Нестандартная теория классов

В работе предлагается новая система аксиом нестандартной теории множеств — нестандартная теория классов (NCT), которая строится совершенно аналогично известной теории внутренних множеств (1ST) Э. Нельсона [8]. Отличие состоит в том, что NCT представляет собой расширение теории классов (NBG) фон Неймана — Бернайса — Гёделя, в то время, как 1ST — расширение теории Цермело — Френкеля (ZFC). Кроме того, мы пользуемся не 1ST, а принадлежащей В. Кановею и М. Рейкену [7] теорией ограниченных множеств (BST), которая отличается от 1ST добавлением аксиомы ограниченности

V$3st у х G у и необходимой модификацией принципа идеализации (принцип идеализации 1ST очевидно противоречит аксиоме ограниченности). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время многие логические рассмотрения в ней существенно проще.

Наличие классов позволяет формализовать в рамках NCT различные конструкции, использующие внешние множества, что невозможно в 1ST. В частности, одной из аксиом NCT является аксиома насыщенности, играющая исключительно важную роль в приложениях нестандартного анализа. От других известных теорий внешних множеств [2, 5, 6] NCT отличается естественностью и простотой. В частности, она содержит лишь конечное число аксиом — принципы переноса, идеализации и стандартизации Э. Нельсона формулируются здесь в виде отдельных аксиом, а не аксиомных схем.

Язык теории NCT получается добавлением к языку NBG одноместного предикатного символа St (StА) — читается «X — стандартный класс»). Переменные, принимающие значения произвольных классов, обозначаются заглавными латинскими буквами, а переменные, принимающие значения множеств (т. е. классов, которые входят как элементы в какие-нибудь другие классы) — строчными. Внутренние классы определяются как сечения стандартных классов множествами. При таком определении сами множества являются внутренними классами, поскольку представляют собой сечения стандартного класса G. Если внутренний класс (в частности, внутреннее множество) X представляет собой сечение стандартного класса множеством р, то говорят, что X стандартен относительно р, или р-стандартен. Это понятие относительной стандартности в рамках теории 1ST было впервые введено в статье [3], где, в частности, было доказано, что принцип переноса и импликация «слева-направо» в принципе идеализации остаются справедливыми,

если заменить все вхождения предиката стандартности в них, на предикат стандартности относительно произвольного, но фиксированного для каждой конкретной формулы множества р. Это остается справедливым и для теории NCT (см. ниже теорему 3).

Как уже отмечалось, все множества в рассматриваемой теории — внутренние. Внешние объекты являются собственными классами. При этом, как и в Альтернативной теории множеств (AST) П. Вопенки [9], здесь возможны подклассы множеств, которые не являются множествами (аксиома выделения истинна только для внутренних множеств). Следуя П. Вопенке, мы называем их полумножествами. Теория NCT имеет и некоторые другие свойства AST. В частности, в ней справедлива теорема о том, что множество стандартно-конечно (т. е. его мощность есть стандартное натуральное число) в том и только том случае, когда оно не содержит подполумножеств.

Разумеется, тот факт, что собственные классы не являются элементами других классов, несколько ограничивает выразительные возможности теории NCT. В частности, в ней не удается в полном объеме формализовать конструкцию нестандартной оболочки внутреннего нормированного пространства Е. В самом деле, элементами этой нестандартной оболочки являются классы эквивалентности внешнего подкласса ограниченных элементов Е по внешнему отношению бесконечной близости в Е. Но поскольку эти классы — внешние, то не существует класса, содержащего их в качестве элементов. Для того же, чтобы рассматривать нестандартную оболочку Е, как класс, состоящий из представителей указанных классов эквивалентности, нужно добавить к NCT более сильную форму аксиому выбора, утверждающую, например, возможность такого вполне упорядочения полумножества, при котором каждый подкласс этого полумножества имеет наименьший элемент. Однако (см. параграф 3 ниже), такая аксиома не может быть добавлена к NCT без противоречия. В разделе 3 доказано, что таким образом могут быть вполне упорядочены лишь классы, для которых существует биекция на полумножество стандартных элементов некоторого стандартного множества, а полумножество ограниченных элементов внутреннего нормированного пространства таковым не является. С другой стороны в NCT может быть формализовано и доказано утверждение, равносильное теореме о полноте нестандартной оболочки. Речь идет об утверждении о том, что всякая внешняя, т. е. занумерованная стандартными натуральными числами последовательность е„ элементов Е S-фундаментальна (т. е. V^st£ > 0 З^щ V^st т,п > По||е„ — е_т|| <  е), то она имеет S-предел в Е (т. е. Зе Е 5V^st е > O3^stnoV^stn > По||е„ — е|| <  е). Аналогично в рамках NCT могут быть формализованы содержащиеся в [4] рассмотрения, связанные с построением топологических групп, как фактор-групп гиперконечных групп по внешнему нормальному делителю.

• 2.    Аксиоматика и основные свойства NCT

Язык NCT — это язык исчисления предикатов с равенством, содержащий один бинарный предикатный символ Е и один унарный предикатный символ St. Формулы языка NCT будем обозначать греческими буквами. Переменные обозначаются заглавными латинскими буквами и интерпретируются как классы. Как обычно, запись ф^Х1,..., Х^ означает, что свободные переменные формулы ф содержатся среди Хр... , Х_п.

Запись S(Ai,... , А„) ^ Ф^Ху,... , А„) означает, что выражение S(Ai,... , А„) служит сокращением для ф^Хх,..., Х_пф

Класс X, удовлетворяющий формуле Set(A) ^ ЗУ (А Е У), называется множеством. Множества и только они обозначаются строчными латинскими буквами.

Аксиома объемности:

\/X\/Y (X = Y ^Vu(u е X ^ и е У)).

Если <^(ж,Х1,... , Х_п) — формула NCT и для некоторого класса X имеет место

Уж (ж G X ^ ф^х, Хь ... , Х^), то будем писать X = {ж : ф^х, Х±,..., Х„)}.

Аксиома пары:

VuVv Зж (ж = {w : го = и V го = у}).

Как обычно, множество ж, фигурирующее в аксиоме пары обозначается через {у, у}. При этом

{у} = {у, у},

(у, у) = {{у}, {у, у}},

(иь. . . ,У„) = ((уХ, . . . ,У„-1),У„).

Fnc R ^ MxМуMz ((х, у) Е RX ^х,г^ Е R ^ у = гф

Аксиома объединения:

Мх ЗуМи (и Е х <—> и С уф

Аксиома степени:

Мх ЗуМи фи Е у -$—> у С ж).

Аксиома бесконечности:

Зж (Зу G ж Уу (у ^ у) &Уу G ж (у U {у} Е ж)).

Аксиома выбора:

Уж (ж 7^ 0 &Уу G ж (у 7^ 0) — У 3/(Епс/&Уу G ж Зу((у, у) G / &  у G у))) .

Аксиома регулярности:

Уж Зу G ж (у П ж = 0).

Аксиома собирания:

УК Уж Зу Уу G ж (Зу ((у, у) Е У) —> Зу Е у ({и, у) G У)).

Ниже используются следующие сокращения:

Э8‘ж<^ Зж ^Цх^фф, yst хф ^ Уж (St(ж) —> фф

Аксиома ограниченности:

УжЭ⁸‘г (ж Е гф

Аксиома переноса:

Т : y^stX (Зж(ж G X) —> 3⁸¹ж(ж G X)).

Аксиома стандартизации:

S: ^ХАУАмЩУ^тСХ).

Отправляясь от пустого множества, по аксиоме стандартизации можно получить стандартный класс L, не содержащий стандартных элементов. По аксиоме переноса L = 0, т. е. пустое множество стандартно.

Формула называется предикативной, если в ней связаны только переменные, ограниченные множествами и предикат стандартности присутствует только в составе внешних кванторов, т. е. все вхождения кванторов и предиката стандартности имеют вид Зж, 3⁸¹ж, Vx, V^x. Заметим, что подформулу St(ж) можно заменить на 3^sty (у = ж).

Пусть р — произвольное множество. Класс X называется р-стандартным (st_pX), если он является р-сечением некоторого стандартного класса Y, т. е. 3^sty (X = Y"pY где Y"p = {у : (р, v) G У}.

Класс X называется внутренним (int)X, если он р-стандартен для некоторого р.

Аксиома существования классов:

Пусть формула ^(жх,... , ж„, У[,... , Ут) предикативна. Тогда

• 1.    для произвольных классов Ух,... , Y_m существует класс

• 2.    Если формула ф — внутренняя и классы Y^,... ,Y_m стандартны, то Т есть стандартный класс.

Т = {(Ж1,... , ж„) : ^(ж_х,... ,ж„,У1,... , У_т)};

Замечание. Точно также, как и для теории NBG, вместо приведенной здесь схемы аксиом существования классов достаточно принять в качестве аксиом лишь конечное число ее частных случаев, после чего данная схема аксиом в полном объеме может быть доказана. Таким образом теория NCT является конечно аксиоматизируемой.

Из аксиомы существования классов легко вытекает следующее

Предложение 1. Если в условиях аксиомы существования классов формула ф и классы У1,...,У„ — внутренние, то Т есть внутренний класс. При этом, если все У_г р-стандартны для некоторого фиксированного множества, р, то класс Т также р-стандартен.

Введем теперь следующие обозначения:

U = {ж : ж = ж} = {ж : ж ^ 0},

S = {ж : St(ж)},

X = {ж : ж ^ X},

X ПУ = {ж : ж G XX х G У}, domX = {и : Зи ((и,и)) G X}, X х У = {(и,и)) : u G XX v G У}.

Согласно аксиомам существования классов совокупности U и Е суть стандартные классы, S есть класс и для любых классов X и У совокупности X. ХИ У, domX, X х U суть классы, стандартные, если стандартны X и У.

Любое множество ж является ж-стандартным и, следовательно, внутренним, поскольку ж = Е '"ж. Любой стандартный класс X — внутренний, так как X = ({0} х Х)"0.

Следующие две аксиомы выражают свойства внутренних классов.

Аксиома выделения:

MmtX MX Зу Ми (и Е у ^—> и Е х X и Е Хф

А ксиома идеализации:

V^intXV^sta₀ (V^stfin С a₀3xMa Е с^хщ) GX)w 3$V^sta G а₀((ж,а) G X)).

Нижеследующая теорема непосредственно вытекает из аксиомы существования классов и предложения 1.

Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:

• 1.    Пусть ф — внутренняя предикативная формула. Тогда

• 2.    В NCT выполняются аксиомы стандартизации и идеализации BST.

• 3.    Принцип переноса. Если ф — внутренняя предикативная формула, то

V^intXi ... V^intX_n Мх Зу Mu (u G у ^ у E x X ф<х, X_b ... , X^).

В частности, выполняется схема, аксиом выделения В ST.

V^st X_k... V^st X_n (V^st X ф^х, Xp...^^ ^Mx ф^х, Хх,...^^.

В частности, выполнена схема, аксиом переноса. В ST.

Следствие 1. Всякое доказуемое в BST предложение доказуемо и в NCT.

Напомним, что аксиомы переноса, идеализации, стандартизации и выделения BST являются частивши случаями соответствующих аксиом NCT, в которых классы определяются предикативными формулами с множественными свободными переменивши (для аксиом выделения, переноса и идеализации эти формулы — внутренние.)

• <    Пуств множество ж р-стандартно. Тогда по аксиоме ограниченности и принципу переноса ж = z"p для некоторого стандартного z, функция / = ^q, z"сф : q Е domz} стандартна и /(р) = ж.

Наоборот, если функция / стандартна, то множество /(р) будет р-сечением стандартного по принципу переноса множества {(су, u) : u Е /(су)}. >

Теорема 2. Пусть ф — внутренняя предикативная формула, и р — произвольное множество. Тогда.

М^Х_х ... М^х,, (У'"ж /(ж, X_V,...,X^ ^Мх ф^х, Х_ъ ... , Х_п)\

• <    Согласно предложению 1 достаточно доказать, что каждый непустой р- стандартный класс X содержит р-стандартный элемент.

Пусть X = Y"p, st Y ир Е г, st г. По аксиомам собирания и выбора и теореме переноса найдется такая стандартная функция /, что

MqEr (Зу^,у) G У) —> Зу((₉,у) G У П/)).

Так как X непуст, р Е dom/ и /(р) будет р-стандартным элементом X. >

Для произвольного класса С обозначим °C = CHS. Аксиома стандартизации постулирует существование для любого класса X стандартного класса Y со свойством ° У = °Х. По принципу переноса такой стандартный класс единственен. Он обозначается через ^SX.

Теорема 3. Класс стандартен тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым стандартным множеством есть стандартное множество.

• <    Необходимость следует из аксиом существования классов и выделения. Докажем достаточность.

Пусть X — такой класс, что V^st z 3^st t (t = X П г). Положим Y =^s {ж : ж G А} и покажем, что Y = X. Благодаря аксиоме ограниченности для этого достаточно проверить, что для любого стандартного множества г имеет место равенство ?Г А = z П У. По выбору У

°(АПг) = °АП Д = °У ПД = °(У Пг).                   (1)

Поскольку A Hz и У Hz являются стандартными множествами, то по принципу переноса из (1) следует требуемое равенство. >

Предложение 3. Множество является стандартным и конечным тогда и только тогда, когда все его элементы стандартны.

• <    По принципу идеализации имеем:

st fin ж е—> 3^{st fin}y С xMa G хЗЬ G у (a = b) e— > У a G ж 3^st b G ж (a = b). >

Множество называется стандартно-конечным, если его мощность есть стандартное натуральное число.

Теорема 4. Множество является стандартно-конечным, если и только если все его подклассы суть множества.

• <    Пусть ж — некоторое множество, ж = а и / : a —> ж — взаимнооднозначная функция.

Если ж не является стандартно-конечным, то по принципу переноса V^stn G w (a > n). Для класса I = {/(n) : n G °w} мы можем записать:

V^stfins C wBk G w^n G s(f(k) ElXn< k^

Если бы I был множеством, то нашлось бы такое k G w, что /(/с) G / и V^stn G w (п <  к), что невозможно, так как f^k) G I только для стандартных к в силу взаимнооднозначно-сти /.

Пусть теперь ж стандартно-конечно и А С ж. Рассмотрим класс Т = {n G a : /(n) G А}. По принципам стандартизации и переноса существует множество t =^s Т, t С a. Так как, по предложению 3, a С S, имеет место равенство t = °t = °Т = Т. Тогда А = {/(n): n G Д есть множество. >

Назовем Р-монадой //_р(ж) множества ж пересечение всех р-стандартных классов, содержащих ж. Поскольку дополнение к стандартному классу есть стандартный класс, р-монады двух произвольных множеств либо не пересекаются, либо совпадают. По предложению 2 имеем:

Др^ = {у : V^stpz (у G z е— У ж G z)}.

Если множество р стандартно, то класс у_р(ж) будем называть монадой множества ж и обозначать //(ж). Очевидно, у(ж) = П{а G S : ж G а}.

Пусть ж — произвольное множество. По аксиоме ограниченности ж G жо, 81жо- Используя перенос, нетрудно показать, что и =^s {a С xq : ж G а} есть стандартный ультрафильтр, причем П°и = у(ж). Наоборот, если и — произвольный стандартный ультрафильтр, то по принципам переноса и идеализации П°и Д 0 и \/ж С П°и (у(ж) = П°и).

Класс П°ж называется гнездом ультрафильтра и и обозначается уДУ Для обозначения класса всех ультрафильтров будем использовать сокращение Ult, для множества всех ультрафильтров на множестве ж — Ult (ж).

Предложение 4. Для произвольных множеств х и р уРДУ = уДр.ДУ'р-

• <    Используя предложение 2, получим:

у G уДр, ДУ'р ^—> (р, у) G уДр, ж)) е—> V^st z^p, х) е z е—> Д, у) е г) е—> у е уДхУ >

Класс X назовем p-насыщенным, если вместе с каждым множеством он содержит всю р-монаду этого множества.

Предложение 5. Множество х является р-стандартным тогда и только тогда, когда оно р-насыщено.

• <    Пусть ж p-насыщено. Возьмем произвольный элемент u G х и покажем, что и принадлежит р-сечению некоторого стандартного множества, включенному в х. Действительно, если допустить противное, то

V^st2(u G z"p —э Еж G г"рД ^ ж)).                       (2)

Область изменения z в формуле 2 можно ограничить стандартным множеством Д : t С Шжо}, где жо Э ж стандартно. По идеализации получим:

Еж ^ х^ z (и G z"p —> ж G z"p\ что противоречит включению урД) С ж.

Таким образом, мы имеем: Vn G жЕ⁸‘г(и G z"p С ж). Снова применив принцип идеализации, получим такое стандартное конечное множество zq, что Vu G ж 3z G zq (и G z"p С ж). Нетрудно проверить, что ж будет р-сечением стандартного множества LUq. >

Следствие 2. Для любых множеств х и р рРУД = {ж} ^—> textstpx.

• <    Импликация справа налево очевидна. Если же уДх^ = {ж}, то множество {ж} p-насыщено и, значит, р-стандартно. Тогда по переносу ж также будет р-стандартным. >

Аксиома насыщенности:

VXEpV_$ G X ДрДР) С ХУ

• т. е. всякий класс является p-насыщенным для некоторого множества р.

Для произвольных класса D С Ult и множества р обозначим

Pels (D,p)= [J пДУ'р.

uC°D

Полумносисествами называются подклассы множеств:

SmsX ^ E^stz(X С zV

Теорема 5. Пусть X — произвольный класс. Тогда найдутся такой стандартный класс D С Ult и множество р, что

X = Pels (D,p).

Если X — полу множество, то D можно выбрать множеством.

• <    Пусть X — p-насыщенный класс. Положим D =^s {u Е Ult : нфиф'р С X}. Тогда по предложению 4 выполняется (3).

Если X Е z, st z, то равенство (3) сохранится, если вместо D взять стандартное по принципу переноса множество d = D П Ult (г х г), где г — произвольное стандартное множество, содержащее р. >

Таким образом, всякое полумножество в NCT оказывается определимым некоторой предикативной -формулой.

Следствие 3. Если в формуле все кванторы ограничены полумножествами, то она она эквивалентна некоторой предикативной формуле.

• <    Заменим все подформулы вида st X на V^sts3^s4 (t = X П s), а. подформулы вида ЗА (SmsX —» ф(Х,.. . )) на. 3^std3p^(Pcls (фр),... ). ▻

Следующая теорема, является принципом насыщенности в его традиционной формулировке. Отметим, что в отличие от NCT, ни в 1ST, ни в BST эта. теорема, не может быть не только доказана, но даже и сформулирована.

Теорема 6. Пусть класс X и стандартное множество zq таковы, что V^st ж Е zq Эу ((ж, у) Е Хф Тогда найдется такая функция-множество f, что У^яж Е zq ((ж, / (ж)) Е

• <    По аксиомам собирания и ограниченности найдется стандартное множество t такое, что \/ж Е zq (Зу((ж,у) Е А) — > Зу Е 1((ж,у) Е А)). Пусть класс X p-насыщен. Если (ж, у) Е X и ж стандартно, то Му' Е ц^у') ({ж,у') Е ХУ поскольку р_р^ж,у^ = {ж} х Цр^уф Положим d =^s {(ж,и) Е z х Ult (1) : {ж} х (z/(u)"p) С Хф Аксиома, выбора, и принцип переноса, позволяют выбрать такую стандартную функцию h : zq —> Ult(l), что Мж Е zq ((ж,/г(ж)) Е dy Имеем:

• 3.    Непротиворечивость NCT

V^st fin _z Е Zo3f Мж Е zM^st a Е /г(ж) (Fnc (/) & /(ж) Е а).

По принципу идеализации получим такую функцию /, что M^st ж Е z (j^ Е г/(/г(ж))). Нетрудно видеть, что / — искомая функция. >

Настоящий раздел посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 7. Всякое предикативное предложение, доказуемое в NCT, доказуемо и в BST.

Мы покажем, что всякая модель BST изоморфно вкладываются в некоторую модель NCT в качестве универсума, всех множеств, откуда, по теореме о полноте следует доказываемое утверждение.

Рассмотрим произвольную модель ОТ = (М, Е^м ,st^M) теории BST. Пусть L есть обогащение языка. BST элементами из М , рассматриваемыми как новые константные символы. Мы будем считать ОТ моделью языка. L, принимая за. интерпретацию символа, a Е М само множество а. Множества, из М, входящие в формулу языка. L, будем называть ее параметрами.

Для всякой формулы ф языка. L с одной свободной переменной обозначим \ф^ : = {ж : ОТ |= <Дж)}. Положим

N = {f^) : ф — формула, языка. L с одной свободной переменной};

Std = {f^} Е N : ф — внутренняя формула, со стандартными параметрами};

Set(a) = }ж Е а) для любого а Е М.

st^Np <^- р Е Std.

Предложение 6. Для любых a,b Е М, р, q Е N

• 1.    п Eⁿ q ^ За Е М (р = Set(a));

• 2.    Set(a) = Set(6) <^=^ а = b;

• 3.    Если р = Set(a), q = Set(6), то р E^N q -<=^ a Е^м b;

• 4.    Если р = Set(a), то st^N р <^=^ st^M а.

• < 1. верно по определению отношения E^N.

• 2.    вытекает из справедливости аксиомы экстенсиональности в Ш1.

• 3.    следует из 1) по определению отношения E^N.

• 4.    По определению st^N имеем: р = {6 : Ш1 |= b Е а} = {6 : 9И |= фффф где ф — внутренняя формула со стандартными параметрами. Следовательно, 9И |= Vx Д Е а ^—> ф^У Из того, что в Ш1 выполнена схема аксиом переноса, следует, что Ш1 |= st а, т. е. st ^м а.

Наоборот, если st ^ма, то р = [ж Е а"] Е Std. >

Теперь очевидно следующее

Предложение 7. Отображение Set изоморфно вкладывает Ш1 как модель языка L в модель 91 = (N, E^N , st причем для всякого р Е N^ |= ЗА ф Е X) =^ За Е М ф = Set(a)).

Предложение 7 показывает, что класс р является множеством в 91 в том и только том случае, когда р = Set(a) для некоторого a Е М , т. е. 9И действительно вкладывается в 91 как универсум всех множеств.

Осталось проверить выполнимость аксиом NCT в 9И.

Из предложения 7 следует, что аксиомы NCT, являющиеся предикативными предложениями, выполняются в 91, если они истинны в BST. Это верно по отношению к аксиомам пары, объединения, степени, бесконечности, выбора, регулярности и ограниченности.

Аксиома экстенсиональности выполняется в 91, благодаря построению отношения E^N.

Если ф — формула языка L, то совокупность {ж : ффт,Х1,... , ж„)} будем обозначать через Сф.

Пусть Ф(Х1,...,Х„)   — предикативная формула, а ффх, жх,... , ж_т),... ,

<^„(ж,жх,... ,ж_т) — формулы языка L, свободные переменные которых не участвуют в построении Ф. Обозначим через Ф(С'^₁,..., СфД формулу, которая получается из Ф(Хх,..., ХД заменой

• 1.    всех вхождений атомарных формул вида у Е Xj на фjД,Xl,... , ж_т);

• 2.    всех вхождений атомарных формул вида Х^ Е Xj на

• 3.    всех вхождений атомарных формул вида А_г Е Xj на

• 4.    всех вхождений атомарных формул вида Xi Е х на.

ЗхДуДЕх -^- фгД^хг,... ,х_т)) &фj(x,x₁,.. . ,ж_т));

\/ж Дфх,х-_к,.. . ,ж_т)) ^^ фjД₁x_X1.. . ,ж_т));

Vy (у Е ж ^^ ФМ^Ж11 • • • ,х_т))-

Свободными переменными (параметрами) формулы Ф(С'^₁,... , СфД являются свободные переменные (параметры) формул ф^,... ,ф_п-

Предложение 8. Если Ф — предикативная формула, и Сф_х,..., Сф_п — совокупности без свободных переменных, то

91|=Ф(ГМ-.-М1) ^ дЛфФ(С_ф1,...,С_фД.

• <    Доказательство проводится индукцией по построению Ф с использованием предложения 6. >

Заметим, что аксиомы NCT, не являющиеся предикативными предложениями, имеют вид

QiAQ2y<^(A,y,Z),                      (*)

где Qi,Q₂ G {V,V^st}, Q Е {3,3^st}, и Ф — предикативная формула.

Будем говорить, что предложение вида (*) истинно в BST для классов, если для произвольных формул ф1ф,Н1,... ,иф и ^₂(ж, г>1,... , v_m) языка BST, внутренних, если соответствующие кванторы внешние, можно указать такую формулу ффдиц,... , w_n) языка BST, внутреннюю, если квантор Q внешний, что предложение

Qmi • • • QiulQ2u1 ■ ■ ■ Q2vmQw1 • • • Qгun'Ф^Cф1, Сф2, СД истинно в BST. При этом предполагается, что переменные и^, т^ ^г не участвуют в построении формулы Ф.

Предложение 9. Пусть предложение Ф имеет вид (*). Тогда, если Ф истинно в BST для классов, то Ф выполняется в 91.

• <    Рассмотрим случай, когда в Ф все кванторы по классам — внешние. Возьмем произвольные 9Тстандартные элементы (<^i), Г^г! Е N. Из того, что Ф истинно в BST для классов, следует, что найдется такая внутренняя формула ф языка L с 9Л-стандартными параметрами и одной свободной переменной, что 9И |= Ф(С'^₁, Сф₂, СфУ Таким образом, мы имеем: st ^w Рф"| и 91 |= Ф(|"<^1"|, |"<^₂"|, Г^1) по предложению 8, что и требовалось. >

Нетрудно доказать истинность в BST для классов аксиом переноса, существования классов, регулярности, выделения и идеализации. Аксиомы стандартизации, собирания и насыщенности требуют отдельного рассмотрения.

Мы будем пользоваться определениями, обозначениями и доказанными нами фактами о монадах и ультрафильтрах, которые имеют место также и в BST. Кроме того, будет использована следующая теорема [1].

Теорема 8 (BST). Для любой формулы Ф с двумя переменными найдется такая внутренняя формула ф, что

VpV^st$ (Ф(ж,р) ^ V^stU Е Ult ф Е Д1Д -^ фф^^ ^ 3^st U Е Ult ф Е Д1Д & фф, U^)

Теорема 9. Аксиома стандартизации NCT верна в В ST для классов.

• <    Пусть Ф — произвольная формула. Можно считать, что она имеет на более двух свободных переменных. Выберем согласно теореме 8 внутреннюю формулу ф, удовлетворяющую (4). Тогда, если множество р и ультрафильтр U таковы, что р Е ДЩ, то

У⁸¹ж(Ф(ж,р) ^ ФД,Щф

Поскольку всякое множество принадлежит гнезду некоторого стандартного ультрафильтра, это доказывает истинность аксиомы стандартизации в BST для классов. >

Пусть U — ультрафильтр. Обозначим dom[U] = {domu : u G U}; ran[U] = {ranu : u G UY

Используя принципы переноса и идеализации нетрудно показать, что для всякого ультрафильтра U dom[U] и гап[П] также являются ультрафильтрами, причем для любых множеств а и b

{a, b) G н^Щ —> a G z/(dom[U])&6 G Дгап[Сф;

a G z/(dom[U]) — > 3b G ran[U] ((a, 6) G z/(U)).

Теорема 10. Аксиома собирания истинна в BST для классов.

• <    Пусть Ф есть формула с двумя свободными переменными. Согласно теореме 8 имеем для некоторой внутренней формулы ф:

Обозначим

^(И, W) = 3U G Ult (dom[U] = U&ran[U] = WW

По теореме собирания и принципу переноса BST для любого стандартного множества А найдется такое стандартное множество R, что

W G Ult (Л) ^фф¥^ -^ 3W G R^^W^.

Обозначим Y = U U R. Тогда по принципу переноса и свойствам гнезд ультрафильтров для всякого a G А будем иметь:

ЗЬ Ф(а, 6) -^ ЕЛ⁷ С Ult (Л) 5^st W £ Ult (a G п(¥) & ф(¥, W^ -^

• -^ 3^st И G Ult (A)3^st W G R (a G z/(U) &  ф^ W^ -^

• -^ 3b G U3^st U ((a, 6) G v^ X ф^ -^ 3b G Y Ф(а, Ьф

Пусть теперь Ф(ж, у,р) — произвольная формула. Для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого р и всякого стандартного X найдется такое множество У, что

Mx Е X (ЗуФ(ж,у,р) —> Зу G Y Ф(ж,у,р)).

Фиксируем стандартные множества X и Р. Положим Ф(аД) ^ ЗхЗр^а = (ж,р)& Ф(ж, Ь,рф.

По доказанному найдется такое стандартное множество У, что для любого р G Р выполняется (5). Осталось применить аксиому ограниченности. >

Теорема 11. Аксиома насыщенности истинна, в BST для классов.

• < В силу теоремы 8 для всякой формулы Ф с двумя свободными переменными можно построить такую внутреннюю формулу ф, что

• Ф(ж,р) ^ 38Д7((р,ж) G п^Щ^ф^Тф,

• 4. Классы стандартных размеров

откуда для любого множества р по предложению 4 получаем:

\/ж (Ф(ж,р) —> Vy G ур(ж)Ф(у,р)), что и доказывает утверждение теоремы. >

Итак, все аксиомы NTC истинны в 91, что и доказывает теорему 7.

В этом разделе охарактеризованы классы, которые могут быть сильно вполне упорядочены, т. е. линейно упорядочены так, что каждый непустой подкласс имеет наименьший элемент. Отсюда, в частности, следует, что аксиома, утверждающая, что каждое множество может быть сильно вполне упорядоченно, противоречит основным аксиомам NCT.

Буквы F, /, G, g, Н, h со всевозможными индексами зарезервируем для обозначения функций. Определим

SatpX ' X — p-насыщенный класс.

Обозначим Х"В = у : Зж G D ((ж, у) G X).

Предложение 10. Мр Мх Му (dom9p((ж, у)) = рДж)).

Предложение 11. Satp F —э Vst ж G dom(F) ( textstp Е(ж)).

• < Возьмем произвольную пару (ж, и) G F. По предложению 10 Цр^х,^) = ххц_р^ С F. Так как F — функция, д_р^ = и. Значит, по следствию 2 textst_p о. >

Предложение 12 (Принцип продолжения). МН 3^mt G V^st ж G domK (Е(ж) = С(ж)).

При этом

• а)    если Н — полу множество, то G можно выбрать множеством;

• Ь)    если Н — p-насыщенна, то G можно выбрать р-стандартной.

• <    Пусть SatpH. Обозначим С =^s {(ж,/) : ж G dom(4f)&/(p) = Н^х)^ и положим G = {(ж,/(р)) : (ж,/) G С}. По р-переносу функция G будет р-стандартной. Причем, если Н — полу множество, то С можно выбрать множеством. >

Класс X имеет стандартный размер, если существует функция F и класс D такие, что X = F"°D. По предложению 12 и стандартизации функцию F можно считать внутренней, а класс D — стандартным.

Предложение 13. Класс X имеет стандартный размер, если и только если все его элементы р-стандартны для некоторого фиксированного множества, р.

• <    Необходимость следует из предложения 11 и аксиомы насыщенности. Докажем достаточность. Пусть X состоит из р-стандартных множеств. Обозначим D =^s {/ : /(р) G Хф F = {(/,/(р)) : d G Вф Тогда по предложению 2 X = F"X. >

Предложение 14. Если X — полупространство стандартного размера, то найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d такие, что X = J"°d

• <    Пусть X С s, st s. По предложению 13 все элементы X р-стандартны для некоторого р G ро, st pq. Обозначим d' =^s {g G s^Po : y(p) G Хф Пусть d есть множество классов эквивалентности на множестве d' по отношению ⁵{(91,92) € d' х d' : 91 (р) = 92 (р)} • Положим / = ^ф,$фф : t G d'&f G tY Нетрудно проверить, что функция / и множество d — искомые. >

Предложение 15. Если множество х не является р-стандартным, то монада. Цр^ включает некоторое множество бесконечно большой мощности.

• <    По аксиоме ограниченности ж G жо, st жо- Согласно предложению 13 класс S = {s : textstp s С жо&ж G s} есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся такие / и d, что S = f'°d. Тогда у_р(ж) = C\te°d.f№-

• Пусть st fine С d. Покажем, что мощность множества и = Пщс/(^) бесконечно велика. Действительно, по предложению 3 ж G V. Если v = n, stn, то по принципу р-переноса

найдется ^-стандартная функция К, отображающая множество n С w на множество у. Тогда ж = Д(г) для какого-то г < п, и х оказывается р-стандартным по р-переносу, что противоречит условию. Таким образом, мы имеем:

V^stfinc С d3yVl G с^ку» С /(1)&Д >  ку

По тг-идеализации получаем:

Предложение 16. Полумножество имеет стандартный размер тогда и только тогда, когда оно является подклассом некоторого множества, любой наперед заданной бесконечно большой мощности.

• <    Необходимость. Пусть X = f"°d и п — бесконечно большое натуральное число. Тогда, очевидно,

Vst йп с С d3zVtEcUW EzX\z\

(можно ВЗЯТЬ Z = /"с). По принципу идеализации получим: Зг (X С г&ф < п), что и требовалось.

Достаточность. Пусть Sat^X. Из условия по предложению 15 X состоит только из р-стандартных элементов и, по предложению 13, имеет стандартный размер. >

Отношение ^ называется сильно полным порядком на классе X, если любой подкласс Y С X имеет ^-наименьший элемент.

Теорема 12. На полумножестве X можно задать сильно полный порядок, если и только если оно имеет стандартный размер.

• <    Пусть Химеет стандартный размер. По предложению 14 найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d, такие, что X = J"°d. По аксиоме выбора и принципу переноса существует полный стандартный порядок < на d. Докажем, что порядок ^х, индуцированный отображением /, сильно вполне упорядочивает X. Действительно, пусть Y С X. Обозначим через «д / минимальный элемент множества Да G d : /(а) G У}. По принципу переноса stag. Нетрудно проверить, что /(ад) есть ^х ^— минимальный элемент класса Y.

Пусть А есть сильно полный порядок на полумножестве X. Обозначим

Т = {/ : dom/ G °Ord &V^sta G dom/ (/(a) = min(X - {/(/1) : st /3 < a}))},

A =^s {a :V/GTVgGT(/(a) = g«

G = {(a,/(a)) : a G °&/ G Ту

По принципу переноса и построению класса Т, имеем: V^sta G A (a С А). Поэтому по принципу переноса, либо A G Ord, либо А = Ord.

Нетрудно также показать, что функция G взаимнооднозначна и ranG С X. Класс О = G"Ord. Есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся / и d такие, что О = f"°d. Обозначим Н = {(l,a) : t Е ^odkf^ = G(a)}. По аксиоме собирания А = тапН будет полу множеством.

Следовательно, A G Ord. Но тогда, по построению Т, ranG = X, и X имеет стандартный размер. >