Нестационарная линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости высокого порядка

Система уравнений

' (1 — aeV²)tzt = vV²u — (й • V)u — (u • V)&

M nm-l

+ E Ё A_miSV²w_m,_s -Vp + f, m=l s=l

0 = V • u,

= u + amwm 0

моделирует в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта порядка к > 0, к = ni + П2 + ... + пм ( [1] ). Данная система получена в результате линеаризации соответствующей модели [2].

Функция и = (hi,H2, ...,п_п), где п^ = нДж, £), г = 1,п означает вектор скорости жидкости, вектор-функция / = (Д, /₂,...,/_п), ft = fAxA i = 1,п характеризует объемные силы, р = р^х^ отвечает давлению жидкости. Вектор-функция и = (пх,П2, ...п™), й_г = Пг(ж), г = 1, п соответствует стационарному решению исходной системы (так как таких стационарных решений может быть несколько, то мы не должны ограничиваться рассмотрением только одного — нулевого стационарного решения). Параметры v Е R+, ае Е R характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры A_m)S определяют время ретардации (запаздывания) давления.

Пусть Q С Rⁿ, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей 9Q класса С°°. Рассмотрим задачу Коши-Дирихле для системы (1):

ы(ж, 0) = п₀(ж), м_шДж, 0) = w^^^x) ^х Е Q п(ж,£)=0, w_m,_s(x,t) = 0 У(жД) Е 9П х R,                  (2)

т = 1, М, s = 1, п_т — 1.

В случае, когда / = /(ж), к = 0 задача (1), (2) рассматривалась в [3] , в автономном случае при к > 0 в [4] . Нашей целью будет являться изучение разрешимости задачи (1), (2)при нестационарном свободном члене / = /(ж,^). Эту задачу мы исследуем в рамках теории линейных уравнений Соболевского типа. Поэтому в первой части статьи кратко рассматривается абстрактная задача Коши для указанного класса уравнений, а во второй части задача (1), (2) изучается как конкретная интерпретация абстрактной задачи.

1.    Абстрактная задача

Пусть U и Т ~ банаховы пространства, операторы L Е L^A\T^ иМ Е Cl^l^FY Пусть интервал 1^ = (а, 6) содержит точку 0 и вектор-функция / Е С⁰⁰^!^^.

Рассмотрим задачу Коши

п(0) = п0                                       (3)

для линейного операторного уравнения Соболевского типа

Lu = Ми + /,                               (4)

где операторы L и М определены выше.

Хорошо известно, что задача (3), (4) однозначно разрешима не для всех начальных данных по из банахова пространства U. Поэтому актуальным является описание множества корректности указанной задачи. В связи с этим введем следующее определение.

Определение 1.

Мноснсество В¹ С WxR назовем расширенным фазовым пространством задачи (3), (4), если:

• (г) любое решение и Е C°°(I^U) уравнения (4) леэюит в В¹, т.е. {u(t\ £) Е В¹ для любого t е Л⁶;

(гг) при любом (по,О) Е 5° существует единственное решение задачи (3), (4).

Замечание 1.

Понятие расширенного фазового пространства обобщает понятие фазового пространства [3] на неавтономный случай, и представленные в этом параграфе результаты изложены в соответствии с работами [3, 5]

Замечание 2. Ранее вместо термина «расширенное фазовое пространство» использовался термин «конфигурационное пространство» [4], что вносило некоторую путаницу в терминологию [5].

Пусть оператор М (L, (т)-ограничен. Тогда задача (3), (4) редуцируется к эквивалентной системе

( RuP = п° + М_о^-1/⁰ > ^°(0) = ^g,                          , .

[ й1 = Su1 + L^f1 , ^(О) = uj, где R = M^Lo, S = L^My^ ик Е Uk, fk Е Z7^, к = 0,1; Цк, ^Fk) - подпространства банахова пространства U ^У такие, что ZZ° ©ZZ1 = U (Z70 ФZ71 — Z7), ; М^ и L^- сужение оператора М и L соответственно на подпространство Мк. По построению S Е Z^ZZ1). Тогда вторая задача (5) имеет единственное решение и1 Е ^^(Z^ZZ1), представимое в виде

t ul(t) = exp(tS)tiQ + J exp((Z — s^S^Ly V^s) ds, t E Z^, о причем exp (£5) = Uy — полугруппа, являющаяся сужением разрешающей полугруппы U1 однородного уравнения, соответствующего уравнению (4), на ZZ1, а ехр((£ — s)S) = Uy-S. Для рассмотрения первой задачи (5) предположим, что оо — устранимая особая точка либо полюс порядка р Е N L-резольвенты оператора М, т.е. оператор М относительно р-ограничен, р Е No [5]. Тогда, последовательно дифференцируя р раз первое уравнение (5) по t и умножая слева на оператор Я, получим

«Nil- ^ГеМ./^И;, tell               (6)

9=0

Отсюда видно, что первая задача (5) неразрешима, если

9=0

С другой стороны, если (6) выполняется, то первая задача имеет единственное решение u° G C^^WY

Из соотношения (6) следует, что расширенное фазовое пространство задачи (5), а следовательно, и задачи (3), (4) имеет вид

5( = {(«(<),#) : « G dom М, i G R, (I - Q^Mu + ^^^W) = °}’ где R = LoMqT(I — Q), Q - проектор на подпространство Z71 .

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,рУ ограничен, р Е No. Тогда при любом f Е ^(Z^Z⁷) и при любом ио таком, что (иоД) Е В⁰, существует единственное решение и Е С°°(1^И) задачи (3), (4)> имеющее вид:

р                                             t

u(t) = -^R^\I - Q)^t}+Ulu10+ [U^L^Qf^ds.

9=0                                  q

2.    Конкретная интерпретация

Рассмотрим задачу (2) для системы Осколкова (1), представленной в виде [4]

' (1 — aeV²)tzt = z/V²tz — (й • V)u — (и • V)S M n_m—l

+ E E Am,sV2wm,s-^ + f, . m=l s=l o = V(V-u),

< л                                                                                (7)

_9t =u + a_mw_miS, m = 1, M, 9w_m^_s -                             ----------

—  — SW^g-l + OLmWm)Sl S — 1, nm — 1, am < 0, Am)S > 0.

Здесь Vp = p^, т.к. во многих гидродинамических задачах знание градиента давления предпочтительнее, чем знание давления [6]. Далее сведем задачу (7), (2) к задаче Коши (3) для уравнения (4). Редукцию проведем, следуя [2, 4]. о       о

Обозначим через Н2 = (W^)", Н1=(Ж21)П, L2 = (L2)n — соболевские пространства вектор-функций и = ^1^2^..^ ип^ определенных в области Q. Рассмотрим линеал С = {и Е (Co°(Q))n : V • и = 0} вектор-функций, соленоидальных и финитных в области Q. Замыкание £ по норме L2 обозначим через На. На — гильбертово пространство со скалярным произведением, унаследованным из L2. Кроме того, существует расщепление L2 = НаФНтг, где Н^ — ортогональное дополнение к На. Обозначим через П : L2 ^ Н^ — о ортопроектор. Сужение проектора П на пространство Н2 П Н1 С L2 является непрерывным О              о оператором П : Н^АН1 -> Н2 АН1. (Обсуждение этого круга вопросов см. в [7].) Представим о поэтому пространство Н2 А Н1 в виде прямой суммы На2 ф Н^2, где На2 = ker П , Н^2 = im П. Имеет место плотное вложение С С Н2 и непрерывные плотные вложения Н^2 Н^ и Н^2    Н^. Пространство Н^2 состоит из вектор-функций, равных нулю на 9Q и являющихся градиентами функций 99 Е W^flY

Формулой А = V² зададим линейный непрерывный оператор А : Н_а² ф Н^² —> L² с дискретным, отрицательным, конечнократным спектром <т(Л), сгущающимся лишь на — оо.

Пусть й Е Н_а² ф Н^². Тогда формулой

В : и uV^u — (й • V)n — (и • Х7)й зададим линейный непрерывный оператор В : На2 Ф Н^2 —> L2.

Формулой С : и -э V(V^) зададим линейный непрерывный оператор С : Н_а² ф Н^² —> L², причем im С = Н^ , ker С = Н_а².

Положим S = I — П и обозначим через А(В) сужение оператора SA (SB) на Н^².

Оператор А : Н^² —> Н_а линеен и непрерывен, его спектр сг(Л) дискретен, отрицателен, конечнократен, сгущается лишь на —оо.

Пусть Аде = I — гвА . Выберем параметр ае таким, чтобы ае”¹ ^ <т(А) U сг(Л). Обозначим через Ад^Аа^) сужение оператора ЕЛ^ПЛ”¹) на Н₍₇²(Н_7Г).

Предположим, что ае^-1 ^ <т(А) и<т(Л). Тогда оператор A^ : Н^² —> Н_а ^А^ : Н^ Нтг²) — топлинейный изоморфизм.

о

Представим пространства: Н2 П Н1 = Ну2 х Hw2; L2 = Нст х Н^. Положим

и = ®^ ; ^ = ®to^,                  (8)

где Wo = Н2 х Н2 х Н_р, Го = Н_ст х Н, х Н_р,   Н_р = H_T, % = Н² П Н¹ =

H_ff² х Ня², Г = L² = Но х H_ff, г = 1,2, ...,к. Элемент u € W имеет вид: ^   (^<т? ^тг? ^рэ ^1,0) ■••, ^М,0ч ^1,1) •••> ^l,ni—1) •••> ^МД^ •••, ^М,пм ^—1) J ГДе -Uy 5jU, Пя

Пи, -Up ^ а элемент /е Г : / = (/о-,/я,0, ...,0), где/у = S/, /я = П/.

Лемма 1. Пусть U иГ определены в (8). Тогда о \ о О о (9) (г) формулой / SA^S О О О О ПА^П О о о О о о о О О I L := 1 о О О О I; определяется линейный непрерывный оператор L ;U -^ F. Причем L —матрица порядка (к + 3). Если d^1 ^ бт(А); то ker L = {0} х {0} х Нр х {0} х • • • х {0}, im L = На х Н^ х

к

{0} х Т_х х • • • х ГГ^

• (ii)    если й Е Нет² ф Ня-², то матрицей М, имеющей вид:

  / ЕВЕ ' ПВЕ О I	ЕВП ПВП С I	о -п о о	Аю А .. ^юА . о . . ai       .	■ •  ^моА •  ^моА о .        о	Ан А . АнА О        . - о     .	• ^1П!-1А . ‘ 1 — 1 △ 1 .. о . . о	•   ^miA . •   ^miA . ..        о .         о          .	•  Лм[и^д — 1^ • •   -^-Мп м~ 1 △ о .           о	\
  I	I	о	О     .	. ам	О        -	..          о	. о	о
  О	О	о	I	.      О		..       о	. о          .	..            о		(10)
  о	о	о	о	. о	о ..	..           «1           .	. о          .	.           о
  о	о	о	о	.          I	о . .	.               о             ..	, . ам • ■	.           о
  \ о	о	о	о	. о	о	.        о	. о	ам	/

определяется линейный непрерывный оператор М :U -> Т^ здесь Д = ХД, Д = ПД.

Редукция задачи (7), (2) к задаче Коши (3) для уравнения (4) закончена.

Лемма 2. Пусть UuT определены в (8), a L и М- в (9) и (10) соответственно. Пусть ее"¹ £ сг(А) U <т(А), тогда оператор М (L^ Л))-ограничен.

Доказательство. В силу леммы 1 оператор L бирасщепляющий. Поэтому для доказательства леммы ввиду [3] достаточно показать, что каждый вектор ср Е ker L \ {0} имеет точно один М-присоединенный вектор и M[ZV⁰¹] ф im L = У.

Пусть р Е ker L \ {0}. Тогда в силу леммы 1 (i) вектор р = (0,0,у>_р,0, ...,0), р_р ^ {0}.

Отсюда в силу (10) Мер = (0,0, —р^ 0,..., 0) € im L. Найдем ф ker L \ {0} : L-ф = Мер.

Используя (10), получаем систему уравнений:

Агеафсг — 0 ПАде^я- — р_р.                           (Н)

Из (11) следует, что ^тг 7^ 0, т.к. р_р ^ 0 по условию, а значит, и Сф^ ^ 0. Откуда

Мф =

^(Вф^ + Вф^ В.(Вф_а + Вф^ - фр сф.

^ im L.

О

О

Осталось доказать существование вектора ^ ^ ker L \ {0}, удовлетворяющего системе (11). Для этого рассмотрим оператор

Поскольку

L"1 =

/ s^s ПА-гЕ

О О

О

L-1L =

S о о о

О

о о

LL"1 =

О

о

Е о о о

о п о о

О

о

ЕА-^гП Адатг о о

О

о о о о

о

о о о о

о

О О о о

О

о . о .

о .

о .

о . о . о .

I .

о ...

о о о

о

о о о

о о о о

... о

... о

... о

е Циу

е т,

то компоненты ^_а и ^ вектора ф можно найти из

^-^ав^р.

равенств:

фи = —А”¹^,    а компоненту ф_р можно выбрать произвольно.

Проверим второе условие М [W⁰¹] ф im L = Т.

Положим Z/⁰⁰ = ker L^ coim L = H^ x H^ x {0} x U\ x • • • x U^. Пользуясь оператором

Z-1, получим

5^ю0 = М^А = {0} х Щ х {0} х • • • х {0} С im L,

А: + 1

^01 = £-1 ^ = ЗЛ”1^] х A^HJ х {0} х ... х {0}.

fc + 1

Поскольку Aae%[H%] = Н^ в силу леммы 2.4.3, то и01 = ЕА^А^рЗ] х Н2 х {0} х ... х {0} С coim L.

fc + 1

Отсюда

5«1 = м^ = Ев(ЕА"Ч^ + 1)[Н2] х В^А-Ч-^ + 1)[Н2]Х хС[Н^ х {0} х • ■ • х {0}.

к

Поскольку

S-Agg -^аетг +                   4* ^аетг ^эетг —

(SA;1 + A^A"^ 5ю1 = EBA^A^-1^] x BA^A^C"1^] : х Н д-Ч-1 "^■ае ^аетг’ рХ {0} х • • • х {0} ^ im L, где оператор к C 1 — обратный к сужению С оператора С на Н^.. Далее, положим / о о О О 0\ О О О О ... о О О п о ... О Во = О О О О ... О \о О о О О) Г о рр 1 о О Ок О О о ... о о О О О о Pi = О О О о ... о к о О о О ... О) где Р^2 = ЕА^А;1; (0 О О О ... о > О п Q^ О о О О О О ... о Qo = о О О о ... о <0 О О О ... О) ( о О Q? О о > О О Qf О о о О п о ... О Qi = о о О О ... о 7 к О о О о ... О) где QP = EBA^A^C"1, Q^ = BA"4^C-\Q^ = -Q^.

Матрицы Pq, Pi,Qo, Qi имеют порядок (к + 3). Нетрудно проверить, что операторы Рк : U -> U^ok, Qk • Р ^ Р°^к, к = 0,1 — проекторы, причем PqPi = PiPq = О, QoQi = Q1Q0 = О. Поэтому оператор Q = I — Qi тоже является проектором, причем im Q = im L, ker Q = ^⁰¹. Значит, ^¹ Ф im L = P.                                □

Найдем расширенное фазовое пространство задачи (7), (2).

Из леммы 2 и п.1 для задачи (7), (2) расширенное фазовое пространство В¹ определяется равенством (I — Q^Mu+^^Mr¹^-) = 0 или (I—Q)v = 0, где v = Ми+f (t)+ R^^, R = LoMq\I — Q) e £(^F; 7^ю), а проектор I — Q = Qo + Qv Поскольку QoQi = QiQo = О , to (Qo + Qi)v = О тогда и только тогда, когда (Qqu = 0) Л (Qi« = 0). Первое из этих равенств эквивалентно условию и^ = 0, а второе выполняется тогда и только тогда, когда

М пт—1                         1» /,\

ПВ^ + П 52 Е АтАШт.з + Ш + R-^ = «р-m=l 5=1

Итак, расширенное фазовое пространство имеет вид

В¹ = {(«, i) € W х R : «, = О, и_р = ПВм_а + П V V ^Ат,з^т,з + М^ + В^^.} m=l s=l

Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда для любого f Е Т^ f = (/^/тгД, ...,0) и любого и^ такого, что (зд,0) Е В⁰, существует единственное решение задачи (1), (2).

Автор выражает признательность профессору Г.А. Свиридюку за внимание к данным исследованиям и обсуждение результатов.