Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка

ξ

ξτ

где

α

F = У 2 (R(x, т; а, в)^x(x, т) - Rx(x, т; а, ξ dx

αβ

+ 2 ехр { ^в — Цт } ш(а,т) — А У dx ₂ j ш(х ₂ ,т )R(x,т; а, в) dx,

ξ x 2

α

B1(x, в, а, в) = А У R(x2, в; а в) dx2, x xα

B ₂ (x,t; а, в ) = —А j R _t (x 2 ,t; а, в ) dx ₂ = А У R _t (x 2 ,t; а, в) dx ₂ ■ αx

Обратимая замена [2]

α

α

v(а,в) = v o (a,в) + У v o (x 2 ,в)B 1 (x 2 ,в; а, в ) exp { У В 1 (х з ,в)dx3^ dx 2

ξ

x 2

редуцирует уравнение (13) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно v o (а, в)

αβ vo(а,в) + У dx j Bo(x,t; а, в)vo(x, t)dt = F, где

αα

^B ° (x. t, _a. s )= ^{B i} ( x, _t.,« ,« / ^{B 2 (}x 2 , t « ) ^p {у ^{B i} (x ³ . ... ; ^dx 2 +B ² (x. t; _Q.^в ), x                          x 2

которое безусловно и однозначно разрешимо.

Пусть u(x,t; а, в) — функция Римана для сопряженного уравнения L * v = 0. Тогда она является решением задачи

Lu = 0, и(а, t; а, в) = 0, u x (a, t; а, в) = — ехр { ^в - ^t } , u(x, в; а, в) = w 1 (x, в),

где Ш1 (х,в) — решение задачи Коши uxx(x, в; а, в) - Au(x, в; а, в) = 0, и(а, в; а, в) = 0, их(а, в; а, в) = — 1.

Интегрируя соотношение (5) по области Q i и используя условия (14)-(15), получим справедливость свойства симметрии

^u(^^,T; ^а,в ) = ^v(а,в ; €^,т )•

Достаточно установить существование решения уравнения (1) при однородных условиях u(0, t) = 0, u _x (0, t) = 0, u(x, 0) = 0.

В самом деле, введя вместо функции u(x, t) новую неизвестную функцию w(x,t) по формуле

w(x, t) = u(x, t) — [^(x) + go(t) — ^(0) + x(g(t) — g(0))], которая удовлетворяет уравнению (1) с другой правой частью и однородным условиям

w(0, t) = w _x (0, t) = w(x, 0) = 0.                             (16)

Пользуясь свойством симметричности функции Римана, непосредственной проверкой нетрудно убедится, что функция определенная равенством (8), удовлетворяет уравнению (1) и однородным условиям (16).

Таким образом, имеет место

Теорема. Характеристическая задача Гурса (3) - (4) для уравнения (1) имеет единственное регулярное решение.

Перейдем к задаче (1)–(3). Представление (9) удовлетворим начальному условию (2):

u(x,T ) = g o (T)v x (x,T;0,T)

— j (v>^lix^,T ; 0, т)д ⁰ (т ) + ^v(x, T ; 0, т )д(т) + g o (т) (v^ (x, T ; 0, т) — ^v ^ (x, T ;0 ,t

x

xT

■j ( у ^{0 (}€^)v e ^(x,T; C, ^{0) +} A^^(C)v(x,T; C, ⁰⁾ ) d£ ^— jvff ⁽^^,T)d^d^T.

Умножив обе части последнего равенства на а(х), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно u(x, 0)

x

u(x, 0)[1 - a(x)v x (x, T ; x, 0)]+a(x) j u(^, 0)[v^(x, T ; £, 0) - Av(x, T ; £, 0)]d£

T

= a(x)go(T)vx(x,T; 0, T)-a(x) j[v(x,T;0,т)д0(т)+^v(x,T;0,т)д(т)]dт xT

-a(x)go(0)vx(x,T;0, 0)-a(x) j j vf «,т)d

Теперь рассмотрим ряд краевых задач для уравнения (1).

Задача 1. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса C 1(D) П

C2(D), удовлетворяющее условиям:

n

u(x, 0) = ^ak(x)u(x,tk), 0 k 6 T;

k=1

u(0, t) = go(t),   Ux(0,t)= g(t), 0 6 t 6 T, где go(t), g(t), ak(x) — заданные достаточно гладкие в областях определения функции.

В представлении (9), дающем решение задачи Гурса, t = tk. Умножая почленно полученные при этом выражения на ak (x), получим:

tk ak(x)u(x, tk) = ak(x)go(tk)vx(x, tk; 0, tk) - an(x) j ^v(x, tk; 0, т)д0(т) + ^v(x, tk; 0, т)д(т)

x

+ak(x)go(т) ( q_;(x, tk; 0, т) - pn(x, tk; 0, т))^т + ak(x) j ((u(£, 0))'V'(x, tk; £, 0)

x tk

+Au(£, 0)v(x, tk; ^, 0)^ d^ - ak(x)j j ^{vf (}С^{,т )d}C^{dт     (k :}= 1,2,...^,п).

С учетом нелокального по временной переменой условия из (17), в результате почленного сложения полученных соотношений, окончательно имеем интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно u(x, 0).

n                          nx

1 - У^ak(x)vx(x, tk; x, 0) 1 +     ak(x) / u(£, 0) (v_u(x, tk; £, 0) - Av(x, tk; £, 0)) d^

k=1                         k=1       ₀

n

= У? ak(x) (go(tk)v(x, tk; 0, tk) - go(0)vx(x, tk; 0,0)- k=1

t_{k                                                                   n}            x t_k

- j (v(x, tk; 0, т)g⁰(т) + ^v(x, tk; 0, т)д(т)) dT j - Xak(x) j j ^{vf (}^^,т) d< dr-

Следовательно, разрешимость задачи (1), (17) эквивалентно редуцирована к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (18) относительно следа u(x, t) на характеристике t = 0.

Задача 2. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса C 1(D) П C2(D), удовлетворяющее условиям:

u(x, 0) = ф(х),   u(l,t) = 0,   u(0, t) = a(t)u(x₁,t),   0 6 x1 6 l,           (19)

где ф(х) E C¹[0, l].

Полагая в представлении (9) x = l и учитывая однородное условие u(l,t) = 0, после ряда преобразований получим первое функциональное соотношение связывающее u(0, t) и Ux(0,t):

t

u(0, t)v_x(l, t; 0, t) — У u(0, т) (v£_T(l, t; 0, т) — ^v^(l, t; 0, т

t

= v(l, t; 0, t)u_x(0, t) — v(l, t; 0, 0)ф⁰(0) — У (v_T(l, t; 0, т) — ^v(l, t; 0, т))u_x(0, т) dт     (20)

l

lt

^— У (^ф0(€'Q^(l,t; €,⁰⁾ + N⁽£^)v(l,t; £, ⁰⁾) d£ ^— j j fddddT.

В представлении (9) полагаем x = xi и полученное при этом выражение почленно умножим на a(t), в результате нелокального по пространственной переменной условия u(0,t) = a(t)u(x₁,t), 0 6 xi 6 l, получим

t

u(0, t) (1 — a(t)vx(x₁, t; 0, t)) + a(t) У (v^_T(x₁, t; 0, т) — ^vr(x₁, t; 0, т))u(0, т) dт

t

+ a(t)v(x₁, t; 0, t)u_x(0, t) — a(t) У (v_T(x₁,t;0, т) — ^v(x₁,t;0,т))и_х(0,т) dт       (21)

x1                                                                                           x1 t

= a(t) ( j (Aф(^)v(x1, t; £, 0) + ф⁰(^)vg(x1, t; £, 0)) d£ + v(x1, t; 0, 0) — j j vfd^ d^ .

Выражение (21) — второе функциональное соотношение между следами u(0, t) и u_x(0, t).

Таким образом, разрешимость задач (1), (19) редуцирована к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (20), (21).

Функция v(l,t;0, т) на отрезке [0, l] нигде в нуль не обращается, если А не является собственным значением оператора, порожденного выражением v_xx- λv и условиями v(0, т; l, т) = v(l, т; l, т) = 0.

Так будет, например, когда А > 0. В самом деле, если при таком т E [0, l] функция v(0, т; l, т) = 0, то задача

Vxx — Av = 0, v(0,т )= v(l,т )=0

имеет только тривиальное решение v(x,т; 1,т) = 0, что противоречит условию v_x(1,т, 1,т) = 1. Поэтому решение уравнения Вольтерра (20) ux(0,t) будет функцией непрерывной вместе со своей производной на отрезке [0,1].

Задача 3. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), из класса C 1(D) П C2(D), удовлетворяющее условиям:

u(x, 0) = ф(x), u(1, t) = 0, u(0, t) = X ak(t)u(xk, t), 0 6 xk 6 1,        (22)

k=1

где ф(x) E C 1[0,1], ak(t) E C[0,T].

Удовлетворив представление (9) граничному условию u(1,t) = 0 получим функциональное соотношение между u(0,t) и u_x(0, t)

t

u(0, t)v_x(1, t; 0, t) - У u(0, т) (v^_T(1, t; 0, т) - ^v^(1, t; 0, т)) dт

t

= v(1, t; 0, t)u_x(0, t) - v(1, t; 0, 0)ф⁰(0) - У (v_T(1, t; 0, т) - ^v(1, t; 0, т))u_x(0, т) dт (23)

l

lt

^-j (^ф0(^ ^)ve ^(1,t,^^{, 0) +}X^ф(0^v(1,t; ^,⁰⁾) ^d^^- У jffdd,dT,

а затем и условию u(0,t) = ^2n=i ak(t)u(xk, t), 0 6 xk 6 1, в результате ряда преобразований получим второе функциональное соотношение между u(0, t) и u_x (0, t)

n                            nt

1 — У ak(t)vx(xk, t; 0, t) 1 + У2 ak(t) / (v^T(xk, t; 0, т) - ^v^(xk, t; 0, т))u(0, т) dт k=1                        k=1

nn

+ У? ak(t)v(xk, t; 0, t)ux(0, t) - "> ak(t) / (vT(xk, t; 0, т) - ^v(xk, t; 0, т))ux(0, т) dT k=1                             k=1

_n            ^xk

= X ak(t) (I (Аф(^)v(xk, t; £, 0) + ф'«)^(xk ,t;£, 0)) d^ + v(xk, t;0, 0) - j j vfd£ d^ .

0                                                                       0 0

Следовательно, разрешив систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода (23), (24), мы получаем решение задачи (1), (22).

Задача 4. Найти регулярное в области D решение уравнения (1) из класса C 1(D) П

C2(D), удовлетворяющее условиям:

ux(0, t) = a1u(0, t)+ a₂u(1,t), u_x(1,t) = e1u(0,t)+ e2u(1,t), u(x, 0) = ф(x),     (25)

где ф(x) E C¹[0,1], a1,a₂, в1, в2 — const.

Краевые условия вида (25) есть условия Стеклова первого класса [3]. Граничные условия перепишем в виде

u(0, t) = дтux(1, t) - ^в2u(1, t), ux(0, t) = aiu(0, t) + a2u(1, t).

β1          β1

Из представения (9) при x = l находим, что t

u(l, t) = u(0, t)v_x(l, t; 0, t) — У u(0, t) (v^_T(l, t; 0, t) — ^v^(l, t; 0, t)) dT

t

— У (^v(l, t; 0, t) — v_T(l, t; 0, t))u_x(0, t) dT — v(l, t; 0, t)u_x(0, t)

lt vf dξdτ.

l

+ v(l,t;0, 0)ф⁰(0) + j (ф⁰(^)v₅(l,t; £ 0) + Aф(^)v(l,t; £ 0)) d^ —

Умножим последнее выражение на а2. Так как а2u(l,t) = u_x(0,t) — a-u(0,t), находим соотношение между u(0,t) и u_x(0,t)

t

t

A(t)ux(0,t) + j Li(t,T)ux(0,t) dT + B(t)u(0,t) + jL2(t, t)u(0, t) dT

l                                                      lt

= а2 j (Лф(^) v(l, t; £, 0) + ф⁰(£)^(l, t; £, 0)) d^ + a2v(l, t; 0, 0)ф⁰(0) — j jff d^dT,

где

A(t) = 1 + a₂v(l, t; 0, t),        L-(t, t) = a₂[^v(l, t; 0, t) — v_T(l, t; 0, t)],

B(t) = —a- — a2V^(l, t; 0, t),   L2(t, t) = o^v^r(l, t; 0, t) — ^v-(l, t; 0, t)].

Продифференцировав (9) по x и умножив почленно на в^, при x = l получим равенство

-¹ Ux(l, t) = ^u(0,t) v₅x(l, t; 0, t) + -^-Ф(1)у(1, t; l, 0) + ^^^-Vx(l, t; l, 0)

β1             β1                 β1

l

+ [ 1" (N(£)vx(l,t; €,0) + ^(Oxs (l,t; €,0)) d€ — ^r vx(l,t;0,t)ux(0,t) β1

t

VTx(l,t;0,T))Ux(0,t) dT

■ ¹ vx^(l,t;^{0,0)ф0(0) —} [    (^vx^(l,t;^0,T) ^—

β1

tlt

— У в¹! (v^Tx(l,t;0, t) — ^v₅x(l,t;0; t))u(0,t) dT — ^1- dx J j vfd^dT.

Умножив обе части (26) почленно на - ββ21 и сложив полученное при этом равенство с выражением (28), в силу первого краевого условия получаем справедливость следующего равенства

t

t

C (t)u(0,t) + У M1 (t,т)u(0,T)dт + D(t)ux(0,t) + У M2(t,T)и_х(0,т)dт

где

-

+

—^ф(l)v(l,t;^{0, 0) +} —^ф(l)vx^(l,t; l,^{0) +} / f-5-vx^(l,t; ^C, ⁰⁾ β1                  β1                       β1

—^v(l,t;£, ⁰⁾) ^ф(ДЖ⁺   f—v^t;£, ⁰⁾

β1                           β1

-

1-v^^(l,t; £, ⁰⁾) ^{ф (ф}Ж β1

lt

lt

(1-vx^(l,t;^{0,0) - в}2v^(l,t;^0,0)) ^{ф0(0) -}лт[v^fdCd^{T -} / [ ^в2vMdT β1              β1                   β1 ∂x                     β1

C (t) = 1 — 1 v(l, t; 0, t)+^в2 v^ (l, t; 0, t),   D(t) = 1 Vx

β1               β1                        β1

β2 ^(l,t;^0,t)--- ^v(l,t;^0,t), β1

Mi^(t,^T) = et v^Tx^(1, t; 0,^т)—^-v$x^(1, t;⁰,^т)—в2 v^T ⁽l, t; 0^т)+^ q (l, t; о,^т), β1                β1              β1              β1

M2(t,T) = -^-Vx(l,t;0, т) β1

-

-¹ vTx⁽l, t;⁰,^T)-e2^^v(1, t; 0,^T)+e2 vT ⁽l, t; 0,^T). β1               β1             β1

Таким образом, вопрос о разрешимости задачи Стеклова первого класса (1), (25) редуцирован к вопросу разрешимости системы интегральных уравнений (27)–(29).

Задача 5. Найти регулярное в области D решение уравнения уравнения (1) из класса C 1(D) П C2(D), удовлетворяющее условиям Стеклова второго класса [3]

u(l,t) = a1(t)u(0,t), ux(l,t) = e1ux(0, t) + e2u(0,t), u(x, 0) = ф(х),

где ф(х) E C 1[0,l], a1(t) E C[0, T], в1,в2 — const.

В равенстве (9) предположим, что x = l. С учетом краевого условия ai(t)u(0, t), после ряда преобразование находим

u(l,t) =

t

u(0, t)(ai(t) - Vx(l,t;0,t)) — У u(0, т) (v^_T(l, t; 0, т) — ^v^(l, t; 0, т)) dT

t

+ ux(0, t)v(l, t; 0, t) — У ux(0, т) (^v(l, t; 0, т) — Vt(l, t; 0, т)) dт

l                                                    lt

= У (Ф0(€H(l, t; С, 0) + Аф(С)v(l, t; С, 0)) dC + v(l, t; 0, 0)ф⁰(0) - У У vf d^dT.

Найдем производную u(x, t) из (9) по x и полагая x = l, получаем следующее соотно-

шение

u_x(l, t) = u(0, t)v^_x(l, t; 0, t) + Aф(l)v(l, t; l, 0) + ф (l)v_x(l, t; l, 0)

l

+ j (M(.C)vx(.l,t; C, 0) + Ф0(С)v^x(l,t; C, 0)) dC — vx(l,t;0,t)ux(0,t) 0

t

+ vx(l, t; 0, 0)ф⁰(0) - j (p,vx(l, t; 0, t) -

VTx(l,t;0,T))ux(0, т) dT

t                                        lt

- j (v§Tx(l,t;0,T) - ^v^x(l,t;0,T))u(0,T) dT - dx j j vfdCdT.

А в силу второго граничного условия ux(l, t) = в1и_х(0, #)+в2u(0, t) окончательно получим второе функциональное соотношение между u(0,t) и ux(0,t)

t

u(0, t) (в2 - v^x(l, t; 0, t)) + j (v₅Tx(l, t; 0, T))u(0, T) dT + Ux(0, t) (в1 + Vx(l, t; 0, t))

t

+ j (p.Vx(l,t;0,T) -

v_Tx(l, t; 0, т))ux(0, т) dT = Aф(l)v(l, t; l, 0) + ^(t)v_x(l, t; l, 0)

l                                                          lt

+ j (M>(.C)vx(l,t; C, 0) + ^(Ov^x(l,t; C, 0)) dC + Vx(l,t;0,0)ф⁰(0) - dX j J vf d^dT.

.

Таким образом, разрешив систему интегральных уравнений Вольтерра второго полученных из функциональных соотношений (31), (32) между u(0,t) и ux(0,t), получим решение задачи (1), (30).

рода, мы и