Некоторые оценки асимптотического поведения минимальной поверхности над полосообразной областью

1. Пусть г = / (ж, у ) — С 2 -решение уравнения минимальных поверхностей

д /   /‘Му)   \ . £/ дж V1 + I ▽ /(ж,у)|2     дУ

^/ ‘_у ^{( ж,}У)

V¹ + I ▽ /(ж,у) | ²

)    “■

заданное над областью П = { (х, у) Е Д ² : 0 < х < + то , — ^(х) < у < ^(х) } , где ^(х) — непрерывно дифференцируемая функция ( | ^ ‘ (х) | <  М ).

Символами д ‘ П и д ‘‘ П обозначим участки границы дП :

д ’ П = дП П{ (х,у) Е Д ² :х = 0 } , д ‘‘ П = дП \ д ‘ П.

Предположим, что решение /(х,у) удовлетворяет на границе д ‘‘ П следующим усло-

виям:

9f (ж,у)

i) дп

д ‘‘ п = (/ ‘ ж (х,у)п ж + / ‘_у ( х,у ) п у ) _д ‘‘ п = 0 , где п = ( п ж ,П у ) — внешняя

нормаль;

ii) ^{| f} ‘ж ^{( х}, Д^х '' = ^{| f} ' ж ^{( х}- Д^х '' .

На вертикальном участке д ‘ П границы решение произвольно.

Для любого х > 0 введем в рассмотрение величину

^ ^{( ж )}

^ ^{( х )} = у

^- ^ ^{( ж )}

^{1 + /} ‘ у ^{( х,}у)     _л

—.                  dу.

V 1+ T ▽ 7XУ)V

Пусть х ₂ > х 1 > 0 . Тогда, как было показано в [3], можно получить равенство

^ 2

^(х 2 ) — ^(х х ) = У у^/Т+~(Г+^ ‘² (х)/’ ‘ 1 (х^(^х))^ ‘ (х) dх —

Ж 1

Ж 2

— j /1+1¹+^ ‘^{2 ( х ) /} ‘ ж ^{( х,} - ^ ^{( х} )У^(— ^ ‘ ^{( х )) dх}.

Ж 1

Следовательно, используя второе граничное условие, получим

Ж 2   _________________________________________

^(х 2 ) — ^(х х ) = 2 У У1 + (1 + ^ ‘² (х))/ ‘ Ж (х, ^(х))^ ‘ (х) dх.

Ж 1

Возьмем произвольно точку (х о ,у о ) Е П и введем в рассмотрение однозначную в П функцию

^{( ж,}у ) ^{v ( х,}У ⁾ =   J

( ж о ,у о )

^/ Ж (MX ^{( t,s)}      ,     ^{1 + /} ‘ у ^{( t,s})

,                       dt +--.                       ds.

V 1 + I ▽ / (t,s) | ²     ЕГ +Т ЕЖТП²

Известно, что отображение w = u + zv, где и = х, v = v(х, у), является голоморфным в метрике поверхности z = /(х,у) и осуществляет введение на графике изотермических координат (u,v) [4].

Обозначим подынтегральное дифференциальное выражение в (3) через dv . Тогда на границе д ‘‘ П будем иметь:

^{( ж, -} ^ ^{( ж ))}

( ж о , - ^ ( ж о ))

v(х, — ^(х)) =    I dv = j

(ж о ,у о )

(ж о ,у о )

ж dv — У У1 + (1 + ^‘2(х))/‘Ж(х, ^(х))^‘(х) dх. жо

^{( ж,}^ ^{( ж )) v ( x,}H ^{( x ))} = У

( ^ж о ,у о )

dv =

( ж о ,^ ( ж о ))            ж ____________________________________________

У ^dv + У уД+й'+^ ^МУ / ' Ж ^^^^H ‘ ^{( x ) dx}-

( ^ж 0 ,У 0 )              ^ж 0

Используя равенство (2), получим

v(x, н(х)) — v(x, —h(x)) = ^(x0) + ^(x) — ^(x0) = ^(x), причем Ф(х) = 2(v(x, h(x)) + v(x, —^(x))) = c.

Таким образом, можно показать, что отображение w(x, у) есть диффеоморфизм П на П _ш , где

|м(^и) <  v <  ^c + |д(м) ^} .

П _ш = { (u, v) Е R² : 0 < и <  + то , c —

Обозначим К (x,у) гауссову кривизну минимальной поверхности z = /(x,у) . Отметим, что К (x, у) <  0 . Используя результаты, полученные в [3] и [4] о допустимой скорости стремления к нулю гауссовой кривизны минимальной поверхности, заданной над полосообразной областью, выводим, что при вышеуказанных предположениях на минимальную поверхность z = /(x, у ) будут справедливы следующие утверждения. Теорема 1. Пусть v (x) — положительная, неубывающая, непрерывная на (0, + то ) функция, для которой

+ ^                                       ж

/ v(x)e ^{- CT ( l )} f^x = + то ,       где a ( x ) = ^ /

J            ^(x)                            J Xt)

Тогда, если всюду в П выполнено log(—К(x, у)) < —v(x), то /(x, у) = const.

Положим

1 1±A^t) ^{X ( x )}   4     ^(t)     ^dt.

Теорема 2. Пусть L — кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке области П и идущая в бесконечность, оставаясь в области П .

Если К(x, у) ограничена в П и log(—К (x,y)) ТлЗ ^ —^,    (x,y) Е L,    x ^ +^, gA(I)

то / (x, у) = const.

Теорема 3. Если К (x,y) — ограничена в П и непрерывна в ее замыкании и, кроме того, удовлетворяет условию

∞

Г log ^{| К (} x, ^— н ⁽ x ^{)) К (} x^,H ⁽ x ^))|

I -----------ту——-.—г----------dx — —то, eA(l)^(x)

то / (x, у) = const.

2. Пусть г = /(ж, у) — С ² -решение уравнения минимальных поверхностей (1), заданное над областью П = { (ж, у) ЕЙ ² : 0 < ж <  + то , ^(ж) < у < ^(ж) + с } , где ^(ж) — непрерывно дифференцируемая функция ( | ^ ‘ (ж) | <  М ).

Предположим, что решение /(ж, у) удовлетворяет на границе д ’ П условиям (i) и (ii), причем второе условие имеет вид: | / ‘ _ж (ж,^(ж)) | = | / ‘_Ж ( ж,^ ( ж ) + с) | .

Для любого ж > 0 введем в рассмотрение величину

^ ( ж )+ с

^^{( ж )} = у ■

Нж)

^{1 + /} ‘у ^{( ж,}У) V¹ + I ▽ /(ж, у) | ²

dy.

При ж ₂ > ж 1 > 0 будем иметь

^(ж 2 ) - ^(ж 1 ) =

Ж 2                                                                    Ж 2

= у V ¹⁺⁽¹⁺ ^ ‘^{2 ( ж )) /} ‘ ж ^{( ж}, Н^{ж )+ с )} ^ ‘ ^{( ж )} ^-j V ¹⁺⁽¹⁺ ^ ‘^{2 ( ж )) /} ‘ ж (ж, Н^{ж ))} ^ ‘ ^{( ж ) dж}.

$ 1                                                                    ^ 1

Следовательно, используя второе граничное условие, получим у (ж2) — у (ж1) = 0.

Значит, у (ж) есть величина постоянная, которую в дальнейшем будем обозначать через у .

Тогда на границе д ‘‘ П получим:

у (ж, ^(ж) + с) — у(ж, ^(ж)) = у,

Ф(ж) = |(у(ж, ^(ж) + с) + у(ж, ^(ж))) =

( ж о , - ^ ( ж о ))

= 2 ⁽ у * ⁺

( ж о ,у о )

/    dy) + /^ ^ 1 + (1+^ ‘² (ж))/ ' 2 (ж,^(ж))у ’ (ж) dz.

( жо,у о )               ^х о

Причем Ф ‘ (ж) = У1 + (1 + ^ ‘² (ж))/ ‘ ^ (ж, ^(ж))^ ‘ (ж) .

Отображение ш(ж,у) есть диффеоморфизм П на П _ш , где

^— |у < ^у<  ^{ф( м ) +} |у ^} .

П _ш = { ( у,у ) Е R ² : 0 < м < + то , Ф(м)

Для данного случая полосообразной области П результаты, аналогичные теоремам 1-3, будут иметь вид.

Теорема 4. Пусть v (ж) — положительная, неубывающая, непрерывная на (0, + то ) функция, для которой

У v(ж)е ^- ^ ^{( ж +} “ ^{( ж ))} dж = + № , о

где а

ж

^{( ж )=}/

Ф ^{/ 2} (^) dt.

о

Тогда, если всюду в П выполнено log(—К(х,у) < —у(х), то /(х, у) = const.

Теорема 5. Пусть L — кривая, начинающаяся в какой-либо конечной точке области П и идущая в бесконечность, оставаясь в области П .

Если К(х,у) ограничена в П и log( К (х,у)) е д (2+аМ)

—— —ОС,

( х, у ) Е L, х — + с ,

то / ( х, у ) = const.

Теорема 6. Если К ( х,у ) — ограничена в П и непрерывна в ее замыкании и, кроме того, удовлетворяет условию

∞

∫︁

о

log | К(х,^(х))К ( х,^ ( х ) + с) |

— С,

е ^ (Ж+а(Ж))             йх то /(х, у) = const.

Близкие по содержанию результаты, касающиеся минимальных поверхностей над неограниченными областями R ² , получены в [3] и [5]. Аналогичные оценки допустимой скорости стабилизации минимальной поверхности автором приведены в [1; 2]. Вместе с тем, при большей общности, они менее точны в рассматриваемых нами частных случаях.