Неравенство типа Брунна - Минковского в форме Хадвигера для обобщенных степенных моментов

DOI:

Классическое неравенство Брунна — Минковского позволяет сравнить площади и объемы областей. А именно, справедливо неравенство

| Q + ^ 1 | ^{1 /п} >| П о | ^{1 /п} + | ^ 1 | ^{1 /п} ,                              (1)

где | Q | — мера множества Q; Q ₀ , Q 1 — выпуклые тела в R ⁿ , Q 0 +Q 1 := { z ₀ +z1 Е R ⁿ : z ₀ Е Е Q0,z1 Е Q 1 } — векторная сумма (сумма Минковского). В 1887 г. неравенство (1) было получено Брунном в случае п = 3. В 1910 г. Минковский указал Брунну на ошибку в доказательстве, которую тот исправил, а также придумал свое доказательство. И Брунн, и Минковский показали, что равенство достигается тогда и только тогда, когда Q 0 и Q 1 являются равными с точностью до переноса и расширения.

Долгое время считалось, что неравенство Брунна — Минковского относится только к геометрии, где его значение широко известно. Но в середине XX в. Х. Хадвигер и Охман (H. Hadwiger, D. Ohmann [10]), независимо от них Л.А. Люстерник (L.A. Lus-ternik, [14]), доказали, что неравенство (1) верно для произвольных ограниченных измеримых множеств Qo и Q1- Неравенство (1) при произвольных Qo и Q1 принято называть общим неравенством Брунна — Минковского. C тех пор неравенство начало свой путь в область анализа. В 1956 г. Х. Хадвигер (H. Hadwiger, [11]) доказал неравенство типа Брунна — Минковского для двух моментов выпуклой области, а именно, момента относительно центра масс и момента относительно гиперплоскости. В 1971–1972 гг. А. Прекопа (A. Pre´kopa, [16]) и Л. Лайндлер (L. Liendler, [13]) доказали следующую функциональную версию неравенства Брунна — Минковского.

Теорема 1. Путь 0 < t <  1 , fo, f ₁ , h — неотрицательные интегрируемые функции в R ” , удовлетворяющие условию

h((1 - t)x + ty) >  f o (x) ¹ V^y^

для всех x,y Е R ” . Тогда

J h(x)dx >  I J fo(x)dx 1 I J f ₁ (x)dx 1 .

R "             \ R "         /      \ R "         /

Последние 30–40 лет тематика, связанная с неравенством Брунна — Минковского, стремительно развивается. Неравенство широко используется в геометрическом анализе, математической физике и теории вероятностей. Усиления теоремы 1 и ряд новых результатов можно найти в статьях [5; 6]. Литература по неравенствам типа Брунна — Минковского и основные результаты, появившиеся до 2006 г., содержатся в обзорных статьях [4; 9]. В 2007 г. Г. Кэди (G. Keady [12]) доказал неравенство типа Брунна — Минковского для функционала, введенного Ф.Г. Авхадиевым [2]. Развитие результата Г. Кэди, а также неравенства для новых типов функционалов были получены в работах [1; 3]. Отметим также ряд статей, появившихся в последние годы [7; 8; 15].

Приведем формулировку результата Х. Хадвигера [11].

Пусть Q — ограниченная, выпуклая область в R ” . Через s обозначим центр масс области Q. Определим функционал

^I(Q) = W ^{| s,}p | ^{2 d}p, p ^{Е Q,}

Q где |s, p| — расстояние от точки s до p.

Теорема 2. Пусть Q _o , Q ₁ — ограниченные, выпуклые области в R ” . Тогда функционал I (Q _t ) ^{1 / ( n +2)} вогнут по t :

I (< ?_t г "'' ' ² >  (1 - t)I (Q ₀ ) ^{1 / ( n +2)} + tl (Q ₁ ) ¹ / ^{( и} +²) ,                       (3)

где Q t = { (1 - t)po + tp 1 | p o Е Q q ,P 1 Е Q 1 } , 0 <  t <  1.

В работе [3] было получено обобщение неравенства (3) для функционала

I(k, Q) = J ( a ₁ | x ₁ Q

— S 1 | ^fc + a 2 | x 2 — S2l ^k + • • • + a _n lx _n — s _n l^k ) dx, k Е (1, + ^ ),

где s ₁ ,s ₂ ,... ,s _n — координаты точки минимума функции

I(у) = J (a1|x1 — y1lk + a2|x2 — y2lk +-----+ a„|xn — ynlk) dx, dx = dx1dx2 •• • dxn

Q переменных у = (у1, у2,..., уп) Е Rn; x1,x2,...,xn — декартовы координаты точки x Е fi, к Е (1, +то), а > 0, г = 1, 2,..., п — произвольные действительные числа.

Теорема 3. Пусть fi ₀ , fi 1 - ограниченные области в R ⁿ , представимые в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функционал I(к, ^)¹ / ^{( к + п )} вогнут:

I (к, fi t ) ^{1 / ( к + п )} >  (1 - t)I (к, fi,,) ' ' ^{к +}' + tI (к, fi , ) ' ' ^{к +}' ,                    (5)

где fi t = { (1 — t)zo + tZ1 | zo Е fi o , Z1 Е fi 1 } , 0 <   t <   1, к Е (1, +^o).

Целью данной работы является обобщение неравенства (5).

1.    Основной результат

Пусть fi — ограниченная область в R ⁿ . Определим функционал

I(к; m; fi) = W ^^ — 8 1 | ^к +-----+ o „ | x „ — s „ | ^k ) ^m dx,              (6)

Q где к Е (0,1] при m Е (0,1) U (1, +то) и к Е (0, +то) при m = 1; aj(j = 1,п) Е Е (0, +^) — произвольные действительные числа, 81, 82, . . . , 8п — координаты точки минимума функции

I ( у ) = J ( а 1 | ж 1 — у 1 | ^к + а 2 | ж 2 — у 2 | ^к +----- + a „ | x „ — у „ | ^к ) ^m dx, dx = dx1dx ₂ • • • dx_n

Q переменных у = (у1,у2,..., уп) Е Rn, где x1,x2,...,xn — декартовы координаты точки x Е fi.

Основным результатом данной статьи является следующая теорема.

Теорема 4. Пусть fi ₀ , fi x - ограниченные области в R ⁿ , представимые в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Тогда функционал I (к; m; fi) ^{1 / ( km + n )} вогнут, то есть имеет место неравенство

I(к; т; fi _^ ) ^{1 / ( km + n )} >  (1 — t)I (к; m; fi ₀ ) ^{1 / ( кт + п )} ₊ tI (к; т; fi ₁ ) ^{1 / ( k} ™^{+ n )} ,        (7)

где fi _t = { (1 — t)z ₀ + tz1 | z ₀ Е fi ₀ , z 1 Е fi 1 } , 0 <  t <  1 , к Е (0,1] при m Е (0,1) U (1, + то ) и к Е (0, + то ) при m = 1 .

При m = 1 функционал I(к; 1;fi) изучен в работе [3]. Поэтому далее везде m = = 1. Отметим, что метод, разработанный Г. Кэди в [12], не подходит для получения неравенства (7), но используется нами при получении вспомогательных результатов, а именно леммы 4.

2.    Вспомогательные леммы и их доказательства

В дальнейшем нам понадобится следующая известная (см. например, [9]) лемма. Лемма 1. Пусть Р,Р ₀ ,Р1 — ограниченные области в R ⁿ , F — положительный, однородный первой степени функционал, то есть

F(8Р) = 8F(Р) V 8 > 0, является квазивогнутым:

F(Pt) >  min(F (Po)),F(Pi)) V t E [0, 1].

Тогда он вогнут, то есть

F(Pt) > (1 - t)F(Po) + tF(Pi) V t E [0, 1], где Pt = {(1 — t)z0 + tz1 | z0 E Po, z1 E P1}, 0 < t < 1.

Для доказательства теоремы 4 нам понадобится ряд вспомогательных результатов. Займемся их получением.

Пусть E — гиперплоскость размерности n — 1, содержащая начало координат О E R ” , и — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный E . Гиперплоскость E разбивает R ” на два полупространства:

Н+ = {ж E R” | (ж, и) > 0},  Н- = {ж E R” | (ж, и) < 0}, где (ж, и) — скалярное произведение векторов ж, и в R”.

Обозначим d = | E,z | — расстояние от точки z E fi до гиперплоскости E и введем функцию h(d) = d^k , к E (0,1] расстояния d.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Имеет место неравенство

h(dt) > (1 — t)h(d1) + th(d2), dt = (1 — t)d1 + td2, 0 < t < 1, то есть функция h(d) вогнута.

Доказательство. Пусть для определенности d1 < d ₂ . Имеем

Л = h(d _t ) — (1 — t)h(d1) — th(d ₂ ) = (1 — t)[h(d _t ) — h(d 1 )] + t[h(d _t ) — h(d ₂ )].

Применяя к разностям в квадратных скобках теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем

h(dt) — h(di) = F(ci)(dt — di), h(dt) — ^(d2) = d‘(C2)(dt — d2), где c1 E (d1, dt), c2 E (dt, d2). Поэтому с учетом dt—d1 = t(d2—d1), dt—d2 = (1—t)(d1—d2) будем иметь:

Л = t(1 — t)(d2 — di)(h‘(ci) — h‘(c2)), откуда, используя снова теорему Лагранжа, получим

^Л = ^{t(1 — t)(d} 2 ^{— d} 1 ^)h ‘‘ ^(c 0 ) • ^(c 1 ^{— c} 2 ), ^c 0 ^{E (c} 1 , ^c 2 ).

Но h " (d) = k(k — 1)d ^{k -2} <  0 V k E (0,1], V d > 0. Поэтому с учетом c1 — c ₂ < 0 имеем Л >  0 V t E [0,1], V k E (0,1]. Следовательно, h(d _t ) >  (1 — t)h(d 1 ) + th(d ₂ ). Лемма 2 доказана.

Из леммы 2 непосредственно следует следующая лемма.

Лемма 3. Пусть Q ₀ , Q 1 Е Н ₊ или Н _- — ограниченные области в R ⁿ . Тогда справедливо неравенство

\E,zt\k > (1 - t)lE,Zolk + tlE,Z1lk Vk Е (0,1], Vt Е [0,1], где Qt = (1 — t)Q0 + tQ1, zt = (1 — t)z0 + tz1 Е Qt, z0 Е Q0, z1 Е Q1.

Доказательство. Обозначим dt = |E, zt|, d0 = |E,z0|, d1 = |E,z1|. Заметим, что dt = (1 — t)d0 + td1. Используя лемму 2, получаем dk > (1 — t)dk + tdk,

| E,z t | ^k >  (1 — t) | E,z 0 | ^k + t | E,z i | ^k Vk Е (0,1], Vt Е [0,1].

Лемма 3 доказана.

Далее, без ограничения общности рассуждений, будем считать, что точка минимума s = (s 1 ,...,s _n ) функционала I (k;m;Q) совпадает с началом координат О. Через E j обозначим гиперплоскость X j = 0. Пусть U j — нормированный вектор с началом в точке О, ортогональный E j , j = 1,п. Заметим, что | E j ,z | = | x j | , j = 1,n. Поэтому функционал I (k;m;Q), определенный формулой (6), можно представить в виде

I (k;m;Q) = I (k; m; Q; E q ) = W ( a i | E i ,z | ^k + a 2 ^, z | ^k +----- + a _n | E _n ,z | ^k ) dz,

Q k Е (0,1], m Е (0,1) U (1, +ro),                              (8)

где обозначение I(k;m;Q;E _Q ) подчеркивает тот факт, что гиперплоскости E j (j = 1,n) проходят через точку минимума функционала I (k;m;Q), которая совпадает с началом координат.

Каждая гиперплоскость E j разбивает R ⁿ на два полупространства:

Н = {х Е R ⁿ | (x,U j ) >  0 } ,   H j = {х Е R ⁿ | (x,U j ) <  0 } , j = 1,n.

Рассмотрим всевозможные пересечения полупространств H j , i j = 0,1, j = 1,n:

n

Г\н ‘ ; = н_Й = Н( _{1 к 1 1} .._л „ ),                              (9)

j =1

где H j ³ = { x Е R ⁿ | (x, ( — 1y^jU j ) >  0 } , i j = 0,1, j = 1,n); (i) = (i 1 • • • i _n ) — мультииндекс. Отметим, что всего пересечений Н (^) 2 ⁿ единиц.

Пусть Q — ограниченная область, полностью лежащая в одном из пересечений Н( г ). Такую область обозначим через Q ^{( z )} . Рассмотрим функционал

I(k;m;Q(z))= W Dm(k; z)dz, m Е (0, +то), где принято обозначение

D(k; z) = a i | E i ,z | ^k + a 2 | E 2 ,z | ^k + ... + a n | E n ,z | ^k , k Е (0,1].           (10)

Имеет место следующая лемма.

Лемма 4. Пусть Q g ¹ ) , Q^ ) — ограниченные области в R ” , полностью лежащие в пересечении Н^ . Тогда функционал I ^{1 / ( km + n )} (k; m;Q ^{( 1 )} ) вогнут, то есть справедливо неравенство

I W^^m-Q)) >  (1 - t)I ^^(k^Q^H

+ tI ^{1 / ( km + n )} (k;m-;Q ₁ i ⁾ ), t G [0,1],k G (0,1], m G (0, + ^ ).

Доказательство. Пусть Q^ = {z_t = (1 — t)z _g + tz ₁ | z _g G Q g ¹ ) , z ₁ G Q^ } — сумма Минковского областей (1 — t)Qg ) и tQ ^ ¹ ) . Заметим, что Q t ¹ ) G Н^ ) . Принимая во внимание лемму 3, из (10) будем иметь:

D(k; zt) > (1 — t)D(k; zg) + tD(k; zi).(11)

Применим к правой части (11) неравенство о среднем, после чего обе части возведем в степень m. Получим

Dm(k; zt) > D(1-t)m(k; zg) • Dtm(k; zi), t G [0,1].(12)

Введем в рассмотрение функции:

/(z) = Dm(k; z)X> (z), /g(z) = Dm(k; z^ (z), nt

/i(z) = Dm(k; z^) (z), где xq (z) — характеристическая функция области Q. Тогда, используя (12) и известное неравенство для характеристических функций xo«(zt) (см. например, [9])

ⁿ t

Xnt ((1 — t)z + М > [XQo(z)]1-t • [XQ1( ^' ', получаем

^{1 - t}

/(z t ) = D ^m (k; z t )x^m« (z t ) >  [D ^m (k; z g )x ^m < ₁ ) (z g )]     •

t

•[Dm(k; zi)xm<) (zi)] =/g1-t(zg) •/!(zi), то есть условие теоремы Прекопа — Лайндлера (теорема 1) выполняется. Поэтому

I(k; m; Qt1)) > 11-t(k; m; Q01)) • It(k; m; Qi1)), Vt G [0,1], откуда следует, что функционал 11/(km+n)(k; m;Q(1)) квазивогнут. Кроме того, имеем

I(k; m; AQ(1)) = Xkm+^I(k; m; Q(1)), то есть I(k;m;Q(1)) — однородный функционал степени km + n, откуда следует, что 11/(fcm+«)(k; m; Q(1)) — однородный функционал первой степени. Таким образом, для функционала 11/(fcm+n)(k; m; Q(1)) все условия леммы 1 выполнены. Поэтому функционал 11/(fcm+n)(k; m; Q(1)) вогнут. Лемма 4 доказана.

Пусть теперь fi — ограниченная область в R ⁿ , представимая в виде объединения конечного числа выпуклых областей. Обозначим

fi^W = fi п Н^, (i) = (i ' • • • i _n ), i j = 0,1; j = 1,п.

Тогда область fi есть объединение областей Q ^{( i )} : fi = U fi ^{( i )} , | i | = i' + • • • + i _n , причем

п

l « l =0

число слагаемых в этом объединении равно 2 ^п . В соответствии с этим разбиением области fi для функционала I(к; m; fi) = I(к; m;fi; E q ) , определенного формулой (8), имеем представление

п

I(к; т; fi; E q ) = ^ I (к; т; fi^M; E q ) , | i | =0

где fi^w С Н^.

Перейдем к доказательству теоремы 4.

3. Доказательство основного результата

Для большей наглядности теорему 4 сначала докажем при п = 2. В этом случае имеем:

Н (00) = Н п Н0, Н (01) = Н П Н ' , Н (10) = Н ' П Н, Н (11) = Н ' п Н ' , где Н 0 — правая, Н ' — левая, Н 0 — верхняя, Н ' — нижняя полуплоскости. Обозначим:

fi j^Z№) = fi j п Н ( _г 1 , 2 ) , i 1 ,i 2 = 0,1; j = 0, 1,t.

Тогда

fi j = fi j⁰⁰⁾ u fi j¹⁰⁾ U fi j¹¹) U fi j⁰¹⁾ , j = 0,1,t.

Заметим, что

(1 - t)fi 0' 1 ' ^{2 )} + tfif^ С fif ¹ ' ² ) , i 1 ,i 2 = 0,1.

Определим новые области fi _{0 T} , fi _{1 T} так, что точки z T Е fi _{0 T} , z T E fi _{1 T} будут получаться из точек z ₀ Е fi ₀ , z1 E fi 1 следующим образом:

z T = Z ₀ + tTU1, z T = Z ' — (1 — t)TU 1 .

Легко заметить, что (1 — t)zj + tzT = zt, то есть fit = (1 — t)fi0T + tfi1T. Введем функции f        I (к; m;n0”);EQ,)      ( ) = I (к; m; fi'”); Eq,)

^1T      I (к; m;n <'⁰⁾ ;E Q, ) ’ ^П ' ^T      I (к; m; fi ''⁰) ; E q , )'

Функции ^'(t), ni(T) будем рассматривать на конечном интервале (а0, а1), где а0 — достаточно малое отрицательное, а1 — достаточно большое положительное числа. Легко видеть, что на (а0, а1) функция ^1 (т) монотонно возрастает от 0 до +^, а функция п1(т) монотонно убывает от +то до 0. При достаточно малых отрицательных т («0 < т < в0) получаем, что ^1 (т) = 0, п1(т) = +то, а при достаточно больших положительных т (в1 < т < a1) имеем ^1(т) = +то, п1(т) = 0. Тогда, принимая во внимание свойства монотонных и непрерывных функций, получаем, что существует точка т1 такая, что

Ыя) = n i ( t i ) = Z i , 0 < Z i = то .

Тогда из (16) получим

^I(к; ^т;Я 0™’ ; ^Е п , ) = М(к; ^т;° 0Т⁰’ ; Еп , ),

I (к; т;Я 1“’ ; Е _а , ) = Z1I (к; т;Я 1“’ ; Е _а , ).                      (17)

Кроме того, учитывая соотношения (14) и используя лемму 4, будем иметь:

I(к; т; я !"² ’ ; Еп , ) >  [ (1 - t)I ^{1 / ( t} ”⁺²> (к; т; Я 0« ^{i 2} > ; Еп , ) +

+ tI W"* ²’ (к; т;О™ 2 ; Еп , ) ] *”"⁺2 , W2 = 0, 1.               (18)

Теперь, если учесть (18), (17), то получим

I(к; т; Я ⁽⁰⁰’ ; Е п , ) + I(к; т; Я *¹⁰’ ; Е п , ) >

> (1 + Z1)[(1 - t)11/<‘">+2’(к; т; Я^’; Еп,) + tI 1/<‘">+2’(к; т; Я™; Еп,)]‘"+2, откуда, возводя обе части неравенства в степень 1/(кт + 2) и снова используя соотношения (17), будем иметь:

[ I(к;т;ЯГ; Е п , ) + I (к;т;Я *¹⁰’ ; Еп , )] ^{1 / (}‘"^+г) >

• >    (1 + _{С 1} ) ^{1 /} (‘">+²’ [ (1 - t)1 1 ^/ <‘">+²’ (к; т; О^; Еп , ) + tI ^{1 / (}‘">⁺²’ (к; т; ЯЦ”; Е п , ) ] =

  = (1 - t)I '"'" ' ²Я к; т; 0 00 1 ; Е п , ) + tI ^{1 /} <^t'"⁺²’ (fc; т; Я® ; Е п , ).

Следовательно,

I (к; т; O j⁰⁰’ ; Е п , ) + I (к; т; O j¹⁰’ ; Е п , ) >

• >    [ (1 - t)1 ^{1 /} (^"⁺²’ (к; т; Я 0° 1 ; Е п , ) + tI ^^(к; т; Я® ; Е п , )f "^      (19)

где Я® = Я ^ ⁰⁰ U Я *¹⁰’ , з = 0,1. С учетом (9) легко видеть, что Я® = Я ,т 1 П Я ° .

Теперь, если принять во внимание соотношение (13) и неравенство (19), то будем

I (к;m;Я _^ ;Е п , ) >  [ (1 - t)I ^^’(к; т; Я <0 1 ; Е п , ) +

+ tI ^{1 /} (^т+²’ (к_; т; Я^ ! ; Е п , ) ]       + I (к; т; Я ;¹¹’ ; Е п , ) +

+ 1 (к;т;Я ⁽⁰¹’ ;Е п , ),                                   (20)

где Я 0т 1 = Я 0 + tT 1U1, Я 1т 1 = Я 1 - (1 - 1) T 1 U 1 , Я *⁰ ! = Я ,т 1 П Я ° , 3 = 0,1.

Неравенство (20) справедливо для любых областей Я ₀ , Я 1 , удовлетворяющих условиям теоремы 4. Пользуясь этим фактом, области Я ₀ , Я 1 снова подвергнем переносу (15) в направлении оси 0X1. Получаем новые области

^ 0т 1 т = Я 0 + ^(Т 1 К 1 + TU 1 ), Я 1т 1 т = Я 1 - (1 - t)(T 1 U i + TU 1 ).

Заметим, что Q _t = (1 - t)Q _{0 T 1 T} + tQ _{1 T 1 T} .

Введем функции

, ₍ ) = ^{1 (к}; т^^Т; ^En)    ₍ ) = ^1(к; т^З; ^En )

• ^{2     1 (к}; т^^Т; E^ t ),          ^{1 (к}; ^^Т; ^En ),

которые обладают теми же свойствами, что и функции ^ _т (т), n 1 (T) вида (16). Поэтому существует точка т ₂ такая, что £ ₂ ( t ₂ ) = n ₂ ( t ₂ ) = Z ₂ , 0 <  Z2 = то , следовательно, имеют место формулы

• ^{1    (к}; т; ^Т 2 ; ^E Qt ) = ^Z 2 ^{I (к};^m; ^Т 2 ; ^E n ),

• ^{1    (к};^m; Q 1⁰¹T , ; ^E Q t ) = ^Z 2 ^{I (к};^m; ^S , ; ^e q , ) •

Далее, рассуждая как и выше, приходим к неравенству

I (к; m; Q t¹¹) ; E _n , ) + I (к; m; Я <⁰¹’ ; E _n , ) >  [(1 - t)1 ¹/<‘">+²) (к; m; Я ОТ . т , ; E _n , ) +

+ ti '         ■'. т;ПЦ т , ; En . ) ] ^{1 / l}‘ ^m+a , qM^, = q^ 2 _{и П} <ЦТ 2 , 2 = 0,1.    (21)

Заметим, что Qj¹^₂ = Q < _{Т 1 Т} , П Н. Тогда из (20) с учетом (21) будем иметь:

I (к; m; fi t ; E _a ) >  [ (1 - t)1 ^1/|-¹'"^+2, (к; m; Я^, ; E _a ) +

+ tI 1 ^{/ | ь} "^+2, (к; m; Я*^, ; E _n „ ) ] ‘"*⁺² + [ (1 - t)1 ^{1 / |}‘"^+г> (к; m; Я^ т , ; E „ _e ) +

+ tI W"-^ (к; m; Я^, ; E„ _t ) ] ‘"‘⁺² ,                      (22)

^{где Я} 0т it, = ^Я 0 + ^t(^T 1 + ^т 2 ) ^д 1- ^Я 1т 1 т , = ^Я 1 ^- (1 ^{- t})(^T 1 + ^т 2 )^д 1 - ^Я <т 21Т, ^{= Я} <Т 1 Т , ^{П Н} 2 2 > 2,1 2 =0, 1.

Области Я ₀ , Я _т третий раз подвергаем переносу, но на этот раз в направлении оси OX 2 :

г Т = 2 0 + tTU2, ^^т = 2 1 - (1 - t)TU 2 , 2 j G Я < , 2 = 0, 1.

При этом области Я <_{Т 1 Т2} перейдут в области

Я 0 1 2 ⁼ Я 0 + t( TU 2 + (T i + T ₂ )U 1 ),

^Я 1т г т , т = ^Я 1 ^{- (1 - t)(т}« 2 ^{+ (Т} 1 ^{+ т} 2 ⁾^ 1 ⁾.

Заметим, что Q _t = (1 - t)Q _{0 T 1 Т} , _Т + tQ 1 _{Т 1 Т} , _Т , где т — любое число.

Введем функции

^z ) = ^I (к; т;^⁰^; ^E^ _t )    /) = IW^mi^{Я О}i ттJ^

• ³        I^(к; т;^011 т 2 т ; ^E^ t ) ’ ¹¹³         I^(к; ^т; ^Я 1т , т 2 т ; ^E^ t ) ’

где ^ ут²1) _т2т = Я ' _т 1 _т 2 _т ^ Н^г ₂ 2 , j,i ₂ = 0,1. При помощи аналогичных рассуждений приходим к тому, что существует точка т ₃ такая, что

^а(тз) = Пз(тз) = Z3, 0 < Z3 = то и, следовательно, имеем

• ^{1    (к};^т; ^Яо?₁т 2 т з ; ^E^ t ) = ^z a ^{I (к};^т; ^О^ т з ; ^E ^ t )>

I (к; т;П^ 1_Т2 т з ; E^ _t ) = Z 3 I (к; т-,^^ ; E^ t )■                 (23)

С учетом (23) из (22) получим

I(к; т; Я , ; E„ , ) >  (1 + Z3 ) [ (1 - t)I¹№' " ⁺² 1(к; т; Я™^; E _& ) +

+ tI ^—2 (к; т; Я» ¹ ,^; E_n , )]" ”⁺² , откуда, возводя обе части неравенства в степень 1/(кт + 2), после этого используя снова соотношения (23), получаем

I ^{1 / (}^⁺²) (к; т; Я , ; E^ t ) >  (1 - t)IW"^^ т; Яо т ,т ₂ т з ; E^ t ) +

+ tI / /^"^-^^({ктпЯ!^^^^ ;E^ t ),                         (24)

где ^' т^т з = ^Я ^т ,Т2 т з ^{Я Я} ^т 1т2 т з , 3 = ⁰, ^1.

По определению функционалов I(к;m;Я;En) имеем неравенства

I(к; т; Я ^ т^ ^ т з ;E^ _t ) >  I(к; т; Я ^ тз^т з ; E^ ₃ T 1 т₂т₃ ), 3 = 0,1.

Но функционал I(к; т; Я ' _т 1_т2 _{т з} ; E^ _{j TiT2T3} ) (j = 0,1) инвариантен относительно переноса областей. Поэтому

I (к;т;Я ₃ т ,т2 т з ;En ₃ т₁т 2 т₃ ) = I (к;т;Я ₃ ; E^), j = 0,1.                (25)

С учетом этого из (24) получим

I ^/ / ^" ^г-²² кQ;т"Я^tJ5^ ) >  (1 — t)I ^/ /^^^{m+ 2} ккk^,mЯЯ_(^JS 0 _^o ) +

+ tI//^"^2)(ккт m;Я1;EQ1), то есть теорема 4 при п = 2 доказана.

Заметим, что в силу (25) при каждом переносе областей, не ограничивая общности рассуждений, мы последовательно можем считать, что т 1 = т ₂ = т ₃ = 0. Этим фактом воспользуемся при доказательстве теоремы 4 в общем случае.

Общий случай . В соответствии с формулой (13) имеем

n

I ^(k; m;n _t ; E _{Q t} ) = £ I(k; m;^?; E^ _t ) = l « l =0

n — 1

= £ [i (k; m ;^² ’ ; E _& ) + I (k; m;fi t^{1 Y} 2 ) ; E _& )],               (26)

| Y 2 | =0

где ( y ₂ ) = (i ₂ ... i _n ) — мультииндекс, i j = 0,1; j = 2, n.

Так как (1 — t)^^ ¹^²^ + t Q^1 ^Y 2 ’ C О^^т\ i1 = 0,1, то в силу леммы 4 имеем

I(k; m;^2’; Еп^ > [(1 — t)IV^^k; m; Q01Y2’; Ea) + km+n

+ tI ^{1 /} ( ^{km + n} ’ (k; m;^² ’ ; E^ )]     , i i = 0,1, |_T 2 1 = 0,n — 1.          (27)

Образуем новые области Q _{0 t} , Q _{1 t} , подвергая Q ₀ , Q 1 последовательно 2 ^{n 1} переносам в направлении вектора u 1 :

Q _{0 t} = Q ₀ + tTn ₁ , Q _{1 T} = Q 1 — (1 — t)Tn ₁ .

Ясно, что Q _t = (1 — t)Q _{0 T} + tQ _{1 T} . При каждом таком переносе рассмотрим функции

. („> ._) = I (k; ■/' . ;/ : . )    , _{V 2} )     = I (к; m;^* ² ’ ; Eg, )

¹         I(k; m;Q«^{Y I} > ; E _n . ) ’ ^П 1         I(k; m;^ ’ ; E _a ) ’

(Y2) = (i2,... ,in), |Y2| = 0,n — 1.(28)

Функции ^ 1 ^{Y 2} ) , n 1 ^Y 2 ’ при каждом наборе ( y ₂ ) обладают теми же свойствами, что и соответствующие функции при п = 2. Поэтому существует точка t 1 ^{Y 2} ’ такая, что

^’(Т"1) = n =Y) = z1Y2’, 0 < z1Y2’ = го, ы =.

В силу вышесказанного, не ограничивая общности рассуждений, положим t1Y2’ = 0 для каждого (Y2) = (i2,...,in), ij = 0,1, j = 2,п. Тогда Q (Y2) = ^j, j =0,1.

^{j T} 1

Следовательно, из (28) получим

I (k; m; ф² ’ ; E _n. ) = z 1 ^{Y 2 ,} I (k; m; Q 01 ^Y 2 ’ ; En . ),

I(k; m;fi10Y2’; En.) = Z1Y2,I(k; m;n11Y2); En.).(29)

Теперь, если учесть неравенства (27) и соотношения (29), то будем иметь:

I (k; m; fi t° ^{Y 2} ’ ; E _n , ) + I(k; m; fi t^{1 Y 2} ’ ; E _n , ) >

> [ (1 — t)1 ^{1 /} < ^{km + n} ’ (k; m; n ’ ^Y 2 ’ ; En . ) + tI Vl^+y k; m; fi 1 ^Y 2 ’ ; En . ) ] ^{km + n} ,

V(Y2) = (i2,..., in), ij = 0,1, j = 2, n.(30)

Таким образом, при каждом переносе областей П ₀ , Q 1 в направлении вектора U 1 справедливо неравенство (30). После 2 ^{п - 1} переносов из (26) получим

I (к; m;Q t ; E _{fi t} ) >  ]Т [ (1 - t)I        (к; m;^ ² ) ; E _{fi t} ) +

| Y 2 | =⁰

"I ‘"+п

+ tI V^+p k; m;fi i ^{Y 2 )} ;E _Qt )J      ,                       (31)

n где Q '  = Q П H(Y2), H{Y2) = П H , ij = °, 1, 3 = 2,n.

3=2

На втором шаге доказательства теоремы 4 неравенство (31) представим в виде

I (k;m;a _t ;E _n t ) >  £ { l(1 — t)I ^‘"^(k; m; п 0° ^{у з )} ; E _n , ) + | уз | =о

+ tI ^{1 / ( km} + ^{n )} (k; m-^^E^ )] ^кт+п + |(1 - t)I ^{1 / ( km + n )} (k; m; п О1 ^{У з )} ; E Q _t ) +

+ tI ^{1 / ( km} + ^{n )} (k; m; fi 1^{1 Y 3 )} ; E _{Q t} )] ^{кт + п} } ,                           (32)

где y a = (i a ... i n ), i j = °, 1, 3 = 3, n.

Области Q ₀ , Q 1 подвергаем последовательным переносам в направлении вектора

U 2 :

П0т = Q0 + txu2, П1Т = Q1 — (1 — t)xu2, при этом Qt = (1 — t)Q0T + tQ1T Vt.

Введем функции

(Y 3)_ I (k;m;n=¹⁾;E _n , )     (y ,)_ I (k; m; П^³ ) ; E _n , )       _

1 ^(k; ^m; ^П 0Т ; ^EU t )              2 ^(k; ^m; ^П 1т ;^E^ t j

(Y 3 ) 2

При помощи аналогичных рассуждений приходим к тому, что существует точка такая, что

^ 2 ^{у з )} (т 2 ^{у з )} ) = п 2 ^{у з )} (т 2 ^{у з )} ) = z 2 ^{Y 3 )} , ° <  z 2 ^{Y 3 )} = ^ v y a .

Далее считаем, что т 2 ^{У з )} = °. Тогда

I (k; m; Q^³⁾ ; E_n, ) = Z^I (k; m; fi 0^{1 Y 3 )} ; E _fi , ),

I(k;m;fi10Y3);EQt) = Z^I(k; m; Q^3; E«t), и с учетом этих соотношений после 2п-2 переносов в направлении вектора и2 из будем иметь:

I(k;m-A;E _U t ) >  П Т [ (1 — t)1 ^{1 / ( кт + п )} (k;m;Q^ )^) +

|уз|=о кт+п                              ___

Продолжая этот процесс, после 1-го (I < п) шага получим

I (к; т;^; E^ ) >  ^ [ (1 - t)I(к; т;й^^{1 +1 )} ; E^ ) + | Y l +1 | =⁰

+ tI ¹/^{( km + n )} (к;m;й 1 ^{Y l +1 )} ;E _Q t ) ] *'+" , Y /+1 = (k /+1 ...U              (33)

На I + 1-м шаге неравенство (33) представим в виде

I ^к;m;й _t ;E _n , ) > ^ {[ (1 - t)I ¹/<‘"⁺"⁾ ( к ; т; йО" * ¹¹; E _№ ) + | Y i +2 | =0

+ tI ¹/^{( km + n )} (к; т; й^^; E^_t) ] ^{km + n} + [ (1 - t)1 ^{1 / ( km + n )} (к; т; й 0^{1 Y l +2 )} ; E q , ) +

+ tI ^{1 / ( km + n )} (к;т; fi 1^{1 Y i +1 )} ; E q , ) ] ^{km + n} }                            (34)

и области й 0 , й ₁ подвергаем последовательным переносам в направлении вектора и _{/ +1} :

й0т = й0 + tT^/+1, й1т = й1 — (1 — £)та/+1, при этом й = (1 — t)й0т + tй1T.

Введем функции

, (Y , +, ) = I (к;m;й 0^{0 Y l} +^{2 )} ;E _п , )      (7 1 +2 ) = I к; . ;й . ;,

^{/ +1}       I (к;m;й 0 ^, , ^{Y l +2 )} ;E _п , ) ’    ^{/ +1} I (к; т; П^ ² ’ ; E _n , ) ’

Y /+2 = ^(k /+2 . . . ^k n ), γ для которых существует точка т_/+ 1 такая, что

Г ^{( Y} l +2 ) ( ^Y i +2 ⁾         ( ^Y i +2 ⁾ ( ^y Z +2⁾         El +2 )            ( ^Y i +2⁾ /

^ /+1 ^{( T}/+1 ) = ^П /+1 ^(T/+1 ) = ^Z /+1 , ^U< ^Z /+1 = ^ .

Далее считаем, что T +1 +² ) = 0. Тогда

I (к; т; й$ ^{,Y +} -' ;E _n , ) = zV + Г ² 1 (к; т; ^ ^{1 Y l} +^{2 )} ; E _n . ),

I (к; т; й 1^{0 Y l +1 )} ; E _{n -} ) = С,^ ² ) I (к; т; й 1^{1 Y l +2 )} ; E _{n -} ) и с учетом этих соотношений после 2 ^{n - / - 1} переносов в направлении вектора и _{/ +1} из (34) будем иметь:

I (к;m;й _t ;E _{U t} ) >  ]Т [ (1 - t)1 ^{1 / ( km + n )} (к; т; й 0 ^{Y l +2 )} ; E _q , ) + | Y l +2 | =⁰

+ tI ^{1 /} < ^{km +}"⁾ (к;m;й 1 ^{Y l +1 )} ;E _fi , ) ] ^k'”⁺" , _Ym = (i_M ...i „ ), k , = 0,1, j = ГЛТП, где й < ^{Y l +}^ ⁾ = й , П Я _{( Т} 1 + _{2 )} ,Я _{( Т 1} + ₂ ) = П Я?.

,=/+2

Таким образом, после n-го шага получаем

I(к; т; ^; E^ ) >  [ (1 - t)I ^к      (к; т; ^5 Е^ ) +

• -| кт + п

+ и 1/(кт+п)(к;т;П1; E^t)]      , откуда, с учетом неравенств

I(к;т;П,;Е<^) > I(к;т;П,;En.), ] = 0,1, получим утверждение теоремы 4. Теорема 4 полностью доказана.

Выражаю благодарность своему научному руководителю Ф.Г. Авхадиеву за постановку задачи и ценные указания.