Nonexistence of Energy Function for Surface Diffeomorphisms with Nontrivial Basic Sets of Serpentine Geometric Type
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
In this paper, the problem of the existence of an energy function for discrete dynamical systems defined by structurally stable diffeomorphisms is studied. For the considered class of dynamical systems, such a function is defined as a continuous function that decreases along the orbits of the system outside the non-wandering set and remains constant on the non-wandering orbits. It is currently known that if the non-wandering set of a structurally stable surface diffeomorphism does not contain nontrivial saddle basic sets, then it possesses an energy function. However, if such a basic set exists and does not contain a pair of conjugated points, then the diffeomorphism does not admit such a function. The so-called serpentine geometric type of Markov partitioning is introduced, which generalizes the geometric type for the classical Smale horseshoe, and diffeomorphisms with nontrivial saddle basic sets admitting Markov partitions of this type are considered. Such basic sets contain pairs of conjugated points, accordingly, their study extends the class of diffeomorphisms for which the question of the existence of an energy function has been resolved. The main result of this paper is the proof that an orientation-preserving structurally stable 2-diffeomorphism with a basic set admitting a Markov partition of serpentine geometric type does not possess an energy function.
Короткий адрес: https://sciup.org/143186288
IDS: 143186288 | УДК: 517.938 | DOI: 10.46698/x0726-7762-7626-m
Отсутствие энергетической функции для диффеоморфизмов с базисными множествами серпантинного геометрического типа
В работе исследуется проблема существования энергетической функции для дискретных динамических систем, заданных структурно устойчивыми диффеоморфизмами на гладких, компактных, ориентируемых поверхностях без края. Для рассматриваемого класса такая функция определяется как непрерывная функция, убывающая вдоль орбит системы вне неблуждающего множества и постоянная на неблуждающих орбитах. На данный момент известно, что если неблуждающее множество структурно устойчивого диффеоморфизма поверхности не содержит нетривиальных седловых базисных множеств, то он обладает энергетической функцией, а если такое множество есть, причем оно не содержит пары сопряженных точек, то этой функции у него нет. В работе вводится так называемый серпантинный геометрический тип марковского разбиения, являющийся обобщением геометрического типа для классической подковы Смейла, и рассматриваются диффеоморфизмы с нетривиальными седловыми базисными множествами, допускающими марковские разбиения такого типа. Данные базисные множества содержат пары сопряженных точек, соответственно, их изучение расширяет класс диффеоморфизмов, для которых вопрос существования энергетической функции является решенным. Основным результатом данной работы является доказательство того, что сохраняющий ориентацию структурно устойчивый 2-диффеоморфизм с базисным множеством, допускающим марковское разбиение серпантинного геометрического типа, не обладает энергетической функцией.
