Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения
Автор: Напсо А.Ф., Канчукоев В.З.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Установлены существование и единственность одной нелокальной граничной задачи для нагруженного псевдопараболического уравнения третьей степени.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318049
IDR: 14318049
Текст научной статьи Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения
Установлены существование и единственность одной нелокальной граничной задачи для нагруженного псевдопараболического уравнения третьей степени.
В конечной односвязной области D = {(ж,у) : 0 < х < 1,0 < у < Т^ евклидовой плоскости независимых переменных ж и у рассмотрим нагруженное [1] уравнение в частных производных третьего порядка
1ЦД = ЦД + д(ж,у)и(ж°,у) = -/(ж, у),
где L = Э^Д + а<ж’ у) & + 6<ж’ у) ^ + с(ж’ У) ^ + ^ж’ у) — псевдопараболический [2] оператор, ж0 — произвольно фиксированная точка интервала 0 < ж < I.
В дальнейшем через J будем обозначать интервал (0,Т) прямой ж = Жо, где ж0 Е (0J) и жо ф x°,Dq = D\J. Ставится
Задача 1. Найти регулярное в Pg решение Дх,у^ нагруженного уравнения (1) из класса и(ж,у),ид, (ж,у),ижу (х,у) Е C^D^, удовлетворяющее начальному
м(ж,0)=/г(ж) Mx Е [0J],(2)
нелокальному граничному
ДО,у) = ХД1,у) Vy£[0,T],(3)
и внутреннему
Цхо,Д=Т^ VyE[0,T](4)
условиям, где /t(y), Ду) — заданные функции, А = const.
Здесь и ниже под регулярным в области Q решением уравнения подразумевается действительная функция и (ж, у), обладающая в Я всеми непрерывными частными производным, входящими в уравнение, и обращающая его в тождество [3].
Пусть выполнены условия:
ахх^ДДх^у^сДх^уфДх^Дх^Д^ Е С(Р),(5)
7л(ж) Е С-^ОД] П ^(ОД), Ду) ЕбДОД],(6)
с(ж,у)<0 У(ж,у)еП.(7)
Имеет место следующая
Теорема 1. Если выполнены условия (5)-(7) и А < 0, то задача 1 всегда разрешима и притом единственным образом.
< Доказательство теоремы приведем для случая О < ж0< жо < I. Пусть D^ = {(ж,у) : 0 < ж < ж°,0 < у < Т}, а w (ж, у; а, /3) — функция Римана характеристической (по терминологии [2]) задачи Гурса
и(ж0,у) = <Ду) VyG[0,T],(8)
иДжо.у) = ^(у) Vye[O,T],(9)
и(ж,0)=/г(ж) \/же[О,жо](10)
для псевдопараболического уравнения с оператором L, где ф^у) — неизвестная пока функция из класса С,1[0,Т].
Для общего псевдопараболического уравнения функция Римана w(yc,y, а, З'} характеристической задачи Гурса (8)—(10) была впервые введена М. X. Шхануковым в [4].
Нетрудно проверить, что имеет место тождество
, х х ЭР 9Q , х z п х wH^ - uH^ = — + + у(ж,у)и(ж°,y)w,
(П)
ох Оу где Р^х,у^ = ^wxy — ^агоУ^и + ^uxy + aux + 6u)w, <Э(ж, у) = —w^u^ + сиги. Проинтегрируем тождество (11) по области Qi = {(ж,у) : 0 < а < ж < Жо, 0 < у < 3^ с учетом формулы Грина, где (а,/3) — произвольная точка Dv Пользуясь при этом свойствами функции Римана w(x, у, а, 3) и условиями (8)-(10) получим:
u(a,/3) = шДж0 ,3;а,ЗМЗ) +
ж о уцх,Ом^,«.т
— шДж, 0; а, 3W (ж)] dx
а
- j ^ифхо^суЗ^ффу) + а(ж0, у)ш(ж0, у; а,/З)^(у) + [мжу(ж0,у; а,3} о
- аж(жо,у)№(жо,у;а,/3)а(жо,у)№ж(жо,у;а,/3) + Ь(ж0, уМж0, у; а , /3)] у (у)} dy
+
ж0 9
J У 7(ж,у)г<(ж0,у)ш(ж,у;а,/3) dxdy + а 0
ж0 9
I I f^^W^^^aT^ dxdy.
а 0
Применяя к (12) формулу интегрирования по частям и переходя затем к пределу при а —> ж0, имеем:
ФУЗ) + (ж0,у;ж° хЗ^ФкЗ^ = У к0(3,у)ф0(у) dy + j кг(3,у)ф(у) dy + f0(3), (13)
о
о
где
к0(3.у) = J 7(x,y)w(x0,y,x°,3) dx, ж0
kiMy} = ^У(жо,у;ж0,^) + а(ж0,у)№(ж0,у;ж0,/3),
/о (/5) = №(ж0,0; ж0,/3)/г'(жо) + иЦжо^ж^/ЗМ/З)
+
жо
Ьфлм^У.х,
я0
— №ж(ж, 0; ж0, /3)/г'(ж)] dx
j [w$y (ж0, у; ж0,/3) - а(ж0, y)w$ (ж0, у; ж0,/3) о
+ (б(ж0,у) - аЦжо^^жо^ж^/ЗМу)] dy
Жо 3
+
j j f($,yXa;,y;a,P) dxdy.
x° 0
и(ж°,/3) = V’o(^) — неизвестная пока функция из класса С'-1[О,Т].
При этом, из построения функции Римана to (ж, у; а, /3) характеристической задачи (8)-(10) для псевдопараболического уравнения с оператором L, непосредственно следует, аналогично [4], справедливость неравенств:
w^ (ж,/3; 0,/3) > О \/жЕ(О,жо], ш^жо, /3; 0, /3) > 1,
если только с(ж,у) < 0 для всех (ж,у) Е D^.
С другой стороны, из представления решения (12) характеристической задачи Гурса (8)—(10) для псевдопараболического уравнения с оператором L при а —> 0, получим:
где
м(0,/3) = I МЗ^УМу) dy о
^^^^^^^™
ги(ж0,/3; 0,
3)^(3) + j к^уУф^у) dy - /о(/3), о
ж0 ktMti) = j
y^x^y^o^xo^y^jB^dx
о
к1Ф,У^ = wy (ж0,у; 0, 3) +а(жо,у)№(жо,у;О,/3),
/о(/1) = №(жо,О;О,/3)/1'(жо) +ггж(жо,/3;О,/3)у(/3)
+
Жо j [с(ж, 0)ш(ж, 0; 0,/3) о
— w$(ж, 0; 0, /3)/г'(ж)] dx
j [w$y (ж0,у; 0,/3) - а(жо,у)1Уж(жо,у;О,/3) + (б(ж0,у) о
^^^^^^^™
аж(жо,у))№(жо,у;О,
Жо 3
/З)^(у)] dy + j j о о
/(ж,у)№(ж,у;а,/3)с?жс?у.
Пусть D^ = {(ж,у) : Жо <ж,0<у<Т},а $(ж,у;фу) — функция Римана характеристической задачи Гурса
Заменив в (11) ш(ж,у;а,/1) на функцию $(ж,у;фу) и интегрируя полученное тождество аналогичным образом по области Q2 = {(ж, у) : Жо < ж < ф 0 < у < у} с учетом формулы Грина, свойств функции Римана $(ж,у;фу) и условий (16)-(18), имеем:
м(Фу) = #ж(жо,У;ФуМу) -т^х^тр^уШтЙ
^^^^^^^™
I ^(жо^ФуЫу) dy + о
j V^x^y^T^^dy о
5 11
+
j J Ч^уЖ^У^^МР) dxdy + у(фу), жо О где (фу) — произвольная фиксированная точка D^,
Жх^у^Ж = ^Жу(жо,у;фу) - а(ж0, у)1ф(жо, у; ф у)
+ (Ь(ж0,у) - аж(ж0, у))^(ж0, у; ф у),
Vi(a7o, У; Ф у) = ^У(®о,у;фу) - а(ж0,у)^(ж0,у;фу),
у(фу) = ^(жо,О;фу)/1'(жо) - I [с(ж, 0)У(ж, 0; ф у)/г(ж) - ^(ж, 0; ф у)/г'(ж)] dx
+ // ^у^^1^1^*1^' Жо о
Переходя в (19) к пределу при £ — > I, получим
п
W,^ - ^х(х0,у-,1,уЦ(у) = I Pi(O,y;Z,y)V>(y) dy
+ j к^.уЖ (у)^У + 9о(у):
где
I
ЦфУ^ = j
y^x^y^^x^yp^^dx,
жо
goW = idi-A$o,yJ,y>^
j V0(x0,yJ,y>(y) dy + g^l^Y о
Принимая во внимание (15), (20) воспользуемся при р = г/ нелокальным условием (4), которое естественным образом возникает при решении многих прикладных задач сильно нестационарного тепломассообмена и является нелокальным условием типа условия Бицадзе — Самарского [5].
В результате имеем
[гг(ж0Л/;0,г/) - А^(ж0,г/;/,г/)]^(г/)
= j Vi^^H^dy + j V2(y,yHo(y)dy + д0(уР
о
о
где У1р],у^ = k^yy} - AVi(O,y;Z,y), УДуу^ = k0(yy) - ХЦууР g0^ = fopp-go^]Y
Функция Римана ^(ж,у;^,г/) удовлетворяет неравенствам [5]:
#(ж,щ/,у)<0 Уж£[ж0,ф ^(^о, У, У у) > 1, (22)
если только с(ж,у) < 0 для всех (ж, у) G В2.
Таким образом, при 0 < ж0 < жо < / вопрос единственности и существования решения задачи 1 эквивалентно редуцируется к разрешимости системы (13), (21) интегральных уравнений типа Вольтерра.
Принимая во внимание (5)-(7), свойства (14) и (22) функций Римана $(ж,у;£,у) и ш(ж, у, а, р) заключаем, что ш(ж0, у; ж0, у), ^(ж0,у;/,у), /0(у) дорр G С^О,^,
Ы^У), к^уу^ И1(у,у), И2(у,у) Е С[0,Т] х [0,Т], а единственное регулярное решение системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (13), (21) представимо [6] в классе tpopp,-фрр Е С,1[0,Т].
После определения неизвестных функций фо(у) = и(ж°, у), ^(у) = иж(жо,у), исследуемая задача 1 распадается на две характеристические задачи Гурса (8)—(10) и (16)-(18) для псевдопараболического уравнения с оператором Н, единственные регулярные решения которых в В^ и В2 даются, соответственно, формулами (12) и (19).
Справедливость теоремы 1 при 0 < жо < ж0 < Z доказывается аналогичным образом. >
Список литературы Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения
- Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения//Дифференц. уравнения.-1983.-Т. 19, № 1.-С. 86-94.
- Colton D. L. Pseudoparabolic Equtions in One Space Variable//J. Differential Equtions.-1977.-V. 12.-P. 559-565.
- Бицадзе А. В. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.
- Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкостей в пористых средах//Дифференц. уравнения.-1982.-Т. 18, № 4.-С. 689-700.
- Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач//Докл. АН СССР.-1969.-Т. 185, № 4.-С. 739-740.
- Трикоми Ф. Интегральные уравнения.-М.: Наука, 1975.