Нестандартный анализ линейных и нелинейных операторов
Автор: Кусраев Анатолий Георгиевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.1, 1999 года.
Бесплатный доступ
Нестандартные методы имеют ряд глубоких применений в аналитической теории операторов и, прежде всего, в таких вопросах, как спектральные свойства, аналитическое представление, локальные аппроксимации нелинейных операторов, классификация и реализация операторных алгебр. Приблизительно говоря, характер этих приложений можно выразить так. Инфинитезимальный анализ позволяет до некоторой степени смотреть на оператор, как на матрицу, т.е. провести дискретизацию оператора. Булевозначный же анализ в некоторых ситуациях позволяет работать с оператором, как с функционалом, т.е. осуществляет скаляризацию. При этом процедура дискретизации или скаляризации отнюдь не является автоматической, алгоритмической. Она существенно зависит от рассматриваемого оператора и от сути изучаемой проблемы. Цель настоящих заметок --- указать некоторые возможные направления дальнейших исследований, связанные с техникой дискретизация-скаляризация». Предложенные задачи были сформулированы в 1993 году в ходе обсуждений, в которых приняли участие Е. И. Гордон, С. С. Кутателадзе, В. Т. Плиев, К. Т. Тибилов. За истекшее время достигнуты определенные продвижения, однако некоторые постановки не потеряли актуальности и сегодня.
Короткий адрес: https://sciup.org/14317971
IDR: 14317971
Список литературы Нестандартный анализ линейных и нелинейных операторов
- Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа.-Новосибирск: Наука, 1990.
- Девис М. Прикладной нестандартный анализ.-М.: Мир, 1980.
- Альбеверио С. и др. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике.-М.: Мир, 1990.
- Hurd A.(ed) Nonstandart Analysis. Recent Development.-Berlin: Springer, 1983.
- Cutland N.(ed.) Nonstandart Analysis and its Applications.-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988.
- Takeuti G. Two Applications of Logics to Mathematics.-Tokio, Princeton: Iwanami and Princeton Univ. Press., 1978.
- Stroyan K. D., Luxemburg W. A. J. Introduction to the Theory of Infinitesimals.-N. Y. a. o.: Academic Press, 1976.
- Moore L. C. Hyperfinite extensions of bounded operators on a separable Hilbert space//Trans. Amer. Math. Soc.-1976.-V. 218.-P. 285-295.
- Cutland N. Nonstandart measure theory and its applications//Bull. London Math. Soc.-1983.-V. 15, № 6.-P. 105-137.
- Гордон Е. И. О мерах Леба//Известия вузов. Математика.-1991.-№ 2.-С. 25-33.
- Кусраев А. Г. Порядково непрерывные функционалы в булевозначных моделях теории множеств//Сиб. мат. журн.-1984.-Т. 25, № 1.-C. 69-79.
- Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения.-Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985.
- Акилов Г. П., Колесников Е. Н., Кусраев А. Г. О лебеговом расширении положительных операторов//Докл. АН СССР.-1988.-T. 300, № 5.-C. 83-91.
- Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Некоторые вопросы теории векторных мер.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.-190 с.
- Кусраев А. Г., Малюгин С. А. Об атомическом разложении векторных мер//Сиб. мат. журн.-1989.-T. 30, № 5.-C. 101-110.
- Кутателадзе С. С. Вариант нестандартного выпуклого программирования//Сиб. мат. журн.-1986.-Т. 27, № 4.-С. 84-92.
- Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. О комбинировании нестандартных методов//Сиб. мат. журн.-1990.-Т. 31, № 5.-С. 111-119.
- Кутателадзе С. С. Об осколках положительных операторов//Сиб. мат. журн.-1989.-Т. 30, № 5.-С. 111-119.
- Гордон Е. И. Нестандартные конечномерные аналоги операторов в L(R)//Сиб. мат. журн.-1988.-Т. 29, № 2.-С. 45-59.
- Гордон Е. И. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе//Известия вузов. Математика.-1989.-№ 2.-С. 17-25.
- Гордон Е. И. Гиперконечные аппроксимации локально компактных абелевых групп//Докл. АН СССР.-1990.-Т. 314, № 5.-С. 1044-1047.
- Гордон Е. И. Нестандартный анализ и компактные абелевы группы//Сиб. мат. журн.-1991.-Т. 32, № 2.-С. 26-40.
- Вершик А. М. Счетные группы, близкие к конечным//Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических группах.-М.: Мир, 1973.-C. 112-135.
- Vershik A. Amenability and approximation of infinite groups//Sel. Math. sov.-1982.-V. 2, № 4.-P. 311-330.
- Van den Dries L., Wilkie A. J. On Gromov's theorem concerning groups of polinomial grouth and elementary logic//J. Algebra.-1984.-V. 89, № 2.-P. 349-374.
- Maharam D. On positive operators//Conemporary Math.-1984.-V. 26.-P. 263-277.
- Кусраев А. Г. О строении векторных мер и полных булевых алгебр//Докл. АН СССР.-1991.-T. 318, № 6.
- Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of selfajoint matrix polinomials//Ann. Math. Ser. 2.-1980.-V. 112, № 1.-P. 33-71.
- Shaefer H. H. Banach Lattices and Positive Operators.-Berlin a.o.: Springer, 1974.
- Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов//Успехи мат. наук.-1971.-T. 26, вып. 4.-C. 15-41.
- Mazon J. M., Sequra de Leon S. Order bounded orthogonally additive operators//Rev. Roum. Math. Pures Appl.-1990.-V. 30, № 4.-P. 329-354.
- Arkeryd L., Bergh J. Some properties of Loeb-Sobolev spaces//J. London Math. Soc.-1986.-V. 34, № 2.-P. 317-334.
- Любецкий В. А., Гордон Е. И. Булевы расширения равномерных структур//Исследования по неклассическим логикам и формальным системам.-М.: Наука, 1983.-C. 82-153.
