Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения

Установлены существование и единственность одной нелокальной граничной задачи для нагруженного псевдопараболического уравнения третьей степени.

В конечной односвязной области D = {(ж,у) : 0 < х < 1,0 < у < Т^ евклидовой плоскости независимых переменных ж и у рассмотрим нагруженное [1] уравнение в частных производных третьего порядка

1ЦД = ЦД + д(ж,у)и(ж°,у) = -/(ж, у),

где ^{L =} Э^Д + ^а<^ж’ у) & + ⁶<^ж’ у) ^ + ^с(^ж’ У) ^ + ^^ж’ у) ^— псевдопараболический [2] оператор, ж⁰ — произвольно фиксированная точка интервала 0 < ж <  I.

В дальнейшем через J будем обозначать интервал (0,Т) прямой ж = Жо, где ж⁰ Е (0J) и жо ф x°,Dq = D\J. Ставится

Задача 1. Найти регулярное в Pg решение Дх,у^ нагруженного уравнения (1) из класса и(ж,у),и_д, (ж,у),и_жу (х,у) Е C^D^, удовлетворяющее начальному

м(ж,0)=/г(ж) Mx Е [0J],(2)

нелокальному граничному

ДО,у) = ХД1,у) Vy£[0,T],(3)

и внутреннему

Цхо,Д=Т^ VyE[0,T](4)

условиям, где /t(y), Ду) — заданные функции, А = const.

Здесь и ниже под регулярным в области Q решением уравнения подразумевается действительная функция и (ж, у), обладающая в Я всеми непрерывными частными производным, входящими в уравнение, и обращающая его в тождество [3].

Пусть выполнены условия:

ахх^ДДх^у^сДх^уфДх^Дх^Д^ Е С(Р),(5)

7л(ж) Е С-^ОД] П ^(ОД), Ду) ЕбДОД],(6)

с(ж,у)<0 У(ж,у)еП.(7)

Имеет место следующая

Теорема 1. Если выполнены условия (5)-(7) и А < 0, то задача 1 всегда разрешима и притом единственным образом.

< Доказательство теоремы приведем для случая О < ж⁰< жо < I. Пусть D^ = {(ж,у) : 0 < ж < ж°,0 < у < Т}, а w (ж, у; а, /3) — функция Римана характеристической (по терминологии [2]) задачи Гурса

и(ж0,у) = <Ду) VyG[0,T],(8)

иДжо.у) = ^(у) Vye[O,T],(9)

и(ж,0)=/г(ж) \/же[О,жо](10)

для псевдопараболического уравнения с оператором L, где ф^у) — неизвестная пока функция из класса С^,1[0,Т].

Для общего псевдопараболического уравнения функция Римана w(yc,y, а, З'} характеристической задачи Гурса (8)—(10) была впервые введена М. X. Шхануковым в [4].

Нетрудно проверить, что имеет место тождество

, х            х ЭР 9Q , х z п х wH^ - uH^ = — +   + у(ж,у)и(ж°,y)w,

(П)

ох Оу где Р^х,у^ = ^wxy — ^агоУ^и + ^uxy + aux + 6u)w, <Э(ж, у) = —w^u^ + сиги. Проинтегрируем тождество (11) по области Qi = {(ж,у) : 0 < а < ж < Жо, 0 < у < 3^ с учетом формулы Грина, где (а,/3) — произвольная точка Dv Пользуясь при этом свойствами функции Римана w(x, у, а, 3) и условиями (8)-(10) получим:

u(a,/3) = шДж₀ ,3;а,ЗМЗ) +

ж о уцх,Ом^,«.т

— шДж, 0; а, 3W (ж)] dx

а

- j ^ифхо^суЗ^ффу) + а(ж₀, у)ш(ж₀, у; а,/З)^(у) + [м_жу(ж₀,у; а,3} о

- а_ж(жо,у)№(жо,у;а,/3)а(жо,у)№_ж(жо,у;а,/3) + Ь(ж₀, уМж₀, у; а , /3)] у (у)} dy

+

ж₀ 9

J У 7(ж,у)г<(ж0,у)ш(ж,у;а,/3) dxdy + а 0

ж₀ 9

I I f^^W^^^aT^ dxdy.

а 0

Применяя к (12) формулу интегрирования по частям и переходя затем к пределу при а —> ж0, имеем:

ФУЗ) + (ж₀,у;ж° хЗ^ФкЗ^ = У к₀(3,у)ф₀(у) dy + j к_г(3,у)ф(у) dy + f₀(3),    (13)

о

о

где

к₀(3.у) = J 7(x,_y)w(x₀,y,x°,3) dx, ж⁰

kiMy} = ^_У(ж_о,у;ж⁰,^) + а(ж₀,у)№(ж₀,у;ж⁰,/3),

/о (/5) = №(ж0,0; ж0,/3)/г'(жо) + иЦжо^ж^/ЗМ/З)

+

жо

Ьфлм^У.х,

я0

— №_ж(ж, 0; ж⁰, /3)/г'(ж)] dx

j [w_$y (ж₀, у; ж⁰,/3) - а(ж₀, y)w_$ (ж₀, у; ж⁰,/3) о

+ (б(ж₀,у) - аЦжо^^жо^ж^/ЗМу)] dy

Жо 3

+

j j f($,yXa;,y;a,P) dxdy.

x° 0

и(ж°,/3) = V’o(^) — неизвестная пока функция из класса С'-1[О,Т].

При этом, из построения функции Римана to (ж, у; а, /3) характеристической задачи (8)-(10) для псевдопараболического уравнения с оператором L, непосредственно следует, аналогично [4], справедливость неравенств:

w^ (ж,/3; 0,/3) > О \/жЕ(О,жо], ш^жо, /3; 0, /3) > 1,

если только с(ж,у) < 0 для всех (ж,у) Е D^.

С другой стороны, из представления решения (12) характеристической задачи Гурса (8)—(10) для псевдопараболического уравнения с оператором L при а —> 0, получим:

где

м(0,/3) = I МЗ^УМу) dy о

^^^^^^^™

ги(ж0,/3; 0,

3)^(3) + j к^уУф^у) dy - /о(/3), о

ж₀ ktMti) = j

y^x^y^o^xo^y^jB^dx

о

к1Ф,У^ = w_y (ж₀,у; 0, 3) +а(ж_о,у)№(ж_о,у;О,/3),

/о(/1) = №(жо,О;О,/3)/1'(жо) +ггж(жо,/3;О,/3)у(/3)

+

Жо j [с(ж, 0)ш(ж, 0; 0,/3) о

— w_$(ж, 0; 0, /3)/г'(ж)] dx

j [w_$y (ж₀,у; 0,/3) - а(жо,у)1У_ж(ж_о,у;О,/3) + (б(ж₀,у) о

^^^^^^^™

аж(жо,у))№(жо,у;О,

Жо 3

/З)^(у)] dy + j j о о

/(ж,у)№(ж,у;а,/3)с?жс?у.

Пусть D^ = {(ж,у) : Жо <ж,0<у<Т},а $(ж,у;фу) — функция Римана характеристической задачи Гурса

м(ж0,у)у(у) VyG[0,y], (16) Мж(ж0,у) = тДу) VyG[0,T], (17) и(ж,0) = /г(ж) \/ж G [жоП] (18) для псевдопараболического уравнения с оператором L.

Заменив в (11) ш(ж,у;а,/1) на функцию $(ж,у;фу) и интегрируя полученное тождество аналогичным образом по области Q2 = {(ж, у) : Жо < ж < ф 0 < у < у} с учетом формулы Грина, свойств функции Римана $(ж,у;фу) и условий (16)-(18), имеем:

м(Фу) = #ж(жо,У;ФуМу) -т^х^тр^уШтЙ

^^^^^^^™

I ^(жо^ФуЫу) dy + о

j V^x^y^T^^dy о

5 11

+

j J Ч^уЖ^У^^МР) dxdy + у(фу), жо О где (фу) — произвольная фиксированная точка D^,

Жх^у^Ж = ^_Жу(ж_о,у;фу) - а(ж₀, у)1ф(жо, у; ф у)

+ (Ь(ж0,у) - аж(ж0, у))^(ж0, у; ф у),

Vi(a7o, У; Ф у) = ^У(®о,у;фу) - а(ж0,у)^(ж0,у;фу),

у(фу) = ^(ж_о,О;фу)/1'(ж_о) - I [с(ж, 0)У(ж, 0; ф у)/г(ж) - ^(ж, 0; ф у)/г'(ж)] dx

⁺ // ^у^^¹^¹^*¹^' Жо о

Переходя в (19) к пределу при £ — > I, получим

п

W,^ - ^х(х₀,у-,1,уЦ(у) = I Pi(O,y;Z,y)V>(y) dy

+ j к^.уЖ (у)^У + 9о(у):

где

I

ЦфУ^ = j

y^x^y^^x^yp^^dx,

жо

goW = idi-A$o,yJ,y>^

j V₀(x₀,yJ,y>(y) dy + g^l^Y о

Принимая во внимание (15), (20) воспользуемся при р = г/ нелокальным условием (4), которое естественным образом возникает при решении многих прикладных задач сильно нестационарного тепломассообмена и является нелокальным условием типа условия Бицадзе — Самарского [5].

В результате имеем

[гг(ж0Л/;0,г/) - А^(ж0,г/;/,г/)]^(г/)

= j Vi^^H^dy + j V2(y,yHo(y)dy + д0(уР

о

о

где У1р],у^ = k^yy} - AVi(O,y;Z,y), УДуу^ = k₀(yy) - ХЦууР g₀^ = f_opp-g_o^]Y

Функция Римана ^(ж,у;^,г/) удовлетворяет неравенствам [5]:

#(ж,щ/,у)<0 Уж£[ж₀,ф ^(^о, У, У у) > 1,              (22)

если только с(ж,у) < 0 для всех (ж, у) G В₂.

Таким образом, при 0 < ж0 < жо < / вопрос единственности и существования решения задачи 1 эквивалентно редуцируется к разрешимости системы (13), (21) интегральных уравнений типа Вольтерра.

Принимая во внимание (5)-(7), свойства (14) и (22) функций Римана $(ж,у;£,у) и ш(ж, у, а, р) заключаем, что ш(ж0, у; ж0, у), ^(ж0,у;/,у), /0(у) дорр G С^О,^,

Ы^У), к^уу^ И1(у,у), И₂(у,у) Е С[0,Т] х [0,Т], а единственное регулярное решение системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (13), (21) представимо [6] в классе tpopp,-фрр Е С^,1[0,Т].

После определения неизвестных функций фо(у) = и(ж°, у), ^(у) = и_ж(жо,у), исследуемая задача 1 распадается на две характеристические задачи Гурса (8)—(10) и (16)-(18) для псевдопараболического уравнения с оператором Н, единственные регулярные решения которых в В^ и В2 даются, соответственно, формулами (12) и (19).

Справедливость теоремы 1 при 0 < жо < ж0 < Z доказывается аналогичным образом. >