Некоторые классы мероморфных функций

Пусть S — класс функций вида

(1.1)

которые регулярны в области 5о = Т'\{О} = {г:О< Ц < 1} с простым полюсом в точке z = 0 и вычетом равным 1.

Пусть E_s подкласс S, состоящий из однолистных функций в Eq. Функция f(z) Е Уз называется мероморфно-звездообразной, если Т { ^— ^(^ } > 0. Через X* обозначим класс всех мероморфно-звездо- образных функций.

Функция f(z) Е E_s называется мероморфно-звездообразной порядка а, если

--I > а для всех z Е Eq и для некоторого а (0 ^ а < 1). Класс мероморфно-звездообразных функций порядка а обозначим через Е*(а).

Через У* Др,арр 0 < а < 1, 0 < р < 1, обозначим класс функций вида (1.1), удовлетворяющих условию гД^/ДД + 1

«аДДШ¹^ - 1

<Р ДЕ ЕД.

Через У* Дар — 1,2/3 — 1) обозначим класс мероморфно-звездообразных функций порядка а и типа р, которые удовлетворяют условию

2.ДДДДД + 1

< 1

для всех z Е Е_о и для некоторых а и р (0 <  а < 1, 0 <  р < 1).

Заметим, что S*( —1,0) — класс функций /(г) = | + ^2 ^ак^^к, которые удовлетворяют условию

Ц/'Ц)//Ц) + 1|<1.

Введем класс Х*(А,В) следующим образом:

zf^ _   1 + Aw(z)

f(z) 1 + Bw(z) ’

(1-2)

где — 1 <  А < В < 1, w(z) — функция, регулярная в Е и удовлетворяющая условиям: w(0) = 0, w(^) < 1, если \z\ < 1.

Заметим, что Е*( — 1,1) = И*, S*(2a — 1,1) = Н*(а).

Класс Н*(а) рассматривали Pommerenke [11], Clunie [3], Miller [9] и другие. Класс И*(2а/3 — 1,2/3 — 1) был введен Aouf М. К. [1], Mogra, Reddy и Juneja [10]. Интегральными преобразованиями класса И* (а) занимались Л.В.Зарудняк [6] и Goel и Sohi [5].

Пусть /(г) = | + a_uzⁿ и д(г) = | + Ь_п принадлежат классу И. Тогда произведение Адамара функций /ид определяется равенством

U * дН^ = - +   а^и^\ z z—‘

Z Е Eq.

Пусть

fc=l

Далее, пусть МДА, В) — класс функций вида (1.1), которые удовлетворяют условию

Р^п+1/(г)        п + 1 + ДВ + A)w(z)

Dⁿf^         (n + 1)(1 + Bw(^))

(г G Eq),

(1-4)

где n G N_o = {0,1, 2,... }, — 1 <  A < В < 1, w(z) — функция такая, как в (1.2).

В работе будут рассмотрены основные свойства класса МДА, В): критерий принадлежности функции f(z) к классу РДА,В), оценки коэффициентов, интегральные операторы и ряд других вопросов.

2. Класс МДА, В)

Теорема 2.1. Пусть f(z) = - + 52 ^ak^zk принадлежит классу Р_ПД,ВУ Тогда круг w(^) ^ г < 1 отображается функцией F = Р^п+1/(г)/Р^п/(г) — 2 в круг

где

\F-a\^d,                            (2.1)

1 — Вет²       (В — с)г пВ + А

1 — B²r² ’        1 — В²г² ’ п + 1

Доказательство. Из определения класса М_и^А,В^ имеем

F =

^^^^^^^™

n + 1 + (пВ + А)гв(г)

(п + 1)(1 + Вги^г^

1 + сго^г)

1 + Bto^z')

(2.3)

Из (2.3) получаем

F _L 1

ирг) =--— -Д |F + 1|2 < 3\сВВГУ c + BF

ИЛИ

1 — Вег²

1 - В2г2

<

^В-срг2

(1 - в²^²'

(2.4)

Из (2.4) следует (2.1).

Теорема 2.2. Пусть f^F) = 7+52 akzk принадлежит М^А^ВУ Тогда для г < г < 1 верны оценки n + 1 — ^пВ + А)г Г Dn+1 f(z) 1 n + 1 + ^nB + A)r

—;----7Т73---^—;—л 1 —т;— т,—;-- 2 >   -------—— ---——;—

---------------------------- П, А ---------------- -- / \-- (n+l)(l— Вт) ( Dⁿf(z) J (п+1)(1 + Вг)

Результат следует непосредственно из теоремы 2.1.

Следствие 2.1. Пусть f^ Е М₀(Л,В) = И*(И,В). Тогда

1-Аг    f zf^\    1 + Аг

1 — Вт     ( /(г) )     1 + Вт

(2-5)

Теорема 2.3 [1]. Пусть f^ Е ЕДА, В). Тогда на Д = г < 1 имеем

Х — ВгУ®-^/®        м угЦВ-АДВ

< 1/(^)1 <

(2-6)

если В У О,

- ехр Аг < /Д) < -ехр(—Аг),

(2-7)

если В = 0.

Результат теоремы 2.3 следует из (2.5), если сначала вычесть из частей неравенств по 1, а затем разделить на z и проинтегрировать по z от 0 до г. Функция /(г), определенная равенством показывает, что оценки (2.5)—(2.7) точные.

Давая частные значения А и В, класс М_П^А,В) будет сводиться к известным подклассам звездообразных мероморфных функций: М_п = М_п( — 1,1), M_n^a) = M_n(2a — 1,1), M_n[a] = M_n{ — a, a), M_u^— p, «3Y M_n^2«3 — 1,2/3 — 1).

Следствие 2.2. Пусть f (z) = ^ + 52 akZk принадлежит Mn. Тогда Z k = l n + 1 - рг - г пп+1у^^ 2I < n +1 + (n - i)r (n + l)(l — r) ( Dnf(z) J (n + l)(l + r)

При п = 0 имеем

1 + г

1 — г

Чтйг}

1 — г (1 — г)²

<--, ------—

1 + г г

(1 + г)2

< ^н^ < ——

Следствие 2.3. Пусть f^ = ~ + 52 ^akZ^k принадлежит M_n(a). Тогда ² к = 1

п+1 — (п—1 + 2а)г < Г D^u+1 f^   1 < n+l + (n—1 + 2a)r

(n+l)(l— r)        ( Dⁿ/(^)    J       (n+l)(l+r)

1 - (2a - l)r

1 — r

zf^ ) <  1 + (2a - l)r f^ J 1 + r

^W)}^

Следствие 2.4. Пусть функция / (г) = - + 52 ^akZ^k принадлежит М„[а]. Тогда ² k=l

(n + 1)(1 — ar)

_ 91 <   ™+l + a(77-l)r

( D^z) J ^   (n+ 1)(1 +ar)

• ¹    +«^r _< ^ Г 1 _<  ¹ - ^ar

1 — ar      ( /(г) J 1 + ar’

<1-^ < Я№)} < (l±2til

Следствие 2.5. Пусть f^ = - + 52 akZk E Mn( —p, app Тогда 2 k = l n + 1 — ppict — l)r     ( Dn+1f(z)    1 < n + 1 + ppict — l)r рг + 1)(1 — apr)       ( Dnf(z)     J pi + 1)(1 + apr)

1 — apr ( /(г) J 1 + apr’ (l-aPr^'“ ^ ^^ ^ (l^a^r/^l r                                r

Следствие 2.6. Пусть f^z') = 7 + 52 akzk E Mup2aP — 1, 2/3 — 1). Тогда 2    k = l n + 1 — [n(2/3 — 1) + 2a/3 — l]r / j' Dn+1 f^z) o) n + 1 — [n(2/3 — 1) + 2a/3 — l]r (^+1Жч2^пя            ”2J (2ГПЖТ(2^1Я

_ 1 - (2a/3 - l)r J zfPz^ )      1 + ^gp - l)r

!-(2/3-l)r    l/(^)J" l + (2/3-l)r’

2/3(l-a)                                           2/3(l-a)

(1-^-1))— _{c $№)} e} (1 ₊ W-1W^

• 3.    Теорема включения

Теорема 3.1. Пусть f(z) = 7+52 ^ak^^k G М^А^ В). Тогда M_n+i(A, В) С МДА, В) для любого п Е N_o = {0,1,2,...}.

Доказательство. Пусть функция f (г) Е МДА, В). Тогда, согласно теореме 2.2, для г < 1 имеем

п(1 — В) + 1 — А    Г Р^Ч^ _ а <  п(1 + В) + 1 + А

(п + 1)(1-В) "   } Р-НЧ            (п + 1)(1 + В) '      ^{1 ;}

При фиксированном А и В функция - "^"^(^ij⁴ возрастает с возрастанием п, а функция - ^^^д)⁴ убывает с возрастанием п. Поэтому

п(1-В) + 1-А (п + 1)(1 - В) + 1 - А (Pⁿ⁺²fH _о}

(n + l)(l-B) ^< (n + 2)(l-B)        \P"+4^ J

(n + 1)(1 + В) + 1 + А п(1 + В) + (1 + А)

(n + 2)(l + B) < (IV+ !)(! +В) '

Из последних неравенств и следует справедливость утверждения.

Следствие 3.1. Справедливы следующие включения:

Мг+1(а) с МДД, АД+iN С МД«], Мг+1(-^,а^) с МД-р,ДД M_u+^ap - 1,2/1 — 1) С МД2сф - 1, 2/3 - 1), n Е N_o = {0,1,2,... }.

Из теоремы 3.1 и следствия 3.1 следует, что классы функций МДА, В), M_n(a), ,М_п[а], М_н\—3, а/3], M_n (2a^ — 1, 2/3 — 1) являются подклассами однолистных функций.

• 4.    Интегральные операторы

Теорема 4.1. Пусть функция /(^) = 7 + 52 a_kz^u для данных n Е N_o и с > О удовлетворяет условию

(р^нч а 1-д(1 + в) + (1 + А)](_{с +} 1) t Pⁿf4) J (n+l)(l + B)(c+l)

(4.1)

Тогда, функция

z

F<4

Cf^dt

(4.2)

принадлежит M_n(A, В) для F^ 7^ 0 в Eq.

Доказательство. Используя тождества z^PnF4W = сРпНЧ - (с+ l)DnF(^),

(4.3)

z(,DⁿF^Y = (n + l^Dⁿ⁺¹F^ - (n + ^DⁿF^, условие (4.1) можно записать в виде

(4-4)

(4.5)

( ^ⁿ⁺Dn+iF^ - (n + 2 - с) )   1 - [п(1+ В) + (1 + Л)](с+ 1)

|n+l-(n+l-c)^L Р (n + 1)(1 + В)(с + 1)

Мы должны показать, что неравенство (4.5) сводится к неравенству (см. теорему 3.1)

Л ^У^) _ J , п(1 + В) + (1 + Л)

I D^ / (п+ !)(! +В) •

Определим w(z) в Е через

221ТМ = „+1 + |(,1 + 2)B-A]«W

Вп/(г)        (n + 1)(1 + Bw(z))

Очевидно, что w(z) регулярна в Е и w(0) = 0. Нам надо показать, что w(z) < 1, z Е Е. Логарифмическим дифференцированием получаем

(п + 2) pn+i^j - (п + 2 - с) n + 1 + (пВ + H)w(^) Д7Г7^ТГЛ5^Е-- = "мЛиТТ^ЙГ

+ т--------(В^ЗДЙУ---——---. (4.7)

(п + 1)(1 + Bw(z))[(l + с^В — A]w(z) + с]

Если w(z) не удовлетворяет условию w(z) < 1, z Е Е, то по лемме Джека [7] существует точка ^oh ^о < 1 такая, что

^ow'f^o) = Kw^z₀Y

(4-8)

где w(zo) = 1 и К ^ 1. Из (4.7) и (4.8) имеем

№

<п + 2)

£>" + ²F(z) №+1F(z)

— (n + 2 — с)

n + 1 — (n + 1

^^^^^^^™

с)

D>‘F(z) D>‘ + iF(z)

- 2 =

п + 1 + ^пВ + Л)гс(г₀) (n + 1)(1 + Bw^z_oy

(В - A^Kw^

(4-9)

^п + 1)(1 + Вгс(г₀))[с + [(1 + с^В - Л]гс(г₀)]

Таким образом, левая часть (4.9) больше, чем

1- (п(1 + В) + 1 + Л)(с+1)

(n +1)(1+ В)(с+1)    ’ которое противоречит (4.1). Следовательно, w(z) < 1, и из (4.6) следует, что F^ Е M^A^Y

Полагая А = — 1, В = 1 в условиях теоремы 4.1, получаем следующий результат.

Следствие 4.1. Пусть f(z) G М_п для данных п G N_o и с > 0 удовлетворяет условию

^^^^^^^™

2Н

^^^^^^^™

2n(c+ 1)

п + 1)(с + 1)

Тогда.

Z

tcf

принадлежит классу М_и для F^ ^ О в Eq.

Следствие 4.2. Пусть функция f^ = ^ + ^ a_kz^u для данных n G N_o и с > О удовлетворяет условию

(П«утм_д<у^1 + *М1         (410)

\ ЬНИ /    2(п + 1)(с+1) ■

Тогда функция

Z

^F^ = ^i / Ff^dt                  (4.11)

принадлежит классу M_n(a) для F^z) ^ 0 в Eq.

Следствие 4.3. Пусть функция f^ = ^ + ^ a_kz^u для данных n G N_o и с > О удовлетворяет условию

( D^f^ _ 1   1 - [n(l + а) + 1 - а](с+ 1)

( D-f /      (п+1)(1 + а)(с+1)   '

Тогда функция

Z

F^ =    / ff^dt

' ' тс+1 / х '

принадлежит классу Mn(a).

Следствие 4.4. Пусть функция f^ = ^ + ^ a_kz^k для данных п 6 N_o и с > О удовлетворяет условию

№<^

Dn+1f^

D^f^

-2}

1 — [п(1 + а/1) + 1 — /3](с + 1) (п + 1)(1 + «ЗИ^С + 1)

Тогда, функция

F^ =

Z

3jt-mdi

о принадлежит Мп(~3, ар).

Следствие 4.5. Пусть функция f(z) удовлетворяет условию	= 7 + Е akZk для данных n G No и с > 0 fc=i
С Пп+1^Ы { вч^ 2 Г	1 — 2р^п + а) (с + 1) '   2/3(n +1)(с+1) '

Тогда функция

F^ =

MlW*

о

принадлежит классу M_n(2ap — 1, 2(3 — 1).

При п = 0 из теоремы 4.1 получаем следующий результат Goel и Sohi [5].

Следствие 4.6. Пусть f^ = 7 + 52 ^ak^zk принадлежит Е* и удовлетворяет условию

Г МЧАЛ 1

^             ^5, оО.

I ПИ J ²(с + 1)

Тогда.

F^ =

FjBw»

о

принадлежит Е* для f(z) ^ 0 в 0 < 7 < 1.

При п = 0 в условиях теоремы 4.1 получаем следующий результат Goel и Sohi [5].

Следствие 4.7. Пусть f^EXi удовлетворяет условию

4'

Тогда.

Z

Ff^dt принадлежит Е* для F(z) ^ 0 в 0 < 7 < 1.

Следствие 4.8.Если f(z) = 7+52 ^ak^^k G ^*^А,В), то

z

F^ =

M‘‘№dl будет принадлежать классу Е*^А,ВУ

При п = 0, А = p^2a — 1) и В = /3, где 0 < а< 1, получаем результат Mogra, Reddi и Juneja [10].

Теорема 4.2. Пусть / Е Mn^A,BY тогда рИ = — У t"+1JWdteMn+MB^

для F^ ^ 0 в О < г < 1.

Доказательство. Имеем сПпД^ = (n + l)Pn+1F(^) - (n + 1 - c^DnF^

И cDn+1f^ = (n + ^Dn+2F^ - (п + 2 - c)Pn+1F(^).

При с = n + 1 из этих соотношений получаем

VnP^D^F^ -Dn+1F^ _ D'1^1^

(?7+ ДГ^+^Д “ Dⁿf(z) ’ которое сводится к

(77 + 2) Dⁿ⁺²F(z) 1  _Dⁿ⁺¹f^

(77 + 1) D^F^  77+1 “ Dⁿf(z) '

Таким образом, в соответствии с (3.1) имеем

V + ID^F^ 77 + 1 J \ D^f^ / (п + 1)(1 + В) '

Из последнего неравенства следует, что г_ 21 < (п + 1)(1 + в) + 1 + и

\Dⁿ⁺¹F^ J        (п + 2)(1 + В) '

Это завершает доказательство теоремы. При А = — 1, В = 1 из теоремы 4.2 следует результат Ganigi и Uralegaddi ([4],Т.З).

• 6.    Класс Р_П(А,В)

Через РДА,В) обозначим подкласс функций класса МДА, В) вида

СХЭ

/(г) = - +           ak ^ О с неотрицательными коэффициентами.

Теорема 6.1. Пусть функция / (Д = - + 52 ^ак^^к, a_k ^ 0, регулярна в Е_о = {z :

О < Д < 1}. Тогда f(z) Е Р_п^А,В) тогда и только тогда, когда

(п+ 1)(77 + 2)...(77 + 1 + ^)Д(1+В) + 1+Л]

>  ---------------------------------------------------------- Л. 1                nil

-1 < А < В, 0 < В< 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция/(г) принадлежитР_п(А, В). Тогда из (1.4) имеем

(п + 1)(Ри+1/(Д -ВИ/(Д)

В^Дг^ + 2)В - А] • В^+ДД) • (п + 1)В

Из этого неравенства получаем

(п + 1)[а₀ + Е МДД±Д^±1±М^Д] _____________________fc=l____________________________________ (S-A)l- Е ^±^±ti±M^ fc=l

Так как ;R{w} ^ |w для любой функции го, то имеем

№

ОО                                       \

ОО в - А - Е (21±1М21Мт_Д±1±Д(ВА: + AV k=l

< 1.

(6-2)

Выбираем значение г на вещественной оси, чтобы знаменатель был вещественным. Очевидно, знаменатель будет принимать вещественные значения и при г —> О по вещественной оси. Так как при г = 0 знаменатель положителен и непрерывен и |w(^) I < 1, то знаменатель принимает только положительные значения при г > 0.

Устремляя г —> 1, после упрощения из (3.2), получаем (3.1). Обратно, предполагая, что (3.1) верно для всех допустимых значений А и В, имеем

ф^дв^д = Un+lHDⁿ⁺¹H^-DⁿH^HW^B-AWH^-^A^BDⁿ⁺¹H^\

п + 1)	\ (п + 2) (п + 3) ... (п + 1 + /г)     ^. t«o + £'    Л       '       'ак^ к=1 .      .. 1      ' (п + 1)(п + 2)...(п + 1 + А;)
^^^^^^^™	(в +z Е     ЕД    чвк + Aw11

или

ДВ-А}-

(n + 1) (п + 2) ... (n + 1 + /с)

Так как полученное неравенство верно для всех Д = г, 0 < г < 1, то, устремляя Д —> 1, имеем

(n + 1)(п + 2) ... (n + 1 + /Д[А:(1 + В) + 1 + А]

о

(к + 1)!(В - А)

а-k< 1-

Отсюда следует, что f(z) принадлежит классу РДА,В) Заметим,что Pq^A,B) = ^ЧА,В\

Следствие 6.1 [2]. Функция f(z) = - + 52 ^ak^zk, ak ^ 0, принадлежит классу ²   к=1

^^А^В) тогда и только тогда, когда

^W + В) + 1 + A^a_k ^ В - А. к=1

Результат точный для функции

. / х 1         В - А       к fk^ " z + k^ + BHl + A2 '

Заметим, что для класса Р^^А^^ верны теоремы 3.1 и 4.1 в силу того, что

Р_П^А,В) является подклассом М_П^А,В\

• 7.    Радиус выпуклости

Теорема 7.1. Пусть функция f^ = - + 52 ^ak^zk принадлежит классу Р_и^А,ВУ ² к = 1

Тогда f(z) мероморфно выпуклая порядка б (0 < б< 1) в круге \z\ < г = г (Л, В, п, 5), где

ЛЛ.В,^ = inf 1⁽" ^{+ 1)1,1 +} А-'. Д ТД, - Д ^{+ л|11} ~⁵¹ к-^1 (             (В — А^к^к + 2 — б)(к + 1)!

Результат точный.

Доказательство. Достаточно показать, что

2 +

^rv^

ид

^^^^^^^™

б

для г ^ т^А,В,п,,б\ Имеем

2 +

^rv^

f'^

52 (^ + ^a_kz^{k 1} к=1

72 - 52 kak-zk"¹ к = 1

£ ЦкР^акМ^

к = 1_____________________

1- £ ka_k\z\k^

к = 1

Оно ограничено числом 1 — б, если

^>А±НАаь1гГ1

к = 1

< 1.

(7.1)

Так как функция f(z) Е Р„(Л,В), то из (6.1) следует, что (7.1) будет верно, если

Цк + 2  5) |_|_fc+i _<

(п + 1)(п + 2) ... (n + 1 + &)[&(! + В) + 1 + Л]

1 - б

(,В-АПк + 1у.

т. е. если

J (n+^)(n + 2)111(n+J_H)^

t             (B-A)fc(fc + 2-5)(fc + l)!             J ’              )

Полагая г = r(A,B,n,5) в (7.2), получаем результат. Результат точный для функции

__I____________________________z^k k > 1

z (n + 1) (п + 2) ... (n + 1 + &) [&(1 + В) + 1 + А] ’     ^/

При п = О, получаем следующий результат.

Следствие 7.1. Пусть функция /(г) = | + a^z + a2z2 + ..., а^ > О принадлежит Т,*(А,В). Тогда f(z) мероморфно выпуклая порядка б, 0 < б < 1, в круге \z\ < трА, В, 5), где т^В^^ = inf

М1-б^Ц1 + ВН1 + АП^ t (В- A)k(k + 2 — 6) J '

Результат точный для функции

В-А к(1 + В) + 1 + А

(О1).

Следствие 7.2. Пусть функция / (г) = - + 52 akZk принадлежит классу И*(а), z fc=i т.е. классу мероморфно звездообразных функций порядка а. Тогда она мероморфно выпуклая порядка б (0 < б < 1) в круге г < г = г(а, 5), где

( J (1-5)(1 + 5) г а, о = inf < ------——-------— >    .

k^i [ (1 — a^k^k + 2 — 5) J

Результат точный.

Следствие 7.3. Пусть функция f^ = - + 52 ^ak^zk принадлежит классу к = 1

X* (—p,ap), 0^а<1, 0<Р^1, тогда она мероморфно выпуклая порядка б (О < б< 1) в круге \z\ < г = г(а,р,б), где r^P^ = inf ^^^^^^^ j>^k+1 . Результат точный.

Следствие 7.4. Пусть функция f^z') = - + 52 akzk мероморфно звездообразная порядка а и типа р. Тогда она будет мероморфно выпуклой порядка б (0 < б < 1) в круге г < г = r(a, Р, 5), где

I ц f J “ ⁵^^{k +} “) U⁺¹ г а, Р, о = inf <  -----——-------— > .

^k^^Y I (1 ^—a)k(k + 2 — 5) J

Результат точный.

8. О свертках в классе Р^А, В)

Теорема 8.1. Пусть функции J ^ = -+ ^2 ^ak^^k и д^ = -+ ^2 b_kz^k принадлежат к = 1                    к = 1

классу P_n(A,B), п ^ 0. Тогда

U * в)И = | + ^akbkzk

также принадлежит P_n(A,B), п ^ 0.

Доказательство. Пусть /(г) и д^ принадлежат классу Р_П^А,В\ Тогда по теореме 6.1 имеем

'—тдтш^л—'№ + с) + 1 + л|о‘ < *'

Так как f(z) и д^ регулярны в Eq = {г : 0 < г < 1}, то (/ * g^z) регулярна в Eq. Далее имеем

(п + 1)(п + 2) ... (n + 1 + &)[&(! + В) + 1 + А] + 1)!(S —А)

<

[ (п + 1)(п + 2) ... (n + 1 + &)[&(! + В) + 1 + А]

I             (^ + 1)!(В-А)

Ф Ьк

<

(n + l)(n + 2) ... (n + 1 + &)[&(! + В) + 1 + A] (fc + 1)!(S - A)

(n + l)(n + 2) ... (n + 1 + &)[&(! + B) + 1 + A]

(/c + l)!(B-A)

b_k< 1.

По теореме 6.1 (/ * g^z) E F_n(A,B). При n = 0 из теоремы 8.1 следует результат N. Е. Cho [2].