Нечеткие модели оптимизации портфеля проектов университета с учетом влияния на характеристики отношений со стейкхолдерами

Проблема предварительного отбора проектов при формировании и реализации программы стратегического развития возникает практически во всех университетах. С этой проблемой сталкиваются: 1) небольшие региональные университеты, поставленные перед необходимостью выживать и развиваться в жесткой конкурентной среде в условиях значительного сокращения бюджетного финансирования; 2) вузы, прошедшие конкурсный отбор и попавшие в число опорных университетов, но не получившие финансового обеспечения программ развития, на которое рассчитывали; 3) вузы-участники проекта 5˗100, вынужденные распределять одобренный бюджет таким образом, чтобы охватить все направления развития.

Данная работа является продолжением работ авторов, посвященных проблеме оптимизации и Е. С. Манайкиной «Формирование портфеля проектов компании на основе принципов устойчивого развития» [10] процесс отбора проектов в портфель осуществляется с учетом соответствия планируемых результатов проекта и стратегических целей компании в области устойчивого развития. Проблема увязки целей компании и проектов рассматривалась также в работах [11–19]. В этих и других работах были также предложены различные подходы к количественному измерению соответствия проектов стратегическим целям. В этой связи можно особо отметить работу В. М. Аньшина «Методологические аспекты измерения взаимовлияния портфеля проектов и целей компании» [20], в которой увязка целей и проектов реализуется через последовательность шагов: цель – звено цепочки ценности – стратегический результат – проект. Автором предложены показатели соответствия целей и портфеля, показатели интегральной оценки достижения целей и методы их расчета.

Данный подход является альтернативным подходу, в рамках которого для отражения стейк-холдерской значимости проекта вводятся дополнительные показатели, например, социальная значимость и государственная значимость [21, 22, 23].

В моделях третьей группы в качестве эффектов от реализации проекта учитываются возможные изменения в отношениях между организацией и ее группами заинтересованных сторон [24, 25, 26].

В данной статье предлагается новая модель, отличительной особенностью которой является задание нечетких правил вывода для определения изменений характеристик отношений в результате осуществления того или иного проекта.

1.    Определение характеристик отношений

В последние два десятилетия набирает популярность понимание стейкхолдеров как «вкладчиков» ресурсов организации. Это позволяет обосновать их требования прямого либо косвенного воздействия на стратегические решения организации до принятия данных решений, в то время как остальные акторы стратегического процесса защищают свои интересы после принятия решений, в ходе их реализации [27]. В этой связи приемлемость стратегических решений для стейкхолдеров (и для фирмы) обычно трактуется с позиций устойчивости ресурсного обмена между ними [28].

Ресурсный обмен между организацией и заинтересованной стороной определяется их взаимным интересом друг к другу (обусловленным их стратегических целями). При получении ресурсов в недостаточном количестве или недостаточного качества (для достижения целей) возникает неудовлетворенность, которая, в свою очередь, может привести к желанию изменить сложившиеся отношения. Это зависит от величин, извлекаемых квазирент и трансакционных издержек на поиск и установление новых отношений, но не только. Значительную роль играют ожидания, основанные на информации (прежде всего, о свойствах контрагента) и предшествующем опыте агента. Положительные ожидания снижают степень желания изменений, отрицательные усиливают его. Таким образом, желание изменений в отношениях складывается из неудовлетворенности в этих отношениях, «пропущенной» через систему взаимных ожиданий.

Ранее нами были выделены следующие характеристики отношений между организацией и ее стейкхолдерами: степень удовлетворенности ресурсным обменом; степень желания изменений (являющаяся функцией удовлетворенности и ожиданий в отношении контрагента); степень взаимного влияния [29].

В данной работе будем рассматривать следующие характеристики отношений, связанные с осуществлением проектов:

• 1)    степень удовлетвореннос ти k -ой группой заинтересованных сторон ( к = 1, K ) организацией в текущий момент вре мен и ( U _k ⁰) и после осуществления проекта n ( n = 1, N ) в рамках сценария l ( l = 1, L ) ( U_м );

• 2)    количественная оценка ожиданий k -ой группы заинтересованных сторон в отношении организации в текущий момент времени ( O_k ⁰) и после осуществления проекта n в рамках сценария l ( O_k ¹ _nl );

• 3)    степень желания изменений k -ой группы заинтересованных сторон в отношении организации в текущий момент времени ( G_k ⁰) и после осуществления проекта n в рамках сценария l ( G_k ¹ _nl ).

Одной из главных проблем, связанных с оценкой характеристик отношений, является то, что они представляют собой нечеткие, размытые понятия, на значения которых сильное влияние оказывают суждения, восприятия и эмоции эксперта. В этой связи предлагается оценивать их вербально, с последующим преобразованием вербальных оценок в нечеткие числа.

Шаг 1. Зададим следующие терм-множества лингвистических переменных U_k ⁰, U_k ¹ _nl (табл. 1) и O k ⁰, O k ¹ nl (табл. 2).

Шаг 2. Введем следующие нечеткие переменные: сила влияния проекта n в рамках сценария l на удовлетворенность k -ой группы заинте-

Таблица 1 Терм-множество лингвистической переменной «степень удовлетворенности»		Таблица 3 Терм-множество лингвистических переменных «сила влияния проекта на удовлетворенность»
Значение лингвистической переменной	Функция принадлежности		и «сила влияния проекта на ожидания»
			Значение лингвистической переменной	Функция принадлежности
Полностью не удовлетворен	(–5;-5;-4;-3)
Значительно не удовлетворен	(–4,5;-3,75;-2,25;-1,5)		(+)Очень сильно	(3,5; 4; 5; 5)
Умеренно не удовлетворен	(–3;-2,25;-0,75;0)		(+)Сильно	(2; 2,5; 3,5; 4)
Частично удовлетворен и частично	(–1,5;-0,75;0,75;1,5)		(+)Умеренно	(1; 1,5; 2,5; 3)
не удовлетворен			(+)Слабо	(0; 0,5; 1,5; 2)
Умеренно удовлетворен	(0;0,75;2,25;3)		(+)Очень слабо	(0; 0; 0,5; 1)
Значительно удовлетворен	(1,5;2,25;3,75;4,5)		(–)Очень слабо	(–1; –0,5; 0; 0)
Полностью удовлетворен	(3;4;5;5)		(–)Слабо	(–2; –1,5; –0,5; 0)
			(–)Умеренно	(–3; –2,5; –1,5; –1)
Терм-множество лингвистической переменной			(–)Сильно	(–4; –3,5; –2,5; –2)
«количественная оценка ожиданий»			(–)Очень сильно	(–5; –5; –4; –3,5)
Значение лингвистической переменной	Функция принадлежности		U
Коренным образом ухудшится	(–5;-5;-4;-3)	ресованных сторон организацией ( Bknl ) и на ожидания k -ой группы заинтересованных сторон в отношении организации ( BkOnl ).
Значительно ухудшится	(–4,5;-3,75;-2,25;-1,5)
Незначительно ухудшится	(–3;-2,25;-0,75;0)	Зададим следующие терм-множества лингвистических переменных BkUnl и BkOnl (табл. 3). Здесь знак (+) означает положительное влияние, знак (–) – отрицательное. Шаг 3. Будем считать, что степень удовлетво-
Не изменится	(–1,5;-0,75;0,75;1,5)
Незначительно улучшится	(0;0,75;2,25;3)
Значительно улучшится	(1,5;2,25;3,75;4,5)
Коренным образом улучшится	(3;4;5;5)	ренности стейкхолдера после осуществления проек-

Таблица 4

Определение степени удовлетворенности после осуществления проекта (для ожиданий «незначительно ухудшится», «не изменится», «незначительно улучшится»)

Текущая степень удовлетворенности Сила влияния проекта на удовлетворенность (+) Очень сильно (+) Сильно (+) Умеренно (+) Слабо (+) Очень слабо Полностью не удовлетворен Умеренно не удовлетворен Значительно не удовлетворен Значительно не удовлетворен Полностью не удовлетворен Полностью не удовлетворен Значительно не удовлетворен Умеренно удовлетворен Частично удовлетворен и частично не удовлетворен Умеренно не удовлетворен Умеренно не удовлетворен Значительно не удовлетворен Умеренно не удовлетворен Значительно удовлетворен Умеренно удовлетворен Умеренно удовлетворен Частично удовлетворен и частично не удовлетворен Умеренно не удовлетворен Частично удовлетворен и частично не удовлетворен Значительно удовлетворен Значительно удовлетворен Умеренно удовлетворен Умеренно удовлетворен Умеренно удовлетворен Умеренно удовлетворен Полностью удовлетворен Значительно удовлетворен Значительно удовлетворен Умеренно удовлетворен Умеренно удовлетворен Значительно удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Значительно удовлетворен Значительно удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен Полностью удовлетворен та зависит от его степени удовлетворенности до осуществления проекта, силы влияния проекта на удовлетворенность, а также текущих ожиданий группы заинтересованных сторон к организации, то есть uk^ = fl(U0,Ok, bU). (1)

В этой связи зададим соответствующие нечеткие правила вывода. В табл. 4 и 5 частично приведены нечеткие правила вывода для случаев положительного влияния проекта на удовлетворенность.

Шаг 4. Будем считать, что количественная оценка ожиданий стейкхолдера после осуществления проекта зависит от текущих ожиданий группы заинтересованных сторон к организации и силы влияния проекта на ожидания, то есть okni = f 2 (o", BOni). (2)

В этой связи зададим соответствующие нечеткие правила вывода. В табл. 6 частично приведены нечеткие правила вывода для случаев положительного влияния проекта на ожидания.

Шаг 5. Степень желания изменений k -ой группы заинтересованных сторон в отношении организации после осуществления проекта n в рамках сценария l рассчитывается следующим образом:

g ni = 5 - U kni • c + OL 1 • c 2 ) , c l + c 2 = 1, (3)

где c ₁ ^k , c ₂ ^k – нормированные весовые коэффициенты удовлетворенности и ожиданий.

2.    Модели

Рассматривается задача оптимизации программы развития организации с учетом отношений со стейкхолдерамии ограничений по ресурсам, объемам инвестирования, а также рисков. Данная задача представляет собой задачу портфельного инвестирования [30, 31].

Имеется N проектов P ₁ , P ₂ ,...,P_N , осуществление каждого из которых изменяет сложившиеся отношения организации с каждой из K групп заинтересованных сторон.

Группы заинтересованных сторон имеют разную значимость (важность) для организации. В четкой постановке веса групп w ₁, w ₂,..., w_K определялись с помощью моделей, основанных на различных модификациях метода анализа иерархий [29, 32].

В нечетком случае веса стейкхолдеров могут быть заданы как нечеткие числа. Экспертам может быть предложена некоторая лингвистическая шкала (терм-множество лингвистической переменной «Значимость k -го стейкхолдера»), например, {Низкая; Ниже средней; Средняя; Выше средней; Высокая; Очень высокая} с заданными функциями принадлежности. В дальнейшем

Таблица 5

Определение степени удовлетворенности после осуществления проекта (для ожиданий «коренным образом ухудшится»)

Текущая степень удовлетворенности	Сила влияния проекта на удовлетворенность
	(+) Очень сильно	(+) Сильно	(+) Умеренно	(+) Слабо	(+) Очень слабо
Полностью не удовлетворен	Значительно не удовлетворен	Полностью не удовлетворен	Полностью не удовлетворен	Полностью не удовлетворен	Полностью не удовлетворен
Значительно не удовлетворен	Частично удовлетворен и частично не удовлетворен	Умеренно удовлетворен	Значительно не удовлетворен	Значительно не удовлетворен	Полностью не удовлетворен
Умеренно не удовлетворен	Умеренно удовлетворен	Частично удовлетворен и частично не удовлетворен	Умеренно не удовлетворен	Умеренно не удовлетворен	Значительно не удовлетворен
Частично удовлетворен и частично не удовлетворен	Значительно удовлетворен	Умеренно удовлетворен	Частично удовлетворен и частично не удовлетворен	Частично удовлетворен и частично не удовлетворен	Умеренно не удовлетворен
Умеренно удовлетворен	Полностью удовлетворен	Значительно удовлетворен	Умеренно удовлетворен	Умеренно удовлетворен	Частично удовлетворен и частично не удовлетворен
Значительно удовлетворен	Полностью удовлетворен	Полностью удовлетворен	Значительно удовлетворен	Значительно удовлетворен	Умеренно удовлетворен
Полностью удовлетворен	Полностью удовлетворен	Полностью удовлетворен	Полностью удовлетворен	Полностью удовлетворен	Значительно удовлетворен

Таблица 6

Определение количественной оценки ожиданий после осуществления проекта

Текущая количественная оценка ожиданий Сила влияния проекта на ожидания (+) Очень сильно (+) Сильно (+) Умеренно (+) Слабо (+) Очень слабо Коренным образом ухудшится Незначительно ухудшится Значительно ухудшится Значительно ухудшится Коренным образом ухудшится Коренным образом ухудшится Значительно ухудшится Незначительно улучшится Не изменятся Незначительно ухудшится Незначительно ухудшится Значительно ухудшится Незначительно ухудшится Значительно улучшится Незначительно улучшится Незначительно улучшится Не изменятся Незначительно ухудшится Не изменятся Значительно улучшится Значительно улучшится Незначительно улучшится Незначительно улучшится Незначительно улучшится Незначительно улучшится Коренным образом улучшится Значительно улучшится Значительно улучшится Незначительно улучшится Незначительно улучшится Значительно улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Значительно улучшится Значительно улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится Коренным образом улучшится экспертные оценки обобщаются (агрегируются) и нормируются так, как предложено в диссертационной работе А. С. Птускина [33]. В результате получим нормированные нечеткие веса стейкхолдеров, сумма которых будет нечетким числом, «размытым» около единицы.

Необходимо с учетом имеющихся ресурсов организации, рисков проектов и их полезности сформировать оптимальный портфель из этих проектов.

Для моделирования внутренних и внешних условий применим сценарный подход: будем рассматривать L сценариев возможных изменений внутренней и внешней среды S ₁, S ₂,..., S_L , где p ₁, p ₂,..., p_L – вероятности этих сценариев. Вероятности сценариев также могут быть заданы как нечеткие числа (аналогичным образом, как веса стейкхолдеров). Эти вероятности (как, впрочем, и четкие вероятности сценариев) не являются классическими, а выражают степень экспертной уверенности в тех или иных изменениях внутренних и внешних условий.

Каждый из проектов P_n характеризуется следующими показателями:

– объемом необходимых для своей реализации ресурсов B_n ,

l

– полезностями проекта u_n в рамках каждого из L сценариев.

В данной модели полезность проекта P_n в рамках сценария S_l будем рассчитывать следующим образом:

K uln = 10-E GkkniWk.               (4)

k =1

Таким образом, полезность проекта будет тем выше, чем сильнее снизится интегральная степень желания изменения стейкхолдеров в результате его осуществления, то есть чем больше вырастет удовлетворенность заинтересованных сторон и улучшатся их ожидания.

Под удельной полезностью проекта P_n в рамках сценария S_l будем понимать величину u % _n ^l , вычисляемую по формуле:

~

u

l

n

u

l

n

B

n

В качестве мер риска проектов будем использовать дисперсии удельных полезностей ( Du % _n ^l ). При этом и математические ожидания, и дисперсии удельных полезностей также будут нечеткими числами.

Определим двоичную переменную y_n , принимающую значения 0 и 1, следующим образом:

• –    y_n = 0, если проект n не включается в программу развития организации;

• –    y_n = 1, если проект n включается в программу развития организации.

• 2.    Определяем нечеткие весовые коэффициенты K релевантных групп заинтересованных сторон. Рассчитываем нормированные нечеткие веса стейкхолдеров.

• 3.    Определяем текущие характеристики отношений организации со стейкхолдерами: степени удовлетворенности заинтересованных сторон, количественные оценки их ожиданий, степени желания изменений групп в отношении организации.

• 4.    Определяем набор из L сценариев и нечетко оцениваем вероятность каждого из них. Рассчитываем нормированные нечеткие вероятности сценариев.

• 5.    Для каждого проекта определяем степень желания изменений каждого стейкхолдера в отношении организации после осуществления проекта в рамках каждого сценария с помощью заданных нечетких правил вывода.

• 6.    Для каждого проекта по всем сценариям рассчитываем его нечеткие полезности по формуле (4) и нечеткие удельные полезности по формуле (5).

• 7.    Находим нечеткое мат. ожидание удельной полезности проекта n :

• 8.    Нечетко задаем верхнюю границу по имеющимся ресурсам B0.

• 9.    Полезность портфеля m_port = ^ y i m. , риск

Предлагается следующая схема проведения анализа и построения оптимального портфеля:

1. Для каждого из N рассматриваемых проектов нечетко определяем суммарные затраты по проекту.

L mn = E (u П) = E u Пр i i=1

и нечеткие элементы ковариационной матрицы удельных полезностей проектов i и j :

Vj = 1L (-%' — -mM" ”,) Pl l=1

N портфеля o2orrt = £ y j

• -, j =1

С использованием введенных выше предположений, соотношений и обозначений предлагается формирование портфеля проектов осуществлять с помощью следующих моделей.

Модель первая. Программа развития организации формируется по критерию максимума ожидаемой удельной полезности при ограничениях на величину риска программы и объем ресурсов, необходимых для реализации программы:

!>№ ^ max,

=1

i L y j ^ ° о ,            ⁽⁸⁾

• i ,    j =1

N

L yB. ^ B 0 .

. i =1

Модель вторая. Программа развития организации формируется по критерию минимума риска программы при ограничениях на объем ресурсов, необходимых для реализации программы, и величину ожидаемой удельной полезности:

iNLyyjVy ^ min,

• i ,    j =1

T N

• *L y-m- ^m o,                 ⁽⁹⁾

3.    Апробация моделей на примере Владивостокского государственного университета экономики и сервиса

i 1

X yB^ в o .

^ i 1

Сформулированные модели формирования оптимального портфеля проектов программы развития организации представляют собой нечеткие задачи булева квадратичного программирования. Данные задачи сводятся к четким задачам булева квадратичного программирования, после чего могут быть решены с использованием стандартных методов [11, 34, 35].

Для каждого портфеля проектов, являющегося решением четких оптимизационных задач, рассчитываем нечеткий риск, нечеткую полезность и нечеткий бюджет. Полученные нечеткие характеристики портфеля могут быть сведены к четким путем дефазификации.

Продемонстрируем использование первой из предложенных моделей на следующем примере из практики Владивостокского государственного университета экономики и сервиса (ВГУЭС). Выбор именно первой модели связан с тем, что задача максимизации полезности (при ограничении на риск) более распространена в управленческой практике, чем задача минимизации риска (при ограничении на полезность).

Прежде всего экспертно была вербально определена значимость основных групп заинтересованных сторон (ГСЗ) университета (табл. 7).

Таблица 7 Основные стейкхолдеры ВГУЭС и их значимость

ГЗС	Важность ГЗС
Сотрудники	Высокая	(5; 6; 8; 9)
Бизнес-сообщество	Выше средней	(4; 5; 7; 8)
Общество	Ниже средней	(2; 3; 5; 6)
Государство	Выше средней	(4; 5; 7; 8)
Клиенты	Очень высокая	(8; 9; 10; 10)

Если сравнить полученные оценки с более ранними [29], то можно отметить снижение относительной значимости группы «Государство», что связано с существенным сокращением бюджетного финансирования вуза. При этом возросла относительная важность группы «Клиенты», что также связано с сокращением бюджетного финансирования и необходимостью привлечения существенного количества студентов, обучающихся на возмездной основе. При этом возрастающие требования регулятора к среднему баллу ЕГЭ поступивших в вуз вынуждают университет привлекать «высокобалльников» как на бюджетные, так и внебюджетные места за счет создания образовательных программ, обладающих уникальной потребительской ценностью.

В табл. 8 приведены вербальные оценки текущих характеристик отношений вуза со стейкхолдерами.

Программа стратегического развития ВГУЭС включает более 50 проектов по всем направлени- ям развития университета (образование, наука, система управления, кадры, инфраструктура, взаимоотношения с местными сообществами).

При демонстрации использования предложенных моделей нами для простоты и наглядности было выбрано 9 укрупненных проектов (стратегических мероприятий), каждый из которых в большей степени ориентирован на тех или иных стейкхолдеров (табл. 9).

Рассматривались три сценария возможных изменений внутренней и внешней среды университета (пессимистичный, реалистичный и оптимистичный). Экспертно определена вероятность каждого сценария по соответствующей лингвистической шкале. Рассчитаны нормированные нечеткие вероятности сценариев: (0,08; 0,23; 0,33; 0,67), (0,38; 0,50; 0,72; 1,17) и (0; 0,09; 0,17; 0,33) соответственно.

Для каждого проекта определена степень желания изменений каждого стейкхолдера в отношении организации после осуществления проекта

Таблица 8

Оценки текущих характеристик отношений вуза со стейкхолдерами

Стейкхолдер	Степень удовлетворенности	Количественная оценка ожиданий	Степень желания изменений
Государство	Значительно удовлетворен	Незначительно ухудшится	(2,3; 3,05; 4,55; 5,3)
Общество	Значительно удовлетворен	Незначительно улучшится	(1,1; 1,85; 3,35; 4,1)
Клиенты	Умеренно удовлетворен	Значительно улучшится	(1,4; 2,15; 3,65; 4,4)
Сотрудники	Умеренно удовлетворен	Значительно ухудшится	(3,8; 4,55; 6,05; 6,8)
Бизнес сообщество	Умеренно не удовлетворен	Значительно улучшится	(1,4; 2,15; 3,65; 4,4)

Таблица 9

Стратегические мероприятия (проекты)

№ п/п	Проект	Затраты (млн руб.)
1	Расширение пакета образовательных программ по техническим направлениям подготовки с учетом стратегии социально-экономического развития Приморского края и Дальневосточного региона	(4; 5; 5; 6)
2	Формирование кадрового потенциала предприятий, организаций, государственных и муниципальных органов, участвующих в реализации проектов резидентов территорий опережающего развития и свободного порта Владивосток	(3; 4; 4; 5)
3	Развитие модели практико-интегрированного обучения	(11; 13; 13; 15)
4	Создание научных центров компетенций по приоритетным направлениям науки	(50; 57; 63; 70)
5	Развитие молодежной науки университета	(5; 6; 6; 7)
6	Внедрение инноваций в управление и учебный процесс университета	(29; 32; 34; 37)
7	Разработка и внедрение системы развития человеческого капитала для достижения стратегических целей университета	(7; 8; 9; 10)
8	Создание дискуссионной площадки по проблемам развития Владивостока и Приморского края	(3; 4; 4; 5)
9	Создание центра развития физкультурно-оздоровительных инициатив региона	(25; 28; 32; 35)

в рамках каждого сценария с помощью заданных нечетких правил вывода.

После этого рассчитаны нечеткие полезности проектов при осуществлении каждого сценария, нечеткие удельные полезности проектов (табл. 10), нечеткие мат. ожидания удельных полезностей проектов, построена нечеткая ковариационная-матрица удельных полезностей проектов.

Таблица 10

Удельные полезности проектов

Номер проекта	Сценарий 1	Сценарий 2	Сценарий 3
1	(0,40; 3,93; 7,72; 8,74)	(1,16; 4,84; 8,21; 9,1)	(3,11; 5,99; 8,78; 9,42)
2	(0,88; 4,24; 7,85; 8,82)	(2,34; 5,38; 8,47; 9,24)	(3,37; 6,14; 8,85; 9,49)
3	(0,36; 3,9; 7,69; 8,72)	(1,44; 4,74; 8,13; 8,98)	(2,44; 5,49; 8,52; 9,24)
4	(1,15; 4,45; 7,97; 8,91)	(1,36; 4,6; 8,05; 8,97)	(2,35; 5,37; 8,48; 9,27)
5	(0,36; 3,87; 7,64; 8,67)	(1,35; 4,62; 8,09; 9,01)	(1,35; 4,62; 8,09; 9,01)
6	(0,32; 3,79; 7,6; 8,67)	(0,96; 4,34; 7,94; 8,91)	(2,48; 5,5; 8,56; 9,3)
7	(0,59; 4,04; 7,74; 8,75)	(1,78; 4,94; 8,28; 9,16)	(2,17; 5,22; 8,43; 9,27)
8	(0,36; 3,87; 7,64; 8,67)	(1,03; 4,35; 7,89; 8,85)	(1,48; 4,69; 8,04; 8,92)
9	(0,51; 3,98; 7,69; 8,7)	(0,72; 4,13; 7,77; 8,76)	(1,74; 4,93; 8,19; 9,03)

Для того чтобы свести нечеткие оптимизационные задачи к четким оптимизационным задачам, необходимо задать уровни достоверности по целевой функции и по каждому ограничению. В общем случае эти уровни достоверности могут быть различными. В нашем примере для простоты все они заданы равными (γ=0,95). Для заданного уровня достоверности сформулированы и решены четкие задачи булева квадратичного программирования.

В табл. 11 приведены некоторые результаты применения первой модели, когда программа развития университета формируется по критерию максимума ожидаемой удельной полезности при ограничениях на величину риска программы и объем ресурсов.

Заметим, что переход к четким ограничениям сверху на риск требует предварительного расчета вспомогательной матрицы R = ( r ij ) Nj _{= 1}, где r j = ( 1 - y ) a 3 + Ya 4 , если v j =< a‘ i ; a 2 ; a 3 ; a ‘^Jj > .

Сумма всех элементов матрицы R есть точная нижняя грань всех возможных четких вспомогательных ограничений на риск, при которых решением оптимизационной задачи является множество всех рассматриваемых проектов (при соответствующем бюджете). В нашем примере она равна 54950,76.

Такие искусственно большие значения вспомогательных ограничений на риск вызваны тем, что правые границы нечетких значений ковариационной матрицы ( a 4 ) существенно превосходят по модулю абсциссы остальных вершин трапеции ( a_x j , a 2 , a ‘j ). Переход от нечеткого ограничения на общие затраты <  b₀;b 2 ;b 03 ;b 04 >  к четкому вспомогательному бюджетному ограничению также происходит по формуле, в которой участвуют абсциссы лишь двух правых вершин трапеции: b₀ = ( 1 - y ) b 0 + Yb 04 . В этой связи дефазификацию нечеткого риска и нечеткого бюджета отобранного портфеля проектов предлагается осуществлять методом среднего максимума, равно как и дефазификацию нечеткой полезности.

Уровень достоверности γ определяет вид четкой целевой функции и жесткость ограничений и потому оказывает влияние на состав портфеля и его нечеткие и четкие оценки [5, 11]. Чем меньше γ , тем больше учитывается размытость нечетких параметров модели, то есть неопределенность.

Заключение

В работе предложены нечеткие оптимизационные модели поддержки принятия решений о выборе портфеля проектов при формировании программы стратегического развития университета. В качестве нечеткой целевой функции используется функция удельной полезности, аргументами которой являются степени желания изменений стейкхолдеров в отношении вуза после осуществления проектов с учетом значимости заинтересованных сторон и величин затрат по проектам. Предполагается, что полезность проекта будет тем выше, чем сильнее снизится интегральная степень желания изменения стейкхолдеров в результате его осуществления, то есть чем больше вырастет удовлетворенность заинтересованных сторон и улучшатся их ожидания. Степень желания изменений стейкхолдеров после осуществления проектов определяется с помощью нечетких правил вывода. Ограничения в моделях также являются нечеткими. Нечеткие оптимизационные задачи сводятся к четким и решаются с помощью стандартных методов, при этом требуется экзогенное задание уровней достоверности для целе-

Моделирование формирования программы развития университета (максимизация ожидаемой полезности, модель первая, γ =0,95)

Таблица 11

Вспомогательное ограничение на общие затраты (млн руб.)	Вспомогательное ограничение на риск портфеля проектов	Номера проектов, вошедших в портфель	Риск портфеля проектов	Ожидаемая полезность портфеля проектов	Общие затраты портфеля проектов (млн руб.)
98,7	32970	1, 2, 4, 5, 7, 8	270,9	41,1	83,5
	41213	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	379,4	47,7	70,2
	32970	1, 2, 3, 4, 5, 7	273,1	41,4	92,1
129,4	41213	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	370,9	47,9	95,9
	53852	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9	493,2	54,1	98,8
	32970	1, 2, 3, 4, 5, 7	273,1	41,4	92,1
158,0	41213	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	370,9	47,9	95,9
	53852	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	490,3	54,5	127,4
	32970	1, 2, 3, 4, 5, 7	273,1	41,4	92,1
181,9	41213	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	370,9	47,9	95,9
	53852	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	490,3	54,5	127,4
	54951	Все проекты	619,8	61,0	156,1

вых функций и ограничений. Задавая различные уровни достоверности, лицо, принимающее решение, в большей или меньшей степени учитывает имеющуюся неопределенность. При этом будет меняться состав портфеля.

Дальнейшие исследования в данной области могут быть направлены на разработку многопериодных нечетких оптимизационных моделей, в том числе моделей скользящего планирования портфеля проектов с учетом рисков и отношений со стейкхолдерами.