Normal forms of the degenerate autonomous differential equations with the maximal Jordan chain and simple applications
Автор: Kim-tyan L.R., Loginov B.V., Rousak Yu.B.
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 3 т.10, 2017 года.
Бесплатный доступ
Degenerate differential equations, as part of the differential-algebraic equations, the last few decades cause increasing interest among researchers, both because of the attractiveness of the considered theoretical questions, and by virtue of their applications. Currently, advanced methods developed in this area are used for system modelling and analysis of electrical and electronic circuits, chemical reaction simulations, optimization theory and automatic control, and many other areas. In this paper, the theory of normal forms of differential equations, originated in the works of Poincare and recently developed in the works of Arnold and his school, adapted to the simplest case of a degenerate differential equations. For this purpose we are using technique of Jordan chains, which was widely used in various problems of bifurcation theory. We study the normal forms of degenerate differential equations in the case of the existence of the maximal Jordan chain. Two and three dimensional spaces are studied in detail. Normal forms are the simplest representatives of the degenerate differential equations, which are equivalent to more complex ones. Therefore, normal forms should be considered as a model type of degenerate differential equations.
Degenerate differential equations, normal forms, jordan chains
Короткий адрес: https://sciup.org/147159442
IDR: 147159442 | УДК: 517.9 | DOI: 10.14529/mmp170301
Нормальные формы вырожденных автономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой и простейшие приложения
Вырожденные дифференциальные уравнения, как часть алгебро-дифференциальных уравнений, последние десятилетия вызывают все больший интерес среди исследователей, как в силу привлекательности рассматриваемых теоретических вопросов, так и в силу их приложений. В настоящее время развитые в данной области методы используются для системного моделирования и анализа электрических и электронных цепей, моделирования химических реакций, теории оптимизации и автоматического регулирования, а также вo многих других областях. В настоящей работе теория нормальных форм дифференциальных уравнений, берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, а последнее время развиваемая в работах В.И. Арнольда и его учеников, адаптируется к простейшим случаям вырожденных дифференциальных уравнений. Для этого существенно используется техника жордановых цепочек, давно и широко используемая в различных задачах теории бифуркации. Изучаются нормальные формы вырожденных дифференциальных уравнений в случае существования максимальной жордановой цепочки. Подробно изучаются случаи размерностей 2 и 3. Нормальные формы являются единственно возможными представителями вырожденных дифференциальных уравнений, сводящихся к своей нормальной форме. Поэтому нормальные формы следует считать модельными.
Список литературы Normal forms of the degenerate autonomous differential equations with the maximal Jordan chain and simple applications
- Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений/М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. -М.: Наука, 1969.
- Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений/В.И. Арнольд. -М.: Московский центр непрерывного математического образования, 1999.
- Ван, Д. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости/Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу. -М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2005.
- Jooss, G. Topics in Bifurcation Theory and Applications/G. Jooss, M. Adelmeyer. -Singapore; New Jersey; London; Hong Kong: World Scientific, 1992.
- Логинов, Б.В. Нормальные формы вырожденных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений с максимальной жордановой цепочкой длины два и три/Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак, Л.Р. Ким-Тян//Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. -2015. -Т. 12. -С. 58-71.
- Логинов, Б.В. Нормальные формы для вырожденных неавтономных дифференциальных уравнений в пространствах Rn, n=2,3,4/Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак, Л.Р. Ким-Тян//Сборник научных трудов Прикладная математика и механика. -Ульяновск: УлГТУ, 2014. -№ 10. -C. 142-160.
- Loginov, B.V. Differential Equations with Degenerated Variable Operator at the Derivative/B.V. Loginov, Yu.B. Rousak, L.R. Kim-Tyan//Current Trends in Analysis and Its Applications. Proceedings of the 9th ISAAC Congress. -2015. -P. 101-108.
- Marszalek, W. Fold Points and Singularity Induced Bifurcation in Inviscid Transonic Flow/W. Marszalek//Physics Letters A. -2012. -V. 376, issues 28-29. -P. 2032-2037.
- Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений/В.В. Степанов. -М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950.
