Некоторые заметки о квадратичных формах и линейной модели обмена

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 512.6:519.61                                  

В настоящее время умение применять теоретические знания при решении практических задач становится решающим фактором для изучения любой дисциплины. В частности, исходя из многолетнего опыта преподавания бизнес математики в экономическом вузе, авторам представляется необходимым продемонстрировать решение некоторых экономических задач при помощи математического аппарата [1, 2].

Если мы не сможем улучшить математическое образование, учитывая потребности современного мира и студентов, мы находимся в опасности превращения математики во все более «мертвый язык» и отчуждения групп студентов, математический потенциал которых останется неразвитым [3, 4].

Во многих случаях инвестиционных проектов производства вклады возвращаются одинаковым потоком платежей или другим видом выплат. Его называют «аннуитетом». [5].

Квадратичные формы являются специальными матричными функциями, используемыми для нахождения максимумов и минимумов функций многих переменных.

При оценке параметров многих эконометрических моделей минимизация определенных квадратичных форм дает возможность получения вида решения.

Здесь a ij называются коэффициентами квадратичной формы. Они являются действительными числами, удовлетворяющими условиям a ij = a ji . Составленная из этих коэффициентов матрица A = (a ij ) (I, j = 1, 2, K, n) называется матрицей квадратичной формы, согласно условию a ij = a ji такие матрицы можно выразить в виде симметричных матриц:

f ( X ) = X‘ A X                                           (1)

здесь X = (x1, x2, K, xn) — состоит из матрицы-столбца. Пусть C =(cij)(I, j =1, 2, K, n) n – невырожденная матрица n-го порядка, X = (x1, x2, K, xn) и Y = (y1, y2, K, yn) связаны равенством X = CY.

Тогда из равенства (1) получим f = ^X AX = ⁽ CY ) A ^{( cy} ) = ⁽ YC ) A ⁽ C ^Y ) = Y ⁽ C AC ) ^Y = YAY

Значит, при невырожденном линейном преобразовании X = CY соответствующая квадратичной форме

f

матрица будет следующей:

A* = CAC

.

Если a ij

0 для всех i ^ ^j

т.е. матрица квадратичной формы

n f = ax, + a^x2 + — + a„ x „ = > ax.

11  1        22  2               n n n             ii i i=1

nn f=EE a4xixj имеет диагональный вид, то     i=1 j=1       называется

каноническим видом квадратичной формы.

Пример.

Приведем

квадратичную

F ( X ., x ,, x .) = x ² + x² + 3 x 2 ² - 6 xx + 2 xx - 2 xx

1  2  3    1    2     5     1 2     1 3     2 3 к каноническому виду.

A = - 3

Соответствующая квадратичной форме матрица имеет вид:    ^к

- 3

- 1

форму

1 ²

⁵ 7

Найдем собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

1 - Л  - 31

-3   1 - Л-

= 0. - Л ³ + 7 Л ² - 36 = 0.

Л = - 2, Л ₂ = 3, Л = 6.

1      -15

Найдем собственные векторы.

2  3

^{- 3}

а) для ^Л 1 =- ² I ¹

- 3

-1

■¹И " 1

^{- 1}     - ^X 2

⁷ 7 I x 3 )

0 к 0 7

или

3 X j - 3 x ₂ + x₃ = 0

* — 3 X 1 + 3 x 2 — X 3 — 0

X j - x ₂ + 7 x₃ = 0

или

3 X j - 3 x ₂ + x₃ = 0

X [ - x ₂ + 7 x₃ = 0

e 1 = ¹

Одно из нетривиальных решений этой системы

e =

b) для ^Л 2 =3 из соображений пункта a), получим

.

f 1 1

e = ^{- 1}

c) для ^ 3 =6 тоже из соображений пункта a), получим

_                                X, + X n + X-, = 1

Учитывая выполнение условия 1    2   3    для нормальных векторов, умножив el =

вектор

X + % 2 + X 3

на

e ₁

e ₂

получим остальные векторы:

Так как собственные

2 , получим нормальный вектор

f— 1 1

¹   , e 3

³ = Л

- 1

.

e,e ,e векторы 1,2 ,3

попарно f 1

—

C =

^e 1 ^e 2   ^e 1 ^e 3   ^e 2 e ^{3  0}, матрица C имеет следующий вид:

После ортогональной замены переменных X = CY F (Ji, У?, Уз) = 3 у2 + 6 у2’ — 2 у.2 придет к следующему виду:    1 , 2 , 3     1     2     3 , x x xx x 2xx у = — = + = + = , у2 = = — = +    , у3 =   +-А

1  3332666322

здесь

f l 1 1

^ 0 ^ . Точно также,

ортогональны,

т.е.

,заданная квадратичная форма

x

x ₁ и наоборот,

y ₁     y ₂     y 3 y ₁

++ , Х_? =

y2    y3y12

I             , Х-^I

6    23     36

Определение.

Если для всех

X ^

0 q ( x ) = X T Ax >  0

, то квадратичная форма

q (x )

и

матрица A называются положительно определенными.

q(x) = X T Ax >  0

Если для всех ^x ^ ⁰

то квадратичная форма

q (x)

и

матрица A

называются полуположительно определенными.

Если для всех ^x ^ ⁰

q ( x ) = x^T Ax <  0

то квадратичная

форма ^{q ( x} )

и

матрица A

называются отрицательно определенными.

Если для всех ^x ^ ⁰

q ( x ) = x ^T Ax <  0

то

квадратичная

форма q ^{( X} )

и

матрица A

называются полуотрицательно определенными.

Если для некоторых x квадратичная форма положительно определена, а для других x отрицательно определена, то матрица А называется неопределенной (несобственной).

Теорема. Для положительной определенности собственных значений матрицы А необходима и достаточна положительная определенность действительной симметричной матрицы A.

Для полуположительной определенности действительной симметричной матрицы A необходимо и достаточно равенство нулю или положительность собственных значений матрицы.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 11. №5 2025

Для отрицательной определенности собственных значений матрицы необходима и достаточна отрицательная определенность действительной симметричной матрицы.

Для полуотрицательной определенности действительной симметричной матрицы A необходимо и достаточно равенство нулю или отрицательность собственных значений матрицы.

Теорема. Произвольную квадратичную форму можно при помощи несобственного линейного преобразования привести к каноническому виду.

Канонический вид квадратичной формы не единственен в смысле коэффициентов. Однако имеет место следующая теорема.

Теорема. (закон инерции для квадратичных форм). Число положительных и отрицательных членов всех канонических представлений квадратичной формы одинаково.

'

Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы f необходима и достаточна положительность главных миноров матрицы A , т.е.

	a 11	« 12 ”	a 1 i
A i —	a 21		a 2 i
	ai 1	ai 2	aii

> 0, i = 1,2, -, n

А для отрицательной определенности квадратичной форма необходимо и достаточно

( - 1)% >  0, i — 1, 2,, n выпол н е н и е у с л о в и я        ⁱ

.

Теорема. Для положительной определенности матрицы A необходима и достаточна положительная определенность главных миноров матрицы А.

Главные миноры матрицы A состоят из следующих детерминантов матрицы:

a

A =

A , — a_n, Пример.

A =

a

a

« ,2 1 a 22 J

A 3 — ^,

a 21

I a 31

a ₁₂

a ₂₂

a ₃₂

a ³

^{a 23}

« 33 J

,

Проверьте положительную

или отрицательную определенность матрицы

.

Решение.

Д — 1 X₇ — 1   ^ — 3

Поскольку собственные значения заданной матрицы ¹    ,   ²     и ³     ,

согласно теореме выше квадратичная форма положительно определена.

Можно записать следующее:

q ( x ) = ( x i   x 2

x1

x ₃) 0  3  0   x₂

— X j + 3 X 2 + X 3

x

.

Для произвольных значений x ¹, x ² , x ³ qx положительна. Основные миноры тоже положительно определены. В итоге заданная матрица тоже положительно определена.

A =

Пример. Проверьте положительную или отрицательную определенность матрицы f- 1  0 A

0   - 1

.

Решение. Собственное значение матрицы ^ =  1 двукратно. Согласно теореме выше квадратичная форма отрицательно определена, и записывается следующим образом:

q ( ^X ) = ( ^X 1   ^X 2 )

- 1   0

0   - 1

^X 1

2      2

— X^ — X ₂ .

Знак перед переменным вектором x отрицателен.

S , S. , * , S.. n

Линейная модель обмена. Пусть °и 2, , n - п государств, их соответствующий национальный доход равен X1, X2,"’, Xn . Пусть aiJ

—

доля национального дохода

SS государства ^j , потраченного на покупку товаров у государства ⁱ . Будем считать, что весь национальный доход тратится на приобретение товаров внутри и за пределами страны, т.е.

n

Z a y = ¹ J = ^1,2,••■^{, n} должно иметь место равенство i = 1

.

a 11 a 12 . . . ^a 1 n

A =

a 21 a 22 * a 2 n

Рассмотрим следующую матрицу     ^к a n ¹

Она

называется структурной матрицей

a n 2 * * * a nn J

, торговли. Доход произвольной страны

S_t ( i = 1, n )

^Pi = ^ai 1 ^X 1

от внутренней

+ a i 2 ^X 2 + - + a in x n

и внешней

торговли определяется равенством

. Для равновесия торговли страны необходима ее

неубыточность, т.е. доход от торговли каждой страны должен быть не меньше ее

P > X,, i = 1, n национального дохода. Т.е. i i

P >  Xi

Предположим ^{i    i} , тогда получим следующее:

n

n

отсюда следует ‘= 1

Z P i > Z x i

n

nn

i = 1      , т.е. i = 1

Z P = ZZ a ik X k

i = 1 k = 1

n

Pi = Z a_ikX_k >  X_t ,   i = 1, n

k = 1

nn

= ZZ k = 1 к i = 1

a ik

J

n

n

X, = Z x< > У х, kki

k = 1

k = 1

, а это

P >  X/

_          ~     Pi = X имеет место равенство i    i . С

противоречие. Значит, вместо неравенства i    i экономической точки зрения это понятно, поскольку все государства не могут получать прибыль одновременно.

т.е.

X =

' x'

X ₂

Если ввести вектор n

к ^x n J

P = Xi национального дохода государств, то из равенств ^{i    i} ,

Z aikXk = Xi, i = 1 n                                          _ k=1                  получим следующее уравнение: AX = X , т.е. рассматриваемая

задача сводится к задаче нахождения соответствующего собственному значению ^ = ¹ матрицы A собственного вектора.

Пример. Если структурная матрица торговли четырех государств

к x + x + x + xA = 6270

сумма бюджетов 1   2   3   4

A =

0,2	0,3	0,2	0,2 1
0,4	0,3	0,1	0,2
0,3	0,3	0,5	0,2
0,1	0,1	0,2	0,4 ,

(условных денежных единиц), найти бюджет

каждого государства.

Сначала нужно найти соответствующий собственному значению ^ = 1 заданной структурной матрицы собственный вектор, т.е. решить уравнение (A E)x  0

.

P 0,8 0,3 0,2 0,2 Y x1 1 ( 01 0,4 - 0,7 0,1 0,2   x 2 0 0,3 0,3 - 0,5 0,2   x3 = 0 к 0,1 0,1 0,2 - 0,61 x 4j к 0 J равен трем, одно из

Поскольку ранг этой системы

.

неизвестных

–

произвольная

переменная и остальные выражаются через эту произвольную переменную. Решив систему методом Гаусса, найдем компоненты собственного вектора х x =---c,

1   121

x. = c ,

2   121  ,

Подставив найденное значение в заданную

x₃ =     c , x. = c .

3    ₁₁   ^,     4

сумму бюджетов, найдем величину с :

c =1210, отсюда найдем искомую величину бюджетов стран при бездефицитной торговле. x = 1400, x ₂ = 1460, x ₃ = 2200, x ₄ = 1210 .

Пример. Рассмотрим торговлю трех стран с бюджетом X1, X2, X3. Будем считать, что весь государственный бюджет тратится на покупку товара внутри страны или импорт из других стран. Скажем, пусть первая страна половину своего бюджета тратит на обмен товарами внутри страны, 1/4 часть — на покупку сырья у второго государства и оставшуюся 1/4 часть – на покупку сырья у третьего государства. Второе государство распределяет свой бюджет поровну на внутренний товар, на покупку сырья у первого и третьего государств. Третье государство на 1/2 бюджета покупает товар у первого государства, на остальную 1/2 часть — у второго государства, не обменивается товаром внутри страны. Найдем собственный вектор Х этой модели международной матрицу этой международной торговли.

торговли. Запишем структурную

A =

к

I	II	III
1	1	1 1
2	3	2
1	1	1
4	3	2
1	1
		0
4	3	J

Здесь a‘j  j доля государственного бюджета государства j на покупку продукции i - государства. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.

i — государство после годовой торговли обладает следующим доходом:

P i = a 1 x + a i 2 x 2

+ ^ai 3 ^x 3

Например, для первого государства доход будет следующим:

P = ¹ X . + ¹ X , + ¹ X.

Для сбалансированной торговли необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждого государства, т.е. для всех i 1, 2, 3 надо, чтобы Pi  X1

X = x₂

В матричном виде это равенство выражается как AX = X , здесь

Значит, для рассматриваемого случая система уравнений, определяющих X , имеет вид

1      1 ^

—

Ч 4

- 1

У

' x ^{1 Л}

• X 2

ч ^x 3 J

= 0

^X 1 = ² X 3

Xi = Xi

2    23

Общее решение этой системы имеет вид

X = x^T = ( 4; 3; 2 )

Поэтому за собственный вектор можно взять вектор

В частности, это означает, что для сбалансированности торговли участвующих государств, их государственные бюджеты должны быть связаны соотношением типа x1: x2: x3 = 4: 3: 2.