Неравновесные кинетические модели вселенной III. Модель энергобаланса для инфляционной стадии

• 1.    Релаксация сверхтепловой компоненты на равновесных частицах в ультрарелятивистской плазме в модели с минимальной связью в условиях эиергодомииаитиости скалярного поля

  • 1.1.    Модель материи на ранних и поздних стадиях расширения

В этой статье мы будем рассматривать восстановление термодинамического равновесия в космологической плазме па поздней инфляционной стадии эволюции Вселенной, предполагая, что в момент времени t1 произошла смена ультрарелятивистской стадии расширения на инфляционную. Таким образом, будем полагать в нашей модели справедливыми приближенные соотношения:

E(t) =	Es(t) + Ep(t),	(1.1)
Ep(t) =	Eo(t) + Ene(t) » Es;    (t < tj);	(1-2)
Ep(t) =	Eo(t) + Ene(t) < Es(t);   (t > tj);	(1-3)
Ep(t1) ~	s          , Л--2Т421), s( 1)     8-                      15     .	(1-4)
где (см. ]2](2.18)):
	. .     3=2 Es(t) = T— ~ Const; (t > t1) 8	(1-5)

- плотность энергии вакуума, предположительно, скалярного поля; Ep(t) - суммарная плотность энергии ультрарелятивистской плазмы. Плотность энергии плазмы, в свою очередь, содержит две компоненты: равновесную (см. [2](2.5)):

Eo(t) = N—(1-С)

и неравновесную, Ene(t). Далее, выполняется приближенное соотношение:

-2То (tl) _           3     _2

N 15    = e(t1)=32-t2          /8-),* где T0(t) - температура в равновесной Вселенной, заполненной лишь ультрарелятивистской плазмой, (подробности см. в [1,2])

Для масштабного фактора мы будем использовать следующую модель [2] (2.18):

a(t) =       Vt;       (t < t1);(1-8)

a(t) = cje^t t1), (t > t1),(1.9)

где a1 - значение масштабного фактора на момент смены режима расширения. Таким образом, согласно (1.7), (1.8) мы можем там, где это необходимо, полагать :

а1 = Vt7;

2д.

следовательно:

a(t) = Vtie(t-t1)/2t1, (t>ti)                                  (1-U)

В этой статье мы рассмотрим минимальную модель скалярного поля, в которой взаимодействие последнего с космологической плазмой осуществляется лишь через гравитационное поле, т.е., посредством уравнений Эйнштейна. Поскольку плазма, является ультрарелятивистской средой, то в этом случае имеет место «закон сохранения энергии» плазмы, т.е., постоянство ее конформной плотности энергии:

Ep(t) • a⁴(t) = N ⁿ ( aT ) + £ne(t)a⁴ =

N ^П ( aT ) + Ene = Const,                           (1-12)

где Ene = Enea4 - конформная плотность энергии неравновесной компоненты плазмы (см. ]2](1.20)):

∞

Ene(t) = 2^2 E(2S + 1) / p3^fa(t,p)dp.                       (1-13)

• 1.2.    Преобразование решения кинетического уравнения

Рассмотрим кинетическое уравнение для сверхтепловых частиц [2](2.1) (подробности см. в [1,2]):

pdf = _ 4nN T ²(t)

(1.14)

a dt 3 A(pT/2a) 'a на. инфляционной стадии, когда плотностью энергии плазмы в общем энергобалансе можно пренебречь.

Интегрируя (1.14) с логарифмической точностью и учитывая инфляционное решение уравнений Эйнштейна (1.13), получим:2

t

Afa(t,p) = A/⁴(p)exp -Д—p /'y²(t)e^-5(t-t1)dt ,                  (1.15)

a p t1

где А/Др) = Afa(tippY

N / 5  V/2                                  .

e(t,p)   (A)ti \2n3N/    ’                                 (L1G)

y(t) = UtL ^J^. y( ) To(t)           ( );

. = (КД4 = £°(t> = £2ф < 1.          п.щ V T0 ( t))       E(t)      E(t)                             -      -

Далее, T0(t) - температура в идеальной Вселенной, в которой вся плазма находится в состоянии термодинамического равновесия, па стадии поздней инфляции (1.7):

• 1-    f ⁴⁵^    _e^-5(t-ti)   Tte-^t-t¹)

  (1.18)

  
  

T0W   Vt1 ^32n3Nj   e       " T16       ’ где Ti - температура в идеальной Вселенной на момент смены режима расширения, или, проще говоря, четвертая степень этой температуры пропорциональна доле энергии плазмы в общем энергобалансе на момент ti .

Вследствие того, что в момент ti происходит смена режима расширения с ультрарелятивист- ского закона па. инфляционный, константа в правой части (1.12) определяется температурой в идеальной Вселенной на момент смены ti. Таким образом, получаем уравнение энергобаланса (см.

(1.7), (1.10)):

n2(aT )4              n2(a(ti)To(ti))4

'А) •

(1.19)

N -^5- + Ene = N---------

Произведя в этом уравнении подстановку:

T (t) ^ TЛTo(t) ^ y(t)To(ti) ДД ^ (a(t)T(t))4 = y4To4(ti)a4 T0(t)                     a(t)

(1.20)

приведем уравнение (1.19) к виду:

где:

4    ^ne(t)

y     ip(ti)

1 ,   4 + ^ne^(t) ^ne^(t1)

У     Ene(t1) Ep(t1)

1 ^,+(1 - ,1) 1^ = 1, Ene (t1)

(1.21)

= О А мn²(aiTi)4 ^Ep(ti) = N 15—

22 4

= N --1-1

(1.22)

конформная плотность энергии плазмы на момент ti. Уравнение (1.21) является

-уравнением

баланса энергии в модели с минимальной связью. Это уравнение является, по сути, нелинейным дважды интегральным уравнением.

Для решения уравнения энергобаланса по аналогии с [2](3.7), [2](3.8) с учетом (1.10) введем новую безразмерную временную переменную, т:

JfLh 2(p)i L

e^t-t1)! =2t1 yl^ [1 - e-(t-t1)/2t11 J           (p)i L                        J

(1.23)

где (С = ШрЫ- а

(P)i =

О

E(2Sa + 1)/ dp P3Af1(p)

a

СО

E(2Sa + 1)/ dp P²Af1(p)

(1.24)

a

средняя конформная энергия неравновесных частиц на момент смены режима расширения. Та-

ким образом:

dτ

— > 0; т > 0; т е [0,-), dt

(1.25)

где

(С

- = lim т (t) = 2ti АА-.

• О                  (p)1

(1.26)

По аналогии с [2] введем также новую безразмерную конформную импульсную переменную:

~ p Р = (Ж’

(1.27)

так что:

О

E (2Sa + 1) / dpp3Afa1(p)

a

О

E (2Sa + 1) / dPP2Afa(p)

= 1 А (р)1 = 1.

(1.28)

a

и новую безразмерную функцию, Z(т ):

τ

z(т ) = j У2(т)бт,

(1.29)

так что:

Z' = y²;    Z (0) = 0;

(1.30)

здесь и в дальнейшем «'» означает производную по переменной т.

Таким образом, с логарифмической точностью функция распределения неравновесных частиц (1.15) принимает вид:

.            Z(t)

Afa(T,p) = Afa1(p)e- —.

(1.31)

2. Уравнение энергобаланса

2.1. Вывод уравнения энергобаланса

Вычислим с логарифмической точностью интеграл плотности конформной энергии неравновесных частиц (1.13):

ОО

Ene(t) = (pl)⁴2П_ ^(2S +1) у p³A/⁴(p)e^- ~dp.                    (2.1)

a             0

По аналогии с [2](3.14) введем новую безразмерную функцию:

ф(/) =	(p)(t) (p)(t1)	£(2Sa + 1) ydpp3A/4(pl)e-Zpi/p ------^ £(2Sa + 1) J dpp3A/1(p) a0 E(2Sa + 1) Уdp p3 A/1 (p)e-Z/p
ф(/) =	(p)(t) =	a              0	(2-2)
		у                 . £ (2Sa + 1) / dp p3 A/1 (p) a0

Таким образом, с учетом (2.2) приведем уравнение энергобаланса (1.21) к виду замкнутого уравнения на функцию Z(т ):

у⁴ + (1 - _CT1)Ф(Z ) = 1 ^ Z ' ² + (1 - _a1)Ф(Z ) = 1.                     (2.3)

Вследствие этого уравнения и соотношений (1.30) должно выполняться начальное условие:

Ф(0) = 1,

(2.4)

по, с другой стороны, оно должно выполняться и согласно определению (2.2) и соотношению (1.28). Таким образом, мы получили непротиворечивое, замкнутое относительно функции Z (т) уравнение эпеогобалапса.

2.2. Решение уравнения энергобаланса

Вследствие соотношений (1.30) и определения функции cr(t) уравнение (2.3) после извлечения квадратного корпя приводится к виду:

Z '  ^7^^^/.

(2.5)

Формально интегрируя уравнение (2.5) при заданной функции Ф(/) с учетом соотношений (1.30)

получим интеграл:

Z dZ ,                         = т.                                              (2 .G) 0 V1 - (1 - ^1)Ф(/)

С другой стороны вследствие (1.30) из (2.5) получим:

[ут-тг-^да)]¹/⁴= у.

(2.7)

Соотношения (2.6), (2.7) являются параметрическим решением уравнения энергобаланса'.

( т = т (Z); из (2.6), ( у = у^(/); ^11:3 (²-⁷),

(2.8)

Полученные решения формально совпадают с решениями для ультрарелятивистской Вселенной, описанными в [2] (формулы (3.19), (3.20)), - с точностью до переобозначений а₀ ^ О1-А/ ^ А/^; введенные в этой статье функции Z (т), Ф(/) обладают теми же свойствами, что

и аналогичные функции, введенные в [2] (3.10), (3.16)—(3.18). Поэтому и решения уравнения энергобаланса. и результаты его численного решения, как и весь анализ, проведенный ранее в работах [5,6], сохраняют справедливость и в рассматриваемой здесь модели. Таким образом, модель энергобаланса, предложенная в работах [5,6], оказалась чрезвычайно удачной и общей.

Какие же различия могут возникнуть в теории восстановления термодинамического равновесия па. инфляционной стадии по сравнению с аналогичной ультрарелятивистской моделью [5,6]? Таких, существенных отличий, наблюдается всего два:

• 1.    Различные формулы связи т(t) - формула (3.7) [2]и формула (1.23) данной работы;

• 2.    Безразмерная временная переменная в ультрарелятивистской Вселенной т [2] изменяется в бесконечном интервале [0, +^), тогда, как на стадии инфляции эта переменная меняется на ограниченном интервале (1.25).

Поэтому пересчет результатов компьютерного моделирования параметрических уравнений вида (2.8) к реальному масштабу времени даст различные результаты. Согласно результатам [5,6] плазма, в основном, термализуется при временах т ~ 1. Поэтому в случае, если окажется T <  1, термализация плазмы па. стадии инфляции вообще никогда не произойдет, - это означает, что неравновесная сверхтепловая компонента па стадии инфляции «выживает» в более выгодных условиях, чем в ульрарелятивистской Вселенной, что, собственно говоря, и было показано в оценках [1].

Заключение

Таким образом, построенная строгая математическая модель восстановления термодинамического равновесия в инфляционной Вселенной, подтвердила, фундаментальность идеи энергобаланса к исследованию процессов установления термодинамического равновесия в расширяющейся Вселенной, а. также и полученные ранее аналитические результаты. Компьютерному моделированию процесса восстановления термодинамического равновесия в инфляционной Вселенной, как и вопросам стыковки результатов, полученных на разных стадиях расширения, будет посвящена следующая паша, статья.

В заключение Автор еще раз выражает благодарность профессору Мельникову В.Н. за чрезвычайно плодотворный вопрос, поставленный Автору, фактически превратившийся в постоновку интересной задачи.