Некоторые обобщения задачи Шоуолтера - Сидорова для моделей соболевского типа

В рамках создания общей теории неклассических моделей, имеющих технические, физические и экономические приложения, сводящихся к уравнениям Соболевского типа, или системам леонтьевского типа, (конечномерный частный случай уравнений Соболевского типа), возникла, необходимость создания численных алгоритмов для проведения вычислительных экспериментов. Отметим, что использование традиционного начального условия Коши накладывает ограничения при численном решении как начальных задач, так и задач оптимального управления, т.к. требуется согласование начальных данных, проверка, которых вызывает значительные трудности. Применение начального условия Шоуолтера. - Сидорова, при численном решении снимает необходимость ограничений на. начальные условия и размерность исходных данных [1]. Кроме того, по мнению ряда, авторов (см. обзор [2]), более естественным, чем условие Коши для уравнений Соболевского типа, является условие Шоуолтера. - Сидорова, или его обобщение - начально-конечное условие [3]. В нашей статье приведен обзор результатов исследований, полученных в период с 2010 года, челябинской научной школой Г.А. Свиридюка в области уравнений Соболевского типа и систем леонтьевского типа.

Система леонтьевского типа

• LX = Mx + f                             (1)

при начальных условиях Шоуолтера - Сидорова

[( ^L - M ) “ ¹ L ] p +1 ( x (0) - x о) = 0                             (2)

моделирует измерительное устройство (ИУ), где f = Ви. Впервые А.Л. Шестаковым и Г.А. Свиридюком была сформулирована задача определения входящего в ИУ сигнала и как задача оптимального управления системами леонтьевского типа, или задача оптимального измерения [4]. В дальнейшем модели, в основе которых лежала эта задача, стали называться моделями Шестакова - Свиридюка. Но основе методов изучения таких моделей были построены численные алгоритмы восстановления сигнала, искаженного как механической инерционностью [5], так и резонансами в цепях ИУ [6]. Кроме того, представленные методы и алгоритмы были применены к задаче оптимального измерения покупательского поведения. В основе численного метода исследования математической модели ИУ и решения задачи оптимального измерения с учетом инерционности лежат алгоритмы численного решения систем леонтьевского типа и класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа с начальными условиями Шоуолтера - Сидорова, разработанные А.В. Келлер [1]. Отметим, что здесь предполагается детерминированность входного сигнала и = и ( t ), т.е. отсутствие случайных возмущений, например, аддитивного белого шума. При изучении модели с детерминированным внешним сигналом очень полезными оказались методы и результаты теории уравнений Соболевского типа и вырожденных групп операторов [7], поскольку они позволили создать эффективный вычислительный алгоритм [1].

В настоящее время проводятся исследования моделей Шестакова - Свиридюка, в которых наряду с детерминированным сигналом предполагается наличие белого шума, как аддитивного [8, 9], так и мультипликативного [10, 11]. Поскольку модель представлена вырожденной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито - Стратоновича - Скорохода и Мельниковой -Филинкова - Альшанского, в которых белый шум понимается как обобщенная производная винеровского процесса. Вместо этого предложена новая концепция « белого шума » , равного симметрической производной в среднем (производной Нельсона - Гликлиха [12, 13]) винеровского процесса, причем подмечено, что данная производная совпадает с « обычной » производной броуновского движения теории Эйнштейна - Смолуховского [14].

Также были рассмотрены линейные уравнения Соболевского типа первого порядка

Lu = Mu + f(3)

с начально-конечным условием [3]

Pо( и (То) - и о) = P1( и (т1) - и 1) = 0,(4)

причем даже изучено оптимальное управление решениями этих задач [15]. Помимо этого, были рассмотрены более общие, многоточечные начально-конечные условия

Pj (и (Tj) - Uj )=0, j = 0, n.(5)

Здесь Pj, j = 0 ,n - специальным образом построенные относительно спектральные проекторы [16]. Заметим еще, что если в (5) взять j = 0, то это условие ничто иное, как условие Шоуолтера - Сидорова.

Также были получены результаты исследования полного уравнения Соболевского типа высокого порядка

Au (n) = Bn- 1 u (n- 1) + ... + B о u + f,(6)

для которого условие Шоуолтера - Сидорова [17] имеет вид

Pо( u(m) (0) — um )=0 ,m = 0, ...,n — 1,(7)

а начально-конечное условие [18] представимо в виде

P0( u(m) (0) — um )=0, P1( u(m)(т) — um ) = 0, m = 0, ...,n — 1,(8)

причем, помимо однозначной разрешимости поставленых задач, исследуется и оптимальное управление их решениями. Причем Pj j = 0 , 1, аналогично предыдущему случаю, специальным образом построенные относительно спектральные проекторы.

Статья состоит из семи параграфов. В первом приведены результаты исследований разрешимости задачи оптимального измерения в модели Шестакова - Свиридюка, выполненных А.В. Келлер и ее ученицей [5]. Во втором параграфе представлен краткий обзор ныне существующих подходов к понятию белого шума, почерпнутый в [14]. Третий параграф содержит результаты разрешимости ослабленной задачи Шоуолтера - Сидорова для системы леонтьевского типа с аддитивным « белым шумом » , полученные А.Л. Шестаковым и Г.А. Свиридюком [14]. В четвертом параграфе приводится результат, доказанный С.А. Загребиной, об однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения Соболевского типа первого порядка [3]. Результатам исследования оптимального управления решениями такой задачи, полученным Н.А. Манаковой и ее учеником, посвящен следующий, пятый параграф [15]. Шестой и седьмой параграфы содержат результаты исследования А.А. Замышляевой и ее ученицы, связанные с исследованиями оптимальных управлений решениями задачи Шоуолтера - Сидорова [17] и начально-конечной задачи [19] для уравнений Соболевского типа второго порядка соответственно.

Эта статья написана к юбилею одного из родоначальников условия Шоуолтера - Сидорова - профессора Николая Александровича Сидорова. Авторы от всей души желают выдающемуся математику, создателю одной из крупнейших научных школ по уравнениям Соболевского типа и прекрасному человеку новых творческих успехов и многих лет счастливой жизни.

• 1.    Условие Шоуолтера - Сидорова

в теории оптимальных измерений

Пусть L л M - квадратные матрицы порядка п. Матрица M называется ( L,p )- регулярной, если За G C такое, что det( aL — M ) = 0, при этом p Е { 0 } U N - порядок полюса в точке то L -резольвенты ( pL — M ) ^{- 1} матрицы M. Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова

[( aL — M ) ^{- 1} L p ⁺¹ ( x (0) — x о) = 0                           (9)

для системы леонтьевского типа

Lx = Mx + f,                              (10)

где det L = 0. а Е p^L ( M ). x о Е R n . вектор-<функция f : [0 , т ] ^ R n. т Е R+- В конечномерном случае ( L,p )-ограниченный оператор представляет собой ( L,p )-регулярную матрицу. В свою очередь, случай ( L,p ^радиальности оператора является более общим, по сравнению с ( L,p )-ограниченностью оператора M , поэтому справедлива

Теорема 1. Пусть матрица M ( L,p)-регулярка, p Е { 0 } U N, вектор-функция f : [0 ,т ] ^ R n. Тогда для любого x о Е R n существует единственное решение задачи (9), (10), имеющее вид

t

x ( t )= lim Xk ( f, t )= lim k→∞      k→∞

- Е ( M ¹ (I - Qk ) L ) q M^{- 1} (I - Qk ) f ⁽ q )( t ) + Xkx о + q =0

jR sQk f ( s ) ds ,

о

(И)

где

Xk = [( L - tk ¹ M ) ¹ L ] ^k , Qk = [ kLL ( M )] p ⁺¹ Rk = [( l — p. ¹ m ) - ¹ l ] ^{k 1} ( l — p. ¹ m ) — ¹ .

Вектор-функция xk ( f,t ) является приближенным pcшсписм задачи (9). (10) при t Е [0 , 1]. k > K. где K = max {k 1 , k2}:

n-p                           n-p k 1 > сл-|Е1“‘1 + 1.    k2> |—|-El“il(p + 1)n-i + 1 ■         lie

I ^an-p¹ i =0                        ^{1 a}n-p^{1 p} i =0

n-i

Cn здесь ai = (-1)n-i ^ AП-i - коэффициенты полинома det(pL - M) степени (n - p), i = r=1

0 , n , A ci - определители, получаемыe из определителя матрицы L путем замены ( n - i ) столбцов соответствующими столбцами матрицы M, r - порядковый номер определителя,

( n - p ) <  гаnk L.

Пусть теперь L. M и C - квадратные матрицы порядка n. причем, быть может, det L = 0. мат puna M - ( L,p )-регужipna. p Е { 0 } U N - порядок полюса точки ж L -резольвенты матрицы M. и : [0 , т ] ^ R n. т Е R+- Рассмотрим пространство состояний х = {x Е L ₂ ((0 , т ) , R ⁿ ): x Е L ₂ ((0 , т ) , R ⁿ ) }, пространство измерений U = { и Е L ₂ ((0 ,т ) , R ⁿ ): и ^{( p +1)} Е L ₂ ((0 ,т ) , R ⁿ )} и пространство наблюдений Y = C [ х ]• Выделим в U компактное выпуклое подмножество U д

- множество допустимых измерений. В качестве допустимых измерений рассматриваются

такие, что

p +1 Т

Е / ^ и ⁽ q 1 1 )^

q =0 ₀

dt ≤ d,

где d = const - предельно допустимое значение вектор-функции измерений. Требуется найти вектор-функцию v Е U д , минимизирующую значение функционала

1 ^Т

J ( и ) = Е [ || Cx ⁽ q )( u,t ) - У0q )( t )^ dt, q =0 ₀

т.е.

J ( v ) = min J ( и ) , u ∈ U ∂

причем x ( v ) Е х почти всюду на (0 , т ) удовлетворяет системе леонтьевского типа

Lee = Mx + Ви

и при некоторых x о Е R n, а Е p^L ( M ) - условию Шоуолтера - Сидорова

[( aL - M ) ^{- 1} L ] p ⁺¹ ( x (0) - x о) = 0 .

Здесь x = col ( x i ,..., xn ) и x = col ( 5c 1 ,..., 5cn ) - вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно; y о( t ) = col ( y 01 ( t ) ,..., y о n ( t )) - наблюдение в моменты времени t , полученное в ходе натурного эксперимента; u = col ( u 1 ,..., un ) - вектор-функция измерений; y = col ( y 1 ,..., yn ) - вектор-функция наблюдений; п - число параметров состояний системы; B - квадратная матрица порядка п , характеризующая взаимовлияние параметров измерения; матрицы M и L характеризуют взаимовлияние состояния и скоростей состояния ИУ соответственно; матрица C характеризует связь между состоянием системы и наблюдением; || • | | - евклидова норма пространства R n.

Теорема 2. Пусть матрица M ( L,p )-регул ярка, p Е { 0 } U N, т Е R+, при чем detM = 0. Тогда для любых x о Е R n. y о Е Y су и чествует единствепиое решение ( y,v ) Е Y х U д задача (14) - (16). где. y = Cx. a x ( t ) определенi (11) 'при f = Bu.

2.    Концепции белого шума

Пусть L. M - квадратные матрицы порядка п. при чем det L = 0. а па шок L + AM p -регулярен. Приведем систему (1), воспользовавшись известной теорией Кронекера - Вей-ерштрасса (см. например [20], гл.12), к эквивалентной системе

L e = м е + e ,

где матрицы L = diag{Nv 1, Nv2,..., Nvk, If}. M = diag{Im,S}. NVj - жордановы клетки порядка Vj. j = 1, k. с пулями на г.тавной диагонали: 1i 1i Im - единичныe матрицы. l = n — m. k xe(t)

m

Vj-. S - квадратная матрица порядка l. В (18) m компонент вектор-фупкщш x = j=1

соответствуют выходному сигналу, а остальные компоненты характеризуют состояние ИУ;

вектор-функция y = y(t) моделирует входной сигнал. То же самое необходимо сказать про их прообразы из (1). Алгоритм сведения (1) к (18) в теории выглядит очень простым, одна ко весьма неустойчив в численной реализации. В отличие от предыдущего параграфа, где входной сигнал детерминирован, необходимо было изучить модель Шестакова - Свиридюка (18), где на входе не только полезный сигнал, но и БШ.

Принято считать, что история изучения БШ восходит к теории броуновского движения А. Эйнштейна и М. Смолуховского. Из этой теории следовало, что смещение частицы в броуновском движении пропорционально t/i, где t - время. Поэтому скорость частицы пропорциональна (2Vt)~1 и поэтому не определена в момент времени t = 0. Следующий шаг в этом направлении был сделан Н. Винером, который предположил, что смещение частицы определяется случайным процессом, впоследствии получившим его имя. Итак, винеровским называется случайный процесс w(t), обладающий следующими свойствами:

(wl) w (0) = 0 почти наверное (п.н.), и выборочные траектории w ( t ) п.н. непрерывны;

(w2) математическое ожидание E ( w ( t )) = 0, и автокорреляционная функция E (( w ( t ) — w ^{( s ))2)} = It ^— 4

(w3) выборочные траектории w ( t ) п.н. недифферентщруемы при всех t Е [0 , + то ) и на любом сколь угодно малом промежутке имеют неограниченную вариацию.

Обычно под белым шумом понимают обобщенную производную винеровского процесса (т.к. «обычной» производной в силу (w3) не существует). Именно в таком смысле БШ выступает, например, в линейных стохастических дифференциальных уравнениях вида dx = (Sx + y) dt + A6w.

Здесь в правой части символом 5w обозначен обобщенный дифференциал от винеровского процесса w(t), т.е. БШ. Первым уравнения вида (19) начал изучать К. Ито, затем к ис- следованиям подключились Р.Л. Стратонович и А.А. Скороход. Их подходы различаются,

главным образом, в трактовке интеграла

j ASw ( t ).

который возникает в правой части

после интегрирования. В настоящее время данный подход распространен и на уравнения в

частных производных. Кроме того, в последнее время в школе И.В. Мельниковой сложилось и активно развивается новое направление теории стохастических дифференциальных уравнений. Здесь уравнение (19) понимается в виде

X = Sx + y + w,

где все производные рассматриваются в пространстве Шварца. Таким образом, обобщенная производная винеровского процесса в правой части (20) - аддитивный БШ.

Отметим еще, что обзор подходов Ито - Стратоновича - Скорохода и Мельниковой -Филинкова - Альшанского представлен в [14]. Однако их вряд ли возможно применить к изучению уравнений вида (1). Первый подход не применим потому, что уравнения (1) (или в эквивалентной форме (18)) разбиваются на две части в силу теории Кронекера - Вей-ерштрасса; одну из них можно решать интегрированием, как, например (19), зато другая решается только многократным дифференцированием, что достаточно затруднительно в силу свойства (w3). Второй подход не применим из-за того, что в теории оптимальных измерений приходится опираться на теорию оптимального управления решениями уравнений вида (1), а она существует пока только в рамках гильбертовых пространств, и ее распространение на локально-выпуклые пространства до сих пор не осуществлено.

А.Л. Шестаковым и Г.А. Свиридюком было предложено использовать вместо обобщенной производной винеровского процесса производную в среднем [14]. Основы теории таких производных заложил О. Нельсон [12], а саму теорию до ее нынешнего состояния развил Ю.Е. Гликлих [13]. Одним из важнейших объектов этой теории является симметрическая производная в среднем случайного процесса, называемая еще текущей скоростью этого процесса. В дальнейшем краткости ради именно эту производную будем называть производной Нельсона - Гликлиха. Будем, используя их обозначения, обозначать символами D s w ( t ) эту производную винеровского процесса w ( t ).

Обсудим преимущества такой замены. Во-первых, производная Нельсона - Гликлиха в случае детерминированного (т.е. неслучайного) гладкого процесса совпадает с « обычной » производной точно так же как обобщенная производная совпадает с « обычной » производной гладкой функции. Во-вторых, производная Нельсона - Гликлиха винеровского процесса w ( t ) посчитана и имеет следующий вид: Dsw ( t ) = (2 t ) ~ ¹ w ( t ). Именно этот случайный процесс назван « белым шумом »(« БШ » ), обращая внимание на кавычки. Как и обобщенная производная винеровского процесса, этот « БШ » в силу свойства (w2) имеет нулевое математическое ожидание. Наконец, в-третьих, если винеровский процесс w ( t ) моделирует смещение частицы в броуновском движении, то, согласно теории Эйнштейна - Смолухов-ского, его выборочные траектории п.н. эквивалентны t/t . Отсюда D s w ( t ) п.н. равно (2 Vt ) ~ 1, что просто-таки совпадает с « обычной » производной броуновского движения.

3.    Ослабленная задача Шоуолтера - Сидорова для уравнений леонтьевского типа с аддитивным «белым шумом»

Пусть P ( I a х Н) = P ( I а х Н; R n ) - множество случайных пропессов со значениями в R n. Случайный процесс п € P ( I а х Н) будем обозначать символами п = П ( t ), считая его зависимость от второй переменной ш € Н, имеющей место по умолчанию. Производную Нельсона - О

Гликлиха Ds (если она существует) случайного процесса. п будем обозначать символом П. ОО т.е. Dsп = Dsп(t) = П=П (t). Подмножество (пространство Лебега) случайных процессов р (ia х И), имеющих п.н. непрерывно дифференцируемые до порядка к включительно (в смысле Нельсона - Гликлиха) траектории, обозначим через Lq(Iа х И), к Е {0} U N.

Далее, пусть L и M - квадратные матрицы порядка n. det L = 0. и пучок pL — M р -регулярен. Рассмотрим систему леонтьевского типа

◦

◦

L П = Mn + w,

◦ где w = (2t)

¹ w ( t ) - « БШ » . Случайньш процесс n Е L1 ((0 , т ) х И) будем называть решени-

ем системы (21), если п.н. все его траектории удовлетворяют (21) при всех т Е (0 , + то ). Ослабленной (в смысле С.Г. Крейна) задачей Шоуолтера - Сидорова назовем следующую начальную задачу

b oj RL ( M )] p ⁺¹( n ( t ) — £ o) = 0 ,

где RL(M) = (aL — M) 1L - правая L-резо.тьвеита матрицы M. а Е pL(M) - L-резольвентное множество матрицы M. Отметим сразу, что, поскольку ker[RL(M)]p +1 = ker P. im[RL(M)]p+1 = imP. где P = --- [ RL(M)dp - npoeiстор на Rn. то задана

2ni Y- эквивалентна задаче

Д т+ Р ⁽ n ⁽ t ) ^{— e} o) = ⁰ -

Итак, решение n = n ( t ) системы (21) будем называть решением задачи (21), (22) (или, эквивалентно, - (21), (23)), если оно п.н. удовлетворяет (22).

Наряду с проектором P введем в рассмотрение проектор Q = -- LL ( M ) dp.

2 ni У ₇ ^

что

где

LL ( M ) = L ( pL — M ) - ¹

левая L -резольвента матрицы M, а д Е C как и выше - замкнутый

контур, ограничивающий L -спектр a^L ( M ) матрицы M.

Лемма 1. Пусть пучок pL — M р-регулярен, тогда dim ker P = dim ker Q, LP = QL, MP = QM.

Ввиду р -регулярности пучка pL — M можно, не теряя общности, считать det M = 0. Действительно, сделав в (21) замену n ( t ) = ^ш ( t ) e^at, г де а Е p^L ( M ), придем к системе вида (21), причем в правой части будет матрица M‘ = M — aL. Очевидно, det M‘ = 0. Построим матрицу (I _n — P ) M^{- 1}(I _n — Q ) L (I _n — P ) = H.

Лемма 2. Пусть пучок pL — M р-регулярен, det M = 0, тогда мampupa H нильпотентна степени не- выше. р.

Лемма 3. Пусть пучок pL — M р-регулярен, тогда сугцествует квадратная матрица Л порядка n такая, что Л QL = LP Л = diag { O m, I f} с точностью до перестановки строчек, где m = dim ker P. l = n — m.

Полоз/сим S = Л QM и построим

e

^tS =2 ni / R^L < M ' e^dp-

γ

Как нетрудно видеть, семейство {e^tS : t Е R } образует группу, причем ее единица e^tS It =o = P.

Теорема 3. Пусть пучок pL — M р-регулярен, det M = 0. Тогда для любых eо Е V(Н; Rn) и т Е (0, + то) сугцествует решение n Е L1((0, т) х И) задачи (21), (22), причем все решения п.н. имеют вид pt n (t ) = —V Hk M - 1(I n — Q) DS wo (t)+ etS e о +    e(t-s) S Л Q W (s) ds.        (24)

k =0                                         ⁰

Здесь H ⁰ = I n — P по построению, и п Е L 1((0 , т ) х Q) при всех т Е (0 , + то ). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что (24) является решением (21). Поскольку при действии проектором P на первое слагаемое (в действительности, - вычитаемое) в (24) мы получаем тождественный нуль при всех t Е (0 , т ), то ясно, что (23), а тем самым и (22), тоже выполняется.

Пример 1. Одна из простейших моделей ИУ, рассмотренная в [4, 5], имеет применительно к рассмотренной здесь ситуации следующий вид о . о           _

а = Аа + ш, в = Са.

Здесь случайный процесс а = а ( t ) моделирует состояние ИУ, матрицы А и С - его устройство, в = в ( t ) ~ наблюдаемый прочесс. в данном случае. « БШ » ш = ш ( t ). Положив П = ( а 1 ,... ,а_т,в 1 ,... ,в/ )• L = diag { 1 1, O m}.

M-(А —Om )• придем к системе (21) w = (ш 1,... ,Ш1, 0,..., 0). Как нетрудно заметить, во-первых, det M = '-V}

l

0. поскольку det M = ( — 1) m det А 11 det А = 0 по построению. А во-вторых, пучок pL — M 0-регулярен. Проекторы Q = L.

I l   O

C O m

P =

,

оператор Л = L, группа разрешающих операторов tA

O O m

tM       ^e

,

e        CetA ( где etA = ^—: j(ц11 — А) 1 e^dp. а контур у ограничивает область, содержащую спектр ст(А) γ матрицы А (кстати сказать, здесь ст(А) = ctl(M)). В модели (25) изучим только наблюдение в- и. кроме того, чо техническим причинам иачатьиуто случайную величину £о (в (22). (23)) можно положить равной нулю п.н.

Следствие 1. Все наблюдения в модели (25) п.н. даются формулой

в ( t ) = С [ e ^{( t} s ) A Ш ( s ) ds, t Е R₊ .

Отсюда вытекают два важных вывода: во-первых, случайный процесс наблюдений в (0) = 0 п.н., и во-вторьIX, траектории в ( t ) ^п-^н- непрерывны.

4.    Многоточечное начально-конечное условие для уравненийСоболевского типа первого порядка

Пусть U л F — банаховы просту>аиства. операторы L Е L (U; F) 11 M Е Cl (U; F). причем оператор M сильно ( L,p )-радиален [7]. Рассмотрим линейное уравнение Соболевского типа

Lui = Mu + f.

Кроме того, пусть выполнено условие на относительный спектр оператора M

n ctl(M) =    oL(M), n E N, причем ^L(M) = 0, существует j=0                                                                >

замкнутый контур Yj С Си Yj = dDj, где Dj D aL ( M ) , что

Dj П ^CTL ( M ) = 0 ^й Dk П Di = 0 ^ПР^{И BCex} j, k,l = 1 ,n, k = l- ,

Тогда существуют относительно спектральные проекторы P, Q (см. [21]), а также Pj, Qj, j = 1 ,n. [16]. причем

Pj = 2п- j ( ^L — M ) ¹ Ldp, Qj = 2П_ j l ( ^l — m ) ¹ d^, j = 1 , n

Введем в рассмотрение подпространства U^{1 j} = im Pj , F^{1 j} = im Qj, j = 0 , n . Положим P 0 = n        nn

P — ^ Pj, P 0 E L (U) - проектор. По построению U¹ = фи^{1 j} !! F¹ = Ф F¹ j Через L 1 j ^{j =1}                                                           j =0               j =0

обозначим сужение оператора L нa U^{1 j}, j = 0 , n, а через M 1 j обозначим сужение оператора M iia dom M П U^{1 j}. j = 0 , n . Поскольку, как нетрудно показать. Pjф E dom M. если ф E dom M. то область (определения dom M 1 j = dom M П U^{1 j} плотна в U^{1 j}. j = 0 , n.

Теорема 4. (Обобщенная спектральная теорема) Пусть операторы L E L (U; F) и M E Cl (U;F), a oneратор M силъно ( L,pУрадиален, причем выполнено условие (28). Тогда

• (i)    операторы L 1 j E L (U^{1 j} ;F^{1 j} ). M 1 j E L (U^{1 j} ;F^{1 j} ). j = 0 ,n:

• (ii)    существуют операторы L-j E L (F^{1 j} ;U^{1 j} ), j = 0 , n.

Итак, пусть выполнено условие (28), зафиксируем Tj E R+, j < Tj +1), uj E U, j = 0 , n, возьмем f E C^ (R₊;F), j = 0 , n . Рассмотрим многоточечное начально-конечное условие

Pj ( u ( Tj ) — Uj ) = 0 , j = 0 , n

для уравнения (27).

Определение 1. Вектор-функцию u E C ([0 ,T_n ];U) ПC 1((0 ,T_n );U), удовлетворяющую уравнению (27), назовем решением многоточечной начально-конечной задачи (27), (29), если она удовлетворяет уравнению (27), и условиям lim P 0( u ( t ) — и о) = 0, Pj ( u ( Tj ) — Uj ) = 0,

J'            tmT0+ j = 1 ,n.

Теорема 5. [16] Пусть оператор M силъно (L,p)-радиален, причем выполнено условие (28). Тогда для любых векторов Uj E U, для любых еектор-функций f0 E Cp+1((0,t);F0), fj E C([0,Tn];Fj). j = 1 ,n. существует единственное решение' u E C([0,Tn];U) П C 1((0,Tn);U). которое к тому эюе имеет вид u (t ) = — (т HqM-1 dq f 0( t) + 52 (u‘j u q=0                    j=0

τj

— It Rt^1-sf¹(s ) ds

Отметим, наконец, что многие физические, технические и технологические процессы и явления такие, как, например, плоскопараллельная термоконвекция вязкоупругой несжимаемой жидкости, моделируются уравнениями Соболевского типа (27). При этом возникает необходимость осуществлять многочисленные наблюдения изучаемых процессов и явлений с различных точек и в различные моменты времени. Например, в целях предотвращения аварийных ситуаций, необходимо в различные моменты времени отслеживать выполнение технологии в различных точках при обеспечении непрерывности процесса термоконвекции. Полученные ре зультаты наблюдений позволяют, решив многоточечную начально-конечную задачу (27), (29), восстановить параметры изучаемых процессов [3, 16].

5.    Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Соболевского типа первого порядка

Пусть X, Y, U - гильбертовы пространства, операторы L, M Е L (X , Y), причем оператор M ( L,p )-ограничен, а оператор B Е L (U; Y). Для уравнения Соболевского типа

LX = Mx + у + Bu                           (31)

рассмотрена начально-конечная задача [3, 18],

Pin ( х (0) - х 0) = 0 , Pfin ( x ( т ) - X t ) = 0 ,                         (32)

где т Е R₊ (для определенноети, вообще можно т Е R \{ 0 }), х о, х_т Е X. Задача оптимального управления решениями задачи (31), (32), заключается в отыскании такой пары ( X, и ) Е X х Uad, для которой выполняется соотношение

J ( X, u ) =     inf     J ( x,u ) .

( x,u ) e X X U ad

Здесь J ( x,u ) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление и Е Uad, г де Uad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U, а все х Е X - решения задачи (31), (32). Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (31) - (33) дает возможность минимизировать штрафные санкции.

Определение 2. Вектор-функцию х Е H ¹(X) = {х Е L 2(0 , т ; X) : X Е L ₂(0 , т ; X) } назовем сильным решением уравнения

Lee = Mx + у, (34)

если опа п. в. па (0 , т ) обриищет его в тождество. Сильное решение' х = х ( t ) уравнения (34) назовем силъним решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (32) (см. [22]).

В силу непрерывности вложения H ¹ (X) 'Ш C ([0 , т ]; X) это определение корректно. Термин « сильное решение » введен для того, чтобы отличать решение уравнения (34) в данном смысле от решения (30), представленного в предыдущем параграфе, которое теперь уместно называть « классическим » . Заметим, что классическое решение является также и сильным решением задачи (32), (34).

Была доказана [23] следующая

Теорема 6. Пусть оператор M (L,p)-ограничен, p Е {0} U N. Тогда существует, един ственное сильное решение задачи (32), (34) для любых хо ,хТ Е Xu f Е Hp +1(Y) = p+1 т

= <  v Е L 2(0 , т ; Y) : v ^{( p +1)} Е L ₂(0 , т ; Y) ,p Е { 0 } U N; [ v, w ] = ^^ / 0 v ⁽ q ) ,w ⁽ q )^ dt >.

q ⁰ 0                 Y „

Полученный результат был использован для решения задачи оптимального управления (31), (32). Введем в рассмотрение пространство управлений

H^{p +1}(U) = {и Е L 2(0 ,т ;U) : и ^{( p +1)} Е L 2(0 ,т ;U) ,р Е{ 0 }U N }.

Пространство Hp ⁺¹(U) гильбертово, в силу гильбертовости U, со скалярным произведением

Р +1 р [ v,w ]= ^ J <^v ^{( q} ) , w ^{( q} )^ dt.

Выделим в пространстве Hp ⁺¹(U) замкнутое и выпуклое подмножество Hg ⁺¹(U) - множество допустимых управлений. Введем в рассмотрение Z - некоторое гильбертово пространство наблюдений и оператор C Е L (X; Z), задающий наблюдение z ( t ) = Cx ( t ). Заметим, что если x Е H 1(X). то z Е H 1(Z).

Определение 3. Вектор-функцию U Е Hg ⁺¹(U) назовем оптимальным управлением решениями задачи (31), (32), если выполнено (33), где все x Е X - решения задачи (31), (32).

Доказано существование единственного управления U Е Hg ⁺¹(U), минимизирующего функционал стоимости

1 р                 Р +1 ^т

J ( x,u ) = ^ / ||z ^{( q} ) — z 0 ^q ) | |Z dt + ^ / N^uu ^{( q} ) ,u ^{( q}A dt,              (35)

q=0J°                    U=0q                U где Nq Е L(U), q = 0, 1, ..., p + 1, - самосопряженные и положительно определенные операторы, zо = zо(t) - желаемое наблюдение. Справедлива

Теорема 7. Пусть оператор M ( L,p)-ограничен, p Е { 0 }U N. Тогда для любых у Е H^{p +1}(Y) , x о ,x_T Е X существует единственное оптимальное управление решениями задачи (31), (32).

В случае p = 0 справедливо необходимое и достаточное условие существования оптимального управления

Теорема 8. Пусть оператор M ( L, 0)-ограничен. Тогда при любых у Е H 1(Y) и x Е H ¹ (X) оптимальное управление U Е H (U) для задачи (31), (32) характеризуется соотношениями —L*l = M*6, + C* Л( Cx ( t,u ) — z о), РП ( т ) = 0, Pfin^ (0) = 0, и для всех u Е H, g(U) выполняется неравенство

• 1    Г

6.    Задача Шоуолтера - Сидорова для уравнения Соболевского типа второго порядка

(Л-1 B*s(Ml),U(t) — U(t))H 1(3) + £ / (Nqu 0, q=оо где x(t,u) Е H 1(X), ^(t,u) Е H 1(Y*).

Подчеркнем, что также было доказано существование единственного сильного решения начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения Соболевского типа в случае относительно p -секториального оператора, существование единственного оптимального управления решениями рассматриваемой задачи и получены необходимые условия оптимальности управления в этом случае. Абстрактные теоретические результаты применены в исследованиях оптимального управления в моделях процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа [15] и Дзекцера [24], заданными на графе с начально-конечными условиями. Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения поставленных задач.

Пусть X. Y - гильбертовы прос/траиетва. операторы A, B 1 , B о Е L (X; Y) , С Е L (U; Y). причем пучок B операторов B 1 , B о является ( A,p )-ограниченным. Для линейного неоднородного уравнения Соболевского типа второго порядка

Ax = B 1 , x + B о x + у                              (36)

рассмотрим задачу Шоуолтера - Сидорова

P ( x (0) — x о) = 0 , P ( x (0) — x 1) = 0 ,                          (37)

где

P = 2Пг/ Ra (B)^Ad^ e X — γ проектор.

Имеет место однозначная разрешимость задачи Шоуолтера - Сидорова (37) для уравнения (36)

Теорема 9. [17] Пусть пучок операторов B является (A,p(-ограниченным. Тогда для любых x о, x 1 G Xu вектор-функции у Е Сp+2((—T,T); Y) существует единственное решение x Е С2((—T,T);X) задачи (36). (37) вида x (t) =

-

p

Е Kq( b о^о) ■ ¹

q =о

t dq (I — Q) у (t) + M 1( t) Px о + N1 (t) Px 1 + У о

N ( t — s )( A 1) ¹ Qy ( s ) ds,

где M 1( t ) , N 1( t ) - сужения g ыро.ждсииых M- и N-функций па noдпростраиство X¹ [33].

Определение 4. Вектор-функцию x Е H ² (X) = {x Е L 2(0 , т ; X) : x Е L ₂(0 , т ; X) } назовем сильным решением уравнения (36), если она п.в. на промежутке (0 ,т ) обращает его в тождество. Сильное решение x = x ( t ) уравнения (36) назовем сильным решением задачи (36), (37), если оно удовлетворяет условиям (37).

Теорема 10. Пусть пучок операторов B является (A,p(-ограниченным, p Е {0}UN. Тогда сугцествует единственное сильное решение задачи (36), (37) для любых x о, x 1 Е Xu у Е Hp+2(Y) = < v Е L 2(0 ,т; Y) : v(p+2) Е L 2(0 ,т; Y) ,p Е

р +2 ^т

{ 0 } U N; [ v, w ] = Е J (v ⁽ q ) ,w ⁽ q ) ) Y dt q =^оо

Полученные результаты были применены для решения задачи оптимального управления решениями задачи Шоуолтера - Сидорова (37) для уравнения

Ax = B 1 зг + B о x + у + Си.

Здесь задача оптимального управления заключается в отыскании пары ( x, и ), для которой выполняется соотношение

J ( x ,u )=    inf     J ( x,u ) ,

(x,u) eXXUad где функционал качества задается следующим образом:

2 Т

J ^{( x,}u )=Е / ^{|x (} q ) q=^оо

-

Р +2 ^т

x ^{( q} ) | |² dt + Е / (Nqи ⁽ q ) ,и ⁽ q ) ) U dt-q =^оо

Здесь Nq Е L (U) , q = 0 , 1 , ...,p + 2 , - самосопряженные и положительно определенные операторы, x ( t ) - плановое состояние системы. Управление и принадлежит Uad, где Uad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U, a x Е X - решение задачи (37), (38).

Введем в рассмотрение гильбертово (в силу гильбертовости пространства U) пространство управлений

Hp+2(U) = {и е L2(0,т;U) : и(p+2) Е L2(0,т;U), p Е {0}U N} р+2 т со скалярным произведением [v,w] = Е ] (v(q) ,w(q))U dt. Выделим в пространстве Hp+2(U) q=0 0

замкнутое и выпуклое подмножество Hdp ⁺²(U)- множество допустимых управлений.

Определение 5. Вектор-функцию и Е Hdp ⁺²(U) назовем оптимальным управлением решениями задачи (36), (37), если выполнено соотношение (39).

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 10. Тогда для любых x 0 , x 1 Е X у у Е Hp ⁺²( y ) существует единственное оптимальное управление решениями задачи (37) для уравнения (38).

Помимо единственности оптимального управления решениями задачи (37) для уравнения (38) найдено следующее необходимое и достаточное условие: управление и Е Hdp+2(U) оптимально тогда и только тогда, когда J‘(и)(и — и) > 0, и Е Hdp+2(U), т.е. для функционала (40) выполняется соотношение (x (t, и) — x, x (t, и) — x (t, и) )h2(x) + [ и ,и — и] > 0, и Е Hq+2 (U), р+2 Т

и ^{( q} )( t ) — и ^{( q} )( t ) ) u dt - билинейная непрерывная коэрцитивная

где [ и, и — и ] = £ / (Nqи^(q ) ( t ) q =0

форма па H^{p +2}(U) .

Теорема 12. Пусть пучок операторов B является ( A, 0)-ограниченным. Тогда при любых y ∈ H ² (Y) и x Е H ²(X) оптимальное управление и Е Hg(U) для задачи (38), (37), (40) удовлетворяет неравенству

( Ли¹ С *е ( t,U ) ,и ( t ) — и ( t ) ) h 2(U) +

2 Т ∑∫ q=0 0

(Nq и⁽ q )

( t ) ,и ⁽ q )

( t )

— и ^{( q} )( t ) )и >  0 ,

и Е Hd(U),

где ^ ( t,U) Е H ²(Y * ) - решение задачи A*l = — ( B 1) *^ + ( B ₀) *^ + ( x ( t,u ) — x ), P* ( ^ ( т )) = 0, ■

P * ( е ( т )) = 0.

7.    Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Соболевского типа второго порядка

Пусть X и Y. U - гильбертовы прос/траиства. операторы A, B 1 , B о Е L (X; Y) , C Е

L (U; Y). <|>уикипи и : [0 , т ) С R + ^ U, у : [0 , т ) С R + ^ Y ( т < то ) .

Ax = B 1 зс + B о x + у + Си.

Рассмотрим начально-конечную задачу

Pin (: x (0) — x 0) = 0 , Pin ( x (0) — x 0) = 0;

Pfin ( x:(т ) — xT ) = 0 , Pfin ( x ( т ) — xT ) = 0;

здесь Pin ( fin ) - некоторые проекторы в пространстве X. Нас будет интересовать задача оптимального управления, которая заключается в отыскании пары ( 5с, й), г де 5с - решение задачи (41), (42), a u G Uad - управление, для которого выполняется соотношение

J ( 5, й ) =    min    J ( x,u ) .

(x , u) e X X Uad

Здесь J ( x,u ) - некоторый спетщальпыл образом построенный фупкщюпал качества. Uad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U.

Для начала рассмотрим линейное неоднородное уравнение Соболевского типа второго порядка

Ax = B 1 5с + B о х + у.                              (44)

Пусть выполняется условие

/ RA ( B ) ^dp . О , ^Y = ^{{p G} C: |^p| = r>a^}.                  ( A )

γ

Лемма 4. [25] Пусть пучок B полиномиально A-ограничен, и вы полнено условие ( A ) . Тогда 11

операторы P = -—;  RA ( B ) pAdp, Q = -—- PARA ( B ) dp - проекторы в пространствах

γ

X и Y соответственно.

γ

Если пучок B полиномиально A -ограничен, и выполнено условие (А), то существует единственное семейство вырожденных M, N -функций однородного уравнения (44) [25]. Пусть теперь выполнены условия

A -спектр пучка B aA ( B ) = a A ( BB ) U aA ( B ) , причем aA ( B ) = 0, k = 0 , 1; и существует контур y о C C , ограничивающий область Го С C такую, что ^Го П ^aA ⁽ B ) = ^aA ⁽ B ) , ^Го р ^aA ⁽ B ) = ⁰ ;

( B )

и j RA (B) dp = О.                               (A о)

γ 0

pRA ( B ) Adp G

2 ni      ^

γ 0

G X.

Тогда существуют относительно спектральные проекторы Pfin =

L(X) , Pin = P — Pfin. Возьмем произвольные векторы x 0 , x ⁰ , xT, xT

Определение 6. Решение x = x ( t ) уравнения (44) назовем решением начально-конечной задачи для уравнения (44), если оно удовлетворяет условиям (42).

Теорема 13. Пусть пучок B ( A,p^-ограничен, и выполнены условия ( A ) , ( B ) , ( A о). Тогда для любых т G R ,xk,xT G X , k = 0 , 1 , вектор-функции у = у ( t ), t G [0 ,т ], такой, что у ^о = ( I — Q ) у G C^{p +1}([0 ,т ]; Y^о) ПC^{p +2}((0 ,т ]; Y^. y^fin = Qfiny G C ([0 ,т ]; Y ^fin ). yin = Qiny G C ([0 , т ]; Y in ) существует единxmeennoe решение x = x ( t ) задачи (4^), (44), которое к тому эюе имеет следующий вид:

x ( t ) =

p

— £ k 2( b °)

q =0

dq

— ^{у (} t ) ⁺ Mfin ^x о ⁺ Minx о ⁺ dt^q

+ N'f-nn xT

+ N*„x 1 + j_o^t NYsYn ( s ) ds — l( N-f-Yuf™ ( s ) ds,

где Nf_m =     [ RA ( B ) AeP^tdц,t Е R. Mfin = 1- [ RA ( B )( цА

2 П i                                       2 П i

- B 1) e^ptd^,t Е R

пропага-

γ 0

торы уравнения (44) •

γ 0

Необходимо отметить, что кроме этого были получены достаточные условия однозначной разрешимости начально-конечной задачи (8) для линейных полных уравнений Соболевского типа высокого порядка (6) с относительно р -ограниченным, относительно р- секториальным оператором, относительно полиномиально ограниченным операторным пучком, причем результаты легли в основу численных методов. Полученные абстрактные результаты были использованы в исследованиях моделей Соболевского типа высокого порядка, возникающих в гидродинамике, электродинамике, геологии, биоинженерии.

Определение 7. Вектор-функцию x Е H ²(X) назовем сильным решением уравнения (44), если опа п. о. па (0 , т ) обращает его о тождсство. Сильное' решение' x = x ( t ) уравнения (44) назовем сильным решением задачи (42),(44), если оно удовлетворяет (42).

В силу непрерывности вложения H ²(X) ^ C ¹ ([0 , т ]; X) наше определение корректно. Термин « сильное решение » введен для того, чтобы отличать решение уравнения (44) в данном смысле от решения (45), которое обычно называют « классическим » . Заметим, что классическое решение (45) является также и сильным решением задачи (42), (44).

Теорема 14. Пусть пучок операторов B ( А,рфограничен, р Е { 0 }U N, выполнены условия ( А ) , ( B ) , ( А о). Тогда для любых x ⁰_k, x" Е X , k = 0 , 1 и у Е Hp ⁺²(Y) существует единственное сильное решение задачи (42) для уравнения (44)-

Выделим в пространстве Hp ⁺²(U) замкнутое и выпуклое подмножество Uad = Hp ⁺²(U)- мноэгсество допустимых управлений.

Определение 8. Вектор-функцию й Е H)p ⁺²(U) назовем оптимальным управлением решениями задачи (41), (43), если выполнено соотношение (43).

Нашей целью является доказательство существования единственного управления u Е Hd ⁺²(U) , минимизирующего функционал качества

• ²    н"                          p ⁺2 Н" ,               ,

J ( x,u ) =       / ||x ⁽ q ) — x ⁽ q ) || ² dt + У2 / \ Nqu ^{( q} ) , u ⁽ q )\ dt.

q =0 ⁰                      q =0 ⁰                U

Здесь N_q Е L (U), q = 0, 1, ..., p + 2, - самосопряженные и положительно определенные операторы, x ( t ) - плановое состояние системы.

Теорема 15. Пусть пучок операторов B ( А,рфограничен, р Е { 0 }U N, выполнены условия ( А ) , ( B ) , ( А 0). Тогда для любых x⁰_k, x" Е X, k = 0 , 1 и у Е H^{p +2}(Y) сугцествует единственное оптимальное управление решениями задачи (42) для уравнения (41)-

Теорема 16. Пусть пучок операторов B ( А, 0)-ограничен. Тогда при любых у Е H ²(Y) и x Е H ²(X) оптимальное управление и 0 Е Hg(U) для задачи (41), (42) характеризуется соотношениями А*( = — ( B 1) *^ + ( B 0) *^ + ( x ( t, u ) — x ), Pfin ( ^ (0)) = 0, Pf-in ( 4 (0)) = 0, Pin ( 4 ( т )) = 0, Pin ( 4 ( т )) = 0, и выполняется неравенство

(AU ¹ C -4 ( t,u 0) ,u ( t ) — u 0( t )) H 2_(U) + ]| У ( Nqu 0 q ⁾( t ) ,u <  q > ( t ) q =0 ₀

где x ( t,u 0) Е H ²(X) , 4 ( t,u 0) Е H ²(Y * ) .

τ

-

u0q )( t ) )U >  0 Vu Е Hd (U) ,