Некоторые свойства нормальных сечений и геодезических на циклически рекуррентных подмногообразиях

Пусть F ^п — п -мерное (п >  2) гладкое подмногообразие в (п + ©-мерном (р >  1) пространстве постоянной кривизны М ^п+р (с) . В геометрии погруженных многообразий важное место занимают исследования, касающиеся подмногообразий F ^п С М ^п+р (с) со специальными свойствами второй фундаментальной формы.

Обозначим через b вторую фундаментальную форму F ^п , через V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Вторая фундаментальная форма b = 0 называется параллельной (в связности V), если Vb = 0. Подмногообразия с Vb = 0 называются параллельными. Параллельные подмногообразия Fп в пространствах постоянной кривизны Мп+р(с) являются внешнегеометрическими аналогами локально симметрических пространств, то есть римановых пространств с ковариантно постоянным тензором кривизны R. Критерий параллельности второй фундаментальной формы b установлен в [2].

Вторая фундаментальная форма b = 0 называется рекуррентной , если на F ⁿ существует 1-форма ц такая, что V b = ц ® b . Внутренняя геометрия подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой исследована в [1]. Полная локальная классификация и геометрическое описание подмногообразий c не параллельной рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной кривизны получены в [12]. Cвойства кэлеровых подмногообразий с рекуррентной второй фундаментальной формой в пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны установлены в [5]. Некоторые свойства вещественных римановых симметрических пространств с комплексной структурой, то есть эрмитовых симметрических пространств, изучены в [22].

Вторая фундаментальная форма b = 0 называется циклически рекуррентной [4], если на F ^п существует 1-форма ц такая, что

V _х b(Y, Z ) = ц(ХMY, Z ) + ц(Y )b(Z, X ) + ц(Z)b(X, Y )             (1)

для любых векторных полей X, Y, Z , касательных к F ^п .

Определение 1. Подмногообразие F ^п С М ^{п + р}( с ) с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой b = 0 будем называть циклически рекуррентным подмногообразием [10].

Класс циклически рекуррентных подмногообразий содержит подклассы параллельных подмногообразий и не параллельных рекуррентных подмногообразий, но не исчерпывается ими. Некоторые свойства гиперповерхностей F ^п с циклически рекуррентной не параллельной второй фундаментальной формой в евклидовых пространствах Е ^{п +1} установлены в [4; 8; 19]. Циклически рекуррентные подмногообразия F ^п с плоской нормальной связностью в евклидовых пространствах Е ^п+р классифицированы в [3; 7; 13].

В терминах второй фундаментальной формы b подмногообразия F ^п С М ^{п + р}( с ) определяются специальные классы нормальных векторных полей. В [17] введено понятие рекуррентного вектора нормальной кривизны и изучены свойства F ⁿ С Е ^п+р с параллельным нормальным векторным полем специального вида. В [15] получена классификация двумерных поверхностей F ² с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны, на которых каждая геодезическая имеет постоянную кривизну. В [11] описаны параллельные нормальные поля вдоль геодезических на циклически рекуррентных подмногообразиях F ^п в пространствах постоянной кривизны М ^п+р (с) .

С помощью второй фундаментальной формы b и связности V получены формулы для вычисления нормальной кривизны k _x (x,t) и нормального кручения к _х (x,t) подмногообразия F ⁿ С Е ^п+р в точке х по направлению t , установлены необходимые и достаточные условия принадлежности F ⁿ некоторым (п + 1) -мерным плоскостям Е ⁿ⁺¹ С Е ^п+р [18; 20; 21]. В работе [16] изучены свойства двумерных поверхностей с нулевым нормальным кручением в Е ⁴ . Эти исследования для F ⁿ С Е ^п+р были продолжены в [6; 9] для произвольных п и р . Некоторые свойства нормальных сечений циклически рекуррентных подмногообразий F ⁿ С Е^п+р установлены в [10]. Свойства геодезических и нормальных сечений на вещественных флаговых многообразиях исследовались в [23].

В настоящей работе изучаются свойства нормальных сечений и геодезических на циклически рекуррентных подмногообразиях F ⁿ С Е ^{п + р} при произвольных п и р .

Пусть х — произвольная точка F ^п , T _X F ^п — касательное пространство к F ^п в точке х . Пусть 7 _д (х/t) — геодезическая на F^п, проходящая через точку х G F ^п в направлении t G T ^ F ^п . Обозначим через к _д (х, t) и к _д (х, t) кривизну и кручение геодезической 7 _д (х, t) С Е ^п+р , соответственно, вычисленные в точке х .

Определение 2. Кручение к _д (х,к) геодезической 7 _д (х,к) называется геодезическим кручением подмногообразия F ^п С Е ^п+р в точке х по направлению t.

Обозначим через ^0 (см.: [14]) множество подмногообразий Fп С Еп+р, на кото- рых кд(х, t) = 0,   Кд(х, t) = 0, Ух G Fп, Vt G TxFn.

Пусть T ^ F ⁿ — нормальное пространство к F ⁿ в точке х . Рассмотрим в точке х G F ⁿ для любого ненулевого вектора t G T _x F ⁿ (р + 1) -мерную плоскость

T ^ F ⁿ ) С Е ^п+р

Плоскость Е ^р+1 (х₁t₁T ;^ F ⁿ ) пересекает F ⁿ в окрестности точки х по некоторой кривой 7n (х,к) .

Определение 3. Кривая 7 n (х, t), ее кривизна k N (х,к) и кручение k _n (х/t) в Е ^п+р , вычисленные в точке х, называются, соответственно, нормальным cечением, нормальной кривизной и нормальным кручением подмногообразия F ⁿ С Е ^п+р в точке х по направлению t.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть F ^п есть циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^п+р без асимптотических направлений. Fⁿ принадлежит множеству ^ ₀ тогда и только тогда, когда выполняется условие:

k N (х, t) = к(х) У х G Fⁿ, V t G T _x F ⁿ .

Теорема 2. Пусть F ^п есть циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^п+2 без асимптотических направлений. Если F ^п удовлетворяет условию (3), то Fⁿ имеет плоскую нормальную связность Д ^± = 0 .

Замечание. Поверхность F ² С Е ⁴ , у которой индикатриса нормальной кривизны в каждой точке х является окружностью с центром в х , удовлетворяет условию (3) и при этом не принадлежит множеству ^ ₀ , и Д ^± = 0 .

Теорема 3. Пусть Fⁿ есть связное циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^п+2 без асимптотических направлений. Если Fⁿ удовлетворяет условию (3), то Fⁿ является открытой частью гиперсферы S ^п в некоторой гиперплоскости Е ^п+1 с Е ^п+2 .

Теорема 4. Пусть Fⁿ есть связное циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^п+р (р >  3) без асимптотических направлений. Если Fⁿ удовлетворяет условию (3) и имеет п линейно независимых сопряженных направлений в каждой точке х G G Fⁿ, то Fⁿ является открытой частью гиперсферы S ^п в некотором (п + 1) -мерном подпространстве Е ^п+1 С Е ^п+р .

1. Уравнения циклически рекуррентных подмногообразий в евклидовом пространстве

Пусть Еп+р — (п + р)-мерное евклидово пространство с декартовыми прямоугольными координатами (ж1, ж2,..., жп+р), <, > — скалярное произведение в Еп+р. Пусть Fп — гладкое подмногообразие в Еп+р. В окрестности каждой точки ж G Fп подмногообразие Fп можно задать уравнениями ж" = /“(и1,..., ип), (и1,..., ип) G D, а = 1, п + р, где D — некоторая область параметрического пространства (и1,..., ип), /“(и1,...,ип) G С“(D).

Пусть

Яр,... ,ип) = {/ Чи1,...,«"),/ 2(и1,. ...И"), ...,/ п+р(и1,...,ип)} — векторное параметрическое уравнение подмногообразия Fп в окрестности точки ж G Fп.

Условимся, что здесь и далее индексы будут принимать следующие значения: г , j , к , I , т , ... = 1,..., п , а , 3 , а , .. . = 1,..., р , и всюду действует правило суммирования Эйнштейна.

Рассмотрим нормальное оснащение подмногообразия F ^п , заданное полем ортонор-мированных реперов { п _а| } в нормальном расслоении Т ^± F ^п подмногообразия F ^п С С Е ^п+р , <  n _ai ,n pi >= 5 _ар , где 5 _ар — символ Кронекера.

Обозначим

_    дг(и¹, ... , и ^п )    _     д ²г(и 1 , ... ,и^п)    _      дп _а (и¹ ,...,и^{т п} )

^г            ди^г , ^tj           ди^гдиз      ,     “^|г             ди^г

Векторы { Г _г (ж) } образуют базис касательного пространства T _X F ^п подмногообразия F ^п в точке ж .

Метрическая форма подмногообразия F ⁿ имеет вид:

ds² = д _г, dEdu * , где д г, =",fj >.

Обозначим через

II (п _а| ) = b _ai"j du ^l du ^

вторую квадратичную форму подмногообразия F ⁿ С Е ^п+р относительно нормали п _а| , где b „i"j = <  n _ai ,f "j > .

В каждой точке ж G Fⁿ оператор Вейнгартена А _а : Т _ж F ⁿ —> Т _ж F ^п относительно нормали п _а| (ж) определяется по формуле

< А _а т г (ж),т , (ж) >=< п _а| (ж),г г, (ж) > .

Коэффициенты Г ^^|_г =< п _а| ,п ^|_г >  называются компонентами нормальной связности D подмногообразия F ⁿ С Е ^п+р .

Ковариантная производная вектора п _а| в нормальной связности D вычисляется по формуле

^D г n _a| =Г^ n pi , где ^г^ = 5 ^{Рст Г} ^^|г , матрица || J “^ II = || 5 ^g || ^-1 .

Линейные формы

шар — Г ^py^du называются линейными формами кручения подмногообразия Fn С Еп+р.

Компоненты тензора нормальной кривизны RL вычисляются по формуле р ±а _

^П№ ^—

■■‘i ди

д Г ^±а

_     3\з _" _"     _" _" ди + ^{1 p|i 1 ст|},'     ^{1 р}\^ ¹ "\‘ '

Ковариантная производная второй фундаментальной формы Ь в связности Ван дер Вардена — Бортолотти ∇ вычисляется по формуле

_ дЬ "

^ ‘ b* — S - ^г« ^ь " - r ifc Ь ", + Г ^" b f_b ,                     (5)

где Г ‘, — символы Кристоффеля, вычисленные относительно метрического тензора д ,, , b " — 5 "" b^ ,, .

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи, соответственно, имеют вид:

^р                   / дГ ^т   ЯГ™

Е ' bi- ьщ — дЦ^т -    ■ I. - .    -

V,b"k — V, Ь", к», — ^ (Ь6|,ьЬ".- ■ba .

Условие (1) имеет вид

V Ь" —   < + ц, Ь" + ц b", где ц, — ^i(u1,..., un) — компоненты 1-формы ^ — ^idu\

Система уравнений (6)–(9) определяет циклически рекуррентные подмногообразия F ^п С Е ^п+р и только их.

• 2.    Основные леммы

Лемма 1. Кривизна к _д (x,t) и кручение к _д (x,t) геодезической ^ _д (x,t) вычисляются по формулам:

к д (x,t) — 1Ь ( т,т ) | ,                                      (10)

/ | [^т ^ A _b(_T,_T ) ^т ] | ²     ^Ь^ ) Л ( V _T Ь ^{)( т,т )]| 2} V^/2

^К д           i     I Ь ( т,т ) | 2     ⁺         | b(P7) | 4-------- )    ,              ⁽¹¹⁾

где т — t/ I t I , I t — V < t,t >, Л — внешнее произведение в Е ^п+р . Формула (11) имеет смысл, когда t — неасимптотическое направление.

Доказательство. Формулы (10), (11) следуют из определения k _g (x,t) , к _д (x,t) . Доказательство (10), (11) содержится в [10] (см.: [10, гл. 8, лемма 8.1]).

Лемма 2. Пусть Fⁿ есть циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^n+p без асимптотических направлений. Тогда геодезическое кручение Fⁿ в точке x по направлению t вычисляется по формуле:

^{1 [ т Л А ь(т}’^т) ^{Т ]|}                                          (12)

^{K g ( X,t )}          \Ь ( т,т ) |     ’                                      ^{( )}

где т = t/ | t | , | t | = V < t,t > , К — внешнее произведение в Е ^n+p .

Доказательство. В силу (9) имеем

X_tb(t,t) = 3^(t)b(t,t), V x G Fⁿ, V t E T _x Fⁿ.

Отсюда находим

[b(t, t) К ( V t b)(t, t)] = [b(t, t) К 3^(t)b(t, t)] = 0,    V x G F ⁿ ,    V t G T _x F ⁿ .     (13)

Тогда из (11), учитывая (13), приходим к (12).

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Fⁿ есть циклически рекуррентное подмногообразие в Е ^n+p без асимптотических направлений. Fⁿ принадлежит множеству ^ о тогда и только тогда, когда в каждой точке x G F ⁿ для всех взаимно ортогональных векторов X,Y G T _X F ⁿ выполнено уравнение:

) >=0.                         (14)

Доказательство. В силу (12) F ⁿ принадлежит множеству ^ ₀ тогда и только тогда, когда выполнено уравнение

[t К A _b(t,t) t] = 0, V x G Fⁿ, V t G T _X Fⁿ.                      (15)

Так как равенство [t К A ^(_t,_t) t] = 0 означает, что векторы t и A ^(_t,_t) t коллинеарны, то (15) равносильно условию (14).

Лемма доказана.

• 3.    Доказательства теорем

Доказательство теоремы 1. В силу леммы 1 условие (2) эквивалентно следующим соотношениям:

• b(t,t)=0,    [t К A _b(t,t) t] = 0,    [b(t,t) К ( V t b)(t,t)] = 0,    V x G F ⁿ ,    V t G T x F n  (16)

Нормальная кривизна kN (x,t) подмногообразия Fn С Еn+p в точке x по направлению t вычисляется по формуле kN (x,f) = |Ь(т,т)|, где т = t/|t |, |t| = V< t,t >.

Следовательно, условие (3) равносильно соотношению

Mt,t) l = fc(ж) | t | ² , У ж G F ⁿ , V t G T _X F ⁿ .                      (17)

Замечая, что (17) эквивалентно условию (14), учитывая (16) и применяя леммы 2, 3, приходим к утверждению теоремы.

Доказательство теоремы 2. Пусть ж G Fn — произвольная точка. Введем в некоторой окрестности О(ж) геодезические нормальные координаты (и1,..., ип) такие, что gim = ( 1, m = 12-                          (18)

^a [ 0, m = 2,п .

Пусть п 1| , п ₂| — оснащение в нормальном расслоении T ²F ⁿ подмногообразия F ⁿ С С Е ⁿ+² . Рассмотрим в О(ж) векторные поля

^j = b “ n_a | , i,j = 1,п.

Так как F ⁿ не имеет асимптотических направлений, то Ь 11 = 0 в точке ж . Тогда в некоторой окрестности U (ж) С О(ж) векторное поле Ь 11 = 0 .

Используя равенство (17), построим в U (ж) оснащение п 1* , п ₂* , положив

~* *

^п 1| =

^b 11

к(и 1 ,..., и ^п )

Положим bij = Ь{^а1, i,j = 1,п.

Учитывая (18), находим, что в U (ж)

• <    ^,п ₂* >= 0, г = 1,п.

Отсюда, в силу (9), имеем

• <    ( V i b* “ )п *\ ,п * >=0, г = 1^.                        (19)

Обозначим

12|i =<^ 1| ^,ra 2|i >, ^г = 1,П.

Используя (5), из (19) находим:

Г 12 ² (и 1 ,..., и ^п ) = 0, г = 1, п.

Значит, в силу формулы (4) имеем: R ² = 0 в U (ж) .

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Из теоремы 1 следует, что F ⁿ принадлежит множеству ^ 0 . Тогда F ⁿ является открытой частью гиперсферы S ⁿ в некоторой гиперплоскости Е ⁿ⁺¹ С Е ⁿ⁺2 (см.: [14, S 5, теорема 9]).

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4. В силу теоремы 1 подмногообразие F ^п принадлежит множеству ^ о • Тогда F ^п является открытой частью гиперсферы S ^п в некотором (п + 1) -мерном подпространстве Е ^п+1 С Е ^п+р (см.: [14, S 5, теорема 11]).

Теорема доказана.