Нётеровость и индекс характеристического бисингулярного оператора со сдвигом

Пусть Г1, Г2 - простые замкнутые контуры типа Ляпунова в комплексной плоскости, ориентированные против часовой стрелки, 1 < p < +го. В пространствах Lp(P1) и Lp(r2) введем оператор сингулярного интегрирования Коши S и проекторы Р± = 2 (I±S), а в пространстве Lp(T1 х Г2) - проекторы P±+ = P± 0 P+. P±- = P± 0 P— Пусть также a±+. a±- E C(Г1 х Г2).

В работах [1, 2] был изучен действующий в L_p(T₁ х Г₂) характеристический бисингулярный оператор

A = ^a++^P++ ^{+ a}+ —^P+— ⁺ a— +^P—+ ⁺ a--^p—

Теорема 1 [1, 2]. Для пётеровости характеристического бисингулярного оператора A необходимо и достаточно, чтобы axy(ti,t2)=0 (x,y = ±, ti E Г1, t2 E Г2),                       (1)

ind 1 a+± = iiidi a—±, 11162 a±+ = ii id₂ a±_—                      (2)

При этом Ind A = (111 ф a₊₊ - 11 kU a__ )(ind₂ a₊₊ - 11 id₂ a_-—).

Одномерным сдвигом назовем всякий диффеоморфизм ri ^ rj (i,j = 1,2) с гёльдеровской производной. Двумерным сдвигом будем называть всякое отображение а (Г1 х Г2 ^ Г1 х Г2). порожденное двумя одиомерными сдвигами: a = (а1 ,а2). где а1. а2 - одномерные /сдвиги либо а1 : Г1 ^ Г1. а2 : Г2 ^ Г2 (покоординатный сдвиг а). либо а1 : Г2 ^ Г1. а2 : Г1 ^ Г2 (перекрестиы11 сдвиг а). Введем четыре двумерных сдвига а±+. a±— и четыре оператора. W±+. W±— в простраистве Lp(r1 х Г2): Wxyf = f ◦ axy ix,y = ±. f E L„(ri х Г2)>.

Основной объект исследования — действующий в L_p (Г 1 х Г2) характеристический бисингулярный оператор со сдвигами

M = a++W++P++ + a+-W+—P+— + a-+W—+P—+ + a—-W--P-— .

В некоторых частных случаях нётеровость M была исследована в [3] и [4]. Вопрос об индексе M ранее не изучался вообще. В настоящей работе нет дополнительных огра ничений [3. 4] на. оператор M. вопросы пётеровости и индекса M решены полностью сведением M к характеристическому бисингулярному оператору без сдвигов.

В заметке приведены основные результаты. Статья с подробными доказательствами готовится к печати.

• 2.    Случай покоординатных сдвигов типа (+, +)

• 3.    Случай произвольных двумерных сдвигов

Если одномерный сдвиг сохраняет (меняет) ориентацию, то ему присвоим тип (+) (тип (—)). Если двумерный сдвиг а = ( a_i, a₂ ) порожден одном*щпыми сдвигами a_i типа, ( в ) 11 а₂ ти па. ( 5). в,5 = ±. то будем говорить. ^ ito двумерный сдвиг а типа. (в,5)

Теорема 2. Пусть сдвиги а_±+. а ±_ покоорпшпхтпые типа (+, +). Тогда характе ристический бисингулярный оператор со сдвигами M нётеров или нет одновременно с характеристическим бисингулярным оператором A. При этом Ind M = Ind A.

Следствие. В условиях теоремы 2 нётеровость M равно сильна (1), (2), a IndM = (india++ - iiкфа—)(ind2 a++ — iiu^a--).

Зафиксируем две тонки zO. zO в ограниченных об.частях с границами Г. Г₂ соответственно ii рассмотрим две функции e i (t i ) = ti — z o ( t i G r i. i = 1, 2). Д ля x = ± обозначим x = щ. Наконец, введем функции e_xy на Г х Г₂ и проекторы PX_y в Lp(T_i х Г₂) (x, у = ±) по следующим правилам: пусть двумерный сдвиг a_xy покоординатный (перекрестный), тогда.

• 1)    если axy типа (+, +). то exy = 1 11 PXy = Pxy (Py y = Pyx).

• 2)    если axy типа (+, -), то exy = 1 0 e2 и PX y = Pxy Pyy = Pyx),

• 3)    если axy th па. (-, +). то exy = ei 0 1 i iP° y = Pxy (Pyy = Py_$y

• 4)    если axy типа (-, -), то ex y = ei 0 e2 и P'_xy = Pxy Pyy = P-.y

Теорема 3. Оператор M нётеров или нет одновременно с характеристическим би сингулярным оператором B = e axa— P'xy- При этом Ind M = InBB.

x,y=±

ПРИМЕР. Пусть a++ перекрестный типа (+, —). a+ покоордишстный типа (+, +). а_-+ покоордишстиый типа (+, -). а-- перекрестиый типа (-, -). Тогда для пётеровости оператора M необходимо и достаточно, чтобы

1) axy (t i ,t 2 ) = 0 (x,y = ± , t i G r i , t 2 G Г 2 ), 2) iiid_i a +± = ii пфа -^ , iiк1₂ а +± = 1 + iiid₂ a -± .

При этом Ind M = (1 + iiid_i a — iiid_i a +)(irid₂ a — iiid₂ a + ).