Нерасширяющие алгебраические операторы

Оператор T в векторной решетке E называют алгебраическим, если для него существует аннулирующий полином, т. е. существуют такие n Е N и a o ,...,a n G R, что ^(Т ) = 0, где ^(t) := a o + a i t + ... + a n t n . Алгебраический оператор с аннулирующим полиномом ^(t) = t ² — t называют проектором. Проектор P называют порядковым, если образ Im(P) и ядро ker(P) служат взаимно дополнительными полосами. Булеву алгебру всех порядковых проекторов в E обозначим символом P(E). Говорят, что P(E) ст-дистрибутивна, если для любой двойной последовательности (n n,_m ) n,_mG N в P(E) выполняется W n_{e N} V _{me N} n _nm = V _{T g N} n W n_{e N} П п,т(n) . Ниже все векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми. Необходимые сведения имеются в [3, 7].

Оператор T в E называют строго диагональным, если существуют попарно дизъюнктные порядковые проекторы P 1 ,..., P m и вещественные числа а 1 ,..., a m такие, что Т = 522 =1 a i P i . В этом определении можем предполагать без ограничения общности, что P i + ... + P n = I e и a 1 ,..., a m попарно различны. Нетрудно заметить, что множество всех строго диагональных операторов в E образует f -подалгебру ортоморфизмов Orth(E). Напомним также, что оператор Т в E именуют нерасширяющим, если x^y влечет T x ⊥ y для всех x, y ∈ E. Если E — решетка с проекциями, то T будет нерасширяющим в том и только в том случае, когда T коммутирует со всеми порядковыми проекторами. Наконец, напомним, что универсально полная векторная решетка или расширенное K - пространство — порядково полная векторная решетка, в которой существует супремум любого дизъюнктного множества положительных элементов. Теперь все готово для формулирки основного результата данной настоящей заметки.

Теорема. Пусть E — универсально полная векторная решетка. Следующие утверждения равносильны:

• (1)    булева алгебра P(E) ст -дистрибутивна;

• (2)    всякий нерасширяющий алгебраический оператор в E порядково ограничен;

• ¹    Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00623-a.

• (3)    всякий нерасширяющий алгебраический оператор в E строго диагонале;

• (4)    всякий нерасширяющий проектор в E является порядковым проектором.

Этот результат связан с проблемой Э. В. Викстеда [12]: В каких векторных решетках все нерасширяющие линейные операторы автоматически порядков ограничены? Историю вопроса и обзор основных результатов можно найти в [4] и [10]. Наиболее полно исследован случай универсально полной векторной решетки. В частности, А. Е. Гутман получил следующий результат [9]:

Теорема Гутмана. B универсально полной векторной решетке любой нерасширяющий оператор порядково ограничен в том и только в том случае, когда в ней булева алгебра порядковых проекторов σ -дистрибутивна.

Разумеется, в части необходимости этого утверждения было бы интересно ограничится более узким классом операторов. Основной результат данной заметки утверждает, что необходимость в теореме А. Е. Гутмана остается в силе, если ограничиться нерасширяющими алгебраическими операторами, и даже нерасширяющими проекторами.

Доказательство основано на понятии d-базиса, см. [4]. Пусть E — универсально полная векторная решетка со слабой единицей 1. Множество E := {e Y : Y Е Г} С E называют d- независимым, если для любого порядкового проектора ρ в E множество {pe Y : Y Е Г, pe Y = 0} линейно независимо. Максимальное по включению d-независимое множество называют d- базисом . Понятие d-базиса можно ввести и для произвольной векторной решетки (см. в [4, 5]), однако оно нам не потребуется. Простейший пример d-независимого множества — одноточечное множество {!}. Универсально полная векторная решетка E со слабой порядковой единицей называется локально одномерной, если {1} является d-базисом в E . Потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Универсально полная векторная решетка E локально одномерна в том и только в том случае, когда булева алгебра проекторов P(E) ст-дистрибутивна.

C Следует из теоремы Гутмана с учетом [2, теорема 2.1] и [11, теорема 3.2]. B

Лемма 2. В любой порядково полной векторной решетке существует d -базис.

C См. [4, предложение 6.2]. B

Лемма 3. Пусть E := {eY, y Е Г} — фиксированный d-базис в универсально полной векторной решетке E. Тогда для любого x Е E существует разбиение единицы (р^)^е= в P(E) такое, что имеет место представление x = ^2 52 aY р^ eY,                                (1)

ξ∈Ξ γ∈Γ где aY — некоторые числа (зависящие от x), причем для любого ££Е имеется лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов αξγ .

C См. [4, с. 33] и [3, предложение 5.1.1 (3)]. B

Лемма 4. В универсально полной векторной решетке E для любой ненулевой полосы B С E существует ненулевая полоса B o С B, в которой существует d-базис, состоящий из слабых единиц в B 0 .

C См. [4, теорема 6.4]. B

Лемма 5. Порядково ограниченный оператор в векторной решетке строго диагона-лен в том и только в том случае, когда он является нерасширяющим и алгебраическим.

C См. [8, теорема 3.3]. B

C Доказательство основного результата.

• (1)    ^ (2) вытекает из теоремы Гутмана.

• (2)    ^ (3) выполняется в силу леммы 5.

• (3)    ^ (4) Пусть P — нерасширяющий проектор в E. Тогда P алгебраичен в силу (3), а потому и строго диагонален. По определению P допускает представление P = 52m =i a i P i , где a i ,..., a _m — вещественные числа, а p i ,..., p _m — попарно дизъюнктые порядковые проекторы. Умножив обе части указанного представления на ρ i , получим p i P = a i p i . Так как (Pp i ) ² = P 2 p 2 = Pp i , то и a i p i должен быть проектором, поэтому a 2 P i = a i p i или p i (a ² — a i ) = 0. Если p i = 0, то либо a i = 1, либо a i = 0, следовательно, P — порядкоый проектор, как сумма попарно дизъюнктных порядковых проекторов.

• (4)    ^ (1) Предположим, что P(E) не является a-дистрибутивной и построим нерасширяющий проектор, не являющийся порядковым проектором. Пусть E = {e _Y } _Y^r — некоторый d -базис в E , который существует по лемме 2. В силу леммы 1, E не является локально одномерным, следовательно, E = {!}, где 1 — фиксированная слабая порядковая единица в E . В силу леммы 3, для элемента x ∈ E существует разбиение единицы (p ^ ) ^_es такое, что

• x = ^ 52 aY p^ eY,

ξ∈Ξ γ∈Γ где множество {y € Г : aY = 0} конечно для каждого £. Учитывая лемму 4, можно предположить без ограничения общности, что 1 € E. Зафиксируем такой индекс yо € Г, что 1 = eY0, и определим оператор P : E ^ E формулой

Px := ^a Y 0 p _s e Y o (x € E ).

ξ ∈ Ξ

Как видно, P корректно определен, линеен и идемпотентен (P = P ² ). Кроме того, непосредственно из определения видно, что P коммутирует с порядковыми проекторами, следовательно, P является нерасширяющим.

Покажем, что P не является порядковым проектором. Это делается аналогично [4, пример 7.11]. Возьмем какую-нибудь полосу B в E и рассмотрим элемент x ∈ B для которого x = pb! + p b e _{Y o} . Согласно лемме 3, имеем: Px = p b e _{Y o} = x. Отсюда видно, что P не является проектором на полосу B . Так как выбор B произволен, то приходим к противоречию, показывающему, что решетка E локально одномернa. B

Следствие 1. Пусть E — универсально полная векторная решетка, причем P(E) не является σ-дистрибутивной. Тогда в E существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами, но не являющийся порядковым проектором.

C Следует непосредственно из основной теоремы. B

Следствие 2. Пусть (Q, S,^) — безатомное пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы. Тогда в векторной решетке L° := L ⁽ Q, Х,^) (классов эквивалентности) всех измеримых функций существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами но не являющийся порядковым проектором.

C Согласно [10, 5.3.3] булева алгебра P(L ⁰ ) a-дистрибутивна тогда и только тогда, когда она атомична. B