Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой несжимаемой жидкости
Автор: Аристов Сергей Николаевич, Просвиряков Евгений Юрьевич, Спевак Лев Фридрихович
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 4 т.8, 2015 года.
Бесплатный доступ
Построены и проанализированы точные стационарные и нестационарные решения задачи слоистой конвекции Марангони, которая является переопределенной краевой задачей, а также ее численное решение, принадлежащее к классу решений Бириха. Переопределенность разрешающей системы уравнений возникает вследствие равенства нулю скорости, параллельной оси аппликат. Рассмотрены случаи тепловой и концентрационной конвекции вязкой несжимаемой жидкости. Для разрешимости краевой задачи предложено использовать класс точных решений, в котором скорости одномерны по координатам, а поля давления и температуры являются трехмерными. Характерная особенность этого класса - тождественное обращение в нуль конвективной производной в уравнении сохранения импульса. При этом конвективная производная присутствует в калорическом уравнении состояния. Показано, что рассматриваемая краевая задача, в отличие от классического решения Бириха и его многочисленных обобщений, не может быть сведена к одномерной при задании градиента температуры на обеих границах слоя жидкости. Найденные в данной работе стационарные и нестационарные решения имеют в профиле скоростей застойную точку, что говорит о наличии противотечений при движении жидкости. Методами локализации корней полиномов стационарных решений продемонстрировано, что существует такое значение толщины слоя, при котором касательное напряжение может обратиться в нуль на нижней границе слоя жидкости только при тепловой конвекции Марангони. Полученные методом граничных элементов нестационарные решения, которые можно трактовать как точные, с течением времени выходят на стационарные решения. Применение метода граничных элементов существенно расширяет класс точных нестационарных решений, поскольку позволяет изучать и те из них, которые не обладают свойством инвариантности.
Слоистая конвекция марангони, тепловая конвекция, концентрационная конвекция, точное решение, метод граничных элементов, противотечения, граница встречных потоков
Короткий адрес: https://sciup.org/14320787
IDR: 14320787 | УДК: 532.5 | DOI: 10.7242/1999-6691/2015.8.4.38
Nonstationary laminar thermal and solutal Marangoni convection of a viscous fluid
We have determined and analyzed exact stationary and nonstationary solutions to the laminar Marangoni convection problem, which is an overdetermined boundary value problem. The numerical solution of this problem belongs to the class of Birikh solutions. The overdetermination of the resolving system of equations results from the zeroness of the velocity parallel to the applicate axis. Cases of thermal and solutal convection of a viscous incompressible fluid are considered. To make the boundary value problem solvable, the class of exact solutions is proposed for use, where velocities are one-dimensional in coordinates, the pressure and temperature fields are three-dimensional. Identical equality to zero of the convective derivative in the impulse conservation equation is typical of the class presented. The convective derivative remains in the caloric equation. The discussed boundary value problem is shown to be irreducible to the one-dimensional problem when the temperature gradient is specified on both boundaries of the fluid layer, as distinct from the classical Birikh solution and its numerous generalizations. The obtained stationary and nonstationary solutions have a stagnation point for velocities, thus suggesting the presence of counter flows in the moving fluid. It is demonstrated by localization of the polynomial roots of the stationary solutions that there exists such a value of layer thickness that the tangential stress can become zero on the lower boundary of the fluid layer only under thermal Marangoni convection. The nonstationary solutions obtained by the boundary element method, which can be treated as an exact method, tend to become stationary. The application of the boundary element method extends the class of exact nonstationary solutions considerably, since this method enables one to study not only invariant exact solutions.
Список литературы Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой несжимаемой жидкости
- Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1972. -392 с.
- Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением поверхностно-активного вещества//МЖГ. -2011. -№ 6. -С. 56-68.
- Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Развитие концентрационно-капиллярной конвекции на межфазной поверхности//МЖГ. -2015. -№ 3. -С. 56-67.
- Юдович В.И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики//Успехи механики. -2002. -Т. 1, № 1. -61-102.
- Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. -М.: Гостехтеориздат, 1952. -286 с.
- Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости//ПМТФ. -1966. -№ 3. -С. 69-72.
- Napolitano L.G. Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids//Acta Astronaut. -1980. -Vol. 7, no. 4-5. -P. 461-478.
- Goncharova O.N., Kabov O.A. Gas flow and thermocapillary effects on fluid flow dynamics in a horizontal layer//Microgravity Sci. Tec. -2009. -Vol. 21, no. 1. -P. 129-137.
- Андреев В.К. Решение Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препринт №1-10/ИВМ СО РАН. -Красноярск, 2010. -68 с.
- Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. -Пермь: Изд-во ПГУ, 2006. -154 с.
- Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. -Киров: ВятГУ, 2011. -207 с.
- Андреев В.К., Бекежанова В.Б. Устойчивость неизотермических жидкостей (Обзор)//ПМТФ. -2013. -№ 2. -С. 3-20.
- Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции//Нелинейная динамика. -2013. -Т. 9, № 4. -С. 651-657.
- Пухначев В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха//Известия АлтГУ. -2011. -№1-2. -С. 62-69.
- Никитин Н.В., Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского//Успехи механики. -2003. -Т. 2, № 4. -С. 63-105.
- Шварц К.Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами//МЖГ. -2014. -№ 4. -С. 26-30.
- Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics//Arch. Ration. Mech. An. -1957. -Vol. 1, no. 1. -P. 391-395.
- Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн//ПМТФ. -1989. -№ 2. -С. 34-40.
- Аристов С.Н., Князев Д.Е., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных//ТОХТ. -2009. -Т. 43, № 5. -С. 547-566.
- Аристов С.Н., Зимин В.Д. Адвективные волны во вращающемся шаровом слое: Препринт № 145/ИМСС, Уральский научный центр, АН СССР. -Свердловск, 1986. -50 с.
- Аристов С.Н., Фрик П.Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости: Препринт № 146/ИМСС, Уральский научный центр, АН СССР. -Свердловск, 1987. -48 с.
- Аристов С.Н., Шварц К.Г. Конвективный теплообмен при локализованном нагреве плоского слоя несжимаемой жидкости//МЖГ. -2013. -№ 3. -С. 53-58.
- Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции Бенара-Марангони вязкой несжимаемой жидкости//Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. -2013. -№ 3(32). -С. 110-118.
- Аристов С.Н., Князев Д.В. Локализованные конвективные течения в слое неоднородно нагретой жидкости//МЖГ. -2014. -№ 5. -С. 5-16.
- Аристов С.Н., Фрик П.Г. Крупномасштабная турбулентность в тонком слое неизотермической вращающейся жидкости//МЖГ. -1988. -№ 4. -С. 48-55.
- Рыжков И.И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. -М.: Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2012. -200 с.
- Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. -М.: Мир, 1987. -524 с.
