z 2

^ 1 + Z1 + Z 2 ;

.

и доказана следующая

Теорема 2. Пусть k = 2 , тогда в случае петля

• 1)    при A < — существует единственная HC ТИ мера Гиббса Д _о;

• 2)    при A > — существуют три HC ТИ меры Гиббса Д , i = 0,1,2 .

Следующая лемма дает оценки для произвольного решения системы (5).

Лемма. Если z = (z, , z9 ) является решением (5) в случае петля, то x           , x       , x z2 < zt x < z + для любого i = 1,2, x e V, где (zj , z+, z2 , z +) - решение следующей системы:

—

k

— z 1

= A

^ z 2 7

,

^z 1 ⁺

= A

I '-^

^ 1 + z^ + z-

k

— z 2

= A

1 + z ₂

1 + z^ + z

—

' 2 7

k

,

z 2 ⁺

= A

•+

—

' 2 7

k

,

•+

' 2 7

.

Теорема 3. Пусть k = 2 , тогда в случае петля

1) при A < — система (7) имеет единственное решение z ;

,    9

2) при A > —

система (7) имеет три

*    ( ~   1      —    1 A

решения  z1 = (z , —, z , —),

z     z

*   ,1    1    -   -A

z 2 = (— , — , z , z ) и zz

*  — - - 1   4

z3 = (z ,z , —,—), где z zz

1 — У1 — 4 a2

2 a

\ 2

.

Заметим, что для A > —

имеем 0 < a < — и

z < 1.

Следствие. Если

к = 2 , A >   , то для любого решения системы (5) (в случае

петля ) имеем z <  z.

<—, i = 1,2. z