Некоторые свойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентными тензорными полями

Пусть М^2т+21 — кэлерово многообразие комплексной размерности т + I (m > 1,Z > 1) с почти-комплексной структурой J и римановой метрикой g, V — риманова связность, согласованная eg, R — тензор римановой кривизны многообразия М²^²¹. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в ^2m+2i _с индуцированной римановой метрикой д. Ограничение J на F^2m задает индуцированную почти-комплексную структуру на F^2m, которую будем обозначать той же буквой J. Пусть V — риманова связность, согласованная с д, D — нормальная связность, b — вторая фундаментальная форма, R^L — тензор нормальной кривизны подмногообразия F^2m, V = V®D — связность Ван дер Вардена —■ Бортолотти. b называется параллельной, если V6 = 0. Тензор нормальной кривизны R¹ называется параллельным, если VB¹ = 0.

В соответствии с определением рекуррентного тензорного поля (см. [1, при-меч. 8]), ненулевую форму 5^0 назовем рекуррентной, если существует 1-форма у на F^2m такая, что Vb = ц ® Ь.

Теорема 1. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в кэлеровом многообразии М^2т+2\с) комплексной размерности т + I постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда, если F^2m имеет рекуррентную вторую фундаментальную форму Ь, то тензор нормальной кривизны R^x ^ 0 параллелен.

Известно (см. [1, примеч. 8, теорема 3]), что для риманова многообразия М с рекуррентным тензором римановой кривизны R, суженная линейная группа голономии которого неприводима, тензор римановой кривизны R необходимо параллелен (то есть V/? = 0) при условии, что dim М > 3. Риманово многообразие М называется локально симметрическим, если VR = 0.

Теорема 2. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие комплексной размерности т в кэлеровом многообразии М^2т+21(с) комплексной размерности т + I постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда, если F^2m имеет рекуррентную вторую фундаментальную форму Ь, то F^2m является локальносимметрическим подмногообразием.

1.    Основные обозначения и формулы

Пусть М^п+р — (п + р)-мерное (п > 2,р > 2) гладкое риманово многообразие, g — риманова метрика на M^n+p, V — риманова связность, согласованная cg,Fⁿ — n-мерное гладкое подмногообразие в M^n+p, g — индуцированная риманова метрика на Fⁿ, V — риманова связность на Fⁿ, согласованная с g, TFⁿ и T^F™ — касательное и нормальное расслоения на Fⁿ соответственно, R и Ry — тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, b —- вторая фундаментальная форма Fⁿ, D — нормальная связность, R³- — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Формулы Гаусса и Вейнгартена имеют следующий вид [2]:

v_xy = х_ху + ь(х,у),                    (1.1)

V_xe = -А^Х + Dx^                   (1.2)

для любых векторных полей X, У, касательных к Fⁿ, и векторного поля £, нормального к Fⁿ.

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи имеют, соответственно, следующий вид [2]:

№ У, Z, W) = R(X, У, z, w) + жх, ZY b(Y, w^ - ш W^Y, z^y (1.3)

№,YW = (Vxb)(y,Z) - (Vyb^ZY         (1.4)

R(X, У, e, 77) = R4x, Y, e, 77) - ^([A, A^X, У),            (1.5)

для любых векторных полей X, Y, Z, W, касательных к Fⁿ, и векторных полей ^,у, нормальных к Fⁿ.

Для любого векторного поля £, нормального к Fⁿ, обозначим через А^ второй фундаментальный тензор относительно £. Для А^ выполняется соотношение

Жх,¥\^ = Ж^х-¥У              (1-6)

для любых векторных полей X, У, касательных к Fⁿ.

Нормальное векторное поле называется невырожденным, если det А^ ^ 0.

Ковариантные производные Xb, (VA)^ и VR³- определяются соответственно равенствами [2]:

(Vxb)(y, Z) = D_XWY, Z)) - b(y_xY, Z) - Ь(У, V,Z),        (1.7)

(V_x^)_ey = V*(^y) - A(V,y) - A_DxSY,           (1.8)

(V_XR^X№ Z^ = DxlR^Y, Z)^ - R^l^_xY, Z^- -R^Y.^xZ^-R^ZW;,

(1-9)

для любых векторный полей X, Y, Z, касательных к Fⁿ, и векторного поля £, нормального к Fⁿ.

Пусть индексы в статье принимают следующие значения: г, j, к, s,t = 1,..., п, а,0, 7 = 1,... ,р, и действует правило суммирования Эйнштейна.

Пусть х — произвольная точка F", T_xFⁿ и T?Fⁿ — касательное и нормальное пространства Fⁿ в точке х соответственно, U (ж) — некоторая окрестность точки х, (ц¹,... ,tiⁿ) — локальные координаты на Fⁿ в U(x), {д/ди¹} — локальный базис в TFⁿ, {п_а|} — поле базисов нормальных векторов в T^±Fⁿ в U(x\ Базис {тт_а|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать, что g(n_Q|,n^|) = 6^, где 6_ав — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:

9ij — 9

8 8 ди1 ’ 8и>

к ( Э 8 \              _ /     88

Ь\8^'дгр) bijTM’ ?ij’k 9\^^8иГдик)'

'8№ vk — nktv.. Х7-ha — ___ Г4 — Г4 ha Г-1-— Л

^a|, V_а,71д|у ,

ij 9    I),ti    ^ i®jk Qui                 ik^jt' <хЗ\г 9

|±а _ са^рЛ

0V - ° HW’

rifl, = V^, г^, + г^„ = о, v,b«t = (v,^ + гЭД,

(^^⁴) (5^3 ’       ^— ^,bj_kn_a\, b_Q\ik — S_agb_jk, a^, — b_a\,k9 ^,

_Vo‘ =^-Г‘_а‘ +г‘_а< ai X _{= A} (X\

Vt°ap gni 1 ij°alt + 11<°арч ай\г g^j Лпа[ \8^) ' ^i°a|j ^iaa|j ^a^J,      ^.A)^ yguj j Viaa\jduk’ где ||gfct|| и ||5Q/3|| — матрицы, обратные к \\gkt\\ и ||5а/з|| соответственно.

Предположим, что риманово многообразие М^п+р является почти-эрмитовым многообразием с почти-комплексной структурой J (см. [3, гл. 6, п. 6.1]). Тогда М^п+р имеет четную размерность: п+р = 2(mFl\ где число mFl называется комплексной размерностью Mⁿ"^Vp; риманова метрика g является почти-эрмитовой, то есть для любых векторных полей X,Y, касательных к М^п+р, выполняется условие:

g(JX,JY) = g(X,Y\

(1-10)

Почти-эрмитово многообразие М^п+р называется кэлеровым многообразием [3], если почти-комплексная структура J параллельна, то есть для любых векторных полей X,Y, касательных к М^п+р, выполняется условие:

X^JY = JV^Y.

(1-11)

Подмногообразие Fⁿ кэлерова многообразия М^п+р называется кэлеровым подмногообразием, если для любого векторного поля X € TFⁿ векторное поле

JX Е TFⁿ. Fⁿ является кэлеровым многообразием относительно индуцированной почти-комплексной структуры J и индуцированной почти-эрмитовой метрики д (см. [3, гл. 6, п. 6.7]). Кэлерово подмногообразие Fⁿ в кэлеровом многообразии М^п+р имеет четные размерность п = 2m и коразмерность р = 2/. Число т называется комплексной размерностью, а число I — комплексной коразмерностью кэлерова подмногообразия Fⁿ.

Обозначим через М^2т+21(с} кэлерово многообразие комплексной размерности т +I постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тензор римановой кривизны R пространства М^2т+21(с) удовлетворяет соотношению [1]:

R(X, Y}Z = - ^Y, Z}X - g(X, Z)Y + g( JY, Z)JX-

-g№ Z}JY + 2д(Я, JY} JZ^ ,                (1.12)

для любых векторных полей X,Y,Z, касательных к М^2т+21(с).

2.    Свойства ковариантной производной V

Лемма 1. Пусть Fⁿ — подмногообразие в римановом многообразии М^п+р. Тогда справедливо следующее равенство:

д^₂А^Х^} = д^₂Ъ}<Х^}Л} JX,Y,ZeTF\ J^eT^FY (2.1)

Доказательство. Найдем выражение для левой и правой частей равенства (2.1) в локальных координатах. Положим г-гХ X = XiX Y=YkX ^ = eno.v      (2.2)

оиг           OU3

Мы имеем:

д^гА^Х, У) = Z'XSY^beg,_kX_l<_u = Z‘XiY^b (^V.^, - (W^,) =

• = Z^Y⁶ (eVM^ - er^g.^ - Z’X-Y^k (rv,6«_bt - fT^6_w) =

= z*^ (ещба^к) - er^Wjk) = z‘x«Yb (e6a6v^t - 5^6^) =

= Z*X»Y‘ (e^_t^ - fT:^%) =

.  = Z-X^ ^„g (^^ - Г^^) - е“Г^) =

= 2*х^у‘ ^«б^к - ебХ^к - ^„Д) =

= ?((Vz6)(X,y),0.

Лемма доказана. ■

Лемма 2. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21. Тогда для любого X £ TF^2m и для любого £ G p-Lp2m справедливо равенство

(МхА^ = J (р_хА\                  (2.3)

Доказательство. Из (1.1), в силу (1.11), вытекают следующие равенства (см., напр., [3, гл. 6, п. 6.1, лемма 6. 26]):

X_xJY = JV_xY, Jb(X,Y) = b(X,JY), MX,Y £TF^2m. (2.4)

Из (1.2) имеем:

ХхД = -АдХ + ПХД, JXx^ = Д-А^Х + Dx^.

Отсюда, в силу (1.11), получим:

-АдХ + ПХД = Д-А^Х + Dx^.

Следовательно,

-АдХ + JA^X = JDX^ - ПХД.

Поскольку F^2m — кэлерово подмногообразие, то отсюда следует, что

АдХ - JA^X, П_ХЦ$ = JD_X^, MX, Y G TF^2m. (2.5)

Из (1.7) имеем

(VxA^Y = V_x^_J£y) - Aj^xY¹) - A_DxWY.

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), находим:                             .

(ХхА)дУ = VXJ^Y) - JA^XY) - ApDx^Y =

= дХ/ДА^ - JA_c(X_xY) - JA_d^Y = J(V_XA\Y.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть F^2w — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21(с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда для любых X,Y,Z G TF^2m и для любого £ G T^F²"¹ справедливы равенства:

(XJzbKX,Y) = J ^zb^X,Y^ , ,

(VJZA\ = -J(VZA\,(2.7)

JA^ = -A^J,(2.8)

J^zA\ = -(NzA\J.(2.9)

Доказательство. 1. В силу (1.12), уравнение (1.4) принимает следующий вид: ^_хЬЖ^Ж^уЬЖ2\ ^X,Y,ZETF^2m.       (2.10)

Используя (2.10), из (1.7) находим

(V,_z6)(X,y) = (Xxb^JZ.Y^ = Dx^JZ.Y^ - 6(Vx(JZ),y) - byz, V_XY\

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), имеем:

ЖгЬЖЖ = Dx(J№,Y^ - b(JXxZ,Y) - b^JZ, XxY) = = ДП_Х№ЖУ) - J^xZ^ - J^Z^xY^ =

= J(D_X№ У)) - b^xZ. У) - b(Z, XxY)) = J №- ^y)) -

Равенство (2.6) доказано.

• 2.    Используя (2.6), из (2.1) находим

• 3.    Из (1.6), используя (2.4), получим:

5((7,гЛ)£Х,У) =g((VJzb)(X,y),0 =g(J«^^^

Отсюда, в силу (1.10) и равенства J2 = —I, получим g^JZA\X^ = -дЖхЬЖ^УЖ = -д№АДЖЖ = -дЖЖгА)ЖЖ\

Отсюда следует (2.7).

W^ = -ЖЖ JY} = -дШ, JY^ = -д№Ж = -WW

Таким образом,

Ж АЖ,^у) = ЖЖ Ж У) Ж У € TF^2m, V£ G тЖ^2т.

Полученное равенство эквивалентно (2.8).

• 4.    Из (1.8), используя (2.4) и (2.8), для любых X, Y Е TF^2m и для любого ^ _{е Т}1р2т _имеем.      '

J ((Vx4_sy) = J (Vx(^y) - A(V_xy) - At,^ =

.           = V_x J(A_£Y) + A-'(Vxy) + .4_Dx£( 7У) =

= -Vx(AJy) + 4_e(Vx JY) + Ao^JY') - -(^хЛ)_{(7У).

Таким образом,

J ЖхА^Ж = ЖхА^ДУУ ^X,Y Е TF2m, V^ E T^F2m.

Полученное равенство эквивалентно (2.9). Лемма доказана.

-.......- = 16

И.И. Бодренко. Некоторые свойства кэлеровых подмногообразий

Лемма 4. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21. Тогда справедливо равенство

^гДО^Ур^ = 0 MX.Y.Z ETF^2m, ^ЕТ¹^.    (2.11)

Доказательство. По определению ковариантной производной V имеем:

vz№,^)^) =

= D_z № JY^ - gVX_zX. JY^ - №. XzlJY^ ~ №. JY^D^J^. Преобразуем правую часть последнего равенства, записав ее в локальных координатах и используя обозначения (2.2):

(^^12^^+ г^^            .

-ды ^{+ г}-'^¥"‘) W'W^nr - № (^2- + №)”) х\дугч_Т-

-9ыХкууУ Н^ АТ^УуД Z1^

= (^X^k(JY)4 ДУ - д_ыГ^к_тХ’"УУ')¹УУУ - диГ^уУП ^г) Z‘n, =

= ^ - g™.^ - gJ?) хЧдууууугх = о.

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21^с) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

R^X, У^ = |?(Х, JY^C + Ь(Х, А_ЕУ) - Ь(У, А_ЕХ),

ЧХ, Y 6 TF^2m, X е T^F^2m.                 (2.12)

Доказательство. В силу (1.12) имеем:

Я(Х, УЛ,п1 = д№, уу, д'! = ^Х, JY^jy д\

Тогда уравнение (1.5) будет иметь вид:

R^x, у, У д') = |е(х, JYWS, д') + g(W W П

Преобразуем второе слагаемое в правой части полученного равенства, используя самосопряженность оператора А^.

5([л₍, Л,]Х, У) = SA, - А,А₍)Х, У) = MGVO, г) - дМА_ех\ У) =

= д^Х, А^} - д^Х, A^Y) = oW^ Х\Ж д^Х, Y\g\

Тогда для любого у Е T^F²™ мы имеем:

НЧХУЛд) «даЦху)^) =

= дфу, jYVt >1) + ЖМ x\nV ЖАх, у),»).

Отсюда следует равенство (2.12). Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии j^2m+2i^ _постоЯнной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

^ZR^X,Y^ =

= (V^X, A^Y) + ЦХ, (XZA^Y) - (Vzb)(Y, A^X) - b(Y, (VzA\Xh -

VX, Y, Z E TF^2m, V£ € T^F^.                (2.13)

Доказательство. По формуле (1.9), используя (2.12), находим:

(VzR^X, Y^ = D_z (js(X, JY)^ + UX, Л_£У) - 6(У, ^X)) -

• -    (^VzX, JY)j;+by_zX,Ay) - 6(K,X_£(V_ZX))) -

• -    (|g(X, J^zY^J^ + b(,X, A_£(V_zy)) - by_zY, A_eX)) -

• -    ^g(x, УРИ + ьу, A_Dzy) - ьу, a_Dz(x^ =

• =    5 U>z№, тд-) - g(XzX, JYV5 - Ж, J^zY^J^ - gzi^A

+D_z(b(X, Ay)) - DzW. A^)) "  ЖгХ, А,У, + 6(У, A^zX))-

• -Ъ(Х, A₍(y_zY)) + b(V_zY, A₍X) - b(X, A_DztY) + b(Y, A_Bz(X).

Отсюда, учитывая (2.4) и (2.5), имеем

(yzRL)l.X,Y)S =

• = ^z(g(.X, JY)J^) + D_z)b(X, A₍Y)) - D_z(b(.Y, A₍X)) - 6(V₂X, Ay)*

+ by, AtyzX)) - by, A5yzY)) + byzY, A(X) - b(X, ADzy) + by ADz5X).

Следовательно, в силу (2.11), получим:

SyzRL)(,X, YX = (DzyX, Ay))-byzX, Ay)-by, A^zY))-by, ADzy) ) -

• - \D_Z№ А^ - b(V_zY, А^Х) - b^ A^X_ZX^ - b^ A_Dz^.

Отсюда, учитывая (1.7), находим:

(yzR^(xyc =

HV_zb)(X, Л_£У) + b(X, Vz^y)) - ЦХ, A_£(V_zy)) - Ь(Х, Ло_г£У)Ъ

• - HVzbXY, А^Х) + 6(У, Vz^X)) - ыу, A^VzX)) - 6(У, A_D^XY^.

Теперь, учитывая (1.8), получим:

(VZR^(X,Y^=                 ‘

= (^гЬ^Х.АуЧ + ЦХ.^гА^уА - UV_z6)(y^X)+6(y,(V_zA)_£X)Y

Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21(Ф) постоянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

(Vzi^XX,У, с, 7)1 = g([(V_zA)_e, Л,]Х, У) + Д(И_£, (VzA),]X,У),

VX, У, Z е TF^lm УС. Ч е T-F"V                (2.14)

Доказательство. В силу (2.13) имеем:

(V_zfl¹)(x, у, е, ч) = 9 (в^Ж y^c. g) = g «У^х, л_£У), ч) -

-g^zb^Y, Л_£Х),ч) + 9 (6(Х, (y_zAVYn^ - 9 № (V_ZA)_£X),4).

В полученном равенстве преобразуем первое и второе слагаемые с помощью (2.1), третье и четвертое — с помощью (1.6):

(V_zfi¹)(X, У, ^ Ч) = 9 ((VzA),X, Л_£У) - g ^_ZA\Y, A_fX) +

Уд (Л,Х, (V_zA)_£y)) - д (A,Y, ( V_zЛ)_еХ)).

Отсюда, в силу самосопряженности операторов А^ и (VA)^ получим:

(Vz^XX, У, 6, Ч) = 9 (Ae(VzA),X, У) - 9 (У, (VZA),A£X) +

+9((7гЛ)£Л,Х,У)) -9(y,A„(VzA)£X)) =

= д ((Л_£, (VzЛ),]Х, У) + g ([(V_zЛ)_£, Л,]Х, У)).

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть F^2m — кэлерово подмногообразие в кэлеровом многообразии М^2т+21(с) _постОянной голоморфной секционной кривизны с. Тогда справедливо равенство

^jz^X.Y, Сrh = ^z^X, Y, Д, 4) - IgtoVzA'jje, Л,]^, У),

VX, У, Z е TF^2m, V£, р Е T^F²™.                (2.15)

Доказательство. Из (2.14) находим:

(VjzR^X, у,4, ч) = Ж^«А\, А^Х, У) + д([Л_£, (V_JZA),]X, У).

Отсюда, учитывая (2.7), получим:

(VjzR^X, У, е, ч) = %-J^zA\, А,\Х, У) + ?([Л_£, -J^zA^X, У).

В полученном равенстве преобразуем второе слагаемое, учитывая (2.7) и (2.8):

[A, J(V_ZA^ = A^V_ZA\ - J^zA)^ =       '

= - JA^_ZA\ + (V_zA)„JA_e = -^JA^ (VzAU Следовательно,

(.XjzR4X,Y,^ = -9(№Л)_£,Л,,]Х,У) + д(|М₆,(7гЛ),,]Х,У).

Отсюда, в силу (2.3) и (2.5) получим

^„R^X, У, Сч) = -g([(V_zX)_J£, AJX, У) + д([Л,_£, ^_гА\\Х, У) =

= INzR^VX, У, Д, Ч) " 2»([(^_гЛ),_£] А,\Х, У).

Лемма доказана.

3.    Доказательства теорем 1, 2

Доказательство теоремы 1. Для некоторой 1-формы у на F^2m выполняется условие

(V_x5)(y,Z) =ЯЭДУ,^) ^X^z ETF^2m.          (3.1)

Тогда для любого векторного поля ^ € T^F²¹^ имеем:

д^хЪ^

Отсюда, учитывая (2.1) и (1.6), получим:

g((V_xA)^y,Z) = 9(M(X)A_$y,Z) ^X,Y,Z ETF^2m, ^ET^LF^2m.

Таким образом, условие (3.1) эквивалентно условию

(Х_хА^ = ц(Х^ \/XETF^2m, ^eT^F²¹⁷¹.        (3.2)

Из (3.2) следует равенство:

(X_JXA^ = y(JX)A^ ^XETF^2m, ^ET^F^2m.        (3.3)

С другой стороны, из (3.2) в силу (2.7) имеем:

(V_JXA)^ = -JHX)A_C), ^XETF^2m, ^eT^F^.      (3.4)

Из (3.3) и (3.4) находим:

Жх^ = -J МХ^, чх е TF^2m, ^ е t^f²"¹.

Отсюда, для любого У Е TF^2m имеем:

p(JX)A^Y = -p(X)J(A₅Y), ^XETF^2m, ^ЖЕ^2т. (3.5)

Учитывая (3.5), получим:

ЖГдЖ А^ = -//(Х)д(У(А_сУ), А_СУ) = О, ^X,YETF^2m, ^ET^xF^2m.               (3.6)

Так как b / 0, то существует невырожденное векторное поле £ Е T^LF^2m, и из (3.6) приходим к равенству:

А<А) = 0 dXETF^2m.

Значит, 1-форма ц = 0 и, следовательно,

(V_XA)^ = O, ^XeTF²™, ^еЖ™          (3.7)

Отсюда, в силу (2.14), следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 2. Из (1.3) находим:

XwR^x, У, z. V) = д^ьж, УШХ z^+жх, V), (Vwb)(y, z^-

• - Ж^ЬЖ Z\ b^Y, V^ - ЖХ, Z\ (^У, У)) Ж Y, Z,V,W E TF^2m.

Следовательно, в силу (3.7), YR = 0. Теорема доказана.