Нерасширяющие алгебраические операторы
Автор: Кусраева Залина Анатольевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Установлено, что для универсально полной векторной решетки $E$ равносильны следующие условия: (1)~булева алгебра порядковых проекторов $\mathbb{P}(E)$ $\sigma$-дистрибутивна; (2)~любой нерасширяющий алгебраический оператор в $E$ строго диагонален; (3)~любой нерасширяющий проектор в $E$ порядково ограничен.
Векторная решетка, универсальная полнота, d-базис, локально одномерная векторная решетка, нерасширяющий оператор, строго диагональный оператор, порядковый проектор, $\sigma$-дистрибутивность
Короткий адрес: https://sciup.org/14318430
IDR: 14318430
Текст научной статьи Нерасширяющие алгебраические операторы
Оператор T в векторной решетке E называют алгебраическим, если для него существует аннулирующий полином, т. е. существуют такие n Е N и a o ,...,a n G R, что ^(Т ) = 0, где ^(t) := a o + a i t + ... + a n t n . Алгебраический оператор с аннулирующим полиномом ^(t) = t 2 — t называют проектором. Проектор P называют порядковым, если образ Im(P) и ядро ker(P) служат взаимно дополнительными полосами. Булеву алгебру всех порядковых проекторов в E обозначим символом P(E). Говорят, что P(E) ст-дистрибутивна, если для любой двойной последовательности (n n,m ) n,mG N в P(E) выполняется W ne N V me N n nm = V T g N n W ne N П п,т(n) . Ниже все векторные решетки предполагаются вещественными и архимедовыми. Необходимые сведения имеются в [3, 7].
Оператор T в E называют строго диагональным, если существуют попарно дизъюнктные порядковые проекторы P 1 ,..., P m и вещественные числа а 1 ,..., a m такие, что Т = 522 =1 a i P i . В этом определении можем предполагать без ограничения общности, что P i + ... + P n = I e и a 1 ,..., a m попарно различны. Нетрудно заметить, что множество всех строго диагональных операторов в E образует f -подалгебру ортоморфизмов Orth(E). Напомним также, что оператор Т в E именуют нерасширяющим, если x^y влечет T x ⊥ y для всех x, y ∈ E. Если E — решетка с проекциями, то T будет нерасширяющим в том и только в том случае, когда T коммутирует со всеми порядковыми проекторами. Наконец, напомним, что универсально полная векторная решетка или расширенное K - пространство — порядково полная векторная решетка, в которой существует супремум любого дизъюнктного множества положительных элементов. Теперь все готово для формулирки основного результата данной настоящей заметки.
Теорема. Пусть E — универсально полная векторная решетка. Следующие утверждения равносильны:
-
(1) булева алгебра P(E) ст -дистрибутивна;
-
(2) всякий нерасширяющий алгебраический оператор в E порядково ограничен;
-
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00623-a.
-
(3) всякий нерасширяющий алгебраический оператор в E строго диагонале;
-
(4) всякий нерасширяющий проектор в E является порядковым проектором.
Этот результат связан с проблемой Э. В. Викстеда [12]: В каких векторных решетках все нерасширяющие линейные операторы автоматически порядков ограничены? Историю вопроса и обзор основных результатов можно найти в [4] и [10]. Наиболее полно исследован случай универсально полной векторной решетки. В частности, А. Е. Гутман получил следующий результат [9]:
Теорема Гутмана. B универсально полной векторной решетке любой нерасширяющий оператор порядково ограничен в том и только в том случае, когда в ней булева алгебра порядковых проекторов σ -дистрибутивна.
Разумеется, в части необходимости этого утверждения было бы интересно ограничится более узким классом операторов. Основной результат данной заметки утверждает, что необходимость в теореме А. Е. Гутмана остается в силе, если ограничиться нерасширяющими алгебраическими операторами, и даже нерасширяющими проекторами.
Доказательство основано на понятии d-базиса, см. [4]. Пусть E — универсально полная векторная решетка со слабой единицей 1. Множество E := {e Y : Y Е Г} С E называют d- независимым, если для любого порядкового проектора ρ в E множество {pe Y : Y Е Г, pe Y = 0} линейно независимо. Максимальное по включению d-независимое множество называют d- базисом . Понятие d-базиса можно ввести и для произвольной векторной решетки (см. в [4, 5]), однако оно нам не потребуется. Простейший пример d-независимого множества — одноточечное множество {!}. Универсально полная векторная решетка E со слабой порядковой единицей называется локально одномерной, если {1} является d-базисом в E . Потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Универсально полная векторная решетка E локально одномерна в том и только в том случае, когда булева алгебра проекторов P(E) ст-дистрибутивна.
C Следует из теоремы Гутмана с учетом [2, теорема 2.1] и [11, теорема 3.2]. B
Лемма 2. В любой порядково полной векторной решетке существует d -базис.
C См. [4, предложение 6.2]. B
Лемма 3. Пусть E := {eY, y Е Г} — фиксированный d-базис в универсально полной векторной решетке E. Тогда для любого x Е E существует разбиение единицы (р^)^е= в P(E) такое, что имеет место представление x = ^2 52 aY р^ eY, (1)
ξ∈Ξ γ∈Γ где aY — некоторые числа (зависящие от x), причем для любого ££Е имеется лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов αξγ .
C См. [4, с. 33] и [3, предложение 5.1.1 (3)]. B
Лемма 4. В универсально полной векторной решетке E для любой ненулевой полосы B С E существует ненулевая полоса B o С B, в которой существует d-базис, состоящий из слабых единиц в B 0 .
C См. [4, теорема 6.4]. B
Лемма 5. Порядково ограниченный оператор в векторной решетке строго диагона-лен в том и только в том случае, когда он является нерасширяющим и алгебраическим.
C См. [8, теорема 3.3]. B
C Доказательство основного результата.
-
(1) ^ (2) вытекает из теоремы Гутмана.
-
(2) ^ (3) выполняется в силу леммы 5.
-
(3) ^ (4) Пусть P — нерасширяющий проектор в E. Тогда P алгебраичен в силу (3), а потому и строго диагонален. По определению P допускает представление P = 52m =i a i P i , где a i ,..., a m — вещественные числа, а p i ,..., p m — попарно дизъюнктые порядковые проекторы. Умножив обе части указанного представления на ρ i , получим p i P = a i p i . Так как (Pp i ) 2 = P 2 p 2 = Pp i , то и a i p i должен быть проектором, поэтому a 2 P i = a i p i или p i (a 2 — a i ) = 0. Если p i = 0, то либо a i = 1, либо a i = 0, следовательно, P — порядкоый проектор, как сумма попарно дизъюнктных порядковых проекторов.
-
(4) ^ (1) Предположим, что P(E) не является a-дистрибутивной и построим нерасширяющий проектор, не являющийся порядковым проектором. Пусть E = {e Y } Y^r — некоторый d -базис в E , который существует по лемме 2. В силу леммы 1, E не является локально одномерным, следовательно, E = {!}, где 1 — фиксированная слабая порядковая единица в E . В силу леммы 3, для элемента x ∈ E существует разбиение единицы (p ^ ) ^es такое, что
- x = ^ 52 aY p^ eY,
ξ∈Ξ γ∈Γ где множество {y € Г : aY = 0} конечно для каждого £. Учитывая лемму 4, можно предположить без ограничения общности, что 1 € E. Зафиксируем такой индекс yо € Г, что 1 = eY0, и определим оператор P : E ^ E формулой
Px := ^a Y 0 p s e Y o (x € E ).
ξ ∈ Ξ
Как видно, P корректно определен, линеен и идемпотентен (P = P 2 ). Кроме того, непосредственно из определения видно, что P коммутирует с порядковыми проекторами, следовательно, P является нерасширяющим.
Покажем, что P не является порядковым проектором. Это делается аналогично [4, пример 7.11]. Возьмем какую-нибудь полосу B в E и рассмотрим элемент x ∈ B для которого x = pb! + p b e Y o . Согласно лемме 3, имеем: Px = p b e Y o = x. Отсюда видно, что P не является проектором на полосу B . Так как выбор B произволен, то приходим к противоречию, показывающему, что решетка E локально одномернa. B
Следствие 1. Пусть E — универсально полная векторная решетка, причем P(E) не является σ-дистрибутивной. Тогда в E существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами, но не являющийся порядковым проектором.
C Следует непосредственно из основной теоремы. B
Следствие 2. Пусть (Q, S,^) — безатомное пространство с мерой, обладающее свойством прямой суммы. Тогда в векторной решетке L° := L ( Q, Х,^) (классов эквивалентности) всех измеримых функций существует проектор, коммутирующий с порядковыми проекторами но не являющийся порядковым проектором.
C Согласно [10, 5.3.3] булева алгебра P(L 0 ) a-дистрибутивна тогда и только тогда, когда она атомична. B
Список литературы Нерасширяющие алгебраические операторы
- Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность//Докл. АН СССР.-1979.-Vol. 248, \No 5.-C. 1033-1036.
- Абрамович Ю. А., Векслер А. И., Колдунов А. В. Операторы, сохраняющие дизъюнктность, их непрерывность и мультипликативное представление//Линейные операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр.-Л.: ЛГПИ, 1981.-C. 3-34.
- Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.-М.: Наука, 2003.-619 c.
- Abramovich Yu. A., Kitover A. K. Inverses of disjointness preserving operators//Memoirs of the American Mathematical Society.-2000.-Vol.143, \No 679.
- Abramovich Yu. A., Kitover A. K. $d$-Independence and $d$-basis in vector lattices//Rev. Roumaine Math. Pures Appl.-1999.-Vol. 44, \No 5-6.-P. 667-682.
- Abramovich Yu., Wickstead A. The regularity of order bounded operators into $C(K)$//Quart. J.~Math. Oxford, Ser. 2.-1993.-Vol.4.-P. 257-270.
- Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.-London: Acad. Press Inc., 1985.
- Boulabiar K., Buskes G., Sirotkin G. Algebraic order bounded disjointness preserving operators and strongly diagonal operators//Integral Equations and Operator Theory.-2006.-Vol. 54.-P. 9-31.
- Gutman A. E. Locally one-dimentional K-spaces and $\sigma$-distributive Boolean algebras//Siberian Adv. Math.-1995.-Vol. 5, \No 2.-P. 99-121.
- Gutman A. E., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. The Wickstead problem//Siberian Electronic Math. Reports.-2008.-Vol. 5.-P. 293-333.
- McPolin P. T. N., Wickstead A. W. The order boundedness of band preserving operators on uniformly complete vector lattices//Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.-1985.-Vol. 97, \No 3.-P. 481-487.
- Wickstead A. W. Representation and duality of multiplication operators on Archimedean Riesz spaces//Comp. Math.-1977.-Vol. 35, \No 3.-P. 225-238.