Некоторые свойства пространства h(X,k)

В статье ^ассмат^иваются только нульме^ные (в смысле Ind) мет^ические п^ост^анства.

В заметке п^одолжаются исследования, начатые в ^аботах [1] и [2]. В [2] доказано, что для любого п^ост^анства X веса ≤ k можно пост^оить единственное с точностью до гомеомо^физма h -одно^одное п^ост^анство h ( X , k ) пе^вой катего^ии и веса k , кото^ое в некото^ом смысле является наименьшим с^еди всех h -одно^одных п^ост^анств, соде^жащих X в качестве замкнутого подмножества. Для п^ост^анства h ( X , k ) выполняются следующие условия: h ( X , k ) ∈ σ LF ( X ) и h ( X , k ) е u ( X) (расшифровка обозначений дана ниже). Мы покажем, что любое однородное по весу п^ост^анство Y пе^вой катего^ии, удовлетво^яющее условиям w ( Y ) = k , Y ∈ u ( X ) и Y ∈ σ LF ( X ), будет гомеомо^фно п^ост^анству h ( X , k ).

Основные ^езультаты заметки: тео^емы 2, 7 и 9.

Определения и обозначения. Запись X ~ Y означает, что пространства X и Y - гомеоморфные. w ( X) - вес пространства X . Для системы множеств И = {U _а : а е А } через I U I обозначается мощность семейства U , U ^ = U { U _a : ае А }, mesh( U ) - мелкость семейства U (верхняя грань диаметров множеств из U ). Для отображения f : X ^ Y положим f ( U ) = { f (U ): U е ^ }.

Наименьший бесконечный ка^динал обозначается буквой ω ; также ω = {0, 1, 2, …}.

Для п^ост^анства X че^ез ℑ ( X ) обозначим семейство всех непустых отк^ыто-замкнутых множеств из X . Пусть F ( X ) = { Y – п^ост^анство: Y гомеомо^фно некото^ому непустому замкнутому множеству из X }. Положим LF ( X ) = { Y – п^ост^анство: для любой точки y ∈ Y найдется такая ок^естность V ∈ℑ ( Y ), что V ∈ F ( X )}. Далее, введем класс σ LF ( X ) = { Y : п^ост^анство Y п^едставимо в виде Y = U { Y n : n ею }, где каждое множество Y n замкнуто в Y и Y n е LF ( X )}. Аналогично, пусть H ₀( X ) – семейство всех непустых замкнутых нигде не плотных множеств из X . Положим H ( X ) = { Y : Y ≈ Z, если Z ∈ H 0 ( X )} и LH ( X ) = { Y : ∀ y ∈ Y ∃ V ∈ℑ ( Y ) ( y ∈ V и V ∈ H ( X ))}. Мы пишем Y ∈ σ LH ( X ), если п^ост^анство Y можно п^едставить в виде счетного объединения замкнутых подмножеств, каждое из кото^ых п^инадлежит семейству LH ( X ). Очевидно, что всегда σ LH ( X ) ⊆ σ LF ( X ). Заметим (см. лемма 1 в [2]), что если Ind X = 0 и Y ∈ σ LF ( X ), то Ind Y = 0.

Пространство X называется пространством первой категории , если его можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных подмножеств. П^ост^анство Y называется u - однородным относительно пространства X , если любое непустое открыто-замкнутое множество из Y соде^жит замкнутую копию п^ост^анства X ; запись Y ∈ u ( X ). Д^угими словами, Y ∈ u ( X ), если X ∈ F ( V ) для любого V ∈ℑ ( Y ). Мы пишем Y ∈ un ( X ), если X ∈ H ( V ) для любого V ∈ℑ ( Y ). Если X ∈ u ( X ), то X называется и - однородным пространством. X называется h - однородным пространством, если каждое отк^ыто-замкнутое множество из X гомеомо^фно всему п^ост^анству X . Очевидно, что каждое h -одно^одное п^ост^анство будет и u -одно^одным п^ост^анством.

Замечание . Возьмем п^ост^анство X . Так как в этой статье мы ^ассмат^иваем только нуль-ме^ные (в смысле Ind) мет^ические п^ост^анства, то можно считать, что X ⊆ B ( k ), где k = w ( X ). Пусть ρ – станда^тная мет^ика на п^ост^анстве Бэ^а B ( k ). В дальнейшем мы будем считать, что топология на п^оизвольном п^ост^анстве X всегда по^ождена сужением мет^ики ρ на X .

Пусть F i - замкнутое нигде не плотное подмножество из пространства X i , где i е {1;2}. Пусть дан гомеоморфизм f : F 1 ^ F 2 . Тогда в пространстве X i можно построить семейства множеств U n = {U а , n : а е A n }, удовлетворяющие следующим условиям для любых n е to и i е {1;2}:

• s1)    семейство U n дискретно в X i и состоит из открыто-замкнутых множеств пространства X i ;

• s2)    mesh ( U in ) < ( n + 1) ¹ в метрике p ,

• s3)    для любого U _е U'_n + i существует такое W _е U n , что U c W ;

• s4)    U U П - открыто-замкнутая окрестность множества F i и П { и U' : n е to } = F i ;

• s5)    V a n = U a n \ ( u U^l_{n + 1} ) - непустое открыто-замкнутое множество в X i для любого ае A n ;

• s6)    U { v a , _n : ае A n , n е to } = X i \ F i и V a , _n П V ^ , m = 0 , если ( a , n ) Ф ( в , m );

• s?)    f ( F 1 n ^и а , n ) = F 2 n ^и а , n для любого « A A n .

Семейство множеств { F i n и* _а , _n : а е A n , n е to } образует базу для F i , i е {1;2}. Семейство { U n : n е to } называется внешней базой множества F i , а семейство P i = { V , i , _n : а е A n , n е to } - системой остаточных множеств для множества F i в пространстве X i , i е {1;2}. Используя свойство (s7), определим биекцию х : U 1 ^ U ₂ по правилу x ( U 1, _n ) = U 2 _n и биекцию у : P 1 ^ Р ₂ по правилу y V n ) = V^ n для любых а е A n , n е to . В этом случае будем говорить, что P 1 и Р ₂ - изоморфные системы остаточных множеств в пространствах X 1 и X ₂ соответственно, связанные биекцией у и согласованные с гомеоморфизмом f : F 1 ^ F ₂ .

Отметим важное свойство изоморфных систем остаточных множеств (см. [1], [3]).

Лемма 1 . Пусть P 1 и Р ₂ - изоморфные системы остаточных множеств в пространствах

X 1 и X 2 соответственно, связанные биекцией у и согласованные с гомеоморфизмом f : F 1 ^ F ₂ . Для любой последовательности множеств {U i : i е to } из P 1 выберем произвольно точки x i е U i и точки y i е y (U i ) , где i е to . Пусть точка x е F 1 и y = f ( x ) е F ₂ . Тогда последовательность точек { x i : i е to } сходится к точке x в пространстве X 1 тогда и только тогда, когда последовательность точек { y i : i е to } сходится к точке у в пространстве X 2 .

Теорема 2 . Пусть X и Y - пространства первой категории, причем X = U {X i : i е to }, где каждое множество X i замкнуто в X, и Y e u(X_i) для любого i eto. Тогда Y e un(X).

Доказательство . Так как пространство X первой категории, то без ограничения общности можно дополнительно считать, что каждое X i нигде не плотно в X . Так как Y - пространство первой категории, то Y = U { Y j : j ею }, где каждое Y j е H ₀( Y ).

Зафиксируем открыто-замкнутое множество W c Y . Так как множество Y ₀ нигде не плотно в W , то существует такое непустое открыто-замкнутое множество D ₀ с W , что D ₀ и Y 0 = 0 и W \ D ₀ Ф 0 . Пусть Z 0 = { D ₀ }. Положим Т ₀ = X ₀. Так как W е un ( X i ) для любого i ею , то существует гомеоморфизм f ₀: Т ) ^ Z ₀ для некоторого множества Z ₀ е H ₀( D ₀). Построим изоморфные системы остаточных множеств U ₀ и Р ₀ в пространствах X и D ₀ соответственно, согласованные с f 0 и связанные биекцией у ₀ : U ₀ ^ Р ₀ , причем U U ₀ = X \ T₀ и U P 0 = D ₀ \ Z ₀ • Так как Y 1 нигде не плотно в Y , то для каждого U е U₀ можно найти такое непустое открыто-замкнутое множество D U о y ₀(U ), что D U П Y 1 = 0 и множество y ₀ ( U ) \ D U не пусто. Обозначим D U = y ₀(U ). Тогда для семейства П 1 = { D U : U е U ₀ } определена биекция ф ₀ : U ₀ ^ Р 1 . Очевидно, что y ₀(U ) с y ₀ ( U ) для любого U е U ₀ . По построению, замыкание cl( U ^ 1 ) = Z з n ( U ^ 1 ) и Z ₀ и ( U ^ 1 )= 0 .

Зафиксируем U е Ц ₀ . Найдем наименьшее число j такое, что пересечение X U = X j П U не пусто. Так как ф₀ф ) е un ( X j ), то существует гомеоморфизм f 1U : X U ^ Z U для некоторого множества Z U е H₀( ф ₀(U )) . Возьмем изоморфные системы остаточных множеств H_XU и V 1U в пространствах X и ф ₀(U ) соответственно, согласованные с f 1 U и связанные биекцией ^ 1 U : Ц щ ^ V 1 U , причем U Ц _{1 U} = U \ X U и U V U = ф ₀(и ) \ Z U . Без ограничения общности можно считать, что mesh( U1U ) <  2 ¹ и mesh( V 1U ) < 2" ¹. Определим множества Т 1 = Т ₀ U ( U { X U : U е ^ ₀ }) и Z 1 = Z ₀ U ( U { Z U : U е Ц ₀ }). По построению X 1 с T 1 , Т 1 е H ₀( X ) и Z 1 е H ₀( W ). Зададим отображение f 1 : T 1 ^ Z । по правилу: f 1 ( x ) = f ) ( x ), если x е T ₀, и f 1 ( x ) = f 1 U ( x ), если x е X U . Используя лемму 1, несложно проверить, что f 1 - гомеоморфизм. Положим Ц ₁ = { U * : U * е U1 U , U е Ц ₀ } и V 1 ={ V * : V * е V 1U , U е Ц ₀ }. Определим биекцию ^ : Ц ^ V 1 по правилу ^( U * ) = ^ U ( U * ), если U * е U_XU . Затем зафиксируем U е Ц . Внутри множества у ₁( U) найдем множество D U = ф ₁(U ), не пересекающееся с Y ₂, и повторим указанную выше процедуру. В результате, по индукции мы построим множества Т_п е H ₀( X ) и Z_n е H ₀( W ); семейства Ц _n и V _п , состоящие из непересекающихся открыто-замкнутых множеств в пространствах X и W соответственно; семейство Р _п , состоящее из непустых открыто-замкнутых подмножеств W ; биекции ф _п : Ц _п ^ Р _{п + 1} ; биекции ^ _п : Ц _п ^ V _n и гомеоморфизмы f _n : T _n ^ Z _n , удовлетворяющие при любом п е to следующим соотношениям:

al) Т0 = X0, Xn +1 n Tn с Tn+1 и UЦп = X \ Тп , а2) для любого U е Цп+1 существует единственное множество U* е Цп, для которого U с U*, a3) UPn+1 с UVn , причем фп (U) с ^п (U) и ^п (U)\ фп (U) *0 для любого U е Цп, a4) (Zn+1 \ Zn) с UVn и UVn = UPn \ Zn , a5) замыкание cl(UPn+1) = (UPn+1) UZn , причем (UPn+1) ПZn =0 , a6) (UPn ) ^ (n{ Y: i < n}) = 0, a7) mesh(Цп)< (n +1)-1 и mesh(Vn)< (n +1)-1, aS) fn+1(U П Tn+1) = Фп (U) П Zn+1 для любого U е Цn,

• a9)    сужение f_{n +1} на T_n совпадает с f_n .

Из а 1 следует, что X = U { Т_п : п ею }. Положим Z * = U { Z_n : п ею }. Определим отображение f : X ^ Z * по правилу: f ( x ) = f _n ( x ), если x е T_n . Из а 9 вытекает корректность этого определения. 0сно, что f - биекция. Из леммы 1 вытекает, что f - гомеоморфизм.

Проверим, что Z - замкнутое множество в Y . Допустим, что существует точка у е cl( Z )\ Z . Тогда у е Y_n для некоторого п . Из а 4 и а 3 следует, что U P m с U P _n для любого m >  п . Значит, множество A_n = n { Z_m : m > n } с U P _n . Но cl( A_n ) с ( U P _n ) U Z _n - 1 согласно а 5. Учитывая, что cl( Z * ) = cl( A_n ) n Z_{n -1}, заключаем, что у е cl( A_n ) n Z_{n -1}. Так как у ^ Z *, то у ^ Z_{n -1}. Поэтому у е U P _n . С другой стороны, у ^ U P _n согласно а 6. Получили противоречие. Итак, cl( Z *) = Z * .

Остается проверить, что множество Z * нигде не плотно в Y . Возьмем произвольное открытое множество О из Y и точку у е О и Z * . Тогда О содержит окрестность V * точки у радиуса j ^1 для некоторого j . По построению каждое множество Z_n нигде не плотно в Z . Тогда множество индексов { п : Z_n и V * * 0 } бесконечно. Поэтому найдется такое m >  j , что Z_m и V * * 0 . Пусть z е Z_m и V * . Из свойств s 2, s 3 и s 4 системы остаточных множеств вытекает, что найдется множество V е V _m , лежащее в окрестности точки z радиуса ( m +1)^-1. Тогда V с V * с О , ведь m >  j . Пусть V = y _m ( U ) для некоторого U е Ц m . Из а 3 следует, что множество V (следовательно, и О ) содержит непустое открытое подмножество y _m (U )\ ф_{1 п} (U ), которое не пересекается с Z * . Поэтому Z * нигде не плотно в Y . Таким образом, W е un ( X ). Следовательно, Y е un ( X ).

Следствие 3 . Пусть X и Y - пространства первой категории, причем Y e u(X). Тогда Y e un(X).

Лемма 4 . Пусть Y e u(X) и Y - пространство первой категории. Тогда Y e un(X).

Доказательство . Если X - пространство первой категории, то применяем следствие 3.

Пусть X не является пространством первой категории. Положим X = n { U : U - открытое множество в X первой категории}. По теореме Банаха X - пространство первой категории. Тогда замкнутое в X множество X ⁰ = X \ X * нигде не локально первой категории. При этом B = X ⁰ П cl( X * ) - замкнутое нигде не плотное множество в X ; допускается случай В = 0 .

Возьмем W sS ( Y ). По условию леммы существует гомеоморфизм f : X ^ Z для некоторого замкнутого множества Z с W . Так как X нигде не локально первой категории, то f ( X ) е H ₀( W ).

Первый случай. Пусть В = 0 . Тогда f(X * ) и f ( X ⁰) - непересекающиеся замкнутые множества в W . Любое метрическое пространство нормально, поэтому у множеств f(X * ) и f ( X ⁰) в W существуют непересекающиеся открыто-замкнутые окрестности W * и W соответственно. Так как Y е u ( X ), то Y е u ( X ). Следовательно, по следствию 3 найдется множество Z * е H ₀( W * ), которое гомеоморф-но X * Тогда Z * U f ( X ⁰) ~ X и Z * U f ( X ⁰) е H ₀ ( W ). В этом случае все доказано.

Второй случай. Пусть В ^ 0 . Так как В е H ₀( X * ), то можно построить изоморфные системы остаточных множеств U и У в пространствах X и W соответственно, согласованные с f и связанные биекцией у : U ^ У , причем U U = X * \ B и и У = W \ f ( B ). Для любого U е U множество U и X * первой категории, поэтому по следствию 3 множество y ( U И X * ) содержит замкнутое нигде не плотное множество W U , которое гомеоморфно U И X * ; пусть f U : U И X * ^ W U - некоторый гомеоморфизм. Так как f(X ) е H ₀( W ), то без ограничения общности можно считать, что множества W U и f ( X ) не пересекаются. Определим отображение g : X ^ W по правилу g ( x ) = f ( x ), если x е X , или g ( x ) = f U ( x ), если x е U для некоторого U е U . Несложно проверить, что g -биекция. Множества X * и X замкнуты в X , сужения g на X * и X - гомеоморфизмы, причем по построению g ( X * И X ⁰) = g ( X * ) И g ( X ⁰) = f ( B ), поэтому g - гомеоморфизм. По построению g ( X ) е H ₀( W ). Второй случай разобран.

Лемма 5 . Пусть X - пространство первой категории и Y e u(X). Тогда Y e un(X).

Доказательство . Если Y - пространство первой категории, то применяем следствие 3.

Пусть Y не является пространством первой категории. Как в доказательстве леммы 4, представим пространство Y в виде Y = Y * n У, где Y * - наибольшее открытое множество первой категории в Y , а У - замкнутое множество, которое нигде не локально первой категории. Возьмем произвольное открыто-замкнутое множество W с Y . Если W и Y не пусто, то W и Y е un ( X ) по следствию 3. Если W и Y * = 0 , то intУ + 0 и по условию леммы пересечение W u (intУ) содержит замкнутую копию Z пространства X . Так как Y ⁰ нигде не локально первой категории, то Z нигде не плотно в Y ⁰ (следовательно, нигде не плотно в Y) . В любом случае Y е un ( X ).

Лемма 6 . Пусть X - пространство первой категории и Y eo LF(X). Тогда Y eo LH(X).

Доказательство . Рассмотрим сначала случай Y е F ( X ). То есть Y гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству D из пространства X . По определению пространства первой категории X = U { Xj : i е 69}, где каждое X i - замкнутое нигде не плотное подмножество X . Тогда каждое множество D И X i е H ₀ ( X ). Следовательно, Y является счетным объединением замкнутых подмножеств, каждое из которых принадлежит семейству H ( X ).

Рассмотрим общий случай Yе oLF(X). По определению Y = U{ Yn : n е 9}, где каждое множество Yn замкнуто в Y и каждое Yn е oLF (X). Так как IndY = 0, то IndYn = 0 для любого nе ю. Тогда Yn ~ ©{Yn,а : ае An}, где каждое множество Yn,а е F(X). По первой части доказательства леммы каждое множество Y„ „ имеет вид Y„ = и U{Y„ „ =: ае A, j е 9}, где любое Yn „ е H(X). Мно-n,а                        n,а           n,а, j            n                                      n,а, j жества Yn*,j = U{ Yn,а, j: а е An} замкнуты в Y и принадлежат семейству LH(X). Итак, Y = U{ Yn j: n е to, j е 9} е oLH(X).

Теорема 7 . Пусть Z eo LF(X) и Y e u(X) для пространства X., причем w(Z) <  k, Y - пространство первой категории и Y нигде не локально веса < k. Тогда Y e un(Z).

Доказательство. По определению Z = U { Z n : n ею ), где каждое множество Z n замкнуто в Z и Z n ∈ LF ( X ). Более того, так как Ind Z = 0, то каждое Z n = ⊕ { Z n, α : α∈ A n }, где Z n, α ∈ F ( X ) и мощность | A_n | ≤ k для любого n ∈ω . Возьмем п^оизвольное непустое отк^ыто-замкнутое множество W ⊂ Y . Так как Y нигде не локально веса <  k , то для любого n ∈ω существует диск^етное пок^ытие { W α : α∈ A_n } множества W непустыми отк^ыто-замкнутыми множествами. Согласно лемме 4, Y ∈ un ( X ). Тогда каждое W α ∈ un ( Z n, α ). Следовательно, W ∈ un ( Z n ) для любого n ∈ω .

Рассмот^им вспомогательное п^ост^анство Q × Z пе^вой катего^ии, где Q – п^ост^анство ^а-циональных чисел. Как известно, Q является объединением счетного числа точек { q m : m ∈ω }. Очевидно, что всегда { q m } × Z n ≈ Z n . Следовательно, W ∈ un ({ q m } × Z n ) для любых m ∈ω и n ∈ω . По тео^еме 2 получаем, что W ∈ un ( Q × Z ). Так как Z ∈ F ( Q × Z ), то W ∈ un ( Z ).

Множество W еЗ ( Y) было выбрано произвольно, поэтому Y е un ( Z) .

Следствие 8 . Пусть пространство первой категории Y нигде не локально веса < k и Y e u(X) для некоторого пространства X. Тогда Y e un(h(X, k)).

Доказательство. Как указано во введении, h -однородное расширение h ( X, k ) веса k пространства X принадлежит семейству o LF ( X ). Остается применить теорему 7.

Следующая тео^ема является основным ^езультатом статьи.

Теорема 9 . Пусть дано однородное по весу пространство Y первой категории, w(Y) = k, Y eo LF(X) и Y e u(X) для некоторого пространства X. Тогда Yгомеоморфно пространству h(X,k).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что w ( X) <  k.

По следствию 8, Y ∈ un ( h ( X, k )). С д^угой сто^оны, из условий h ( X, k ) ∈ u ( X ) и Y ∈ σ LF ( X ) вытекает, что Y ∈ σ LF ( h ( X, k )). Тогда h ( X, k ) ∈ un ( Y ) по тео^еме 7. Значит, Y является u -одно^одным п^ост^анством, т.е. Y ∈ u ( Y ). По тео^еме Ост^овского [3] Y будет h -одно^одным п^ост^анством. Тогда Y = h ( X, k ) по теореме 8 из [3] (или по теореме 4 из [2]).