Незамкнутые архимедовы конусы в локально выпуклых пространствах

Подмножество K векторного пр*х-траиства над R называется iедином, если K = 0. K + K С K и AK С K для всех 0 С А G R. Конусом на:зывают клип K. удовлетворяющий условию K П (-K) = {0}. Иными словами, клин — это непустое множество, замкнутое относительно линейных комбинаций Aixi + • • • + Anxn с положительными коэффициентами Ai,...,An. а конус — это клип, которыii может содержать векторы x 11 —x лишь в случае x = 0.

Понятие конуса, тесно взаимосвязано с понятием упорядоченного векторного пространства — вещественного векторного пространства X, снабженного таким отношением порядка С- что дльi любых x,y,z G X 11 0 С А G R и в x С у следует x + z С y + z и Ax С Ау. А имен но, если (X, С) — упорядоченное векторное пространство, то множество X⁺ := {x G X : x ^ 0} является конусом: и наоборот: если K С X — конус и x Ск У ^ У — x G K (x,y G X), то (X, С к) — упорядоченное векторное пространство ii X⁺ = K (ем., например. [1, 3.2; 2]).

Упорядоченное векторное пространство (X, С) называют архимедовым при выполнении следующего условия:

если x, у G X. у ^ 0 1i x С n У для всех n G N. то x С 0.

Это условие обеспечивает допустимость перехода, к пределу в линейных неравенствах с фиксированными векторами и переменными коэффициентами (см. [2, 1.11-12]). В частности, если пространство X архимедово, x1,... ,xn G X+, A1mx1 + • • • + Anmxn > 0 для всех m G N ii для каждого индекса i G {1,..., n} существует предел Ai = lim Aim G R.

m→∞

то Aixi +-----+ Anxn > 0.

Конус K С X называют архимедовым, если архимедово соответствующее упорядоченное векторное пространство (X, ^к). Конус заведомо архимедов, если он замкнут в какой-либо векторной топологии. (В этом случае переход к пределу в линейных неравенствах допустим без каких-либо ограничений.) Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: архимедов конус в топологическом векторном пространстве не обязан быть замкнутым. Простым примером незамкнутого архимедова конуса служит множество s+n(N) = {x: N ^ R+ : (3 m Е N)(V n ^ m) x(n) = 0} в любом из классических банаховых пространств lp(N), 1 ^ p ^ то.

Известно, что в хаусдорфовом топологическом векторном пространстве всякий архимедов конус, имеющий непустую внутренность, замкнут (см. [2, 2.4]). Кроме того, архимедовость конуса и его замкнутость равносильны в конечномерном случае (см. 3.1 (f)). До недавнего времени этим наблюдением фактически исчерпывались сведения о классе пространств, в которых существуют незамкнутые архимедовы конусы. На данный момент вопрос об исчерпывающем описании таких пространств по-прежнему открыт. Ниже мы приведем некоторые идеи и результаты, возникшие на пути к решению этой задачи в классе локально выпуклых пространств.

• 2.    Термины и обозначения

Пусть X — вещественное векторное пространство ii S С X. Сим волом core S обозначается ядро множества S, а сим волами lin S, cone S и aff S — соответственно линейная, коническая и аффинная оболочки S:

core S = { x Е X : (V у Е X )(3 е > 0) x + [0, e]y С S } ;

lin S =

cone S =

n E i=i n E i=1

X i x i : n Е

X i x i : n Е

aff S = ^E X i x i : n E N, i =i

N, xi,...,xn E S, Xi,...,Xn E R^ U{0};

N, xi,...,xn E S, Xi,...,Xn E R⁺ J. U{0};

n xi,...,xn Е S, Xi,...,Xn Е R,        = 1 .

i=i

Заметим, что cone S — наименьший по включению клип в X. содержащий S.

• 2.1.    Пусть B — выпуклое подмножество X. Тогда

• (1)    cone B = {Xx : x Е B, X >  0} U {0}:

• (2)    если A — аффинное подпространство X, 0 / A и B С A, то A П cone B = B;

• в частности, если 0 / aff B. то aff B П cone B = B:

• (3)    если 0 / B. to icum cone B является конусом.

• 2.2.    Следующие свойства топологии т на вещественном векторном пространстве X равно сильны:

Термин «подпространство» по умолчанию означает «векторное подпространство». Прямыми и лучами называются множества вида x + Ry и x + R⁺y, где у = 0.

Для произвольного множества I символом s(I) обозначается векторное пространство всех функций x: I ^ R, а сим волом sg_n(I) — его векторное подпространство, состоящее из функций x Е s(I) с копенным носителем suppx := {i Е I : x(i) = 0}. Архимедовы конусы {x Е s(I) : (V i Е I ) x(i) > 0} и s⁺(I) П Sfi_n(I) обозначаются соответствующими символами s⁺(I) и s+_n(I)• Мы также используем сокращения: S := s(N) и Sg_n := sg_n(N).

Символом X # обозначается пространство всех линейных функционалов на векторном пространстве X, а символом X ‘ — пространство всех непрерывных линейных функционалов на топологическом векторном пространстве X.

Всякое конечномерное векторное пространство по умолчанию наделяется стандартной (единственной) хаусдорфовой векторной топологией.

Под локально выпуклым пространством понимается вещественное векторное пространство, снабженное хаусдорфовой локально выпуклой векторной топологией.

Поскольку в рассматриваемом круге вопросов важная роль отводится сильнейшей локально выпуклой топологии, мы напомним несколько ее эквивалентных описаний (см., например, [1, 3]).

• (а)    т — сильнейшая локально выпуклая топология па X ;

• (Ь)    множество U С X является т-окрестностью точки x Е X тогда и только тогда, когда x Е core C С U для некоторого выпуклого множества C ;

• (с)    т — локально выпуклая топология, в которой внутренность любого выпуклого множества, совпадает с его ядром;

• (d)    т — локально выпуклая топология, в которой непрерывны все полунормы;

• (е)    т — такая топология Макки па X. что (X, т)‘ = X #.

• 3.    Архимедовы множества

• 3.1.    Следующие свойства выпуклого множества C С X равносильны:

Из технических соображений удобно обобщить понятие архимедова конуса на случай произвольных выпуклых множеств. Выпуклое подмножество C вещественного векторного пространства X назовем архимедовым при выполнении следующего условия:

если x,y Е X и x + П у Е C для всех n Е N. то x Е C.

Согласно [2, 1.11] в случае, когда C является конусом, последнее определение равносильно приведенному в § 1.

• (а)    множество C архимедово:

• (Ь)    для любых x,y Е X п е > 0 и з x + (0, е] у С C следует x Е C ;

• (с)    X \ C = core(X \ C );

• (d)    пересечение C с любой прямой в X замкнуто:

• (е)    пересечение C с любым подпространством X размершостп ф 2 замкнуто:

• (1)    пересечение C с любым конечномерным подпространством X замкнуто:

(у) C секвешщатыю замкнуто в некоторой хтщсдорфовоя векторной топологии па X ;

• (11)    C секвепппалыю замкнуто в сильнейшей локально выпуклой топологии па X.

• <1 I Пшликалии (а) ^ (b) ^ (с) ^ (d) ^ (е) ^ (f) ^ (у) ^ (h) очевидны.

• 3.2.    (1) Если С — выпуклое подмножество какого-либо векторного подпространства Xo С X. то архимедовость С в Xo равносильна ащхпмедовостп С в X.

Чтобы показать (a)^(f), рассмотрим произвольное конечномерное подпространство Xo С X II положим Co := C П Xo- Можно с^тштать. что 0 Е Co- Поскольку в подпространстве lin Co С Xo множество Co имеет непустую внутренность. к Co применимы рассуждения, приведенные в [2, 2.4], из которых следует, что архимедово множество Co замкнуто в (конечномерном) подпространстве linCo, а значит, и в X.

Покажем, что (f)^(h). Пусть т — сильнейшая локально выпуклая топология на X. Благодаря (f) достаточно показать, что линейная оболочка любой сходящейся в т последовательности xn ^ x имеет конечную размерноеть. В противном случае из (xn)neN можно было бы извлечь такую подпоследовательность (yn)neN, что x / lin{yn : n £ N}, и тогда сходимость yn ^ x в т противоречила бы наличию непрерывного (см. 2.2 (е)) линейного функционала, равного 0 нa {yn : n £ N} и 1 в точке x. >

Из 3.1 с очевидностью вытекают следующие свойства архимедовых множеств.

• (2)    Если X и Y — вещественные векторные¹ пространства. T : X ^ Y — линейная инъекция, y £ Y и С — архимедово выпуклое подмножество X, то T(С ) + у является архимедовым выпуклым подмножеством Y.

• (3)    Всякое аффинное подпространство архимедово.

• (4)    Пересечение любого семейства архимедовых множеств архимедово.

• 3.3.    Если множество E С X линейно независимо, то cone E — архимедов конус в X.

• <1 Достаточно заметить, что стаи,лартпый линейный изоморфизм Sfi_n(E) о lin E отображает архимедов конус s+_n(E) на cone E, и привлечь 3.2 (1), (2). >

• 3.4.    Пусть B —выпуклое подмножество X. 0 / aff B. Shioiкество cone B является архимедовым конусом тогда и только тогда, когда B архимедово и не содержит лучей.

• 4.    Незамкнутые архимедовы конусы

• 4.1.    Пусть Y — подпространство топологического векторного пространства X. С С Y — незамкнутое в Y архимедово выпуклое множество, не содержащее лучей, п z £ X \ Y. Тслда cone(C + z) — не замкнутый архнмелов конус в X.

< Нсобходилгостъ. Из архимедовости множеств cone B 11 aff B (см. 3.2(3)) вытекает архимедовость их пересечения B (см. 2.1 (2)). Допустим, что B содержит какой-либо луч х + R+у. где у = 0. Тогда Пх + у = П(х + ny) £ cone B для всех n £ N. откуда в силу архимедовости cone B следует y £ cone B. Поскольку y = 0, найдется такое число А > 0. что Ay G B (см. 2.1(1)). Таким образом. x,Ay,x + Ay G B. а значит. 0 = x + Ay — (x + Ay) G aff B вопреки условию.

Достаточность. Согласно 2.1 (3) клин K := cone B является конусом. Основываясь на 3.1 (f), рассмотрим произвольное конечномерное подпространство Xo С X и покажем, что пересечение Ko := K П Xo замкз:уто в Xo- Как .тепсо видеть. Ko = cone Bo. где Bo := B П Xo- Поскольку в копсчшзмерном пространстве Xo выпуклое множество Bo архимедово и не содержит лучей, оно замкнуто и ограничено в Xo. Кроме того, 0 / Bo. Из [4, П.3.4] следует, что Ko = cone Bo — 'замкнутый конус в Xo. >

Изложение имеющихся на данный момент сведений о незамкнутых архимедовых конусах мы предварим указанием одного из простых способов их построения.

• < Поло жим A := Y + z, B := С + z. Ясно, что B — архимедово выпуклое множество, не содержащее лучей, причем aff B С A и 0 / A. Следовательно, cone B — архимедов конус (см. 3.4). Конус cone B не замкнут в X, поскольку в противном случае пересечение A П cone B = B (см. 2.1 (2)) было бы замкнуто в A. а тогда С было бы 'замкнуто в Y. >

• 4.2.    Теорема. В любом локально выпуклом пространстве несчетной размерности существует выпуклое множество, которое не содержит лучен и является архимедовым, но не замкнутым.

Итак, для того, чтобы построить незамкнутый архимедов конус, достаточно в каком-либо собственном подпространстве найти незамкнутое архимедово выпуклое множество, не содержащее лучей.

Как известно, сильнейшая векторная топология на пространстве X = Sfin(I) не является локально выпуклой в случае несчетного множества I. Это следует, например, из того факта, что множество V := {x G X : ^iEi у/|x(i)| < 1} не содержит ни одного выпуклого поглощающего подмножества (см., например, [5, 6.1]). При этом дополнение X \ V «архимедово» (например, в смысле условия 3.1(f)), но не замкнуто ни в одной из локально выпуклых топологий на X. Разумеется, множество X \ V не является выпуклым и содержит лучи, но из него удается «вырезать» фрагмент, обладающий всеми нужными нам свойствами.

• <1 Достаточно фиксировать какое-либо несчетное множество I. рассмотреть пространство X = Sfin(I), снабженное произвольной локально выпуклой топологией, и найти в нем такое архимедово выпуклое множество С, не содержат,ее лучей, что 0 / Си 0 G cl С. Покажем, что требуемыми свойствами обладает множество

• 4.3.    Следствие. В любом локально выпуклом пространстве несчетной размерности существует незамкнутый архимедов конус.

С := x G fiI) : ^ x(i) < 1 iei е!

Как легко видеть. 0 / С. множество С выпукло и не содержит лучей, а архимедовость С вытекает из очевидной замкнутости его пересечений с конечномерными подпространствами вида, {x G X : supp x С J }. г,де J — конечное подмножество I.

Остается обосновать включение 0 G cl С. С этой целью рассмотрим произвольную выпуклую окрестность нуля U С X и покажем, что U П С = 0. Для n G N положим In := { i G I : ПX{i} G U}. Пош«>льку 0 G core U. имеет место равенство IJneN In = I H*" пользуя несчетность I, фиксируем какое-либо число n G N, для которог о множество In бесконечно, и выберем произвольные попарно различные ii,... ,i_n G In. Непосредственная проверка показывает, что выпуклая комбинация n1QX{i1} + """ + nX{in}) элементов П1 X{ik } G U принадлежит как U. так ii С. >

< Пусть Y — какое-либо несчетномерное собственное подпространство в рассматриваемом пространстве X. Согласно 4.2 в Y имеется незамкнутое архимедово выпуклое множество С, не содержащее лучей. Выбирая z G X \ Y и используя 4.1, заключаем, что сопе(С + z) — незамкнутый архнмедов конус в X. >

Таким образом, в несчетномерном случае незамкнутые архимедовы конусы существуют даже в сильнейшей локально выпуклой топологии. С другой стороны, в конечномерных пространствах все архимедовы конусы замкнуты. В счетномерном же случае интересующий нас вопрос оказывается наиболее сложным. На данный момент мы не владеем исчерпывающим описанием топологий, допускающих наличие незамкнутых архимедовых конусов в счетномерном пространстве. Оставшаяся часть заметки посвящена изложению некоторых результатов, полученных на пути к решению этой задачи.

Как известно, во всех топологиях, согласованных с данной двойственностью, замкнутые выпуклые множества одни и те же (см., например, [1, 10.4.9; 3, 8-3.6]). Следовательно, изучаемое нами свойство локально выпуклого пространства X полностью определяется его топологически сопряженным пространством X‘, а точнее, расположением X‘ в X#. При этом можно считать, что пространство X снабжено слабой топологией, согласованной с двойственностью между X и X‘.

Из сказанного выше ясно, что мы не ограничим общность, перейдя к рассмотрению локально выпуклых пространств вида Sfin | Y := (Sfin,a(Sfin | Y)), г де Sfin := Sfin(N), Y — векторное подпространство S:= s(N), a ^(Sfin| Y) — слабая топология на Sfin, наведенная Y посредством двопствеппостп (х | у) = ^2nGN x(n)y(n).

Поскольку используемое нами понятие локально выпуклого пространства включает требование хаусдорфовости, уместно сразу описать подпространства Y С S, наводящие отделимую топологию a(Sfi_n | Y ).

• 4.4.    Следующие свойства векторного подпространства Y С S равносильны:

• (а)    слабая топология a(Sfi_n | Y ) хаусдорфова:

• (b)    (V х Е Sfin\{0»(3 y Е Y ) (х | у) = 0;

• (с)    Y плотно в S относительно (тихоновской) топологии поточечной сходимости;

• (d)    (V n е N)(V z е Rⁿ)(3 у е Y ) у(1) = z(1), ..., y(n) = z(n);

• (е)    (v n Е n)(3 у Е Y ) у(1) = ••• = y(n - 1) = 0, y(n) = 1.

• 4.5.    ЗАДАЧА. Выяснить, для каких представительных векторных подпространств Y С Sb пространстве Sfin | Y существует незамкнутый архимедов конус.

• 4.6.    Пространство S ле является тонким: в Sfin | S все архимедовы выпуклые множества замкнуты.

Пространство Y, обладающее любым из равносильных свойств 4.4(а)-(е), будем называть представительним.

В рамках введенных выше обозначений имеет место равенство (Sfin | Y )‘ = Y, где Y : = {у : у Е Y } — пространство iсет-фупктщопалов у := (• |у) (см. [1. 10.3. 10.4]). Таким образом, с точностью до изоморфизма z ^ г между S и S#n расположение Y в S повторяет расположение (Sfin | Y )‘ в S#^, а интересующий нас вопрос приобретает следующую формулировку.

Пространства Y, удовлетворяющие условию задачи 4.5, условимся для краткости называть тонкими.

Безусловно, чем меньше пространство Y, тем слабее топология a(Sfi_n | Y ) и тем больше в пространстве Sfin | Y незамкнутых конусов. Следовательно, всякое (представительное) подпространство тонкого пространства также является тонким. В частности, если бы тонким оказалось все пространство S, задача 4.5 была бы тривиальной.

• <1 Как изв('стио. на Sfin сильнейшая локально выпуклая топология т (Sfin | S) является секвенциальной (см. [3, 12-3.113]). С учетом 3.1 (h) отсюда следует, что все архимедовы выпуклые множества замкнуты в т (Sfin | S), а значит, и в a(Sfi_n | S). >

• 4.7.    Если в хаусдорфовом топологическом векторном пространстве X существует незамкнутое линейно независимое множество, то в X существует незамкнутый архимедов конус.

Итак, само пространство S не является тонким. С другой стороны, как показано ниже, в S имеются тонкие подпространства.

• < Используя сформулированные условия, несложно найти линейно независимое множество E С X к элемент х Е X такие, что х Е cl E \ lin E. Согласно 3.3 множество cone E является архимедовым конусом. Этот конус не замкнут, поскольку х Е cl E \ lin E С cl cone E \ cone E. >

• 4.8.    Теорема. Пусть Л — произвольное неограниченное подмножество R. Тогда в пространстве Sfin | lin Л^N все линейно независимые множества замкнуты.

Как легко видеть, условию 4.7 удовлетворяет любое бесконечномерное нормированное пространство X. Отсюда, в частности, следует, что примером тонкого пространства служит I” (N) (как и любое его представительное подпространство).

Естественно возникающая гипотеза о том, что в Sfin | Y все линейно независимые множества замкнуты лишь в случае Y = S, опровергается следующим нетривиальным классом контрпримеров.

• <1 Достаточно рассмотреть пропзво.тыюе линейно независимое множество E С Sfin и показать, что 0 / cl Ев топологии a(Sfi_n | linЛ^N). С этой целью мы построим последовательность y Е Л^N, удовлетворяющую условию |(e|у)| ^ 1 для всех e € Е. Искомые числа y(n) € Л определим следующей рекурсией по n Е N: еели y(1),... ,y(n — 1) € Л уже определены, выберем y(n) Е Л так, чтобы

  |y^(n)| >

  
  

f1 + ^ e(i)y(i) )

|e(n)| V      i=1            / для всех e € En. г,те En = {e € E : e(n) = 0, (Vi > n) e(i) = 0}. (Благодаря линейной независимости множество En конечно, и поэтому нужное число y(n) существует.) Неравенство |(e | у)| ^ 1 справедлив о для всех e € Е. так как при e € En мы имеем

n

Ke1 y)| = ^ e(i)y(i)

i=1

> |e(n)y(n)| —

n - 1

^ e(i)y(i)

i=1

> 1

и, кроме того, UneN ^En = ^E- ^

Заметим, что linЛ^N = S. например. в случае Л С Q. Действительно. R представляет собой бесконечномерное векторное пространство над полем Q, в то время как образ {y(n) : n Е N} любой последрвателыюстн y Е lin QN содержится в подпространстве R. имеющем конечную размерность над Q.

Приведенный пример не снимает вопрос о том, все ли пространства, отличные от S, являются тонкими. Тем не менее имеются определенные аргументы в пользу следующего предположения.

• 4.9.    Гипотеза. Пространство lin QN ле является тонким, т. е. все архимедовы конусы в пространстве Sfin замкнуты относптелс>по слабой топологии a(Sfi_n | linQN).

Стоит отметить, что задача кардинально упрощается при замене конусов клиньями. Поскольку всякое векторное подпространство является архимедовым клином, описать счетномерные локально выпуклые пространства, содержащие незамкнутый архимедов клин, не составляет труда: это в точности те пространства X, для которых X‘ = X#. Аналогичная задача для случая конусов оказывается нетривиальной.

Авторы признательны К. В. Сторожуку за плодотворные обсуждения.