Некоторые свойства операторов эллиптического типа

Пусть E n⁺¹ — ( n + 1 )-мерное ( n > 1 ) евклидово пространство. Для заданного числа n рассмотрим евклидовы пространства E n⁺¹ и E ⁿ . Введем в E n⁺¹ декартову прямоугольную систему координат (y ¹ ,...,y n⁺¹ ), в E ⁿ — декартову прямоугольную систему координат (x ¹ , ...,x n ) . Обозначим через K r открытый шар радиуса r >  0 в E ⁿ .

Пусть Ф — односвязная ориентируемая гиперповерхность с краем д Ф в E n⁺¹ . Пусть

• 1)    h : Ф ^ K r — гомеоморфизм Ф на K r ;

• 2)    обратное отображение h ^-1 (x) = (f 1 (x),...,f n⁺¹ (x)) , где x = (x ¹ ,...,x ⁿ ) G K r , удовлетворяет условию: f ^a G C ^3,s (K _r ) , s G (0,1), a = 1,n + 1 .

Тогда Ф можно задать системой уравнений ya = f a(x1,..., xn),   (x1,...,xn) g Kr, a = 1,n + 1,                 (1)

где f ^a G C 3^s (K r ) .

Пусть Ф не имеет действительных асимптотических направлений, то есть все главные кривизны Ф имеют в каждой точке одинаковый знак. Не ограничивая общности, ориентируем Ф единичным вектором нормали так, чтобы средняя кривизна гиперповерхности Ф была положительной в каждой точке. Пусть все главные кривизны гиперповерхности Ф строго положительны на Ф . Пусть (n ^a ) — координаты единичного вектора нормали гиперповерхности Ф в точке (y ^a ) G Ф,Н = nh 1 /2, где h 1 — средняя кривизна гиперповерхности Ф в точке (y ^a ) . Векторы { y a }© 1 образуют базис касательного пространства к Ф в точке (y ^a ) , где символ « , i » означает ковариантную производную в метрике гиперповерхности Ф. Пусть g ij = 5 _ae y a у ^в — метрический тензор гиперповерхности Ф , где 5 _ав — символ Кронекера. Пусть g kl — тензор, обратный к g ij , g = det || g ij || , b ij — тензор второй квадратичной формы гиперповерхности Ф . Так как все главные кривизны гиперповерхности Ф положительны, то вторая квадратичная форма b ij dx' i dx j гиперповерхности положительно определена, и следовательно, det || b _i j || >  0 . Обозначим через b ^∗ij — тензор, обратный к тензору b ij : b *^ij b ik = 5 ^jk , где 5 ^jk — символ Кронекера.

Рассмотрим дифференциальный оператор L, записываемый в координатной форме на  .....де:               L = -dk^,-.,.2,

2HV9

Сформулируем задачу А: Требуется найти на Ф решение f класса C ^2,s (Ф) уравнения

Lf = Mf + Y, при условии:

f = b*ikdif) cos(n, Xk)|дФ = ^, где м — действительное число; nk = cos(n, xk) — координаты вектора внешней нормали к поверхности dKr в соответствующей точке; cos(n, xk) — направляющие косинусы вектора внешней конормали: cos(n,xk) = gikni к поверхности dKr в соответствующей точке; Y G C0,s(Ф), ^ G C 1,s(dФ). Не ограничивая общности, можем считать, что функция ^ удовлетворяет условиям: ^ G C 1,s(Ф) и ^ G C 1,s(дФ).

1.    Исследование разрешимости краевой задачи (А)

Теорема 1. Существует не более чем счетное множество действительных чисел M s (s = 1,2,...) : 1 = м 1 < M 2 <  —> не имеющее конечных предельных точек и такое, что задача (A) для м = M s (s = 1,2,...) имеет единственное решение f класса C ^2,s (Ф) .

Доказательство теоремы 1. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Пусть функция f является решением класса C ^2,s (Ф) задачи А. Тогда имеет место неравенство

| f | (Ф)2^ <  M^{( | Y |} (Ф)0,s + ^| ^ ^| (дФ)1,s ^), где постоянная M зависит от s, n, м, поверхности Ф .

Доказательство леммы 1. Из [2] известно неравенство:

^{| f} | K p 2,s <  M 8 ^{( |} Y | K p 0,s + max ^{| f} | + | ^ | _d K p i,s ⁾.

K ρ

Используя [1], получим доказательство леммы 1.

Рассмотрим на Ф пространство L 2 , считая f G L 2 , если

/

Φ

2H (x)f (x)f (x)da

< ∞,

где H (x) >  M >  0,x G Ф. Пространство L 2 является банаховым пространством с нормой:

|| f || L2 = ( уф 2H (x)f (xW)d_ayl\

Превратим его в гильбертово, определив на нем скалярное произведение по формуле:

(f,q^L2 = X2H(x)f (x)q(x)da’ vf,qG L2.

Рассмотрим пространство L ^∗ ₂ — подпространство пространства L 2 , плотным множеством в котором является множество бесконечно дифференцируемых функций C ^∞ , удовлетворяющих условию: dN | _{д ф} = 0 .

Будем рассматривать на Ф оператор L , определенный формулой (2) . Отнесем к области определения M L оператора L все функции f e C ² (Ф) такие, что Lf e L 2 и ∂f dN |дФ     ^{о .}

Покажем, что оператор L на M L является эрмитовым. Для этого следует убедиться, что M L плотно в L 2 и (Lf,q) = (f^q) Vf и q e M L .

Так как множество бесконечно дифференцируемых функций C ^∞ , удовлетворяющих условию: df|дф = 0 , содержится в M L , то по определению пространства L 2 следует, что M _L плотно в L ^∗ ₂ .

Подсчитаем разность

(L^f, q' ) L 2 ^— (ALqK, ^vfq ^e M L •

Получим:

^(Lf,q⁾ L2 ^{— (f,}Lq⁾ L2 = [ ²H^(Lfq ^{— f}Lq^)d^ =

U

= /(Ф* (df,dq) — Ф*(дq,дf ))da, Φ где £i и Zj — одновалентные, отличные от нуля тензоры на Ф, Ф*(^,Z) = b*ijCiZj• Так как гиперповерхность Ф имеет положительные главные кривизны и Ф является компактом, то форма Ф* является симметрической, положительно определенной билинейной формой: ф*((,z) = фж,о, w,z, фхо > о при < ^ о.

Введем в рассмотрение на Ф внешнюю (n — 1) форму ш, положив ш = ^(—1)j 1vjdx1 Л ...A dxj Л... A dxn, j где vj = ygb*ij((dif )q - f (diq)). Мы имеем du = У^ djvjdx1 A ... A dxn, j и потому

I du = I ^ d j v^jdx¹ Л ... Л dx n

= [ (d k (Vgb*k^ld i (f )q) - f Vgb *k ^l9i(qf)dx¹ Л ... Л dx n = Φ

= [   (d k (Vgb* k d i (f ° h 1 )q ° h ¹

h(U)

= /     Vgb ^{, k}* (9_l(f с h ^-1 )q с h ^-1

∂h(U)

Следовательно, получим

- f ° h ¹ d _l (q ° h 1 ))cos(n,x _k )dS = °.

Mq) L ₂ - (f,Lq) L ₂ =

= [ (Ф * (df, dq) - Ф * (дд, df ))da - [ du = - [ du = °. Φ       ΦΦ

Таким образом, оператор L на M L является эрмитовым.

Покажем, что оператор L является положительным. Для этого подсчитаем (Lf, f ) L₂

V f Е M L . Имеем

(Lf,f ) l₂ = J 2HLffda =

= ^(Ф*(df, df) + 2Hff)da - J du1, где du1 = dj(Vgb*4diff^dx1 Л ... Л dxn.

Так как Т дФ ^u 1 = ° , то ^(Lff )u >  ° .

Это означает, что оператор L является положительным на области определения M _L . Известно, что эрмитов положительный оператор имеет не более чем счетное множество неотрицательных собственных чисел, не имеющее предельных точек на конечном расстоянии. Каждое собственное число оператора L действительно и имеет конечную кратность. Покажем, что это множество бесконечно, и наименьшее собственное число есть 1 .

Исследуем разрешимость задачи А.

Рассмотрим на Ф пространство функций W 2¹ , элементы которого вместе со своими производными первого порядка принадлежат классу L ₂ . Класс W ₂ ¹ является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(f, q) w 1 = ^W dq) + 2Hfq)da.

Определение 1. Для любой функции u Е W 1 (K r ) ее представителем называется функция

u(x) = limmes 1 (K _p ( _x ) П K r )         u(y)dy, Vx Е K r .

^p^0                     K p(x^ K r

Известны следующие свойства представителей:

• 1)    U(x) определен для почти всех x G K r ;

• 2)    U(x) - u(x) равен нулю почти всюду в K r ;

• 3)    производная функции ^UX^ ) существует почти всюду и совпадает почти всюду с обобщенной производной ddxu i. так, что ^dd^Xx⁾ = ddu i. g L ₂ (K r ) ;

• 4)    в строго липшицевых областях представитель U(x) функции u G W ₂1 (K _r ) однозначно доопределяется по непрерывности для почти всех точек границы области: u(x) G L ₂ (dK r ) и имеет место оценка:

^{|| u ||} dK r ,L2 <  M^uHK r W ¹ .

Определение 2. Функция f называется обобщенным решением задачи (А), если для любой q G W ₂1 выполнено равенство

[ ^*(df,dq)+2Hfqda = ц f (2Hfq + 2HYq)da + / -^qdS. J Ф                            Ф                       дФ

Покажем, что данное нами определение обобщенного решения действительно является расширением классического понятия решения задачи А. Для этого рассмотрим выражение

[ ²H⁽L^fq ^- f ^- Y<^)d^ =

Ф

= [ 2H ( - —1- 9 k ( ^ gb 'ik d i (f)) + f - Kf - Y W =

_Ф      2H g

= [ —1= ^d k ⁽ Vgb*^{tk d} i ^(f))qd^ +^{(1 -} K^)(f, q) L 2 ^{- (} y, q) L 2 =

J Ф V9

+ ^{(1 - K)(f}, ^q) L2 ^{- (}Y, ^q) L2 =

= i Ф * (дf,д - [    Vgb*^ikdi(f ° h^-1)-1cos(n,x_k)dS +

J Ф                    JhhUU )

+ ^{(1 - K)(f}, ^q) L2 ^{- (Y}, ^q) L2 .

Действительно, если бы все входящие в уравнение (3) функции были достаточно гладкими, то мы пришли бы к тождеству jФ2H(Lfq - Kfq - Yq)do+Д (f -

^)qdS = 0.

Уравнение (3) можно переписать в виде

^(f,q⁾w 1 = МЛ<К + Ь,<К +   - ^qdS.

2                                 _{д Ф}

Заметим, что уравнение

(f, q)w1 = Mf, qK + (y, qK соответствует задаче A0: Lf = цf + y на Ф, f|дф = 0.

Исследуем сначала ее разрешимость.

Определение 3. Функция f G W 21 , f = 0 называется обобщенной собственной функцией оператора L , если существует число ц такое, что функция f при всех q G W 21 удовлетворяет равенству (f,q) w i = ^(f,q) _L 2 • Число ц называется собственным значением, соответствующим обобщенной собственной функции f . Будем считать, что || f || _L 2 = 1 .

Покажем, что существует линейный ограниченный оператор A из L ₂ в W ₂ ¹ с областью определения L 2 , для которого V q G W 2¹ имеет место равенство: (f, q) _L 2 = ^(Af, q) _{W 2}1 . При этом оператор A имеет обратный A ^-1 , и оператор A , если его рассматривать из W ₂ ¹ в W ₂ ¹ , является самосопряженным положительным и вполне непрерывным. Для доказательства этого утверждения рассмотрим линейный функционал из W ₂ ¹ , задаваемый формулой: l(q) = (f,q) _L 2 , где f — фиксированная функция из L 2 , Vq G W ₂1 .

Так как

|l(q)|< M||f||L2HqHwl, то этот функционал ограничен. Поэтому, по теореме Рисса, существует единственная функция U G Wf такая, что l(q) = (U, q)Wi, Vq G W21, при этом ||U||Wi = ||l|| < < m||f||l2. Это означает, что на L2 задан линейный оператор Af = U, для которого имеет место равенство: (f,q')L2 = (Af, q)Wi.

Так как

VAfHwi = ||U Hwi < M Vf l|L 2 , то оператор A из L2 в W21 ограничен. Пусть при некотором f G L2 имеем Af = 0. Тогда U = 0 и (f,q~)L2 = 0, Vq G W1. Отсюда следует, что f = 0, то есть уравнение Af = 0 имеет только нулевое решение, и потому существует оператор A-1.

Так как

(Af, q^W1 = (f,q)L2 = (q,f )L2 = (Aq,f )W1 = (f,Aq)W1, то оператор A является самосопряженным. Кроме того, оператор A положительный, так как (Af, f )wi = (f, f )L2 > 0, где равенство нулю возможно только при f = 0.

Покажем, что оператор A из W ₂ ¹ в W ₂ ¹ является вполне непрерывным. Для этого возьмем произвольное ограниченное множество функций в W ₂ ¹ . Это множество компактно в L ₂ , то есть из любого его бесконечного подмножества в L ₂ можно выбрать фундаментальную последовательность f s ,s = 1, 2,... . Так как оператор A из L 2 в W 2¹ ограничен, то он непрерывен, и потому функции Af s , s = 1, 2,... образуют фундаментальную последовательность в W ₂ ¹ . Это означает, что оператор A вполне непрерывен из W ₂ ¹ в W ₂ ¹ .

Перепишем уравнение (f,q)w2i = ц(f,q)L2 в виде: (f,q)w2i = ц(Af,q)wl, что эквивалентно операторному уравнению в пространстве W21: цAf = f, f G W21. Таким образом, число µ является собственным значением оператора L, и f — соответствующей ему обобщенной собственной функцией тогда и только тогда, когда 1/ц есть характеристическое число оператора A из W21 в W21 и f — соответствующий ему собственный элемент. Так как оператор A является самосопряженным положительным вполне непрерывным, то существует не более чем счетное множество характеристических чисел {µ} уравнения (f,q)w1 = ^(f, q)L2 в пространстве W21. Это множество не имеет конечных предельных точек, все собственные значения вещественны, каждому собственному значению соответствует конечное число взаимно ортогональных в W21 собственных функций; собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны в W21.

Пусть ^ s (s = 1, 2,... ) — последовательность, содержащая все характеристические числа оператора L и f s (s = 1, 2,...) — система взаимно ортогональных в W 2¹ собственных функций таких, что || f _s || L₂ = 1 и

^ s Af s = f s ,s = 1, 2,...                                  (4)

Умножим (4) скалярно в W ₂ ¹ на f s , получим:

^(f s , ^f s ) w 1 = ^ s ^(Af s , f sW ¹ = ^ s ^(f s , ^f s К .

Это соотношение можно переписать в виде:

(Ф * (df s , df s ) + 2Hf s f s — 2^ s Hf s f s )da = 0.

Из полученного равенства следует, что ^ s >  1,s = 1,2,... . Если ^ 1 = 1, то f 1 = const = 1/(/_ф 2Hda) на Ф. Это означает, что ^ 1 = 1 является первым характеристическим числом кратности один. Из соотношения (4) вытекает, что система функций f ₁ / ^√ µ ₁ , f ₂ / ^√ µ ₂ , ... является ортонормированной в W ₂ ¹ системой, и потому она является ортонормированным базисом в W ₂ ¹ .

Так как пространство функций W 2¹ бесконечномерно, то множество f s ,s = 1, 2,... является бесконечным. Поэтому µ s → ∞ при s → ∞ .

Согласно теоремам Фредгольма, уравнение ^Af = f + Ay однозначно разрешимо V y € L 2 , если д = ^ s (s = 1, 2,...) .

Рассмотрим уравнение

(f, q) _{W 2}1

= д(М ь2 + Ь^К + / -^qdS.

∂ Φ

Рассмотрим интеграл

I (q) = /

∂ Φ

— ^qdS

при фиксированной функции ^ . Покажем, что I(q) определяет линейный функционал в пространстве W ₂ ¹ .

Так как функция ^ € L 2 (дФ) , то выполнена оценка:

| I⁽q) | = |/ ^qdS l< MMHqH w ¹ • ∂ Φ ²

В силу теоремы Рисса о линейных функционалах, функционал I(q) может быть представлен, и притом единственным образом, в виде: I(q) = (B^,q) w2i , где B^ — элемент из W ₂ ¹ , ψ — функция класса W ₂ ¹ .

Это равенство определяет оператор B на любом элементе из W ₂ ¹ . Он является ограниченным, так как

|| B^ || W 1 = ( B^,B^ ) w 1 = I(B^) <  M Mw 1 1WII w 1 . 2     2        22

Откуда

HB^H w ! <  MH^W*.

Тогда уравнение (5) примет вид: f = цAf + Ay + B^ в W 21 . Оно однозначно разрешимо, если ц = ц _s , s = 1, 2,... , V y G L 2 , V ^ G W 2¹ . Это означает, что задача (A)

для ц = ц _s ,   s  =  1,2,... имеет единственное решение класса W 2¹ . Так как

Н,Ь* ^г з G C ^0,s (Ф), y G C ^0,s (Ф), ^ G C ^1,s (d Ф) , то решение f , согласно теореме о регулярности решений эллиптических уравнений, является функцией класса C ^2,s (Ф) ([2]).

Теорема 1 доказана.