Невырожденные канонические решения некоторой системы функциональных уравнений

Двуметрическая феноменологически симметричная геометрия двух множеств (ДФС ГДМ) ранга ( n + 1 , 2) , где n Е N, задается на двумерном и 2 п -мерном дифференцируемых многообразиях M и N дифференцируемой функцией (двухкомпонентной функцией) f : M х N ^ R ² с открытой и плотной областью определения в M х N , сопоставляющей паре точек два действительных числа [1 , 2] . Координатное представление для этой функции f = (f 1 ,f 2 ) :

f = f (х,У,^2,...,£2и), где (x,y) и (£1, ^2,..., ^2n) — локальные координаты в многообразиях M и N соответственно.

• (0 2022 Кыров В. А., | Михайличенко Г. Г. |

Дополнительно выполняются следующие естественные аксиомы:

Аксиома 1. Координатное представление функции f невырождено относительно двух координат x, y и 2 n координат ξ ¹ , ξ ² , . . . , ξ ^{2 n} .

Невырожденность функции f в ее координатном представлении выражается необра-щением в нуль якобианов:

^{d(f i ( i}’^{a )} ’^{f 2 ( i}’^a)) / _n d ( x i ,y )       = ’

d(f 1 (ii’ a)’ f2(ii’ a)’ ... , f 1(in’ a)’ f2(in’ a)) / n d (ea ,ea,...,

Аксиома 2. Для плотного и открытого множества точек (ii,i2, ...,in+i, ai,a2) € Mⁿ⁺¹x N²все 4(n + 1) значений функции f связаны уравнением

Ф(f 1(ii ,ai),f 2(ii,ai),... ,f 1(in+i, a2),f2 (in+i, a2)) = 0, где Ф = (Ф1, Ф2) — двухкомпонентная функция 4(n + 1) переменных с rang Ф = 2.

Двуметрические феноменологически симметричные геометрии двух множеств появились в теории физических структур, разработанной Ю. И. Кулаковым и Г. Г. Михайличенко [3, 4]. Классификация этих геометрий функциональным методом получена вторым соавтором и ее можно найти в работах [1, 2, 5, 6]. С точностью до замены координат в многообразиях и преобразования x(f) ^ f она содержит следующие геометрии: для n = 1:

fⁱ= x + e, f²= y + n;

fⁱ= (x + e)y, f²= (x + e)n;

для n          fⁱ= x^ + ■   + e²,  f²= xnⁱ+ ..  + n²,  « = -1.0,1;

fⁱ= xeⁱ+e², f²= xnⁱ+y(eⁱ)^Y+ v, y = 1;

fⁱ= xeⁱ+ e², f²= xnⁱ+ ye²+ x²(eⁱ)²ineⁱ+ n²;

fⁱ= xeⁱ+ ye², f²= xnⁱ+ yn²;

для n = 3:

f _i= (xeⁱ+ eynⁱ+e²) (x + e³) - ^ (xnⁱ+yeⁱ+n²) (y + n³) (x + e³)²- e(y + n³)²

(xeⁱ+eynⁱ+ e²) (y+n³) - (xnⁱ+ yeⁱ+ n²) (x+e³) (x + e³)²- e(y + n³)²

i ₌xeⁱ + e²_f f x+e³, f

xnⁱ+ yn²+ n³x + e³     ;

fⁱ= xeⁱ+ ye²+ e³, f²= xnⁱ+ yn²+ n³;

для n = 4:

fi = xeⁱ+ye²+ e³    f 2 = xnⁱ+yn²+ n³.

xe⁴+y + n⁴’         xe⁴+y + n^{4 ;}

для n > 4 двухкомпонентная невырожденная функция f = (fⁱ,f²) не существует.

Методом вложения авторами была получена классификация ДФС ГДМ ранга (3, 2) [7]. Геометрическое изучение таких геметрий предпринималось первым соавторов в статье [8].

Пусть функция g = (g1,g²) = g(x,y; f¹,...,f²ⁿ) задает ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2), а функция f = (f 1,f2) = f(x',y';n¹,---,n²n,n2n⁺¹,П2^п+2) задает ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2), где n = 1, 2, 3.

Определение [5]. Будем говорить, что ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2) вложена в ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2), если выполняется функциональное соотношение f (x, y'; n1,..., n2n ,n2n+1,n2n+2) = X (g (x,y; e1,..., f2n), f2n+1,f2n+2),

A²⁽x,y), П1

A¹⁽x,y), y'

где χ, x^′

_τ1 _ξ1_{,..., ξ}2n_{, ξ}2n+1_{, ξ}2n+2 _,

...,

^n = т2n(^1     f2n  ^2n+1 ^2n+2)  ^n+1 = T2n+1 (f1     f2n f2n+1 f2n+2)  ^n+2 = т 2п+2(е1,...,f2n, f2n+1, f2n+2) — дифференцируемые функции, причем выполняются неравенства

d(x,y)              ^d(n1 ^,...^,n²ⁿ⁺²) , _n

d(x,y) =0,       d (£1,...,e⁺²) =0.

В работе [5] доказано, что в каждую ДФС ГДМ ранга (n + 2, 2) вложена по крайней мере одна из ДФС ГДМ ранга (n + 1, 2), где n = 1, 2, 3.

В данной статье ставится задача о нахождении всех возможных вложений неадди тивной ДФС ГДМ ранга (2, 2) с двухкомпонентной функцией g1 = (x+e)y, g2 = (x+f)n в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией f1 = xf + уд, f2 = xn + yv.

Решение этой задачи сводится к решению системы функциональных уравнений.

Ранее в работе [9] была решена подобная задача о вложении аддитивной ДФС ГДМ ранга (2, 2) с двухкомпонентной функцией g1 = x + f, g2 = y + n в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией f1 = xf + уд, f2 = xn + yv.

В последующем изложении используются более удобные обозначения для координат и функций.

• 2.    Постановка задачи

Выше сформулированная задача нахождения всех вложений неаддитивной ДФС ГДМ ранга (2, 2) с двухкомпонентной функцией g(x,y,f,n) = (g1, g2) = ((x + f)y, (x + f)n) (эта запись означает, что g1 = (x + f )y, g2 = (x + f )n) в мультипликативную ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией f (x, y, f, n, Д> v) = (f 1, f2) = (x^ + y^, xn + yv) сводится к решению системы двух функциональных уравнений xe + уД = X1((x + e)y,(x + e)n,^,v)> xn + yv = X2((x + e)y,(x + e)n,^,v)> (1) где x = x(x,y), y = y(x,y), e = fG^n,^), n = n(e,n,^,v), Д = Д(e,n,^,v), v = v(e,n,^, v)•

Вложение оказывается возможным, если система (1) имеет хотя бы одно невырожденное решение, удовлетворяющее следующим двум условиям:

Д = д''' ='.   □ =            = 0.                     (2)

^d(^х,х)          -Ж^Ц^)

Далее находим невырожденные решения системы (1).

Переменные х и | в правые части уравнений системы (1) входят суммой х+|. Поэтому производные их левых частей по этим переменным совпадают:

Xx I + У: Ц = х^ + УЦ, ХхП + yxV = xn + XV.               (3)

Дифференциальные равенства (3) можно по методу Крамера однозначно разрешить относительно производных х_:и у_:, так как |v — уД = 0 согласно второму из условий (2). Фиксируя затем переменные ξ , η , µ, ν , получаем следующую систему дифференциальных уравнений для функций х = х(х,у), у = у(х,у) по первой переменной х:

⁽х:)=⁽ad)(х)=A ⁽х )•                 (4)

в которой матрица A по первому из условий (2) ненулевая.

Произведем допустимое структурой функциональных уравнений системы (1) преобразование

^(х)^—U^(х)- ⁽Р)^—(U-1)T⁽Р)- ⁽V)^—(U-1>^T(V)    ⁽⁵⁾

с невырожденной матрицей U второго порядка.

Система дифференциальных уравнений (4) принимает следующий вид:

^(х:)=UAU^{-1 (х} )•

Хорошо известно (см. [10, с. 485], [11]), что ненулевая матрица A второго порядка с вещественными элементами преобразованием A — UAU^-1может быть приведена к одной из четырех вещественных форм:

• 1)    (a 0),2) (a  0), з) (a  0),4) (a  b),

• \ и ay        \  1  ay \ 0  d у        \ —ba у

• где в том же порядке: 1) a = 0, 2) a — любое, 3) a = d, 4) b = 0. Решения системы

уравнений (4), связанные с формулами (6), будут следующими:

• 1)    х = х(у)еа:,   у = х(у)еа:;

• 2)    х = х(у)еа:, у = (х(х)х + Х(х))еа:;

• 3)    х = х(х)еа:,   х = X(y)ed:;

• 4)    х = (х(у) sin Ьх + у(у) cos Ьх)еа:, у = (х(у) cos Ьх — Xj(y) sin Ьх)еа:,(10)

• 3.    Первый случай

где х = х(х,у), у = у(х,х), а коэффициенты обозначены х(у), Х/(у). Данный способ обозначений взят с целью экономии символов и используется везде ниже. Решения (7)–(10) системы (4) дифференциальных уравнений для жордановых форм (6) назовем каноническими, как и соответствующие им решения системы (1) функциональных уравнений, частью которых они являются. Любое другое решение системы (4) может быть получено из решений (7)–(10) с помощью преобразований (5).

Выражения (7) для функций x и у подставим в первое из равенств (3), продифференцировав его затем по переменной y и сокращая на e^ax:

^уЖ^{- а|) +} у(у)(ц« ^{- а}ц) = ^0,ЖЖ — a^{|) +}у‘(у)(д§ — ^ад) = °    (11)

По первому из условий (2) имеем X(y)y‘(y) — X^l(y)y(y) = 0, откуда, следуя Крамеру, из соотношений (11) получаем систему уравнений f^ — а^ = 0, j — ац со следующим решением:

^j = ^I(n,^^vЖ, ц = Р-⁽п,ц^^)ea^C •                      ⁽¹²⁾

Выражения (7) и решение (12) подставим в первое функциональное уравнение системы (1):

(x(y)f (п, ц, v) + у (у)ц(п, ц, v)) ea(x+^) = х1 ((x + 1)у, (x + 1)п, ц, v), после чего дифференцируем его по переменным x + |, у, п:

a(x(y)l(п,ц,v)+ y(y)j(п,ц,v)) ea(x+5) = yxU+ nxV, (X‘(y)j(n, Ц, v) + у'(у)Ц(п, Ц, vП*ах< = (x + €)xU, ИуИп (п,Ц,v) + у(у)Цп (п,Ц,v Vbax< = (x + |)xV, где u = (x + |)у, v = (x + |)п. Результаты дифференцирования подставим в очевидное равенство

^{(x +}€⁾⁽ухи ⁺nxV) = y^{(x +}€)xU ⁺n^{(x +}^х^                 ⁽¹³⁾

сокращая общий ненулевой множитель е^а(х+€):

⁽x ⁺O^а(^x(У)l⁽п^, ц, ^v) ⁺у^Жп, ц, ^v))

• = у (Ж)¹⁽п, ц, ^v) ⁺уЖЖп, ц, ^v)) ⁺п(^x(y⁾ln⁽п, ц, ^v) ⁺у⁽у)Цп⁽п, ц, ^v)),

• 4.    Второй случай

откуда для функций |(п,ц,v) и Ц(п,ц,v) получаем систему уравнений

x(y)f(n, ц,v)+ у(у)ц(п, ц,v) = 0, ^^уМОп, ц,v)+ у‘(у)ц(п, ц,v) = 0, которая по Крамеру имеет только нулевое решение, что несовместимо со вторым из условий (2), так как I = ^(п, ц, v)ea^ = 0 и ц = ц(п, ц, v)ea^ = 0.

В первое из равенств (3) подставим теперь выражения (8), сокращая его на e^ax:

aX(y)| + (x(y) + a(X(y)x + у(у)))ц = ^у)1^ + (X(y)x + у(у))ц§, откуда получаем систему уравнений |^ = a| + j, j = aj со следующим решением:

^j= (^|(n^,ц^,v)+^^j(п^,ц^,v)I)ea^s, j = ^^j(п^,ц^,v)e^ai•                  ⁽¹⁴⁾

Выражения (8) и решение (14) подставим в первое функциональное уравнение системы (1):

(з^ц^ц, v)(x + |) + ^^(у)1 (п,Ц,v) + y(y)м-(п,ц,v))ea(x+5) = x1 ((x + |)у,(x + |)п,ц,vУ дифференцируя его, как и выше, по переменным x + l, у, т:

(x(y) д(п, д,^v)+«(ШдОъ д,^v) ^(x+€)+x(y)f(n, д,^v)⁺y⁽yMn, д,^v)))) e^a(x+5)= yxU+nxV,

(^х‘(у)Д(п,^, ^v)(x ^{+ l)} + x‘⁽y⁾f⁽n,^,^v) ⁺У‘⁽y⁾Д⁽n^,Д^,v^ea^) = ⁽x ^{+ l)}xU,

(^x(У⁾Дn ⁽n,^^{,v)(x + l}) ^{+ х(}У)1п ⁽'лд,^v) ⁺У⁽У)Дп ⁽n^^,v^ea^) = ⁽x ^{+ l})xV.

Результаты дифференцирования связаны очевидным соотношением (13), откуда получаем, что a = 0, а также после разделения переменных систему уравнений yx’(y) = bx(y), УУ‘⁽У) ^{+ (}1 - ^Ь)У⁽У) ^{+ сХ(}У) = 0 ПДп⁽П Ш^v) = ⁽¹- ^Ь)Д⁽П, Ш^v) П^п⁽П Ш^v) ⁺b^l(n, Д,^v) -cД(п, Д, v) = 0 со следующим решением:

д(у) = ciyb,   у(у) = С2У^{Ь 1}- cciyb,

^l(n д, ^v) = ¹⁽д,^v)n^{-b +}cД⁽д,^v)n^1-b,   Д⁽п, д, ^v) = Д⁽д,^v)n^1-b

Заметим, что при подстановке выражений (8) во второе из равенств (3), а последующих результатов во второе уравнение системы (1), для функций n, v получим выражения, аналогичные выражениям l, Д в формулах (15).

В совокупности функции (8), (14) при a = 0 и (15), с учетом сделанного выше замечания, определяют некоторое невырожденное каноническое решение системы функциональных уравнений (1):

x = ciyb, У = ci (x — c)yb + С2У^Ь-1,

1 = Д(Д ,v)(l + c)n^1-b + 1(Д ,v)n-b, П = v^ ,v)(l + c)n^1-b+ П(Д ,v)n—b,     ⁽¹⁶⁾

Д = Д(д,v)n1-b, v = д(д,v)n1-b, где b = 0, c1 = 0.

• 5.    Третий случай

• 6.    Четвертый случай

Подставим, далее, в первое из равенств (3) выражения (9):

ax (y^ea"11 + dy (у)е^Д = x(y)eax Д + У (у)еАуД^, откуда получаем систему уравнений l^ = al, Д^ = dд со следующим решением:

l = l(n^,v)ea^, Д = Д(n,Д,v )e^d€.                         (17)

Выражение (9) и решение (17) подставим в первое уравнение системы (1)

x(y)l(n, Д, v)ea(x+5) + y(у)Д(п, Д, v)ed(x+^) = x1((x + l)y, (x + l)n, Д, v), которое затем продифференцируем по переменным x +1, y, n:

ax(y)l(n, Д, v)e^a(x+5)+ dy(у)Д(п, Д, v)e^d(x+^⁾= yxU + nxV, x‘(y)l(n^,v)e^a(x+5)+ y‘(y)Д(n,Д,v )e^d(x+^ = (x + l )xU, x(y)ln (n^,v)e^a(x+5)+ y (y) Дп (n^,v)e^d(x+^ = (x + l )xV, где, напомним, u = (x + l)y, v = (x + l)n. По соотношению (13), которым связаны результаты дифференцирования, легко установить, что a = 0 и d = 0, но это несовместимо с условием a = d в выражениях (9).

В первое из равенств (3) подставим последнее выражение (10) для функций x и у, производя сокращение на e^ax,

(bx(y) + ay(y)) cos bx + (ax(y) - by(y)) sin bx)!

+((ax(y) - by(y)) cos bx — (bx(y) + ay(y)) sin bx)p = (x(y) sin bx + y(y) cos bx)fg + (x(y) cos bx — y(y) sin bx)p^, откуда получаем систему уравнений !^ = а! — Ьц, ц^ = b! + ац со следующим решением:

^!= (^—!(n,P^,V)sinb^{! +} C⁽n,P^,V)cosb^!) ^e<, Ц = (!(n, P, V) cos b! + ц(п, p, v) sin b!) ea.

Выражения (10) и решение (18) подставим в первое уравнение системы (1):

[ (x(y)!(n, p,V)+ y№(n> p. v ))cos b(x + !) +(x(y)ц(n, P, V) — y(y)!(n, P, V)) sin b(x + !)] еа(х+^ = X1((x + !)У,(x + !)n, p, v)> которое затем, как и в предыдущих случаях, продифференцируем по переменным x + !, y, η.

Результаты дифференцирования удовлетворяют, как и раньше очевидному тождеству (13), в левой части которого после сокращения общего ненулевого множителя eaix+S) есть слагаемые содержащие выражения (x + !) sin b(x + !) и (x + !) cos b(x + !), а в правой его части таких слагаемых нет. Поэтому в левой части последнего тождества соответствующие коэффициенты при этих выражениях необходимо обращаются в нуль:

_ _

^x(y^)(aЦ⁽п, Р, ^v) ^{— b!(}n, P, ^v)) ^—y⁽y^)(a!(n, p, ^v) ^{+ b}Ц⁽п, p, ^v)) = 0, ^x(y^)(a!(n, P, ^V) ^{+ b}Ц⁽п, P, ^V)) ⁺y⁽y^)(aЦ⁽п, P, ^V) ^{— b!(}n, P, ^V)) = 0.

Относительно функций x(y) и yj(y) соотношения (19) образуют алгебраическую систему двух однородных уравнений, определитель матрицы которой, равный (a²+ b²)(f²(n, P,v) + Ц²(п, P,v)), отличен от нуля вследствие второго условия из (18) и отличия от нуля константы b. Такая система по Крамеру имеет только нулевое решение: x(y) = 0, y(y) = 0, но тогда функции зс и у, задаваемые выражениями (10), также обращаются в нуль, делая невозможным выполнение первого из условий (2), а именно А = d(x,y)/d(x,y) = 0. Т. е. система (1) с функциями (10) не имеет невырожденного канонического решения.

• 7.    Итоговая теорема

Таким образом, невырожденное каноническое решение (16) для системы (1) оказывается единственно возможным, а его общее решение может быть получено из канонического с помощью унимодулярного преобразования (5).

Теорема. Общее невырожденное решение системы (1) двух функциональных уравнений может быть представлено следующей совокупностью шести функций:

( ц)-( авх

С1У^Ь

C1(x — c)y^b+ С2У^Ь-1

,

:) =   -. (:)=(—' —y W ^(^,vЖ + c)n1 b + S(^,v)n b A a j V        д(^,vW-b        л —Y ) f V(^,v)(C + c)n1-b + n(^,v)n-b ) a  / V            v(^, v)n1-b            / , где b = 0, ci = 0, аб — eY = 1, причем x1 = ci(f(^,v) +      )(x + On) (x + S y) + c.      ') f(x + Sy)

\ ^{(X +}S ri /               \ ^{(X +}S ⁾ⁿ /

2                    _v        /(x ⁺<2/V, -,   ,/(x ^{+ S)}y)b

• ^x= Ы-Я^^{) + v}^v)(x +      x ) ^{+ C2V}4(x+«5 )

Заключение

Сформулированная выше задача вложения полностью решена. Найдено общее решение, частный случай которого (при b = 1) приводится в работе [5]. Заметим, что можно также сформулировать и решить задачу вложения и для других вариантов геометрий двух множеств, например, для ДФС ГДМ ранга (3, 2) с двухкомпонентной функцией f1 = x^1 + £ 2, f2 = xn1 + y^1 + n2, в ДФС ГДМ ранга (4, 2) с двухкомпонентной функцией f1 = xC1 + yC2 + S3, f2 = xn1 + yn2 + n3-