Некоторые аналитические решения в задачах оптимизации переменного коэффициента теплопроводности

Долгое время для повышения термопрочности изделий, находящихся в областях с высокотемпературным окружением, применялись однородные и слоистые теплозащитные покрытия, недостатком которых является высокая концентрация напряжений в области сопряжения покрытия и подложки [1]. В настоящее время для преодоления этого

• ^# Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №  22-11

• 2.    Решение задачи оптимизации переменного коэффициента трубы вариационным методом Лагранжа

00265, в Южном федеральном университете.

(0 2024 Ватульян А. О., Нестеров С. А.

недостатка широко используются функционально-градиентные материалы (ФГМ) — металлокерамические композиты различной структуры с контролируемым профилем распределения по объему металлической и керамической фаз [2].

Задача создания желаемых распределений температуры (обычно минимальных) в твердом теле посредством граничных тепловых потоков, либо распределения внутри тела источников тепла или теплофизических характеристик — очень важная задача в технике, особенно в металлургии и системах охлаждения [3–6]. Структуры ФГМ с заданными переменными теплофизическими свойствами можно достичь различными методами, например, физическим и химическим осаждением слоев, методами порошковой металлургией, аддитивными технологиями [7–10]. Так, в случае использования порошковой металлургии технологический процесс состоит из ряда этапов, таких, как спекание, плавление, послойное прессование, напыление.

В настоящий момент проведено достаточно большое число исследований, касающихся проектирования тепловых процессов посредством оптимизации формы [11–16]. Среди фундаментальных работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, можно выделить в первую очередь, монографию Баничука Н. В. [17], где систематически освещены методы исследования задач оптимизации формы различных конструкций. В настоящее время основными аналитическими методами исследования задач оптимизации выступают: метод построения сопряженных уравнений и вариационный принцип Лагранжа [17, 18], метод разложения по малому физическому параметру [19–21], принцип максимума Понтрягина [22–24]. Нужно отметить также, что коэффициентные обратные задачи математической физики часто сводятся к оптимизационным задачам [25]. Аналитические решения задач оптимизации переменного коэффициента теплопроводности вариационным методом Лагранжа получены только для стержневых структур [26– 28].

В настоящей работе исследуются задачи оптимизации переменного коэффициента теплопроводности плоской стенки и цилиндрической трубы. Для получения аналитических решений применяются различные методы оптимизации: вариационный принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру. На конкретных примерах оценен выигрыш от оптимизации.

Одним из основных методов оптимизации является метод множителей Лагранжа [29]. Рассмотрим его применение к задаче оптимизации переменного коэффициента теплопроводности k(r) неоднородной трубы, на внутренней поверхности r = r i которой задана нулевая температура, а на внешней r = Г2 — тепловой поток q o . В качестве минимизируемого функционала выступает максимальная температура трубы, а в качестве ограничения — изопериметрическое условие для коэффициента теплопроводности.

Постановка вариационной задачи имеет вид:

dr(^rk{r) dr} ⁼⁰ , dr dr

r 1 С r С r ₂ ,

T(ri)=0, k (r2) dT (r2) = qo, dr r2

У k(r)r dr = s,   k(r) ^ 0, r1

J = max( T ( r )) ^ min .

k

Из граничных условий (2) следует, что максимальная температура будет на внешней поверхности трубы r = Г 2 .

Выполним обезразмеривание задачи по формулам [30]: £ = ^ , C o = Г 2 • ^k ( £ " = k o ) •

w = q 0 T 2 • S o=^ , c o=%

.

Постановка обезразмеренной задачи (1)–(4) имеет вид:

^(^{£ k( £} " dw) = ⁰ ’ ^£ o <  ^£ <  ¹ dξ dξ

_

w ( £ o ) = 0 , k (1) dw (1) = 1 , dξ

J' ~k(£"£d£ = s o , ^k ( £ " >  0 ,

ξ 0

J = w (1) ^ min . k

Сначала получим слабую постановку задачи (5), (6), умножив (5) на сопряженную функцию v ( £ " , удовлетворяющую главному граничному условию v (£ q ) = 0 , и проинтегрировав по области в цилиндрической системе координат с учетом интегрирования по частям:

d       dw                             dw dv

Tc^"¹ dc) ^{v ( £ ) £ d£} =     ^{(1) - 2 n} J^{£ k ( £} " ^c^£^£d^£■

ξ 0                                                           ξ 0

Составим расширенный функционал, присоединив к функционалу (9), минимизируемый функционал (8) и изопериметрическое равенство (7) посредством множителя Лагранжа λ:

L = 2 n

^{w (1} " ^{- v (1} " + / ^{£ k ( £} " -wdv ^{£ d£} + ^А I [ ^{k( £ ) £dr -} s o dξ dξ

ξ 0                                     ξ 0

.

Получим необходимые условия оптимальности и постановку сопряженной задачи из условия стационарности функционала (10). Для этого найдем первую вариацию функционала и приравняем ее к нулю:

M1) - ^v (1)+ [cdwdv dξ dξ

ξ 0

У k(£"£d£ ξ 0

dw dδv         dδw dv sk£d£ + J £k        .. + J £к d d d +

ξ 0                         ξ 0

-

) 1

+ А У ^ ^k ( £ " £ d£ I = 0 .

ξ 0

Интегрируя по частям в (11) четвертое и пятое слагаемые, получим dw dδv         dwd dw

J^ik d = ^{k (1)} a ⁽¹⁾ *’⁽¹⁾ -J djv ‘ d¹' v

ξ0

dδw dv          dvd dv

J '^n^ = ‘wdi ^{(1) Sw (1)} -J di [^{( k} dir*^

ξ0

Далее с учетом (12), сгруппировав слагаемые в (11) по независимым вариациям δk , δw , δv , получим: а) постановку прямой задачи (5), (6); б) постановку сопряженной задачи

./■dt) =° - ^&< ⁽ < ¹ ξξ

v ( i o )=° ,   ‘(1) dv (1) = - 1;

dξ

в) условие оптимальности

idwdv + ^л =° . dξ dξ

Из (5), (6) и (13), (14) следует, что v ( i ) = —w ( i ) . Поэтому условие оптимальности (15) примет вид:

« ( di У = ^A-                            ^⁶>

Таким образом, выразив производную ^d _d ^w _ξ из (16) и подставив ее в (5), (6), получим задачу Коши для нахождения к ( i ) :

-d (ЗД i) =° , k (1) = -i ,                    (17)

dξλ решением которой является функция к (i) = -^=.

Подставив выражение для к ( i ) в изопериметрическое условие (7), получим /Г _ 2 ( ^{1 -}V £o )

V =      so     .

Выражения для оптимального распределения коэффициента теплопроводности и температуры примут вид:

‘ opt ^{( i )} = 2 ^— i ( 1 — ^ o ) ’  w opt ^{( i} ) = s ₀ ( 1   i ⁰ ) (i  i ⁰ ) .        ⁽¹⁸⁾

Проведено сравнение _-1 значений функционала (8) в случае однородной трубы k hom = s o , W hom (1) = ln ^ s ⁰ ) и трубы с оптимальным законом коэффициента теплопроводности (18) при i o = ° . 6 , s o = 1 . Выяснено, что J hom = ° . 51 , J _opt = ° . 21 . Выигрыш от использования переменного оптимального коэффициента теплопроводности составил 58%.

• 3.    Решение задачи оптимизации переменного коэффициента трубы на основе принципа максимума Понтрягина

Рассмотрим применение принцип максимума Понтрягина [22] к задаче оптимизации распределения переменного коэффициента теплопроводности k ( r ) неоднородной трубы, на внутренней поверхности r = r i которой задана нулевая температура, а на внешней r = Г2 — тепловой поток q g . В качестве минимизируемого функционала выступает средняя интегральная температура трубы, а в качестве ограничения — изопериметрическое условие для коэффициента теплопроводности.

Постановка обезразмеренной вариационной задачи имеет вид (5)–(7), а вместо функционала (8) используется функционал

i J = / w ( € ) €d€ ^ min • J               к ξ 0

(19)

Будем рассматривать поставленную вариационную задачу как задачу оптимального управления. Приняв функцию k ( € ) в качестве управляющей функции, выпишем уравнения (5), (6) в удобном для применения принципа максимума виде. Перейдем от дифференциального уравнения второго порядка (5) с помощью обозначений w i = w, W 2 = kw‘ к канонической систему ОДУ 1-го порядка:

w’ i = f i ,  f i = w^,	(20)
W ‘ 2 = f 2 ,  f 2 = - w 2 , ξ W i ( € 0 ) = 0 , W 2 (1) = 1 .	(21) (22)

Здесь знак «штрих» обозначает производную по координате ξ .

Согласно принципу максимума [22–24], присоединив к системе (20), (21) изопериметрическое условие (7) и минимизируемый функционал (19), выпишем функцию Гамильтона (гамильтониан) расширенной системы:

w2     w2 H = -Wi + ^ifi + ^2 - Ak = -Wi + ^i — - ^2- Ak, (23) где ^i, ^2 — сопряженные функции.

Согласно [22] сопряженная система дифференциальных уравнений имеет вид:

* ‘ i = - dH = 1 ,	(24)
= - |H = -   + 0W 2      k    €	(25)

Граничные условия для сопряженных переменных определим из условий трансверсальности V ² . ( ^ i (1)Swi (1) - ^i(€ o )Swi ( € o )) =0 с учетом 6w i ( € o ) = 0 , Sw 2 (1) = 0 . Откуда следует, что ^ i (1) = 0 , ^ 2 ( € 0 ) = 0 .

Необходимое условие стационарности гамильтониана (23) имеет вид:

dH   ^W 2 dk =    k 2    A "° '

(26)

Из (26) находится выражение для коэффициента теплопроводности:

ψ 1 w 2 k = V"—

Непосредственным интегрированием (21), (24) и удовлетворением граничных условий W 2 (1) = 1 , ^ 1 (1) = 0 находим, что ^ i = £ — 1 , W 2 = | , а множитель А определяется из изопериметрического равенства (7).

После несложных преобразований получим выражение для оптимального коэффициента теплопроводности:

k opt ^{( £ )} =

___________________ 4so ____________________

¹ "  ⁴ V ^£ 0 ⁽¹ "  ^£ 0 ) "  ^{2 arcsin (2 £} 0 "  1)

Найдя вторую производную функции (23) по k, получим:

∂ ² H    ψ 1 w 2

ТтТ = 2—ГЧ- <  ⁰ , ^k >  ⁰ , w 2 >  ⁰ , ^ 1 <  ⁰ -∂k ² k ³

Из (29) следует, что функция имеет максимум, поэтому согласно принципу максимума Понтрягина, найденная функция (28) является оптимальным решением. Формула для оптимального коэффициента теплопроводности (28) совпадает с формулой, полученной путем применения к задаче (5)–(7), (19) вариационного метода Лагранжа.

Проведено сравнение значений функционала (19) в случае однородной трубы и неоднородной с оптимальным законом коэффициента теплопроводности (28) при £ о = 0 . 6 , s o = 1 . Выяснено, что J hom = 0 . 11 , J _opt = 0 . 066 . Выигрыш от оптимизации составил 40%.

• 4.    Решение задачи оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки методом малого параметра

Если известна дополнительная информация о слабой неоднородности материала, то для решения задач оптимизации удобно применять метод разложения по малому параметру [19, 20]. Рассмотрим его применение к задаче оптимизации распределения коэффициента теплопроводности неоднородной плоской стенки толщиной h с тепловыми источниками, на нижней поверхности x = 0 , на которой задана нулевая температура, а на верхней x = h — тепловой поток, если известна априорная информация о границах изменения коэффициента теплопроводности. В качестве минимизируемого функционала выступает температура на верхней поверхности T ( h ) .

Обезразмеренная постановка вариационной задачи имеет вид:

d dW

dz(.k(i)irj+ Q = 0’ 0CzC1

W (0) = 0 ,

k (1) dW (1) = 1 ,

Г         T / \ T kmin C k(z) C k

max ^,

J = W (1) ^ min , k ^¯

где z = h , W = k 0 T , fe( z ) = kg [25].

Решим задачу (30)–(33) методом малого параметра, полагая как в [21]

k(z) = f o (1 + 5f (z)) ,    W ( z ) = W o + 5W 1 ,   f o = 2 ( fe min + fe max ) ,

5 =

k max

min

k max

⁺ kinin

0 < 5 <  1 .

Подставив (34) в (30), (31), и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях δ , получим следующие краевые задачи для нулевого и первого приближений.

При 5 0 :

W ’ = - (f (z)W0)' ,   0 <  z <  1 ,

W 1 (0)=0 , W ‘ 1 (1) = -f (1) W ‘ o (1) .

Решением задачи (38), (39) является функция

W 1 ( z )

z

- у / f ( z )(1

f 0

+ Q (1 - z)) dz.

Для функции f (z) согласно [19] установим следующие ограничения:

J f (z)dz = 0 , 0

I ^f < ^{z )}K ¹ /(£)* <  C o ² '

Исходя из (33), (40) и (41), составим расширенный функционал Лагранжа:

L =

-y [ f (z) (1 + Q (1 f0

-

z )) dz + Л 1

I^{f ( z )}

dz + Л 2

I f)-

W 0 ‘ = - Q, 0 <  z <  1 ,                           (35)

f 0

W o (0) = 0 ,  W o (1) =	1 f 0 .	(36)
Решением задачи (35), (36) является функция
W o( z ) = у + Qz ( 1 - f 0     f 0	2 ) •	(37)

При 5 1 :

Из условия стационарности функционала (42) следует постановка краевой задачи для нахождения f ( z ) :

f ‘‘ = -TT (y + у (1 - z) - Л1) ,                    (43)

2 ^Л2 Vo   fo           /

Согласно [19, 20] множитель Лагранжа Л1, определяемый из выражения 01 (ТО + Q (1 - z) - Л1) dz = 0, равен f (1 + QQ)• Множитель Л2, определяемый из неравенства |f(z)| С 1, равен 2Q0• Отсюда следует, что f (z) = z2 (2z - 3),

а значение C 2 в (41) равно 1.25.

В случае Q = 1 относительный выигрыш в соответствии с функционалом качества (33), введенный по формуле WO^ y ^ • 100% , составляет 43% 5.

В работах по оптимизации переменного коэффициента теплопроводности, например, в [18, 28] в качестве минимизируемого функционала также широко используется функ- ционал вида

J = У k(z)W‘ ² dz ^ min .

Решим задачу оптимизации переменного коэффициента теплопроводности плоской стенки (30)–(32) с функционалом качества (46) методом разложения по малому параметру.

Выполняя действия, аналогичные решению оптимизационной задачи теплопроводности (30)-(33), получено выражение для нахождения функции-поправки f ( z ) = — 3 z ² ( z ² — 8 z + 10) . В случае Q = 1 относительный выигрыш от оптимизации составляет 29% 5.

• 5.    Сингулярная задача оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки

В рассмотренных выше задачах оптимизации коэффициента теплопроводности градиент температуры W ′ является непрерывной функцией координаты. Однако не для всех граничных условий W′ обладает этим свойством. Пусть в задаче оптимизации коэффициента теплопроводности плоской стенки (30)–(33) вместо (33) требуется минимизировать функционал

J =

У W(z)dz ^ mm 0

при изопериметрическом ограничении вместо (32)

У k(z)dz = s o , k(z) ^ 0 .                                (48)

Если вместо смешанных граничных условий (31) используются граничные условия первого рода

W (0) = ^ 1 , W (1) = $ 2 ,                             (49)

то оптимального решения, для которого функция W‘ была бы непрерывна на 0 С z С 1 , не существует.

Используя метод множителей Лагранжа для поставленной задачи оптимизации, получено условие оптимальности, которое имеет вид:

Условие оптимальности (50) совместно с граничными условиями (49) приводит к неразрешимой краевой задаче, если считать функцию W ^′ непрерывной.

Будем искать решение задачи оптимизации при граничных условиях (49) в классе непрерывных функций с разрывной производной. Применим ранее разработанную в [17] схему для исследования сингулярной задачи оптимизации коэффициента теплопроводности.

В точке разрыва градиента температуры согласно условиям Вейерштрасса — Эрдмана имеем:

( k W ‘ ) + = ( k W ‘ ) - = 0 ,    [ k (W‘^ ⁺ = 0 .                   (51)

Следовательно, при наличии разрывов по W ^′ , требуется положить тепловой поток в сингулярной точке z o равным нулю, а т. к. W‘ ( z o ) = 0 , то имеем следующее условие для коэффициента теплопроводности:

к (z o ) = к⁺ ( z o ) = 0 .

Из условия оптимальности (50) следует, что

W ‘(z) =

I

λ,

λ,

0 <  z C z o , z o C z C 1 .

С учетом граничных условий (49) и условия непрерывности температуры имеем:

( —V Xz + ^ 1 ,       0 C z C z o ,

[V X ( z — 1) + ^ 2 , z o C z C 1 ,

V X + ^ 1 — ^ 2 ^{z o} =    2 V X

Подставив производную W‘(z) из (53) в уравнение теплопроводности (30), получим выражение для производной коэффициента теплопроводности:

— k‘(z) =

Q

{*

0 C z C z o , z o C z C 1 .

Проинтегрировав (55) с учетом граничных условий (52), имеем

J V a (z — z o ) , 0 C z C z o , I V a ( z o — z) , z o C z C 1 .

В выражение (56) входит множитель λ, который определяется из изопериметрического равенства (48) и равен \Х = — 4 S 0 .

Выражения для оптимального распределения коэффициента теплопроводности и температуры в случае ^ i = ^ 2 = ^ o имеют вид кусочно-линейных функций (z o = 0 . 5 )

k opt ( z ) =

\ ^—4 s o ^{( z —} z o ) , { ^—4 s o ^{( z} o ^{— z )} ,

0 C z C z o , z o C z C 1 ,

W opt ( z ) =

f &  ^z + ^o,

I ^— 4 Q ^{z +} 4 Q ⁺ ^ ° ,

0 C z C z o , z o C z C 1 -

Проведено сравнение значений функционала (47) в случае однородной стенки и неоднородной с оптимальным законом коэффициента теплопроводности при ^ o = 1 , s o = 1 , Q = 1 . Выяснено, что J hom = 0 . 083 , J _opt = 0 . 062 . Выигрыш от оптимизации составил 35%.

• 6.    Заключение

Рассмотрены постановки ряда задач об оптимизации распределения переменного коэффициента теплопроводности неоднородных тел. Построены аналитические решения задач об оптимальном распределении коэффициента теплопроводности неоднородной трубы и плоской стенки при различных граничных условиях. Для решения поставленных задач использовались различные методы оптимизации: вариационный метод множителей Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что в случае расчетов по оптимальным законам распределения коэффициента теплопроводности уменьшение значений минимизируемых функционалов составляло от 20 до 60% по сравнению с однородными телами. Используя рассмотренные методы оптимизации, можно аналитически получить условия оптимальности и постановки сопряженных задач для двумерных объектов, например, прямоугольника. Однако для нахождения оптимальных двумерных законов распределения коэффициента теплопроводности необходимо использовать итерационную процедуру, а прямую задачу решать численно, например, методом конечных элементов.