Нелинейные обратные задачи с интегральным переопределением для некоторых нестационарных дифференциальных уравнений высокого порядка

Коэффициентные обратные задачи для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений второго порядка к настоящему времени достаточно хорошо изучены. Существенный вклад в исследование разрешимости таких задач внесли М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, Ю.Е. Аниконов, А.И. Прилепко, А. Лоренци, С.И. Кабанихин, А.М. Денисов, М. Ямамото, В. Исаков, М. Клибанов, Дж. Кэннон, Б.А. Бубнов, Н.Я. Безнощенко, Д.Г. Орловский, Н. Иванчов (достаточно полную библиографию работ, связанных с исследованием разрешимости коэффициентных обратных задач, можно найти в монографиях [1-11]). Менее изученными на сегодняшний день представляются коэффициентные обратные задачи для нестационарных дифференциальных уравнений высокого порядка - в частности, для псевдогиперболических уравнений высокого порядка. Частично восполнить данный пробел и должна настоящая работа.

Прежде чем переходить к содержательной части работы, сделаем три замечания. Прежде всего заметим, что необходимая в обратных задачах дополнительная информация (условия переопределения) задается в настоящей работе как информация о значении некоторых интегралов от решения по пространственной области. Уточним, что интерес авторов к обратным задачам с подобной дополнительной информацией объясняется не только интересом к решению новых математических задач, но и тем, что близкие задачи возникают в математическом моделировании - см., например, работы [9, 12-14]. Следующее замечание: как близкие к настоящей работе по используемой технике и по постановкам задач отметим статьи [15-20]. И наконец, заметим, что обратные задачи для дифференциальных уравнений часто возникают в математическом моделировании при описании тех или иных физических химических и т.п. процессов, протекающих в средах с заранее неизвестными характеристиками.

1.    Постановка задач

Пусть Q есть ограниченная область пространства R n с гладкой (бесконечнодифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр Q х (0 , T ) конечной высоты T, S = Г х (0 ,Т ) есть боковая граница Q. Далее, пусть f ( x,t ). N ( x ). ц ( t ). u ₀( x ) 11 u 1(x ) -заданные функции, определенные при x Е Q, t E [0 ,T ], a есть заданное положительное число.

Обратная задача I: найти функции u ( x,t ) и q ( t ), связанные в цилиндре Q уравнением

Utt - a Aut + A2 u + q (t) u = f (x,t),(1)

при выполнении для функции u ( x,t ) условий

u(x,t) = Au(x,t) = 0 при (x,t) E S;(2)

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u 1(x) njm x E Q;(3)

IN(x)u(x,t)dx = ,(t) ,„ni t E (0,T).(4)

Ω

Обратная задача II: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в цилиндре Q уравнением utt - a A ut + A2 u + q (t) ut = f (x,t),(5)

при выполнении для функции u ( x,t ) условий (2) - (4)'

В изучаемых обратных задачах I и II условие (4) представляет собой условие интегрального переопределения. В случае a = 2 уравнения (1) и (5) можно записать в виде

(dt - A) u + q(t)u = f (x,t),   (d^t - A) u + q(t)ut = f (x,t), то есть в виде уравнений, старшая часть которых есть итерированный оператор теплопроводности.

2.    Разрешимость обратной задачи I

Известно, что для любой функции v ( x ) такой, что v ( x ) Е W 4 (Q), v ( x ) = A v ( x ) = 0 при x E Г, выполняются неравенства

У v ²( x ) dx < C о ^ У v ² i ( x ) dx < C 1 У [A v ( x )]² dx, _Ω                  i =1 _{Ω                 Ω}

А.И. Кожанов, Л.А. Телешова

У [A v ( x )] 2 dx < C 0

Ω

n £/ i =1 _Ω

[A v x i ( x )] 2 dx < C i

J ^[A 2 v ( x )i² dx,

Ω

постоянные C 0 и C 1 в которых определиются лишь областью fi [21].

Далее, пусть w ( x,t ) есть функция i:з пространства L. (0 ,T ; W 3 (Q)) такая, что w ( x,t ) G L. (0 ,T ; W ^fi))- w_t ( x,t ) G L. (0 ,T ; W 21 (Q)). Определиi функцию ф ( t,w ):

ф ( t,w ) = д1Д { ^ / N x i ( x )A W x i ( x,t ) dx - a ^ / N x i ( ^x ) W x^ ( ^x, t ) dx^'

Введем еще некоторые обозначения. Именно, положим

F(t) = /N(x)f(x,t) dx, Р(t) = 7Д)[F(t) - д"(t)], Ω a 1 = Ci + 1, в 1 = (a+1)( T.1+1) N1,

Y1 = E f u 1 xi (x) dx + E f[Au0Xi (x)]2 dx + a / f2 dxdt, i=1 Ω               i=1 Ω                     Q д0 = min и (t), 0≤t≤T

N = max    [ N 2 ( x ) dx ) .

¹      i =1 ,...,n _Ω ^{x i}

Теорема 1. Пусть выполняются условия

N ( x ) G C 1 (Й) , д ( t ) G C ²[0 ,T ] , u o ( x ) G W 3 (fi), u 1 ( x ) G W 22 (fi) , f ( x,t ) G L 2 ( Q );

a >  0 ,   д ₀ >  0;

N ( x )=0 n]ru x G Г;

u ₀( x ) = A u ₀( x ) = u 1 ( x ) = A u 1 ( x ) = 0 n]ru x G Г; У N ( x ) u ₀( x ) dx = д (0) , У N ( x ) u 1 ( x ) dx = д’ (0);

Ω

Ω

T t

β 1 ^√ γ 1 ^.

-α21 ∫ |p(τ)|dτ e 0 dt <

Тогда обратная задача I имеет решение {u ( x,t ) ,q ( t ) } такое, что u ( x,t ) G W4’ ²( Q ) П I.. (0 ,T ; W 2 ³(fi)). ut ( x,t ) G L 2 (0 ,T ; W 22 (Q)) П L. (0 ,T ; W ^fi)). q ( t ) G L 2 ([0 ,T ]).

Доказательство. Воспользуемся методом срезок и методом неподвижной точки.

Пусть M есть положительное число. Определим функцию G M ( £ ). £ G R:

£   при |£ | < M,

GM ( £ ) =    м ^пР^и £ > м,

I —M пр и £ < M.

Обозначим для краткости через V следующее пространство

V = {v(x, t) : v(x, t) G W^’2(Q) П L.(0, T; W3(fi)), Vt(x,t) G L2(0,T; W22(fi)) n L.(0,T; W1(fi)), vtt(x,t) G L2(Q)} с нормой

^Hv^Hv — (INI TV 4, ² ( Q ) ^{+ H}v^H L ^ (0 ,T ; W ₂3 (Q)) ⁺ IIM L 2 (0 ,T ; W ₂3 (Q)) ⁺ Hv t H L ^ (0 ,T ; W ^(Q)) ⁺ ll v tt l l L 2 ( Q ) ) ^.

Очевидно, что пространство V есть банахово пространство.

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу: найти функцию u(x,t) являющуюся в цилиндре Q решением уравнения utt - аДut + Д2u + [p(t) + Gm(ф(t, u))] u — f (x, t)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Разрешимость этой задачи нетрудно установить с помощью метода неподвижной точки.

Пусть v(x,t) есть функция из пространства V. Рассмотрим задачу: найти функцию u(x,t) являющуюся в цилиндре Q решением уравнения utt - аДut + Д2u + [p(t) + Gm(ф(t, v))] u — f (x, t)

(8 v )

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Эта задача является естественной начально-краевой задачей для линейного уравнения (8 _v ), разрешимость ее в пространстве V известна - см., например, [22]. Следовательно, краевая задача (8 _v ), (2), (3) порождает оператор A, переводящий пространство V в себя: A ( v ) — u.

Для решений u(x,t) краевой задачи (8v), (2), (3) имеет место априорная оценка llullv Д R0

с постоянной R ₀, определяющейся лишь функциями f ( x,t ), u ₀( x ), u i ( x ), ц ( t ), N ( x ), числами a, T, M и областью П Доказательство этой оценки нетрудно провести, анализируя равенства

TT

• — ф ф {u_TT — а Д u_T + Д² u + [ p ( т ) + G M ( ф ( т, v ))] u} Д u_T dxdT — — f ф f ( x, т )Д u_T dx dr,

TT ф ф {uTT — аДuT + Д2u + [p(r) + GM(ф(т, v))]u} Д2u dxdr — f ф f (x, т)Д2u dx dr,

TT ф ф {uTT — аДuT + Д2u + [p(т) + GM(ф(т, v))]u} uTT dxdт — f ф f (x, т)uTT dx dт.

Обозначим через B r 1 замкнутый шар радиуса R 1 пространства V. Из оценки (9) следует, что оператор A в случае R 1 > R ₀ переводпт шар B R 1 в себя. Далее, пз той же оценки (9) следует, что оператор A будет вполне непрерывным.

Докажем, что оператор A вполне непрерывен на шаре Br 1. Пусть {vm(x,t)}“=1 есть последовательность функций из шара Br 1, сходящаяся в пространстве V к функции v (x,t). Далее, пусть um (x,t), m — 1, 2,..., u (x,t) есть образы функций vm(x,t). m — 1, 2,.... v(x,t) соответственно при действии оператора A. Обозначим vm(x,t) — vm(x,t) — v(x,t), um(x,t) — um(x,t) — u(x,t). Имеем следующие соотношения umtt — аДumt + Д2um + [p(t) + Gm (ф(t, vm))] um —

— [Gm(ф(t,v)) — Gm(ф(t,vm))] um щш (x,t) G Q, um(x,t) — Дum (x,t) — 0 при (x,t) G S, um (x, 0) — umt(x, 0) — 0 n]ru x G П.

А.И. Кожанов, Л.А. Телешова

Используя технику доказательства оценки (9) и используя также липшицевость функции GM ( £ ), нетрудно получить неравенство

t

∥ u _m ∥ ² _V ≤ C

у 1^ ( Т, Vm ) 1 2 dT.

Из этого неравенства и из сходимости функций vm ( x,t ) в пространстве V к нулевой функции следует сходимость || um|v Д 0 пр и m Д то. Эта сходимость означает, что оператор A непрерывен в пространстве V.

Покажем, что оператор A компактен на шаре Br 1. Пусть {vm(x,t)}^=1 есть произвольная последовательность функций из шара Br 1, {um(x,t) }“=1 есть последовательность образов функций vm(x,t) при действии оператора A. Из ограниченности в пространстве V последовательности {vm (x,t) }“=1, из свойства рефлексивности гильбертова пространства и из теорем вложения [21] следует, что существуют подпоследовательность {vmk (x,t) }^1 исходной последовательности {vm(x,t) }^=1 и функция v(x,t) такие, что при k Д то имеют место сходимости vmk (x,t) Д v(x,t) слабо о пре>странстве W4’2(Q),

A vmk ( x,t ) Д A v ( x,t ) сально в прострапствах- L2 ( Q ) i1 L ₂( S ) , vmk ( x,t ) Д v_t ( x,t ) салыю в прострапствах L ₂( Q ) i.1 L ₂( S ) .

Заметим, что функцию ф ( t,v ) можно записать в виде

ф ^{( t,v )}

м ⁽ t И J

Ω

A N ( x ) vt ( x, t ) dx + a

^ A N ( x )A v ( x, t ) dx —

Ω

/

Γ

dN ( x ) ∂ν

vt ( x, t ) ds—

/ N) A v ( x,t ) ds[

Γ

Определим функцию u ( x,t ) как решение краевой задачи (8 _v ), (2), (3) с функцией ф ( t,v ). определенной указанным выше <образом - уточним, что функция u ( x,t ) корректно определена. Положим v_k ( x,t ) = vmk ( x,t ) — v ( x,t ), uk ( x,t ) = umk ( x,t ) — u ( x,t ). Повторяя теперь для последовательностей {v_k ( x,t ) }k =1 и {u_k ( x,t ) }k =1 доказательство непрерывности оператора A, получим, что имеет место сходимость |u_k | v Д 0 при к Д то. Эта сходимость и дает компактность оператора A.

Согласно теореме Шаудера [23], оператор A имеет в шаре B r 0 хотя бы одну неподвижную точку u ( x,t ). Эта неподвижная точка будет представлять собой решение краевой задачи (8), (2), (3). Покажем, что при выполнении условий теоремы можно выбрать (и зафиксировать) число M так, что будет выполняться равенство

G m ( ф ( t,u )) = ф ( t,u ) .

Рассмотрим равенство

T

УУ { u_TT — a A u_T + A² u + [ p ( т ) + GM ( ф ( т, u ))] u } A u_T dx dT =

0Ω

T

УУ f ( x, т )A u_T dx dT.

0Ω

Интегрируя по частям и используя условия (2) и (3), нетрудно от данного равенства перейти к следующему nnt

2 22 f uXit(x, t) dx + 2 E J[A uxi.(x, t)]2 dx + a J J (A uT)2 dx dT = i=1Q 1              i= 1Q0 Q ntnt

= - Е / j p(t)uXiuXiT dxdT - Е j J Gm(ф(т, u))uXiuXiT dx dT-(11)

i=1 0 Q                      i=10 Q tnn

— j j f A u_T dxdT + 2    j u 1 _Xi ( x ) dx + 2   J [A u 0 x i ( x )]² dx-

0 Q                   i=1 Q

Оценим правую часть (11). Положим

n y (t) = E / uit i=1 Q

n

( x,t ) dx + ^2 / [A u_Xi ( x,t )]² dx. i =1 _Q

Условия теоремы, неравенства (6) и (7), а также неравенство Юнга дают оценки n                           2n uY (x,T) dx < (a+1)N1 y2 (т’ ,

|Ф ^{( T,u} ) | <  N ^Е ( J^[A u X i ^{( x,T )]2 dx} ) + aN ^E J'

i =1 Q                               i =1 Q

/ J P ^{( T} ) ^Е u X i ^{( x} , ^T ) u X i T ^{( x} , ^T И 0 Q         i =1

dx dτ ≤

tn

< J |Р ^{( T} )И ^Е J ^{l u} X i ^{( x,T} ) ||

0           i =1 Q

u X i T ( x,T ) | dx^ dT <

tn    tn

< 2 J |p(т) |( EJ uXi(x,T) dx) dT + 2 J |p(t) |( EJ u"Гт(x,T)dx) dT < 0          i=1 Q                          0

ttt

< 2Ci J ip(T) |y(T)dT + 2 J ip(T) ly(T)dT = 2(Ci+ 1) J ip(T) |y(T)dT, 000

J' J' Gm(ф(T,u))( Е uXi(x,T)u^T(x,T)| dxdT 0 Q

≤

< J' |ф(T,u)l ( Е J luXi(x,T)lluXiT(x,T)| ) dxdT < 0

< (ДА J y1 /2(T) ( Е J uXi(x,T) dx}dT+ 0         \i=1Q/ tnt

+(Д А J y ¹ /² (.T ) (Е J u X , T ( x, T ) dxXdT <  i a ia c + N J y ³ / ²( T ) dT,

0            i=1 Q0

tt

J J f A u_T dxdT <  2 J J (A u_T )² dxdT + 2 a J f ² dx dt.

0 Q                   0 Q

Используя эти оценки, нетрудно от (11) перейти к неравенству

y ⁽ t ) <  ^а 1

t j P(т) y(т) dT + в 1 0

t

У y ³ / ²⁽ т ) dT + Y 1 . 0

Определим функцию z(t) как решение задачи Коши z (t) = а 1 p(t)z(t) + в 1 z2 (t), z(0) = Y1 -

А.И. Кожанов, Л.А. Телешова

Согласно обобщенной лемме Гронуолла (лемме Гронуолла - Бихари [24, 25]), на промежутке существования функции z(t) выполняется неравенство y(t) < z(t). Справедливы равенства tτ                            t

z ⁽ t )     ф ²( t ) ’

1       в1 [ - а1 /Р (s) I ds        а1 / |Р (т) I dT ф (t) = Ы1- i e 0 г 0

Из последнего условия теоремы вытекает, что существует положительное число m ₀ такое, что при t Е [0 ,Т ] выполняется ф ( t ) > m ₀ . Следовательно, функции z ( t ) и y ( t ) будут ограничены на отрезке [0 ,T ]: y ( t ) < z ( t ) < m^. Далее, имеем 1ф ( t,u ) | <  ⁽ a + mmN ¹ • Выберем теперь число M так, чтобы выполнялось неравенство

M≥

( a + 1) N 1 М о m о

Для такого числа M и будет выполняться равенство (10).

Итак, при указанном выше выборе числа M для решения u(x,t) краевой задачи (8), (2), (3) будет выполняться уравнение utt — a A ut + A2 u + [p (t) + ф (t, u)] u = f (x, t).

Определим функцию q ( t ):

q ⁽ t ) = P ⁽ t ^{) +} Ф ^{( t,u} ) •

Очевидно, что функции u ( x,t ) и q ( t ) связаны в цилиндре Q уравнением (1), и что для функций u ( x,t ) и q ( t ) выполняются требуемые включения.

Наконец, выполнение для решения u ( x,t ) краевой задачи (8), (2), (3) с числом M, удовлетворяющим неравенству (12), интегрального условия переопределения (4) показывается также, как показывается выполнение аналогичного условия в работах [1517, 19].

Изложенное выше и означает, что построенные функции u ( x,t ) и q ( t ) дают требуемое решение обратной задачи I.                                             □

Приведем еще один вариант теоремы о разрешимости обратной задачи I.

Определим пространство V 1:

V L = {v ( x,t ) : v ( x,t ) Е L. (0 ,T ; Ж 4(П)) ,

V t ( x,t ) Е L. (0 ,T ; ^ ³(П)) n L 2(0 ,T ; ^(П)) , v_tt ( x,t ) Е L 2( Q ) }.

Зададим в пространстве V _L норму:

1М1 ф l = {iMI L ^ (0 ,T ; Щ 4 (О))

⁺ ll v t ll L ^ (0 ,T ; W 2 (Q)) ⁺ ll v t ll L 2 (0 ,T ; W 4 (Q)) ⁺

ll v tt ll L 2 ( Q )}

Очевидно, что пространство V _L с такой нормой будет банаховым пространством.

Пусть w ( x,t ) есть функция из пространства V _L. Определилi функцию ф(t,w ):

ф^{( t,w} ) =

—— a iN ( x )A w_t ( x,t ) dx — iN ( x )A² w ( x,t ) dx м ( t ) L J                         J

Q                    Q

Далее, положим

N 0 = (J N 2 ( X. ) dx) ⁵, в 2 = Ц^ ,

γ 2

= /^[А и 1 ( x Д ^dx + У |А² и о ( x )]² dx +— ^ У f X i dxdt. i =1 _Q

Ω

Ω

Теорема 2. Пусть выполняются условия

N ( x ) G C ²(О) , и ( t ) G C ²(|0 ,T ]) , f ( x,t ) G L 2 (0 ,T ; W 2 (0)); a> 0 , и 0 >  0;

N ( x ) = 0 nyru x G Г;

и о ( x ) G W 4 (0) ,  и 1 ( x ) G W 2 (0);

и ₀( x ) = А и ₀( x ) = и 1 ( x ) = 0 nyru x G Г;

I^N ( ^x ) ^{и 0}( x ) ^dx = ^и (°) ^,

Ω

J ^N ( x ) ^и 1 ( x ) ^dx = и (°)_;

Ω

T

e

t

0 Ip ^{( т} ) I d^T dt <

β 2 ^√ γ 2 ^.

Тогда обратная задача I имеет решение {и ( x,t ) , q ( t ) } такое, что и ( x,t ) G L. (0 ,T ; W 2 ⁴(О)), ut ( x,t ) G L 2 (0 ,T ; W f(0)). и_и ( x,t ) G L 2 ( Q ). q ( t ) G L 2 ([0 ,T ]).

Доказательство. Пусть e есть положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(x,t). являющуюся в цилиндре Q решением уравнения utt - а А ut + А2 и + [p (t) + Gm (ф( t, и))] и + e А2 ut = f (x, t)           (14)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Разрешимость данной задачи нетрудно доказать, вновь используя метод неподвижной точки и теорему Шаудера. Далее, вновь используя обобщенную лемму Гронуолла, нетрудно получить, что функция ф(t,u ) будет ограниченной.

Выбирая параметр M достаточно большим, получим, что решение и(x,t) задачи (14), (2), (3) будет решением уравнения utt — а А ut + А2 и + [ p (t) + ф (t, и)] и + e А2 ut = f (x, t).              (15)

Из сказанного выше следует, что семейство задач (15), (2), (3) порождает семейство функций {и£(x,t)}, принадлежащих пространству V1, причем для этого семейства будет выполняться априорная оценка nt f [Аи* (x,t)]2 dx + f [А2и£(x,t)]2 dx + ^f J(Аuxi. )2 dxdT+

Ω                   Ω                    i=1 0 Ω tt

+ f f ( и^£_ТТ )² dxdT + e f f (А² и Т )² dx dT <  R, 0Ω           0Ω

А.И. Кожанов, Л.А. Телешова постоянная R в которой определяется лишь функциями f(x,t), uо(x), ui(x), у(t), N(x), числом T и областью П Из этой оценки, из свойства рефлексивности пространства L2 и из теорем вложения (см. [21]) вытекает, что существует последовательность {£m}m=1 положительных чисел и функций u(x,t) таких, что

^ m ^{ч 0}

при m что,

Л u t m ( x,t ) ч Лu_t ( x,t ) m →∞

Л² u ^{t m} ( x,t ) ч Л² u ( x,t )

слабо в пространстве L2(Q), слабо в пространстве L2(Q), m→∞ ufm(x,t) ^ utt(x,t) слабо g npcicmpaucmee L2(Q), m→∞ emЛ2utm(x,t) ч 0 слабо в npcicmpaucmee L2(Q), m→∞ utm(x,t) ч ut(x,t) сильно g прострапствах L2(Q) 1.1 L2(S), m→∞

Л u^tm ( x,t ) ч Л u ( x,t ) сильно g пространствах L ₂( Q ) 1.1 L ₂( S ) . m →∞

Покажем, что выполняется также сходимость

ф ( t,u^tm ) u^tm ч ф ( t,u ) u слабо g пространстве L ₂( Q ) . m →∞

Имеем

У [ ф ( t,u ^{t m} ) u ^{t m} — ф( t,u ) u ] ndxdt = У[ e( t,u ^{t m} )( u ^{t m} — u ) ndxdt +

QQ

+ У [e( t, u ^{t m} ) — e( t, u )] un dx dt = 1 1 m + 1 2 m .

Q

Поскольку функция |e(t,utm) | ограничена, и поскольку utm(x,t) ч u(x,t) сильно m→∞ в пространстве L 2( Q), то выполняется 11 m ч 0 пр и m ч то. Далее, справедливы равенства

Ф ⁽ t^{,u t m} ) — ф ⁽ tpu ) = pt )

a J N ( x )Л( u t m — u_t ) dx—

— f N ( x )Л²( u ^{t m}

-

u ) dx =

pt ) aj' Л N ⁽ х ^{)( u t}

ε _m

Q

— u t ) dx +

+ a $ г

Отсюда

^dN ( ^x ) t m dv ⁽ u t

-

u_t ) ds — J ЛN ( х )Л( u ^{t m}

Q

— u ) dx — f N ) Л( u ^t m г

— u ) ds j .

I 2 m = J (-p^ J ^Л N ⁽ У )[ um ⁽ У, t ) Q Q

-

u_t ( y, t )] dy^ un dx dt +

⁺ J pat ) ( J N ) ^{[ u t} m ⁽ y,t ) ^{— u} t ⁽ y,t ^{)] ds}^ ^un^dxdt—

■ p i t ) J ( J ^Л N ⁽ у ^{)Л( u t m (} y, t ) ^{— u (} y, t )) dy) ^un ^{dx dt—} 'ppm J ( J N ) ^{Л( u t m (} y,t ) ^{— u (} y,t )) ^ds v) ^un^dxdt = Q \ г

= T1      2      3      4

I 2 m ⁺ I 2 m ⁺ I 2 m ⁺ I 2 m ^.

Оценим слагаемое 1 1 m

|I _{2 m}

|≤ ^a µ 0

f( ^{f д} N ⁽ y ^)[ um ⁽ y,t ) 0Ω

-

u t

≤ ^a µ 0

/{(f [A N ( У )] 2 dy ) ²(f [ u l m ( y,t ) 0ΩΩ

( y,t ^)] dy (f M ini dx)) dt <

-

u t ( y,t )] 2 dy^ ff u 2 (x,t ) dx^ ff у ²( x,t ) dx ^ j-

dt.

Заметим, что предпоследний множитель подинтегрального выражения здесь ограничен. Отсюда

11кК A f(f [ um (y^) - ut(y^ )]2 dx) (f П 2(x,t) dx) dt < 0ΩΩ

T                                          1T

• < A( f f [ ulm (y,t) — ut (y,t)]2 dxdt\ ( f f у 2(x,t) dxdtj 0Ω0Ω

(число A здесь определяется числами a. у 0. C i. R. а также функцией N ( x )).

Поскольку имеет место сильная в пространстве L ₂( Q ) сходимость последовательности {u t m ( x,t ) } к функции u t ( x,t ), то из последнего неравенства вытекает сходимость I 2 _m ^ 0 пр и m ^ то. Аналогично показывается, что выполняется

I 2 m ^ ⁰ , I 23 mm ^ ⁰ , I 4 m ^ ^{0 П}!^)U m ^ ^то.

Из доказанных сходимостей и следует сходимость требуемая:

ф(t,u^lm ) u^lm ^ <ф(t,u ) u при m ^то слабо в пре>страпстве L ₂( Q ) .

Очевидно, что для предельной функции u(x,t) будет выполняться уравнение utt — a A ut + A2 u + [ p (t) + ф( t, u)] u = f (x, t).

Положим q ( t ) = p ( t ) + ф(t,u ) . Функции u ( x,t ) и q ( t ) и определяют искомое решение обратной задачи I - функции u ( x,t ) и q ( t ) связаны в цилиндре Q уравнением (1), условия (2) и (3) выполняются по построению, выполнение условия (4) показывается стандартным образом, принадлежность функций u ( x,t ) и q ( t ) требуемым классам очевидна.                                                                    □

Замечание 1. Выполнение последних неравенств из условий теорем 1 и 2 имеет место, например, если число T мало, или же малы числа N 1 ил и N 0.

3.    Разрешимость обратной задачи II

Пусть w ( x,t ) есть функция из пространства V 1. Определилi функцию ф 1 ( t,w ):

ф i ^{( t,w} )

al N ( x )A w_t ( x,t ) dx Ф ⁽ t ) L J

Ω

— У N ( x )A² w ( x, t ) dx

Ω

Далее, положим pi (t) = F(t) -M (t),   61 = min У (t),   p = vraimin pi (t),

• ^{1               µ ′ ( t )     ,       1}      0 ≤ t ≤ T ^{,      1}        0 ≤ t ≤ T ^{1     ,} ₁

N 2 = I f [A² u o ( x )]² dx + f [A u 1 ( x )]² dx + a it f f X i dxdt\'. Ω                 Ω                   i =1 Q

А.И. Кожанов, Л.А. Телешова

Теорема 3. Пусть выполняются условия f (x,t) G L2(0,T; W 2(Q));

p 1 >  °;

x G Г;

N(x) G C2(Q), м(t) G C2([0,T]), a > 0, м i > 0, N (x) = 0 при uo(x) G W24(Q), u 1(x) G W2(Q);

u ₀( x ) = A u 0 ( x ) = u ₁( x ) = 0 npru x G Г;

IN ( x ) u ° ( x ) dx = , (0) , IN ( x ) u ¹⁽ x ) dx = ^м(0)

Ω

Ω

( a + 1) N о N 2   _

--------------< P 1 ■

µ 1             ¹

Тогда обратная задача II имеет решение {u ( x,t ) ,q ( t ) } такое, что u ( x,t ) G L. (0 ,T ; W 24 (Q)). ut ( x,t ) G L 2 (0 ,T ; W 23 (Q)). utt ( x,t ) G L 2 ( Q ). q ( t ) G L 2 ([0 ,T ]).

Доказательство этой теоремы проводится вновь с помощью метода срезок и метода регуляризации; непосредственная техника вполне соответствует технике доказательства теорем 1 и 2, а также технике, использованной в работе [15].

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 15-01-06582.