Некоторые свойства ортогонально аддитивных полиномов в банаховых решетках

• 1.    Введение

• 2.    Предварительные сведения

В последнее десятилетие значительно возрос интерес к исследованию порядковых свойств полиномов в бесконечномерных функциональных решетках. Это связано с тем, что многие важные свойства полиномов зависят от естественного отношения порядка в пространствах, в которых они действуют. Кроме того классы полиномов между банаховыми решетками, выделяемые комбинированными метрическими и порядковыми свойствами, имеют богатую структуру и интересные взаимосвязи.

(с) 2020 Кусраева З. А., Сиукаев C. Н.

В то время как алгебраические и линейно-топологические свойства полиномов, как и взаимосвязи с геометрией банаховых пространств, имеют давнюю историю и хорошо освещены в литератруре (см., например, [1]), изучение порядковых свойство полиномов в векторных и банаховых решетках начато сравнительно недавно: в качестве двух стартовых точек можно указать работы Сандаресана [2] и Греку и Ряна [3] (см. также первые три диссертации на эту тему [4–6]). Последующее развитие отражено в источниках [7–13]; см. также указанную в них литературу.

Традиционной для теории линейных регулярных операторов в банаховых решетках является проблема: как влияют на строение того или иного класса линейных операторов свойства банаховых решеток, в которых действуют рассматриваемые операторы [14, 15]. В настоящей работе рассмотрены два вопроса в классе ортогонально аддитивных однородных полиномов: при каких условиях каждый ограниченный по норме полином является регулярным и является ли регулярная норма на пространстве всех таких полиномов порядково нерперывной?

Структура работы такова. Для каждой равномерно полной векторной решетки E и фиксированного натурального числа s существует s-однородный канонический поли ном, действующий из E в s-вогнутизацию E ( _s ) решетки E, такой, что широкий класс ортогонально аддитивных полиномов допускает представление в виде композиции канонического полинома с линейным оператором, определенном на E ( _s ) . Этот результат вместе с необходимыми для дальнейшего определениями и обозначениями приводится во втором параграфе. В третьем параграфе обсуждается вопрос о том, когда каждый ограниченный по норме ортогонально аддитивный однородный полином является регулярным. Показано, что линеаризация с помощью канонического полинома позволяет переносить на ортогонально аддитивные полиномы реультаты, полученные для линейных операторов. В четвертом параграфе указаны условия, при которых регулярная норма в пространстве регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов является порядково непрерывной.

Банахова решетка E — это банахово простарнство (E, || • ||), являющееся одновременно векторной решеткой с монотонной нормой, т. е. для x,y Е E неравенство |x| ^ |y| влечет |x| ^ |y|, где |x| = x V(—x) = sup{x, —x}. Норму в банаховой решетке E (а также саму банахову решетку) называют порядково непрерывной, если для всякой убывающей сети (ха) в E из infа ха = 0 следует lima |xa| = 0. Банахово двойственное пространство E′ , снабженное двойственной нормой и двойственным порядком, также является банаховой решеткой. Используются стандартные обозначения и терминология теории банаховых решеток из книг Алипрантиса и Б¨еркиншо [16] и Мейер-Ниберга [17], а также теории полиномов из книги Дайнина [1]. Всюду в тексте := означает «равняется по определению», а N и В обозначают соответственно множества натуральных и действи- тельных чисел.

В этом параграфе собраны необходимые для дальнейшего сведения об однородных полиномах и степени банаховой решетки.

Определение 2.1. Возьмем натуральне число s Е N и векторные пространства E и F . Отображение P : E ^ F называют однородным полиномом степени s (или ^-однородным полиномом), если существует s-линейный оператор у : E s ^ F такой, что P = у о A s , где A s : E ^ E s — дигональное отображение A s : x н- (x,..., x) Е E s . Существует единственный симметричный s-линейный оператор у, для которого P = у о A s ; последний обозначается символом P , так что P (x) = P(x,...,x) для всех x Е E. Напомним, что s-линейный оператор у : E s ^ F симметричен, если y(x i ,...,x_s) = y(x ^ (i) ,..., x _CT(_s)) для любой перестановки ст множества индексов { 1,..., n } .

Непрерывность s-однородного полинома P между нормированными пространствами E и F равносильна его ограниченности (на единичном шаре). Норма ограниченного полинома P определяется формулой

\\ P H = sup { H P(x) н : H x H = 1} = inf {C > 0 : ||P(x) H С C H x H s , x Е E}, (1)

следовательно, \\ P (x) H С \\ P ||||x|| ^s (x Е E). Векторное пространство всех непрерывных s-однородных полиномов из E в F , снабженное нормой (1), обозначается символом P ( ^s E,F ). При s = 1 получаем пространство линейных непрерывных операторов L (E, F ):= P ^E,F ).

Определение 2.2. Однородный полином P из векторной решетки E в векторное просторанство Y называют ортогонально аддитивным, если | x | Л | y | = 0 влечет P (x + y) = P (x) + P (y) для всех x,y Е E. В случае, когда Y — также векторная решетка, P называют положительным, если P (x i ,...,x_n) ^ 0 для всех x i ,...,x_n Е E + , и ор-торегулярным , если P представим в виде разности двух положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов.

Обозначим через P _O(^S E, F) пространство непрерывных ортогонально аддитивных s-однородных полиномов, действующих между векторными решетками E и F . Пусть P O ( ^s E, F ) — часть P _O(^S E, F ), состоящая из регулярных полиномов. Отношение порядка в P O ( ^s E, F) вводится, как обычно, с помощью конуса положительных полиномов: P С Q тогда и только тогда, когда 0 С Q — P • Регулярная норма H • \ _r на P^T _O ( ^s E,F ) вводится формулой

\\ P H r := inf { H Q H : ± P С Q Е P O ( ^s E, F)}. (2) Для положительного полинома Q Е P^r ( ^s E, F) имеет место равенство

H Q H r = H Q H = sup { H Q(x) \ : 0 С x Е E, H x H С 1}. (3)

Возьмем банахову решетку E и вещественное число 0 < р <  то . Используя однородное функциональное исчисление, можно определить новую структуру векторной решетки на E , сохранив тот же порядок и определив новые операции векторного пространства.

Определение 2.3. Введем сложение ф и умножение на скаляры ® в банаховой решетке E формулами x ф y = (x ^p + y ^p ) ^{1 /p} и А ® x = A ^{1 /p} x, где x,y Е E и Л Е R. Тогда E ( p ) := (E, Ф , ® , С ) — векторная решетка. Обозначим символом i p тождественное отображение на (E, С ), рассматриваемое как оператор из E на E ( _p ) . Определим также функцию H • H ( _p ) : E ( _p ) ^ R формулой \ i_P(x) H ( _P ) := H x H p (x Е E). Векторную решетку E ( _p ) вместе с квазинормой H • H ( _p ) называют р-вогнутизацией решетки E (см. книгу Линденштрауса и Цафрири [18]).

Если s Е N, то приняты также обозначения E s ® := E (_s) и x s ® := i s (x) (см. Булабиар и Бускес [19]). При этом существует единственное симметричное s-линейное отображение © s : E s ^ E s ® такое, что © s (x,..., x) = i s (x) для всех x Е E ₊ . Соответствующий s-однородный полином из E в E ^{s ⊙} называют каноническим полиномом банаховой решетки E и обозначают символом j s , подробности см. в [20].

В следующем предложении собраны основные факты об операторе ιp [20].

Предложение 2.1. Нелинейное отображение i p : E ^ E ( p ) обладает свойствами:

• (1)    i p — порядковый изоморфизм и гомеоморфизм между E и E ( p ) ;

• (2)    i p нечетно и сохраняет модуль: i p ( — x) = — i p (x) и | i p (x) | = i p ( | x | ) для всех x Е E;

• (3)    i p ортогонально аддитивен и сохраняет дизъюнктность: i p (x + y) = i p (x) + i p (x) и x ± у влечет i p (x) ± i p (x) для всех x, у Е E;

• (4)    i p ((x p + y p ) ^{1 /p} ) = i_p(x) © i p (y) и i_p(A ^{1 /p} x) = A ® i_p(x) для всех x, у Е E и А Е R ;

• ^{(5)    ( E} ( p ) ) ( q ) = ^{( E} ( q ) ) ( p ) = ^E ( qp ) и ⁱ P ° © = © ° ⁱ P = ⁱ qp , в ^{частности}, ⁱ 1 /s = ^{i —} ;

• (6)    если p Е N , то j(x) = i_p(x ⁺ ) + ( — 1) ^p i_p(x ^- ) для всех x Е E.

• <1 Все утверждения следуют непосредственно из определения i p и конструкции E (_p) . >

Вообще говоря, || • ||( _p ) не является нормой, так как вместо неравенства треугольнни-ка выполняется | x © y | ( _p ) © 2 ^{| 1 - 1 /p|} ( | x | ( _p ) + | y | ( _p ) ). Чтобы гарантировать неравенство треугольника, нужно дополнительное предположение о выпуклости E .

Определение 2.4. Банахову решетку E называют p-выпуклой, 0 < p <  то , если существует постоянная C такая, что

(m \ p       / m      \ p е mJ © с ^е иnJ ,

для любого конечного набора { x 1 ,..., x m } in E [18].

Лемма 2.1. Пусть 0 < p , q <  то . Вогнутизация E ( _p ) банаховой решетки E будет q-выпуклой в том и только в том случае, когда E (pq) -выпукла. В частности, E (_p) — банахова решетка лишь в том случае, когда E r-выпукла для некоторого p © r <  то .

• < См. [20, следствие 3.12]. >

При довольно общих условиях для s-однородного ортогонально аддитивного полинома P : E ^ F существует единственный линейный оператор T : E s ® ^ Y такой, что

P(x) = T(x ^s ® ), x Е E.                                (5)

Теорема 2.1. Пусть E — банахова решетка, Y — векторное пространство и P : E ^ Y — ортогонально аддитивный s-однородный полином. Тогда P допускает представление (5) в каждом из следующих случаев:

• (1)    Y — нормированное пространство и P непрерывен по норме;

• (2)    Y — нормированная решетка и P регулярен.

Более того, отображение T н- T ° j s осуществляет соответственно изометрический изоморфизм нормированных пространств L (E ^s ® ,Y) и P o ( ^s E, Y) и порядковый и изометрический изоморфизм упорядоченных нормированных пространств L ^r (E s ® , Y) и P Or ( ^s E,Y) .

• <    См. теорему 2.10 и следствия 2.11 и 2.12 в [20]. >

• 3.    Характеризация дискретных порядково непрерывных банаховых решеток

Замечание 2.1. Теорема 2.1 лежит в основе метода линеаризации изучения ортогонально аддитивных полиномов. В наиболее общем виде она предложена в [13] и уточнена в [7]. Примеры применения метода рассмотрены в [4, 20, 21].

Дискретные порядково непрерывные банаховы решетки играют важную роль в различных вопросах теории операторов (см., например, [14] и [15]). Уолш [22, теорема 1] дал внутреннее описание этого класса пространств как класса банаховых решеток с компактными по норме порядковыми интервалами, а Ван Рой [23, теорема 10.2] установил, что банахова решетка E дискретна и поряково непрерывна тогда и только тогда, когда для любой банаховой решетки F упорядоченное пространство регулярных операторов из E в F является векторной решеткой. Внук [24] получил другую характеризацию дискретных порядково непрерывных банаховых решеток, для формулировки которой нужны следующие обозначения. Равенство P _o ( ^s E,F ) = Р ОГ ( ^s E,F ) означает, что каждый непрерывный ортогонально аддтивный s -однородный полином из E в F регулярен. Если же, сверх того, ||P|| = ||P||_r для всех P Е P _o ( ^s E,F ), то будем писать P _o ( ^s E,F ) = Р О ( ^s E,F ). При s = 1 приняты обозначения: L (E, F ) := P _o ( 1 E, F ) и L ^r (E, F ) := Р ОГ ( 1 E, F ).

Теорема 3.1. Для порядково σ -полной банаховой решетки E равносильны утверждения:

• (1)    E дискретна и порядково непрерывна;

• (2)    L (E,c o )= L ^r (E,c o );

• (3)    L (E,c o ) = L ^r ( E,c q )

Для того чтобы получить вариант этой теоремы для ортогонально аддитивных полиномов, нам потребуются два вспомогательных результата.

Лемма 3.1. s-выпуклая банахова решетка E дискретна (порядково непрерывна, обладает свойством Леви или Фату) тогда и только тогда, когда таковой является банахова решетка E (_s) .

• ⊳ Доказательство следует непосредственно из определений и леммы 2.1. Нужно лишь заметить, что в силу предложения 2.1 (1) отображения i s и I ^{- 1} сохраняют дискретные элементы, порядково ограниченные множества, точные границы, монотонные последовательности и направленнные сети, а ввиду s -однородности ι _s (предложение 2.1 (4)), сохраняют также и ограниченность по норме. ⊲

Теорема 3.2. Пусть E — банахова решетка, at i (E ) — множество дискретных элементов единичной нормы в E, а F — AM-пространство. Если линейная оболочка at i (E) плотна в E, то P _o ( ^s E, F ) = Р ОГ ( ^s E, F ) .

• <1 Для s = 1 этот факт установил Хун Юнь Сюн [25, теорема 2.2]. В общем случае работают аналогичные соображения. Пусть A := at i (E) и линейная оболочка E q := Lin(A) плотна в E. Тогда E q — подрешетка в E и отображение P н- P q := P | e₀ представляет собой изометрический решеточный изоморфизмом из P _o ( ^s E,F ) на P _o ( ^s E q ,F ), так как каждый полином из P _o ( ^s E q ,F ) допускает единственное продолжение на все E с сохранением нормы. Заметим, что A — базис Гамеля пространства E q и произвольный x Е E q может быть представлен в виде x = ^2П =1 A k a k , где n Е N, A i ,...,A_n Е R и A(x) := { a i , ..., a n } С A. Таким образом, полином P Е P _o (E, F ) однозначно определяется своими значениями на подрешетке E q , причем для x Е E q имеем P q ( x ) = 52n =i A k P(a k ) в силу ортогональной аддитивности и s-однородности P . Если x i ,...,x _s Е E q , то X j = ^2n =i A jk a jk для всех j = 1,..., s, так как, добавляя в сумму нулевые члены, можно считать A(x i ) = A(x j ). Используя ортосимметричность P , выводим

n

P q ( x i ,... ,X s ) = ^ A ik ••• A s_k P (a k ).

k =1

Отсюда видно, что P ^ 0 в том и только в том случае, когда P o ^ 0, в то время как последнее означает, что P (a) = P o (a) ^ 0 для всех a G A. Определим полином Q o : Е о ^ F формулой Q o (x) = n=k A k A k | P(a k ) | . Как видно, Q o будет s-однородным полиномом, порождающий s-линейный, полилинейный оператор которого имеет вид Q o (x 1 ,..., x _s ) = ^ n =i A i k • • • A _sk | P (a k ) | . Так как различные a i ,..., a n попарно дизъюнктны, то n            n                             n

| x | = E I A k l ° k = E^sgn(A k )A k a k = V ^^£ k A k a k • k=1           k =1                   e _k G{- 1 , 1 } k =1

Теперь, принимая во внимание, что E является AM -пространством, приходим к оценкам

|| ^Q 0 ^{( x )} ^ ^C

n

El AkP (xk )| k=1

V Ё S k A k P (a k )

E k G ^{{ — 1 , 1 } k} = ¹

= V P E^£ k A k a k ^E k G ^{{ — 1 , 1 }}      V k = ¹         /

C | P HM s .

€ k G ^{{ — 1 , 1 }}

В силу сказанного выше существует единственный полином Q G P _O( ^s E, F) такой, что Q(x) = Q o (x) для всех x = ^2П =₁ A k a k G Е о , причем Q > ± P, так как Q(a) > ± P(a) для всех a G A. Следовательно, Q G P r( ^s E, F) и ||P||r C ||Q H - С другой стороны, || Q | = I Q o l C || P ||, поэтому || P ||r = || P || . ▻

Теорема 3.3. Пусть s G N и (E, || • ||) — порядково а-полная s-выпуклая банахова решетка. Равносильны следующие утверждения:

• (1)    P _o( ^s E, F) = P' O ( ^s E, F) для любого AM -пространства F ;

• (2)    P _O( ^s E, F) = P O ( ^s E, F) для любого AM -пространства F ;

• (3)    P o ( ^s E,c o ) = P E, c) ;

• (4)    P o ( ^s E,c o ) = P O ( ^s E, c o ) ;

• (5)    E дискретна и порядково непрерывна.

<1 Импликации (1) = ^ (2) = ^ (3) очевидны. Заметим, что E ^s ® — банахова решетка в силу леммы 2.1. Если P _O( ^s E, c o ) = P'O ( ^s E, c o ), то по теореме 2.1 имеем L (E ^s ® , c o ) = L r (E ^{s 0} ,c o ), следовательно, L (E ^s ® , c o ) = L r (E ^{s 0} ,c o ) и, кроме того, E ^{s ⊙} дискретна и порядкво непрерывна ввиду теоремы 3.1. Повторное применение теоремы 2.1 дает P _O( ^s E, c o ) = P Or ( ^s E, c o ), а на основании леммы 3.1 заключаем, что Е дискретна и порядково непрерывна. Таким образом, (3) = ^ (4) = ^ (5). Оставшаяся импликация (5) = ^ (1) следует из теоремы 3.2. ▻

Замечание 3.1. Импликацию (5) = ^ (1) в теореме 3.3 можно вывести из теоремы 2.1 не обращаясь к теореме 3.2. Однако, теорема 3.2 имеет самостоятельный интерес, так как она утверждает справедливость этой импилкации при более слабых предположениях. Нам неизвестно, верно ли обращение теоремы 3.2.

Рассмотрим еще два результата о регулярности ограниченных по норме полиномов, хорошо известных в линейном случае. Всякое дискретное AL-пространство изометрически и решеточно изоморфно 1 ¹ (Г) для некоторого непустого множества Г. В то же время, дискретное AL-пространство является единственной с точностью до решеточного изоморфизма банаховой решетки E , для которой выполняется равенство L (E,F) = L r (E,F) [15, теорема 2.4].

Теорема 3.4. Для банаховой решетки E равносильны следующие утверждения:

• (1)    Е решеточно изоморфна 1 ⁵ (Г) для некоторого непустого множества Г ;

• (2)    P o ( s E, F ) = P O ( s E, F ) для любой банаховой решетки F;

• (3)    P o(^s E, F ) — векторная решетка для любой банаховой решетки F.

• <1    При s = 1 требуемое — это теорема 2.4 из [15]. Общий случай легко выводится по изложенному образцу с использованием теоремы 2.1. Нужно только заметить, что если E решеточно изоморфна I ^s (Г) для некоторого непустого множества Г, то E ^s ® решеточно изоморфна 1 ¹ (Г). >

Напомним, что AL s -пространством называют банахову решетку (E, || • ||), норма которой удовлетворяет равенству | x + y|| ^s = ||x|| ^s + ||y|| ^s для любой пары дизъюнктных элементов x,y Е E .

Теорема 3.5. Для банаховой решетки F равносильны следующие утрверждения:

• (1)    F обладает свойством Леви;

• (2)    P o (^sE, F ) = P O ( ^s E, F ) для любой банаховой решетки E, изоморфной некоторому AL ^s -пространству;

• (3)    P o(^s E, F ) является решеткой для любой банаховой решетки E, изоморфной некоторому AL ^s -пространству.

• <    При s = 1 требуемое — это теорема 2.8 из [15]. Далее работают те же соображения, что и выше. ⊲

• 4. Порядковая непрерывность регулярной нормы

В работе трех авторов Цзы Ли Чен, Ин Фэн и Джин Си Чен [26, теоремы 2 и 4] найдены необходимые и достаточные условия, при которых пространство линейных регулярных операторов между банаховыми решетками является порядково непрерывной решеткой или же KB -пространством. В данном параграфе приводятся аналогичные результаты для пространства регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов. Предварительно введем несколько определений.

Определение 4.1. Полином P : E ^ F называют M-слабо компактынм , если ||P(x n ) || ^ 0 для каждой дизъюнктной последовательноси (x n ) n e N в B e , и L-слабо компактным , если P ( B e ) — L-слабо компактное множество в F , т. е. | y n | ^ 0 для любой дизъюнктной последовательности (y n ) n e N , содержащейся в солидной оболочке множества P ( B e ). Здесь В х обозначает единичный шар банахова пространства X, а солидная оболочка sol(A) множества A определяется формулой sol(A) := U{[ -| x | > | x | ] : x Е A } .

Как видно, при s = 1 получаем определения L- и M -слабо компактных линейных операторов [17, определения 3.6.1 и 3.6.9]. Теперь сформулируем теорему о порядковой непрерывности регулярной нормы в пространстве линейных регуляных операторов.

Теорема 4.1. Для пары банаховых решеток E и F равносильны следующие условия:

• (1)    L ^r (E, F ) — векторная решетка и регулярная норма | • | _r на ней порядково непрерывна;

• (2)    каждый положительный оператор из E в F является L- и M-слабо компактным.

⊳ Этот результат установлен в [27, теорема 2]. ⊲

Теорема 4.2. Пусть E и F — банаховы решетки, причем E s-выпукла для некоторого натурального s Е N . Тогда равносильны следующие утверждения:

• (1)    P^T _O ( ^s E, F ) — векторная решетка и регулярная норма || • | _r на ней порядково непрерывна;

• (2)    каждый положительный s-однородный ортогонально аддитивный полином из E в F является L- и M -слабо компактным.

• <1    В силу теоремы 2.1 отображение T н- P = T о ] осуществляет сохраняющий регулярную норму порядковый изоморфизм упорядоченных нормированных пространств L r (E s ® ,F ) и p o ( ^s E,F ). Следовательно, эти пространства одновременно являются или нет векторными решетками, а также регулярные нормы в них одновременно будут или нет порядково непрерывными. Отсюда видно, что утверждения 4.2 (1) и 4.1 (1) равносильны при условии s-выпуклости E. Далее, последовательность (x n ) n e N дизъюнктна и содержится в B e тогда и только тогда, когда последовательность (y n ) n e N , где y n = i s (x n ), дизъюнктна и содержится в Б е в ® . Так как при этом P (x n ) = T (y n ), то P и T одновременно будут или нет M -слабо компактными. Аналогичное утверждение относительно L-слабой компактности очевидно, так как P ( Б е ) = T ( Б е в ® ). Таким образом, утверждения 4.2 (2) и 4.1 (2) равносильны (также при условии s -выпуклости E ) и требуемое вытекает из теоремы 4.1. >

Теорема 4.3. Пусть E и F — банаховы решетки, причем E s -выпукла для некоторого s Е N . Тогда равносильны следующие утверждения:

• (1)    P O ( ^s E,F ) является KB-пространством;

• (2)    F — KB-пространство и регулярная норма на Р ^ ( ^s E, F ) порядково непрерывна;

• (3)    F — KB-пространство и каждый положительный s-однородный ортогонально аддитивный полином из E в F является M -слабо компактным.

• <    Здесь работают те же соображения, что и при доказательстве теоремы 4.2. Нужно только сослаться на [27, теоремы 4] и принять во внимание, что Р О ( ^s E, F ) будет KB -пространством тогда и только тогда, когда таковым является упорядоченное нормированное пространство L r (E ^s ® ,F ). >

Определение 4.2. Говорят, что банахова решетка E обладает положительным свойством Шура, если любая последовательность положительных элементов в E , слабо сходящаяся к нулю, сходится к нулю по норме.

Теорема 4.4. Пусть E и F — банаховы решетки, причем F обладает положительным свойством Шура, а E s-выпукла для некоторого s Е N . Тогда равносильны утверждения:

• (1)    ( Р ОГ ( ^s E,F ), || • ||r ) является KB-пространством;

• (2)    регулярная норма || • ||r пространства Р^( ^s E,F ) порядково непрерывна;

• (3)    E не содержит подрешеток, изоморфных I ^s .

• <    Импликация (1) = ^ (2) очевидна. По теореме 2.1 утверждение (2) равносильно порядковой непрерывности регулярной нормы пространства L r (E ^s ® ,F ). Чен установил в [27, теорема 3.3], что последнее равносильно порядковой непрерывности (E s ® ) ’ . В то же время, порядковая непрерывность сопряженного пространства (E s ® ) ’ равносильна тому, что E s ® не содержит подрешеток, решеточно изоморфных l ¹ [17, теорема 2.4.14]. Последнее означает, что E не содержит подрешеток, решеточно изоморфных l ^s [21]. Таким образом, утверждения (2) и (3) равносильны. Чтобы убедиться в справедливости оставшейся импликации (3) = ^ (1), достаточно применить к банаховым решеткам E s ® и F теорему 13 из [26], утверждающую, что если F обладает положительным свойством Шура, то L r (E s ® , F ) будет KB-пространством тогда и только тогда, когда сопряженная банахова решетка (E s ® ) ‘ порядково непрерывна. >

Определение 4.3. Пусть 1 С то. Говорят, что норма банаховой решетки E р-су-пераДДитивна или р-субаДДитивна, если, соответственно, (||x||p + ||y||p)1/p С |x + y| или |х + у| С (HxHp + 11у11р)1/р для любых дизъюнктных x,y Е E (см. [17, p. 138] или [28, определение 7.7]). Точную нижнюю (верхнюю) границу чисел р ^ 1, для которых E допускает эквивалентную p-супераддитивную (p-субаддитивную) норму, называют соот- вественно верхним индексом (нижним индексом) E и обозначают символом d(E) (символом t(E)) [28, определение 8.7].

Известно, что 1 ^ d(E) ^ t(E) ^ то для любой банаховой решетки E; если t(E) <  то , то E порядково непрерывна, а если d(E) > 1, то E' порядково нерпрерывна, см. [28, предложение 8.11], а также [29]. В упомянутой выше работе [26] установлено, что если d(E) >  t(F ), то ( L r (E,F ), || • ||r ) является KB-пространством. Чтобы получть аналогичный результат для пространства регулярных ортогонально аддитивных однородных полиномов, необходим следующий вспомогательный факт.

Лемма 4.1. Пусть s Е N и p Е R . Для произвольной банаховой решетки E выполняются равенства s • d(E) = d(E s ® ) и s • t(E) = t(E ^s ® ).

• < 1 Если 1 ^ p <  то , то для любой пары дизъюнктрых элементов x,y Е E равносильны неравенства |Щх) + i s (y) | ^ ( | i s (x) | p + | i s (x) | ^p ) ^{1 /p} и | x + y | s <  (IMI ps + | y | ^ps ) ^{1 /p} ввиду ортогональной аддитивности i s и равенства | i_s(x) | = | x | ^s . Отсюда вытекает s • t(E) = t(E ^s ® ). Аналогично выводится второе равенство. >

Теорема 4.5. Пусть E и F — банаховы решетки, причем E s -выпукла. Если d(E) >  t(F ) , то упорядоченное нормированное пространство ( Р ОГ ( ^s E,F ), || • | r ) является KB -пространством.

• <    Линейный случай s = 1 обоснован в [26, теорема 14]. Общий случай сводится к линейному с помощью теоремы 2.1: если d(E ^s ® ) >  t(F ^s ® ), то ( L r (E ^s ® ,F ), || • | r ) будет KB -пространством. В частности, при этих условиях F будет KB -пространством (см. доказательство теоремы 14 в [26]). В то же время, неравенства d(E ^s ® ) >  t(F ^s ® ) и d(E) >  t(F ) равносильны ввиду леммы 4.1. Следовательно, d(E) >  t(F ) влечет, что банахова решетка ( L r (E ^s ® ,F ), || • | r ), а также извометрически и порядково изоморфная ей банахова решетка ( Р О ( ^s E,F ), || • | r ) является KB -пространством. >