Некоторые элементарные формулы выпуклого анализа

Дорогому Владимиру Михайловичу

Тихомирову с уважением и любовью

Рассматривается линейный непрерывный оператор A , действующий из одного банахова пространства в другое, образ которого не предполагается замкнутым. Построено описание образа сопряженного оператора A ^∗ . Приведено также описание конуса сопряженного к конусу K , состоящего из тех x , для которых Ax принадлежит заданному замкнутому выпуклому конусу C .

Пусть заданы банаховы пространства X , Y и линейный непрерывный оператор A : X ^ Y . Исследуем, как устроено подпространство Im A * . Здесь, как обычно, A * : X * ^ Y ^∗ — сопряженный оператор, X ^∗ , Y ^∗ — пространства топологически сопряженные к X и Y соответственно, а Im — образ оператора.

Как известно (см. [1, стр. 115]), если подпространство Im A замкнуто, то подпространство Im A * слабо* замкнуто в X * и, следовательно (см. [1, стр. 112, 109]),

Im A * = (ker A ) ^ ,                                   (1)

где ^⊥ означает аннулятор. Если же образ оператора A не замкнут, то формула (1) уже, вообще говоря, не верна. В то же время следующее утверждение справедливо и без предположения замкнутости Im A.

Лемма 1 . Пусть l G X * . Тогда для того, чтобы l G Im A * , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось: h l, x i i ^ 0 для любой последовательности { x i } , для которой Ax i ^ G, i → ∞ .

C Необходимость очевидна. Докажем достаточность.

На подпространстве Im A определим линейный функционал у * следующим образом. Для каждого у G Im A положим h y*,y) = h l,x i , где x — произвольный вектор, для которого Ax = у. Постольку поскольку в силу предположения леммы h l,x i = 0, V x : Ax = 0, то h l,x 1 i = h l, x 2 i , V x 1 ,x ₂ : Ax 1 = Ax 2 и, значит, функционал у * на Im A определен корректно. Линейность его очевидна.

Докажем, что функционал у * непрерывен на Im A. Действительно, пусть y _i G Im A, y _i ^ 0 , i ^ го . Возьмем x i : Ax i = у^ Тогда h y* ,y _i i = h l, x i i . Но Ax i = y _i ^ 0 , откуда в силу предположения леммы h l, x i i ^ 0 ^ h y* ,У i i ^ 0 , i ^ го , что доказывает непрерывность у * на Im A. А непрерывный на нормированном пространстве Im A линейный функционал y ^∗ ограничен на нем и, следовательно, по теореме Хана — Банаха

он продолжим до некоторого непрерывного функционала y * G Y * . При этом l = A * y * . Это вытекает из того, что для произвольного x G X имеет место h y * ,Ax i = h l, x i ^ h A * y * ,x i = h l,x i . B

Замечание. Полнота пространств X и Y при доказательстве леммы 1 не использовалась и, следовательно, она верна для произвольных нормированных пространств X , Y .

Изучим, теперь, следующий вопрос. Пусть в пространстве Y задан заостренный конус C (т. е. AC = C для каждого Л >  0 и 0 G C ). Рассмотрим конус

K = { x G X : Ax G C } .

Спрашивается, как вычислить конус K ^∗ , являющийся сопряженным к K , и который, как известно (см. [2]), определяется по формуле

K * = { x * G X * : h x * ,x i > 0 V x G K } .

Описание сопряженного конуса K ^∗ при дополнительных предположениях на A и K дает теорема Фаркаша. А именно, пусть конус C выпуклый и замкнутый, а конус A ^∗ C ^∗ слабо* замкнут. Тогда имеет место (см. [2, cтр. 65, 66])

K * = A * C * .                                      (2)

При этом конус A ^∗ C ^∗ слабо* замкнут, если выполнено хотя бы одно из двух предположений:

• а)    найдется x G X такое, что Ax G int C.

• б)    пространства X , Y конечномерны, а конус C — конечнопорожденный, т. е. является выпуклой оболочкой конечного числа лучей или, что то же самое, C есть пересечение конечного числа полупространств.

Если конус A ^∗ C ^∗ слабо* замкнутым не является (а это может быть, даже если пространства X , Y конечномерны, но конус C — не является конечногранным), то формула (2) уже, вообще говоря, не верна. В этом случае известно лишь, что A ^∗ C ^∗ ⊆ K ^∗ , причем в силу теоремы 3.6 из [2] конус A ^∗ C ^∗ слабо* всюду плотен в K ^∗ .

Приведем описание сопряженного конуса K ^∗ в предположении, что подпространство Im A замкнуто.

Лемма 2 . Предположим, что подпространство Im A замкнуто. Тогда

K * = A * ( C n Im A ) * .                               (3)

Если же, кроме того, конус C является выпуклым и замкнутым, то

K * = A * cl( C * + ker A * ) ,                               (4)

где cl обозначает слабое* замыкание.

• <1 Возьмем произвольный l G K * . Тогда l G (ker A ) ^ , откуда, учитывая замкнутость подпространства Im A , в силу (1) получаем существование такого y * G Y * , что

• l = A*y*.

Покажем, что y* G (C П Im A)* .

Действительно, пусть y E C П Im A. Тогда 3 x E X : Ax = y, Ax E C ^ h y * , y i = h y * , Ax i = h A * y * ,x i = h l, x i > 0, так как x G K , l E K * и, значит, h y*,y) >  0. Включение (5) доказано. В силу произвольности l вместе с этим доказано и включение K * С A * ( C П Im A ) * . Обратное включение очевидно. Формула (3) доказана.

Далее, если конус C является выпуклым и замкнутым, то, как известно (см. [2, стр. 35]), (C П Im A ) * = cl( C * + (Im A ) * ) = cl( C * + ker A * ), что доказывает (4). При этом использовано, что (Im A ) * = (Im A^ = ker A * (см. [1, стр. 112]). B

Отметим, что если алгебраическая сумма конуса C * и подпространства ker A * слабо* замкнута (а так будет если, например, пространства X , Y конечномерны и конус C конечнопорожденный, или, если Im A = Y и, значит, ker A * = { 0 } ), то (4), очевидно, принимает вид (2).

Следующее утверждение уже справедливо без априорного предположения замкнутости подпространства Im A .

Теорема. Пусть l ∈ X∗ , а конус C является выпуклым и замкнутым. Предположим, что для любой последовательности {xi}, для которой Axi → C, имеет место lim hl, xii > 0.

i →∞

Тогда l E A* cl(C* + ker A*).                                   (6)

• <1 Из предположения теоремы вытекает, что h l, x i i ^ 0 для любой последовательности { x i } , для которой Ax i ^ 0 , i ^ го . Следовательно, в силу леммы 1 существует такое y * e Y * , что l = A * y * . Кроме того, в силу предположения теоремы l E K * . Поэтому, дословно повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 2, получаем (5), откуда с помощью формулы ( C П Im A ) * = cl( C * + ker A * ) получаем (6). B

Отметим, что если предположения о полноте нормированных пространств X , Y и замкнутости конуса C опустить, то в предположении теоремы имеет место l E A*(C П Im A)*.

Я искренне благодарен профессору А. А. Шананину за плодотворные обсуждения результатов работы.