Несколько вариантов решения одной физической задачи

Ежегодно работая с учащимися старших классов, встречаешься всегда с учениками, которые желают знать физику на более высоком уровне, чем предусматривает школьная программа. Они ходят на дополнительные занятия к репетиторам, участвуют в научных ученических конференциях, олимпиадах и просто готовятся к поступлению в солидные вузы на физикотехнические специальности.

Работая с такими учениками на дополнительных занятиях, мы особое внимание уделяем решению физических задач, поскольку именно этот процесс позволяет логически мыслить, углубить и расширить знания учащихся, а не только использовать имеющиеся у них. Процесс решения задач богат также возможностями активизации их мышления, развития их творческих способностей, воспитания у них самостоятельности мышления. Естественно, что задачи им предлагаются нестандартные, решения которых осуществляются не по формулам, а с помощью формул, носят поисковый, творческий характер, требуют проявления определённой физической смекалки, совершенства математических знаний и их применения в рамках соответствующей их возрасту программы обучения. При этом они имеют несколько вариантов решения, в том числе и неверные или, как ещё их называют, «псевдорешения» (1).

Как правило, решение любой задачи мы начинаем с совместного анализа описанной в ней физической ситуации и, почти всегда, её графического изображения (рисунок, схема график и т. п.), установления физических законов и теорий, которые могут быть использованы в разрешении этой ситуации. И после этого «отправляем учеников в свободное плавание», из которого они часто «возвращаются» с хорошими результатами (не только ответами, но и различными вариантами его получения).

Например, учащимся 7-х - 9-х классов была предложена задача: «Одновременно зажгли толстую и тонкую свечи, имеющие одинаковые длины. Через время τ тонкая свеча прогорела наполовину, а толстая – на треть. Через какое время после поджога длины свечей будут различаться в 4 раза?» (2).

Ученик 8-го класса предложил следующее решение (здесь и в дальнейшем все решения учащихся мы будем приводить в нашей редакции).

Из условия видно, что тонкая свеча прогорает в 1,5 раза быстрее (1/2 : 1/3 = 1,5). Если за время t толстая свеча прогорит на х частей, то тонкая – на 1,5х. Толстой свечи останется (1–х) частей, а тонкой – (1–1,5х) частей. Согласно условию задачи (1–х) = 4(1–1,5х), откуда х = 0,6.

Итак, за время τ толстая свеча прогорает на 1/3, а за время t – на 0,6.Из этой пропорциональности следует: t = 1,8 τ.

Совсем иное решение, но не доведенное до ответа было предложено ученицей 7-го класса. Из условия ясно, что искомое время t должно быть меньше 2τ, так как при t=2τ тонкая свеча сгорит полностью. Пусть свечи прогорают ещё время 0,5 τ. Тогда толстая свеча прогорит ещё на половину от 1/3, т.е. – на 1/6 часть, а всего – на 1/2 часть, и её останется 1/2 часть по прошествии времени 1,5τ. Рассуждая аналогично относительно прогорания тонкой свечи, получим, что её к этому моменту времени останется 1/4 часть. Отношение остатков длин свечей будет равно 1/2 : 1/4 = 2.

Продлим горение свечей еще на половину предыдущего промежутка времени, т.е. на 0,25τ. Толстая свеча прогорит ещё на 0,5 от 1/6, т.е. на 1/12 часть, и её останется 5/12 частей по истечении времени 1,75τ. Нетрудно посчитать, что тонкой свечи останется 1/8 часть. Отношение остатков длин будет равно ~3,3.

После очередной половины предыдущего промежутка времени (0,125τ), т.е. после 1,875τ времени прогорания свечей по аналогичным расчётам отношение оставшихся длин свечей будет равно уже 6 . Здесь ученица и растерялась, не зная, как поступать дальше. Обсудив положение, приняли решение брать меньшие промежутки времени. Удобно в данном случае взять четвёртую или пятую часть от предыдущего промежутка времени: 0,0625τ или 0,05τ, т.е. после 1,8125τ или 1,8τ времени прогорания свече. В первом случае отношение оставшихся длин свечей оказалось равно ~4,2, что опять не удовлетворяет условию. А во втором – 4.

Ответы, полученные разными методами, оказались одинаковыми, что даёт право считать, что оба решения верны. И хотя предложенное ученицей 7-го класса решение несколько громоздко, сопряжено со многими вычислениями, оно тоже заслуживает внимания и поощрения. И не только потому что предложено ученицей, а и потому что знакомит учеников с одним из математических методов исследования – методом последовательных приближений.

В заключение работы над этой задачей мы показали ещё одно её решение.

Если обозначить высоты (длины) свечей за h, то скорость прогорания (скорость движения пламени вниз) толстой свечи будет v1= h/2τ (1), а тонкой – v2= h/3τ (2). Через искомое время t оставшиеся длины свечей будут: h1= h – v1*t (3) и h2 =h– v2*t (4). Подставив в (3) и (4) соответственно (1) и (2), получим:

h 1 = h(1– t/2τ)    и   h 2 = h(1–t/3τ) .

Учитывая, что по условию h 1 / h 2 =4, получим: t = 1,8 τ, что совпадает с полученными ранее результатами. Это ещё раз подтверждает, что решений одной задачи может быть несколько и все они верны, если дают одинаковые результаты.

Решения одной и той же задачи различны и по идее и по трудоёмкости, но все они хороши тем, что выполнены в результате самостоятельного поиска.

Нередки случаи, когда ученики предлагают различные варианты решений и при этом полученные ими ответы не совпадают. Чаще всего причиной такого положения является ошибка в математических преобразованиях или расчётах. Но случаются ошибки и более серьёзные, когда неверно интерпретируется задачная ситуация или нарушается логика в рассуждениях, или неправомерно используется закон физики. Во всех таких случаях мы проводим тщательный анализ неверного решения с целью найти и устранить ошибку.

Многолетний опыт работы позволяет нам утверждать, что такая форма работы с увлечёнными физикой учениками над задачами со многими вариантами решений значительно повышает их интерес к физике и самому процессу решения, вызывает соревновательный дух его. После нескольких занятий они отвергают коллективный анализ задачных ситуаций, стремясь к большей самостоятельности.