Нестандартная теория классов
Автор: Андреев П.В., Гордон Е.И.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
В работе предлагается новая система аксиом для нестандартной теории множеств - нестандартная теория классов (NCT), которая строится совершенно аналогично известной теории внутренних множеств (IST) Э. Нельсона. Отличие состоит в том, что NCT представляет собой расширение теории классов (NBG) фон Неймана - Бернайса - Геделя, в то время, как IST - расширение теории Цермело - Френкеля (ZFC). Кроме того, мы пользуемся не IST, а принадлежащей В. Кановею и М. Рейкену теорией ограниченных множеств (BST), которая отличается от IST добавлением аксиомы ограниченности и необходимой модификацией принципа идеализации (принцип идеализации IST очевидно противоречит аксиоме ограниченности). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время многие логические рассмотрения в ней существенно проще.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317993
IDR: 14317993
Текст научной статьи Нестандартная теория классов
В работе предлагается новая система аксиом нестандартной теории множеств — нестандартная теория классов (NCT), которая строится совершенно аналогично известной теории внутренних множеств (1ST) Э. Нельсона [8]. Отличие состоит в том, что NCT представляет собой расширение теории классов (NBG) фон Неймана — Бернайса — Гёделя, в то время, как 1ST — расширение теории Цермело — Френкеля (ZFC). Кроме того, мы пользуемся не 1ST, а принадлежащей В. Кановею и М. Рейкену [7] теорией ограниченных множеств (BST), которая отличается от 1ST добавлением аксиомы ограниченности
V$3st у х G у и необходимой модификацией принципа идеализации (принцип идеализации 1ST очевидно противоречит аксиоме ограниченности). Ясно, что теории BST достаточно для приложений, в то же время многие логические рассмотрения в ней существенно проще.
Наличие классов позволяет формализовать в рамках NCT различные конструкции, использующие внешние множества, что невозможно в 1ST. В частности, одной из аксиом NCT является аксиома насыщенности, играющая исключительно важную роль в приложениях нестандартного анализа. От других известных теорий внешних множеств [2, 5, 6] NCT отличается естественностью и простотой. В частности, она содержит лишь конечное число аксиом — принципы переноса, идеализации и стандартизации Э. Нельсона формулируются здесь в виде отдельных аксиом, а не аксиомных схем.
Язык теории NCT получается добавлением к языку NBG одноместного предикатного символа St (StА) — читается «X — стандартный класс»). Переменные, принимающие значения произвольных классов, обозначаются заглавными латинскими буквами, а переменные, принимающие значения множеств (т. е. классов, которые входят как элементы в какие-нибудь другие классы) — строчными. Внутренние классы определяются как сечения стандартных классов множествами. При таком определении сами множества являются внутренними классами, поскольку представляют собой сечения стандартного класса G. Если внутренний класс (в частности, внутреннее множество) X представляет собой сечение стандартного класса множеством р, то говорят, что X стандартен относительно р, или р-стандартен. Это понятие относительной стандартности в рамках теории 1ST было впервые введено в статье [3], где, в частности, было доказано, что принцип переноса и импликация «слева-направо» в принципе идеализации остаются справедливыми,
если заменить все вхождения предиката стандартности в них, на предикат стандартности относительно произвольного, но фиксированного для каждой конкретной формулы множества р. Это остается справедливым и для теории NCT (см. ниже теорему 3).
Как уже отмечалось, все множества в рассматриваемой теории — внутренние. Внешние объекты являются собственными классами. При этом, как и в Альтернативной теории множеств (AST) П. Вопенки [9], здесь возможны подклассы множеств, которые не являются множествами (аксиома выделения истинна только для внутренних множеств). Следуя П. Вопенке, мы называем их полумножествами. Теория NCT имеет и некоторые другие свойства AST. В частности, в ней справедлива теорема о том, что множество стандартно-конечно (т. е. его мощность есть стандартное натуральное число) в том и только том случае, когда оно не содержит подполумножеств.
Разумеется, тот факт, что собственные классы не являются элементами других классов, несколько ограничивает выразительные возможности теории NCT. В частности, в ней не удается в полном объеме формализовать конструкцию нестандартной оболочки внутреннего нормированного пространства Е. В самом деле, элементами этой нестандартной оболочки являются классы эквивалентности внешнего подкласса ограниченных элементов Е по внешнему отношению бесконечной близости в Е. Но поскольку эти классы — внешние, то не существует класса, содержащего их в качестве элементов. Для того же, чтобы рассматривать нестандартную оболочку Е, как класс, состоящий из представителей указанных классов эквивалентности, нужно добавить к NCT более сильную форму аксиому выбора, утверждающую, например, возможность такого вполне упорядочения полумножества, при котором каждый подкласс этого полумножества имеет наименьший элемент. Однако (см. параграф 3 ниже), такая аксиома не может быть добавлена к NCT без противоречия. В разделе 3 доказано, что таким образом могут быть вполне упорядочены лишь классы, для которых существует биекция на полумножество стандартных элементов некоторого стандартного множества, а полумножество ограниченных элементов внутреннего нормированного пространства таковым не является. С другой стороны в NCT может быть формализовано и доказано утверждение, равносильное теореме о полноте нестандартной оболочки. Речь идет об утверждении о том, что всякая внешняя, т. е. занумерованная стандартными натуральными числами последовательность е„ элементов Е S-фундаментальна (т. е. Vst£ > 0 З^щ Vst т,п > По||е„ — ет|| < е), то она имеет S-предел в Е (т. е. Зе Е 5Vst е > O3stnoVstn > По||е„ — е|| < е). Аналогично в рамках NCT могут быть формализованы содержащиеся в [4] рассмотрения, связанные с построением топологических групп, как фактор-групп гиперконечных групп по внешнему нормальному делителю.
-
2. Аксиоматика и основные свойства NCT
Язык NCT — это язык исчисления предикатов с равенством, содержащий один бинарный предикатный символ Е и один унарный предикатный символ St. Формулы языка NCT будем обозначать греческими буквами. Переменные обозначаются заглавными латинскими буквами и интерпретируются как классы. Как обычно, запись ф^Х1,..., Х^ означает, что свободные переменные формулы ф содержатся среди Хр... , Хп.
Запись S(Ai,... , А„) ^ Ф^Ху,... , А„) означает, что выражение S(Ai,... , А„) служит сокращением для ф^Хх,..., Хпф
Класс X, удовлетворяющий формуле Set(A) ^ ЗУ (А Е У), называется множеством. Множества и только они обозначаются строчными латинскими буквами.
Аксиома объемности:
\/X\/Y (X = Y ^Vu(u е X ^ и е У)).
Если <^(ж,Х1,... , Хп) — формула NCT и для некоторого класса X имеет место
Уж (ж G X ^ ф^х, Хь ... , Х^), то будем писать X = {ж : ф^х, Х±,..., Х„)}.
Аксиома пары:
VuVv Зж (ж = {w : го = и V го = у}).
Как обычно, множество ж, фигурирующее в аксиоме пары обозначается через {у, у}. При этом
{у} = {у, у},
(у, у) = {{у}, {у, у}},
(иь. . . ,У„) = ((уХ, . . . ,У„-1),У„).
Fnc R ^ MxМуMz ((х, у) Е RX ^х,г^ Е R ^ у = гф
Аксиома объединения:
Мх ЗуМи (и Е х <—> и С уф
Аксиома степени:
Мх ЗуМи фи Е у -$—> у С ж).
Аксиома бесконечности:
Зж (Зу G ж Уу (у ^ у) &Уу G ж (у U {у} Е ж)).
Аксиома выбора:
Уж (ж 7^ 0 &Уу G ж (у 7^ 0) — У 3/(Епс/&Уу G ж Зу((у, у) G / & у G у))) .
Аксиома регулярности:
Уж Зу G ж (у П ж = 0).
Аксиома собирания:
УК Уж Зу Уу G ж (Зу ((у, у) Е У) —> Зу Е у ({и, у) G У)).
Ниже используются следующие сокращения:
Э8‘ж<^ Зж ^Цх^фф, yst хф ^ Уж (St(ж) —> фф
Аксиома ограниченности:
УжЭ8‘г (ж Е гф
Аксиома переноса:
Т : ystX (Зж(ж G X) —> 381ж(ж G X)).
Аксиома стандартизации:
S: ^ХАУАмЩУ^тСХ).
Отправляясь от пустого множества, по аксиоме стандартизации можно получить стандартный класс L, не содержащий стандартных элементов. По аксиоме переноса L = 0, т. е. пустое множество стандартно.
Формула называется предикативной, если в ней связаны только переменные, ограниченные множествами и предикат стандартности присутствует только в составе внешних кванторов, т. е. все вхождения кванторов и предиката стандартности имеют вид Зж, 381ж, Vx, V^x. Заметим, что подформулу St(ж) можно заменить на 3sty (у = ж).
Пусть р — произвольное множество. Класс X называется р-стандартным (stpX), если он является р-сечением некоторого стандартного класса Y, т. е. 3sty (X = Y"pY где Y"p = {у : (р, v) G У}.
Класс X называется внутренним (int)X, если он р-стандартен для некоторого р.
Аксиома существования классов:
Пусть формула ^(жх,... , ж„, У[,... , Ут) предикативна. Тогда
-
1. для произвольных классов Ух,... , Ym существует класс
-
2. Если формула ф — внутренняя и классы Y^,... ,Ym стандартны, то Т есть стандартный класс.
Т = {(Ж1,... , ж„) : ^(жх,... ,ж„,У1,... , Ут)};
Замечание. Точно также, как и для теории NBG, вместо приведенной здесь схемы аксиом существования классов достаточно принять в качестве аксиом лишь конечное число ее частных случаев, после чего данная схема аксиом в полном объеме может быть доказана. Таким образом теория NCT является конечно аксиоматизируемой.
Из аксиомы существования классов легко вытекает следующее
Предложение 1. Если в условиях аксиомы существования классов формула ф и классы У1,...,У„ — внутренние, то Т есть внутренний класс. При этом, если все Уг р-стандартны для некоторого фиксированного множества, р, то класс Т также р-стандартен.
Введем теперь следующие обозначения:
U = {ж : ж = ж} = {ж : ж ^ 0},
S = {ж : St(ж)},
X = {ж : ж ^ X},
X ПУ = {ж : ж G XX х G У}, domX = {и : Зи ((и,и)) G X}, X х У = {(и,и)) : u G XX v G У}.
Согласно аксиомам существования классов совокупности U и Е суть стандартные классы, S есть класс и для любых классов X и У совокупности X. ХИ У, domX, X х U суть классы, стандартные, если стандартны X и У.
Любое множество ж является ж-стандартным и, следовательно, внутренним, поскольку ж = Е '"ж. Любой стандартный класс X — внутренний, так как X = ({0} х Х)"0.
Следующие две аксиомы выражают свойства внутренних классов.
Аксиома выделения:
MmtX MX Зу Ми (и Е у ^—> и Е х X и Е Хф
А ксиома идеализации:
VintXVsta0 (Vstfin С a03xMa Е с^хщ) GX)w 3$Vsta G а0((ж,а) G X)).
Нижеследующая теорема непосредственно вытекает из аксиомы существования классов и предложения 1.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
-
1. Пусть ф — внутренняя предикативная формула. Тогда
-
2. В NCT выполняются аксиомы стандартизации и идеализации BST.
-
3. Принцип переноса. Если ф — внутренняя предикативная формула, то
VintXi ... VintXn Мх Зу Mu (u G у ^ у E x X ф<х, Xb ... , X^).
В частности, выполняется схема, аксиом выделения В ST.
Vst Xk... Vst Xn (Vst X ф^х, Xp...^^ ^Mx ф^х, Хх,...^^.
В частности, выполнена схема, аксиом переноса. В ST.
Следствие 1. Всякое доказуемое в BST предложение доказуемо и в NCT.
Напомним, что аксиомы переноса, идеализации, стандартизации и выделения BST являются частивши случаями соответствующих аксиом NCT, в которых классы определяются предикативными формулами с множественными свободными переменивши (для аксиом выделения, переноса и идеализации эти формулы — внутренние.)
-
< Пуств множество ж р-стандартно. Тогда по аксиоме ограниченности и принципу переноса ж = z"p для некоторого стандартного z, функция / = ^q, z"сф : q Е domz} стандартна и /(р) = ж.
Наоборот, если функция / стандартна, то множество /(р) будет р-сечением стандартного по принципу переноса множества {(су, u) : u Е /(су)}. >
Теорема 2. Пусть ф — внутренняя предикативная формула, и р — произвольное множество. Тогда.
М^Хх ... М^х,, (У'"ж /(ж, XV,...,X^ ^Мх ф^х, Хъ ... , Хп)\
-
< Согласно предложению 1 достаточно доказать, что каждый непустой р- стандартный класс X содержит р-стандартный элемент.
Пусть X = Y"p, st Y ир Е г, st г. По аксиомам собирания и выбора и теореме переноса найдется такая стандартная функция /, что
MqEr (Зу^,у) G У) —> Зу((9,у) G У П/)).
Так как X непуст, р Е dom/ и /(р) будет р-стандартным элементом X. >
Для произвольного класса С обозначим °C = CHS. Аксиома стандартизации постулирует существование для любого класса X стандартного класса Y со свойством ° У = °Х. По принципу переноса такой стандартный класс единственен. Он обозначается через SX.
Теорема 3. Класс стандартен тогда и только тогда, когда его пересечение с каждым стандартным множеством есть стандартное множество.
-
< Необходимость следует из аксиом существования классов и выделения. Докажем достаточность.
Пусть X — такой класс, что Vst z 3st t (t = X П г). Положим Y =s {ж : ж G А} и покажем, что Y = X. Благодаря аксиоме ограниченности для этого достаточно проверить, что для любого стандартного множества г имеет место равенство ?Г А = z П У. По выбору У
°(АПг) = °АП Д = °У ПД = °(У Пг). (1)
Поскольку A Hz и У Hz являются стандартными множествами, то по принципу переноса из (1) следует требуемое равенство. >
Предложение 3. Множество является стандартным и конечным тогда и только тогда, когда все его элементы стандартны.
-
< По принципу идеализации имеем:
st fin ж е—> 3st finy С xMa G хЗЬ G у (a = b) e— > У a G ж 3st b G ж (a = b). >
Множество называется стандартно-конечным, если его мощность есть стандартное натуральное число.
Теорема 4. Множество является стандартно-конечным, если и только если все его подклассы суть множества.
-
< Пусть ж — некоторое множество, ж = а и / : a —> ж — взаимнооднозначная функция.
Если ж не является стандартно-конечным, то по принципу переноса Vstn G w (a > n). Для класса I = {/(n) : n G °w} мы можем записать:
Vstfins C wBk G w^n G s(f(k) ElXn< k^
Если бы I был множеством, то нашлось бы такое k G w, что /(/с) G / и Vstn G w (п < к), что невозможно, так как f^k) G I только для стандартных к в силу взаимнооднозначно-сти /.
Пусть теперь ж стандартно-конечно и А С ж. Рассмотрим класс Т = {n G a : /(n) G А}. По принципам стандартизации и переноса существует множество t =s Т, t С a. Так как, по предложению 3, a С S, имеет место равенство t = °t = °Т = Т. Тогда А = {/(n): n G Д есть множество. >
Назовем Р-монадой //р(ж) множества ж пересечение всех р-стандартных классов, содержащих ж. Поскольку дополнение к стандартному классу есть стандартный класс, р-монады двух произвольных множеств либо не пересекаются, либо совпадают. По предложению 2 имеем:
Др^ = {у : Vstpz (у G z е— У ж G z)}.
Если множество р стандартно, то класс ур(ж) будем называть монадой множества ж и обозначать //(ж). Очевидно, у(ж) = П{а G S : ж G а}.
Пусть ж — произвольное множество. По аксиоме ограниченности ж G жо, 81жо- Используя перенос, нетрудно показать, что и =s {a С xq : ж G а} есть стандартный ультрафильтр, причем П°и = у(ж). Наоборот, если и — произвольный стандартный ультрафильтр, то по принципам переноса и идеализации П°и Д 0 и \/ж С П°и (у(ж) = П°и).
Класс П°ж называется гнездом ультрафильтра и и обозначается уДУ Для обозначения класса всех ультрафильтров будем использовать сокращение Ult, для множества всех ультрафильтров на множестве ж — Ult (ж).
Предложение 4. Для произвольных множеств х и р уРДУ = уДр.ДУ'р-
-
< Используя предложение 2, получим:
у G уДр, ДУ'р ^—> (р, у) G уДр, ж)) е—> Vst z^p, х) е z е—> Д, у) е г) е—> у е уДхУ >
Класс X назовем p-насыщенным, если вместе с каждым множеством он содержит всю р-монаду этого множества.
Предложение 5. Множество х является р-стандартным тогда и только тогда, когда оно р-насыщено.
-
< Пусть ж p-насыщено. Возьмем произвольный элемент u G х и покажем, что и принадлежит р-сечению некоторого стандартного множества, включенному в х. Действительно, если допустить противное, то
Vst2(u G z"p —э Еж G г"рД ^ ж)). (2)
Область изменения z в формуле 2 можно ограничить стандартным множеством Д : t С Шжо}, где жо Э ж стандартно. По идеализации получим:
Еж ^ х^ z (и G z"p —> ж G z"p\ что противоречит включению урД) С ж.
Таким образом, мы имеем: Vn G жЕ8‘г(и G z"p С ж). Снова применив принцип идеализации, получим такое стандартное конечное множество zq, что Vu G ж 3z G zq (и G z"p С ж). Нетрудно проверить, что ж будет р-сечением стандартного множества LUq. >
Следствие 2. Для любых множеств х и р рРУД = {ж} ^—> textstpx.
-
< Импликация справа налево очевидна. Если же уДх^ = {ж}, то множество {ж} p-насыщено и, значит, р-стандартно. Тогда по переносу ж также будет р-стандартным. >
Аксиома насыщенности:
VXEpV$ G X ДрДР) С ХУ
-
т. е. всякий класс является p-насыщенным для некоторого множества р.
Для произвольных класса D С Ult и множества р обозначим
Pels (D,p)= [J пДУ'р.
uC°D
Полумносисествами называются подклассы множеств:
SmsX ^ Estz(X С zV
Теорема 5. Пусть X — произвольный класс. Тогда найдутся такой стандартный класс D С Ult и множество р, что
X = Pels (D,p).
Если X — полу множество, то D можно выбрать множеством.
-
< Пусть X — p-насыщенный класс. Положим D =s {u Е Ult : нфиф'р С X}. Тогда по предложению 4 выполняется (3).
Если X Е z, st z, то равенство (3) сохранится, если вместо D взять стандартное по принципу переноса множество d = D П Ult (г х г), где г — произвольное стандартное множество, содержащее р. >
Таким образом, всякое полумножество в NCT оказывается определимым некоторой предикативной -формулой.
Следствие 3. Если в формуле все кванторы ограничены полумножествами, то она она эквивалентна некоторой предикативной формуле.
-
< Заменим все подформулы вида st X на Vsts3s4 (t = X П s), а. подформулы вида ЗА (SmsX —» ф(Х,.. . )) на. 3std3p^(Pcls (фр),... ). ▻
Следующая теорема, является принципом насыщенности в его традиционной формулировке. Отметим, что в отличие от NCT, ни в 1ST, ни в BST эта. теорема, не может быть не только доказана, но даже и сформулирована.
Теорема 6. Пусть класс X и стандартное множество zq таковы, что Vst ж Е zq Эу ((ж, у) Е Хф Тогда найдется такая функция-множество f, что Уяж Е zq ((ж, / (ж)) Е
-
< По аксиомам собирания и ограниченности найдется стандартное множество t такое, что \/ж Е zq (Зу((ж,у) Е А) — > Зу Е 1((ж,у) Е А)). Пусть класс X p-насыщен. Если (ж, у) Е X и ж стандартно, то Му' Е ц^у') ({ж,у') Е ХУ поскольку рр^ж,у^ = {ж} х Цр^уф Положим d =s {(ж,и) Е z х Ult (1) : {ж} х (z/(u)"p) С Хф Аксиома, выбора, и принцип переноса, позволяют выбрать такую стандартную функцию h : zq —> Ult(l), что Мж Е zq ((ж,/г(ж)) Е dy Имеем:
-
3. Непротиворечивость NCT
Vst fin z Е Zo3f Мж Е zMst a Е /г(ж) (Fnc (/) & /(ж) Е а).
По принципу идеализации получим такую функцию /, что Mst ж Е z (j^ Е г/(/г(ж))). Нетрудно видеть, что / — искомая функция. >
Настоящий раздел посвящен доказательству следующей теоремы.
Теорема 7. Всякое предикативное предложение, доказуемое в NCT, доказуемо и в BST.
Мы покажем, что всякая модель BST изоморфно вкладываются в некоторую модель NCT в качестве универсума, всех множеств, откуда, по теореме о полноте следует доказываемое утверждение.
Рассмотрим произвольную модель ОТ = (М, Ем ,stM) теории BST. Пусть L есть обогащение языка. BST элементами из М , рассматриваемыми как новые константные символы. Мы будем считать ОТ моделью языка. L, принимая за. интерпретацию символа, a Е М само множество а. Множества, из М, входящие в формулу языка. L, будем называть ее параметрами.
Для всякой формулы ф языка. L с одной свободной переменной обозначим \ф^ : = {ж : ОТ |= <Дж)}. Положим
N = {f^) : ф — формула, языка. L с одной свободной переменной};
Std = {f^} Е N : ф — внутренняя формула, со стандартными параметрами};
Set(a) = }ж Е а) для любого а Е М.
stNp <^- р Е Std.
Предложение 6. Для любых a,b Е М, р, q Е N
-
1. п En q ^ За Е М (р = Set(a));
-
2. Set(a) = Set(6) <^=^ а = b;
-
3. Если р = Set(a), q = Set(6), то р EN q -<=^ a Ем b;
-
4. Если р = Set(a), то stN р <^=^ stM а.
-
< 1. верно по определению отношения EN.
-
2. вытекает из справедливости аксиомы экстенсиональности в Ш1.
-
3. следует из 1) по определению отношения EN.
-
4. По определению stN имеем: р = {6 : Ш1 |= b Е а} = {6 : 9И |= фффф где ф — внутренняя формула со стандартными параметрами. Следовательно, 9И |= Vx Д Е а ^—> ф^У Из того, что в Ш1 выполнена схема аксиом переноса, следует, что Ш1 |= st а, т. е. st м а.
Наоборот, если st ма, то р = [ж Е а"] Е Std. >
Теперь очевидно следующее
Предложение 7. Отображение Set изоморфно вкладывает Ш1 как модель языка L в модель 91 = (N, EN , st причем для всякого р Е N^ |= ЗА ф Е X) =^ За Е М ф = Set(a)).
Предложение 7 показывает, что класс р является множеством в 91 в том и только том случае, когда р = Set(a) для некоторого a Е М , т. е. 9И действительно вкладывается в 91 как универсум всех множеств.
Осталось проверить выполнимость аксиом NCT в 9И.
Из предложения 7 следует, что аксиомы NCT, являющиеся предикативными предложениями, выполняются в 91, если они истинны в BST. Это верно по отношению к аксиомам пары, объединения, степени, бесконечности, выбора, регулярности и ограниченности.
Аксиома экстенсиональности выполняется в 91, благодаря построению отношения EN.
Если ф — формула языка L, то совокупность {ж : ффт,Х1,... , ж„)} будем обозначать через Сф.
Пусть Ф(Х1,...,Х„) — предикативная формула, а ффх, жх,... , жт),... ,
<^„(ж,жх,... ,жт) — формулы языка L, свободные переменные которых не участвуют в построении Ф. Обозначим через Ф(С'^1,..., СфД формулу, которая получается из Ф(Хх,..., ХД заменой
-
1. всех вхождений атомарных формул вида у Е Xj на фjД,Xl,... , жт);
-
2. всех вхождений атомарных формул вида Х^ Е Xj на
-
3. всех вхождений атомарных формул вида Аг Е Xj на
-
4. всех вхождений атомарных формул вида Xi Е х на.
ЗхДуДЕх -^- фгД^хг,... ,хт)) &фj(x,x1,.. . ,жт));
\/ж Дфх,х-к,.. . ,жт)) ^^ фjД1xX1.. . ,жт));
Vy (у Е ж ^^ ФМЖ11 • • • ,хт))-
Свободными переменными (параметрами) формулы Ф(С'^1,... , СфД являются свободные переменные (параметры) формул ф^,... ,фп-
Предложение 8. Если Ф — предикативная формула, и Сфх,..., Сфп — совокупности без свободных переменных, то
91|=Ф(ГМ-.-М1) ^ дЛфФ(Сф1,...,СфД.
-
< Доказательство проводится индукцией по построению Ф с использованием предложения 6. >
Заметим, что аксиомы NCT, не являющиеся предикативными предложениями, имеют вид
QiAQ2y<^(A,y,Z), (*)
где Qi,Q2 G {V,Vst}, Q Е {3,3st}, и Ф — предикативная формула.
Будем говорить, что предложение вида (*) истинно в BST для классов, если для произвольных формул ф1ф,Н1,... ,иф и ^2(ж, г>1,... , vm) языка BST, внутренних, если соответствующие кванторы внешние, можно указать такую формулу ффдиц,... , wn) языка BST, внутреннюю, если квантор Q внешний, что предложение
Qmi • • • QiulQ2u1 ■ ■ ■ Q2vmQw1 • • • Qгun'Ф^Cф1, Сф2, СД истинно в BST. При этом предполагается, что переменные и^, т^ ^г не участвуют в построении формулы Ф.
Предложение 9. Пусть предложение Ф имеет вид (*). Тогда, если Ф истинно в BST для классов, то Ф выполняется в 91.
-
< Рассмотрим случай, когда в Ф все кванторы по классам — внешние. Возьмем произвольные 9Тстандартные элементы (<^i), Г^г! Е N. Из того, что Ф истинно в BST для классов, следует, что найдется такая внутренняя формула ф языка L с 9Л-стандартными параметрами и одной свободной переменной, что 9И |= Ф(С'^1, Сф2, СфУ Таким образом, мы имеем: st w Рф"| и 91 |= Ф(|"<^1"|, |"<^2"|, Г^1) по предложению 8, что и требовалось. >
Нетрудно доказать истинность в BST для классов аксиом переноса, существования классов, регулярности, выделения и идеализации. Аксиомы стандартизации, собирания и насыщенности требуют отдельного рассмотрения.
Мы будем пользоваться определениями, обозначениями и доказанными нами фактами о монадах и ультрафильтрах, которые имеют место также и в BST. Кроме того, будет использована следующая теорема [1].
Теорема 8 (BST). Для любой формулы Ф с двумя переменными найдется такая внутренняя формула ф, что
VpVst$ (Ф(ж,р) ^ VstU Е Ult ф Е Д1Д -^ фф^^ ^ 3st U Е Ult ф Е Д1Д & фф, U^)
Теорема 9. Аксиома стандартизации NCT верна в В ST для классов.
-
< Пусть Ф — произвольная формула. Можно считать, что она имеет на более двух свободных переменных. Выберем согласно теореме 8 внутреннюю формулу ф, удовлетворяющую (4). Тогда, если множество р и ультрафильтр U таковы, что р Е ДЩ, то
У81ж(Ф(ж,р) ^ ФД,Щф
Поскольку всякое множество принадлежит гнезду некоторого стандартного ультрафильтра, это доказывает истинность аксиомы стандартизации в BST для классов. >
Пусть U — ультрафильтр. Обозначим dom[U] = {domu : u G U}; ran[U] = {ranu : u G UY
Используя принципы переноса и идеализации нетрудно показать, что для всякого ультрафильтра U dom[U] и гап[П] также являются ультрафильтрами, причем для любых множеств а и b
{a, b) G н^Щ —> a G z/(dom[U])&6 G Дгап[Сф;
a G z/(dom[U]) — > 3b G ran[U] ((a, 6) G z/(U)).
Теорема 10. Аксиома собирания истинна в BST для классов.
-
< Пусть Ф есть формула с двумя свободными переменными. Согласно теореме 8 имеем для некоторой внутренней формулы ф:
Обозначим
^(И, W) = 3U G Ult (dom[U] = U&ran[U] = WW
По теореме собирания и принципу переноса BST для любого стандартного множества А найдется такое стандартное множество R, что
W G Ult (Л) ^фф¥^ -^ 3W G R^^W^.
Обозначим Y = U U R. Тогда по принципу переноса и свойствам гнезд ультрафильтров для всякого a G А будем иметь:
ЗЬ Ф(а, 6) -^ ЕЛ7 С Ult (Л) 5st W £ Ult (a G п(¥) & ф(¥, W^ -^
-
-^ 3st И G Ult (A)3st W G R (a G z/(U) & ф^ W^ -^
-
-^ 3b G U3st U ((a, 6) G v^ X ф^ -^ 3b G Y Ф(а, Ьф
Пусть теперь Ф(ж, у,р) — произвольная формула. Для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого р и всякого стандартного X найдется такое множество У, что
Mx Е X (ЗуФ(ж,у,р) —> Зу G Y Ф(ж,у,р)).
Фиксируем стандартные множества X и Р. Положим Ф(аД) ^ ЗхЗр^а = (ж,р)& Ф(ж, Ь,рф.
По доказанному найдется такое стандартное множество У, что для любого р G Р выполняется (5). Осталось применить аксиому ограниченности. >
Теорема 11. Аксиома насыщенности истинна, в BST для классов.
-
< В силу теоремы 8 для всякой формулы Ф с двумя свободными переменными можно построить такую внутреннюю формулу ф, что
- Ф(ж,р) ^ 38Д7((р,ж) G п^Щ^ф^Тф,
-
4. Классы стандартных размеров
откуда для любого множества р по предложению 4 получаем:
\/ж (Ф(ж,р) —> Vy G ур(ж)Ф(у,р)), что и доказывает утверждение теоремы. >
Итак, все аксиомы NTC истинны в 91, что и доказывает теорему 7.
В этом разделе охарактеризованы классы, которые могут быть сильно вполне упорядочены, т. е. линейно упорядочены так, что каждый непустой подкласс имеет наименьший элемент. Отсюда, в частности, следует, что аксиома, утверждающая, что каждое множество может быть сильно вполне упорядоченно, противоречит основным аксиомам NCT.
Буквы F, /, G, g, Н, h со всевозможными индексами зарезервируем для обозначения функций. Определим
SatpX ' X — p-насыщенный класс.
Обозначим Х"В = у : Зж G D ((ж, у) G X).
Предложение 10. Мр Мх Му (dom9p((ж, у)) = рДж)).
Предложение 11. Satp F —э Vst ж G dom(F) ( textstp Е(ж)).
-
< Возьмем произвольную пару (ж, и) G F. По предложению 10 Цр^х,^) = ххцр^ С F. Так как F — функция, др^ = и. Значит, по следствию 2 textstp о. >
Предложение 12 (Принцип продолжения). МН 3mt G Vst ж G domK (Е(ж) = С(ж)).
При этом
-
а) если Н — полу множество, то G можно выбрать множеством;
-
Ь) если Н — p-насыщенна, то G можно выбрать р-стандартной.
-
< Пусть SatpH. Обозначим С =s {(ж,/) : ж G dom(4f)&/(p) = Н^х)^ и положим G = {(ж,/(р)) : (ж,/) G С}. По р-переносу функция G будет р-стандартной. Причем, если Н — полу множество, то С можно выбрать множеством. >
Класс X имеет стандартный размер, если существует функция F и класс D такие, что X = F"°D. По предложению 12 и стандартизации функцию F можно считать внутренней, а класс D — стандартным.
Предложение 13. Класс X имеет стандартный размер, если и только если все его элементы р-стандартны для некоторого фиксированного множества, р.
-
< Необходимость следует из предложения 11 и аксиомы насыщенности. Докажем достаточность. Пусть X состоит из р-стандартных множеств. Обозначим D =s {/ : /(р) G Хф F = {(/,/(р)) : d G Вф Тогда по предложению 2 X = F"X. >
Предложение 14. Если X — полупространство стандартного размера, то найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d такие, что X = J"°d
-
< Пусть X С s, st s. По предложению 13 все элементы X р-стандартны для некоторого р G ро, st pq. Обозначим d' =s {g G sPo : y(p) G Хф Пусть d есть множество классов эквивалентности на множестве d' по отношению 5{(91,92) € d' х d' : 91 (р) = 92 (р)} • Положим / = ^ф,$фф : t G d'&f G tY Нетрудно проверить, что функция / и множество d — искомые. >
Предложение 15. Если множество х не является р-стандартным, то монада. Цр^ включает некоторое множество бесконечно большой мощности.
-
< По аксиоме ограниченности ж G жо, st жо- Согласно предложению 13 класс S = {s : textstp s С жо&ж G s} есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся такие / и d, что S = f'°d. Тогда ур(ж) = C\te°d.f№-
- Пусть st fine С d. Покажем, что мощность множества и = Пщс/(^) бесконечно велика. Действительно, по предложению 3 ж G V. Если v = n, stn, то по принципу р-переноса
найдется ^-стандартная функция К, отображающая множество n С w на множество у. Тогда ж = Д(г) для какого-то г < п, и х оказывается р-стандартным по р-переносу, что противоречит условию. Таким образом, мы имеем:
Vstfinc С d3yVl G с^ку» С /(1)&Д > ку
По тг-идеализации получаем:
Предложение 16. Полумножество имеет стандартный размер тогда и только тогда, когда оно является подклассом некоторого множества, любой наперед заданной бесконечно большой мощности.
-
< Необходимость. Пусть X = f"°d и п — бесконечно большое натуральное число. Тогда, очевидно,
Vst йп с С d3zVtEcUW EzX\z\ (можно ВЗЯТЬ Z = /"с). По принципу идеализации получим: Зг (X С г&ф < п), что и требовалось. Достаточность. Пусть Sat^X. Из условия по предложению 15 X состоит только из р-стандартных элементов и, по предложению 13, имеет стандартный размер. > Отношение ^ называется сильно полным порядком на классе X, если любой подкласс Y С X имеет ^-наименьший элемент. Теорема 12. На полумножестве X можно задать сильно полный порядок, если и только если оно имеет стандартный размер. < Пусть Химеет стандартный размер. По предложению 14 найдется взаимнооднозначная функция / и стандартное множество d, такие, что X = J"°d. По аксиоме выбора и принципу переноса существует полный стандартный порядок < на d. Докажем, что порядок ^х, индуцированный отображением /, сильно вполне упорядочивает X. Действительно, пусть Y С X. Обозначим через «д / минимальный элемент множества Да G d : /(а) G У}. По принципу переноса stag. Нетрудно проверить, что /(ад) есть ^х — минимальный элемент класса Y. Пусть А есть сильно полный порядок на полумножестве X. Обозначим Т = {/ : dom/ G °Ord &Vsta G dom/ (/(a) = min(X - {/(/1) : st /3 < a}))}, A =s {a :V/GTVgGT(/(a) = g« G = {(a,/(a)) : a G °&/ G Ту По принципу переноса и построению класса Т, имеем: Vsta G A (a С А). Поэтому по принципу переноса, либо A G Ord, либо А = Ord. Нетрудно также показать, что функция G взаимнооднозначна и ranG С X. Класс О = G"Ord. Есть полумножество стандартного размера. По предложению 14 найдутся / и d такие, что О = f"°d. Обозначим Н = {(l,a) : t Е odkf^ = G(a)}. По аксиоме собирания А = тапН будет полу множеством. Следовательно, A G Ord. Но тогда, по построению Т, ranG = X, и X имеет стандартный размер. >
Список литературы Нестандартная теория классов
- Андреев П. В. О принципе стандартизации в теории ограниченных множеств//Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат., Мех. 1997.-№ 1.-С. 68-70.
- Ballard D., Hrabacek K. Standard Foundations for Nonstandard Analysis//J. Symb. Logic.-1992.-V. 57.-P. 471-478.
- Гордон Е. И. Относительно стандартные элементы в теории внутренних множеств Е. Нельсона//Сиб. мат. журн.-1989, № 1.-С. 89-95.
- Gordon E. I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis.-AMS, Providence, RI, 1997.
- Hrabacek K. Nonstandard Set Theory//Amer. Math. Monthly.-1979.-V. 86.-P. 659-677.
- Kawai T. Axiom System of Nonstandard Set Theory//Logic Symposia, Hakone.-1979,1980, Berlin, a.o.: Springer, 1981.-P. 57-65.
- Kanovei V., Reeken M. Integral Approach to External Sets and Universes//Studia Logica. Part I.-1995.-V. 55.-P. 227-235; Part II.-1995.-V. 55.-P. 347-376; Part III.-1996.-V. 56.-P. 293-322.
- Nelson E. Internal Set Theory. A New Approach to Nonstandard Analysis//Bull. Amer. Sos.-1977.-V. 83.-P. 1165-1198.
- Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств.-М.: Мир, 1983.