Нормальное строение унипотентной подгруппы симплектической группы

Нормальное строение унипотентной подгруппы классической линейной группы над полем K ранее устанавливалось за некоторыми исключениями в случае 2K = 0. В статье рассматривается исключительный случай симплектических групп над полем характеристики 2.

• 1.    В группе Шевалле над полем K , ассоциированной с системой корней Ф, унипотентную подгруппу U Ф(К) порождают корневые подгруппы x r (K ) = X r , r 6 Ф + . Сим-плектическим группам соответствует тип Ф = C n .

Пусть {r} + при r 6 Ф есть совокупность s 6 Ф + с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении s — r через базу П(Ф). Положим

T(r) = - X s | s 6{r} ⁺ ® , Q(L) = -X s | s GU r _G L {r} ⁺ \ L® , L С Ф ⁺ .

Назовем {r 1 ,r ₂ ,..., r m } множеством L(H ) углов в H C T(r 1 )T (r ₂ )... T (r m ), если при любой замене T(r i ) на Q(r) включение нарушается. Фреймом для H назовем множество F (H ) C Use L (H) X s такое, что F (H ) = H mod Hs e L (H) Q(^s)- Если s-проекция каждого элемента из H равна произведению r-проекции на фиксированный скаляр, не равный нулю, то r, s называем связанными в H; их называем p-связанными при p 6 G + , если также r + p, s + p 6 G.

Ранее [2] на языке углов и фреймов было установлено нормальное строение унипотентных подгрупп групп Шевалле классических типов над полем. Как следует из [3], основная теорема из [2] переносится на исключительные группы UC n (K ), 2K = 0, |K| > 2 с помощью модификации понятий углов и фреймов — 2-углов и 2-фреймов (определения см. ниже). Этот же подход мы применяем для исследования нормального строения группы U C n (2).

Подмножество S в Ф ⁺ назовем 2-нормальным, если включения s 6 S , t, s + t, is + jt 6 Ф ⁺ с нечетной константой C _ij,_st (i,j > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение is + jt 6 S. Через {r} + обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф ⁺ , содержащее r. Наряду с T (r) и Q(L) полагаем

T {r} = -X s |s 6{r} + ® , Q{L} = -X s |s 6U reL {r} + \ L ® , L С Ф ⁺ .

(c) 2008 Сулейманова Г. С.

Назовем {r i , Г 2 ,..., r m } множеством 2-углов с обозначением L 2 (H) в H С T {r i }T{Г 2 } .. .T {r m }, если при любой замене T {r i } на Q{r i } включение нарушается. Заменив в определении фрейма F (H) множеств Q(s) на Q{s} и L (H) на L 2 (H ), приходим к 2-фрейму F 2 (H ).

Наша цель — исследовать исключительный для [2] случай симплектических групп над полем характеристики 2.

Нам потребуется представление группы U Ф(К) из [1]. Каждый элемент A Е UФ(К) однозначно представляется произведением корневых элементов x r (t r ), r Е Ф + , расположенных соответственно фиксированному упорядочению корней [4, лемма 18; 5, 5.3.3]. Выберем подалгебру N Ф(К) с базисом e r (r Е Ф + ) в алгебре Шевалле типа Ф над K с базисом e r (r Е Ф),... [5, § 4.4] и положим

п(А) = £ t r e r , а о в = п (п ^{- 1} (а)п ^{- 1} (в)) (а, в Е NФ(К )).

r ∈ Φ ⁺

Присоединенное умножение о есть групповая операция на N Ф(К), а отображение п : U Ф(К) ^ (NФ(К), о) есть групповой изоморфизм. Вместо о в произведении далее обычно пишем +, когда сомножители не зависят от выбора п.

Терминологию для U Ф(К) переносим также на N Ф(К).

Теорема 1 [3] . Подгруппа H группы NC n (K) над полем K порядка, большего 2, и характеристики 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее 2-угла r и простого корня p с коротким корнем r + p выполнено одно из следующих условий:

• (A 2 ) F 2 ([H,X _p ]) + Q{r + p} С H, и при |r| = |p| также Q{r + p + s} С H для короткого корня s Е {r, p};

• (B 2 ) в [H, X p ] два 2-угла q-связаны для простого корня q, в [H, X q ] два 2-угла связаны, причем F 2Q H, X p ]) + F 2 ([H, X q ]) + Q{r + p, r + p + q} C H.

Обозначим через p 0 длинный простой корень. Рассмотрим следующие условия на s 1 , S 2 в H E NC n (K) и простой корень p.

• (*)    существуют простые корни p j (1 6 j 6 t), p _i = p, короткие корни r j = s _i + p _i + ... + p j и длинные корни r j = S 2 + 2p i + ... + 2p j , r j - и r j -проекции каждого элемента из H равны при j < t — 1, r _{t - i} - и r t _{- 1} -проекции каждого элемента из H равны или в H существует p _t -связанный с r _{t -} 1 2-угол, отличный от r _t ⁰ _{- 1} , причем

t

^{Q { r} 1 ,^r 2 , . . • ^,r t ^{} + Q { r} t ^{} +} F 2 ^{([ H},X p ^{]) +} F 2 ^{([ H},X p t ^{]) +} X ⁽ e r j ⁺ e r j ) ^С H ;

j=2

• (** ) в [H, X p ] два коротких 2-угла q-связаны для простого корня q, в [H, X q ] два 2-угла связаны, существуют простые корни p j (1 6 j 6 t), p _i = p, короткие корни r j = s i + p i + • • • + p j и длинные корни r j = S 2 + 2p i + ... + 2p j , r j - и r j -проекции каждого элемента из H равны при j < t — 1, r _{t - 1} - и r t _{- 1} -проекции каждого элемента из H равны или в H существует p _t -связанный с r _{t -} 1 2-угол, отличный от r _t ⁰ _{- 1} , причем

^{Q {} r i ⁺ q, r i , r 2 , •••, r t ^{} + Q {} r t ^{} +} F 2 ^([ H, X p t ^])

t

⁺ F 2 ^{([ H}, ^X p ^{]) +} F 2 ^{([ H}, ^X q ^{]) +} ^X^{( e} r j ⁺ e r j ) ^{С H}^ j=2

Теорема 2. Подгруппа H группы NC n (K) над полем K порядка 2 нормальна тогда и только тогда, когда для любого ее 2-угла r и простого корня p с коротким корнем r + p выполнено одно из условий (A 2 ), (B 2 ) или следующих условий:

(C ₂ ) r — длинный корень, и выполняется условие (*) для s _i = s ₂ = r;

• (D 2 ) r — длинный корень, существует 2-угол r' Е {p o } + — короткий корень, p-связанный с корнем г, и выполняется условие (*) или (**) для s i = r', S 2 = r;

• (E 2 ) p — длинный корень, и выполняется условие (*) для s i = r, S 2 = 2r — p;

• (F 2 ) r Е {p o } + , существует 2-угол r ' — длинный корень, p-связанный с корнем r, и выполняется условие (*) или (**) для s i = r, S 2 = r ;

• 2. Известно, что если H С N Ф(K) и [H, X p ] = 0, то углы в [H, X p ] имеют вид p + s i , где s i Е U _{r £} L (H) {r} ⁺ , 1 6 i 6 k, 1 6 k 6 3, причем равенство k = 3 достигается лишь при Ф = D n или E m . Для 2-углов в [H, X p ] справедлива

Лемма 3. Пусть H С NC n (K ), 2K = 0, p Е C + и [H, X p ] = 0. Тогда

L 2 ([H,X p ]) = {p + s i J 1 6 i 6 k}, s i Е U r _G L 2 (H) {r} + , 1 6 k 6 3.

Если k = 3, то в [H, X p ] найдется длинный корень r, причем {r} ⁺ С {s} ⁺ для некоторого короткого корня s Е L 2 ([H, X p ]) . Когда H есть подгруппа аддитивной или присоединенной групп NC n (K ), и L ₂ ([H, X p ]) не содержит длинных корней, то 2-фрейм в [H, X p ] является K -подмодулем в N C _n (K) и равен 2-фрейму лиева произведения H на X _p в подалгебре NC n (K ).

C Очевидно, что каждое из множеств L(H ), L 2 (H) содержит не более, чем n элементов, причем

^{[ H,X} p ^{] С} - T ⁽ s ^{+ p )} | s ^{Е U} r ^ L(H ) ^{{ r } +} , s ⁺ p ^Е G ^ ,

[H, Xp] C -T{s + p} 1 s Е UreL2(H){r}+, s + p Е G+® и L2([H,Xp]) = {p + si ,p + s2,...,p + sk}, L ([H,Xp]) = {p + si,p + s2, ...,p + sm}. Наименьшая в Cn подсистема корней, содержащая L([H, Xp]) и все корни p, si, имеет связный граф Кокстера, причем множества {p + si}+ попарно не инцидентны в Cn. Когда ее ранг m + 1 > 3, согласно известной классификации систем корней, подсистема имеет тип D4, поэтому m 6 2. Для коротких корней r, s множества {r} + и {s}+ инцидентны тогда и только тогда, когда инцидентны {r}+ и {s}+. Множества {p + si}+ для 2-углов p + si в L2([H, Xp]) также попарно не инцидентны. Поэтому, если все корни в L2([H, Xp]) короткие, то k 6 2. Если же k = 3 и r Е L2([H, Xp]) — длинный корень, то множество {r}+ содержится в {s}+ для некоторого короткого корня s Е L2([H, Xp]).

Согласно определению, фрейм F 2 (H) дают элементы из H , если в их канонических разложениях отбросить все сомножители ae s с s Е L 2 (H )• Операции сложения и присоединенного умножения на H по модулю 52_{r G} L 2 (H) Q{r} совпадают. Отсюда и из коммутаторной формулы Шевалле следует, что для подгруппы H аддитивной или присоединенной групп NC n (K ) в условиях леммы фрейм в [H, X p ] является K -модулем. B

Из представления систем классического типа Ф ⁺ -матрицами [1] сразу вытекает

Лемма 4. Пусть в Ф ⁺ классического типа существуют простые корни p, q и не инцидентные корни r, s с условием r + p, s + p, r + p + q, s + p + q Е Ф ⁺ . Тогда Ф = A n и при r + q Е Ф имеем s + q £ Ф и Ф = C n . Если существует b Е Ф ⁺ с условием r + p + q + b, s + p + q + b Е Ф ⁺ , то Ф = D n .

Лемма 5. Если H C N Ф(К), r Е L(H ), p,r + p Е Ф ⁺ и (r + p)-проекции в [H, X p ] и X _{r + p} не равны, то c _rp K = 0 для структурной константы c _rp базиса Шевалле.

C Ясно, что r -проекция H _r на угол r в H не зависит от упорядочения корней. Очевидно также, что r + p есть угол в [ H, X _p ] тогда и только тогда, когда взаимный коммутант [H, X p ] имеет (r + p)-проекцию F = 0. Подмножество {r, p,r + p} лежит в подсистеме корней типа A 2 , B 2 или G 2 , причем F = c _rp KH r = c _rp K ; при F = K получаем равенство c _rp K = 0 и поэтому либо |c _rp | = p(Ф), либо Ф = G ₂ и 2K = 0. B

Следствие 6. Если H <  U = U Ф(К) и s Е U _{r G} L (н ) {r} + , то s есть угол в H или [U, H ], либо p(Ф)K = 0 и корень s длинный, либо Ф = G 2 , 2K = 0.

Рассмотрим следующее условие на угол r в H E NC n (K ), простой корень p и корень r ⁰ :

• (***) существуют простые корни p j (1 6 j 6 t), p _i = p, короткие корни r j = r + p _i + ... + p j и длинные корни r j = r + 2p i + ... + 2p j , r j - и r j -проекции каждого элемента из H равны при j < t , причем

t

Q{r, r i , r 2 ,..., r t } + Q{r t } + ^(er j + e E ) С H.

j=i

Лемма 7. Пусть H <  UC n (2), L ₂ (H ) = {r}, p — простой корень с коротким корнем r + p. Тогда выполняется одно из следующих условий:

• а)    Q{r} С H;

• б)    r — длинный корень, и выполняется условие (***) для r 0 = r;

• в)    p — длинный корень, и выполняется условие (***) для r 0 = 2p — r.

C Если r — короткий корень, и r + p g не является корнем, то взаимный коммутант [H, X _p ] имеет единственный 2-угол для всех простых корней p таких, что r + p Е C + . Применяя индукцию по высоте корня r, легко получаем включение T {r + p} С H и условие а).

Предположим далее, Q{r} С H • Тогда r — длинный корень или r + pg — корень. В первом случае, помимо 2-угла r + p , взаимный коммутант [ H, X _p ] имеет 2-угол r + 2 p , во втором — 2 r + p .

Рассмотрим первый случай. Пусть p i = p,p ₂ ,... ,p _s — простые корни, такие, что r j = r + p i + ... + p j , r j = r + 2p i + ... + 2p j (1 6 j 6 s) — корни, и t — наименьший индекс, для которого Q{r _t } С H . Если t >  2, то найдется такой простой корень q = p g , что r 2 + q — корень, причем этот корень является единственным углом во взаимном коммутанте [[[H, X _{p i} ],X p ₂ ],X q ]. Отсюда получаем включение T{r ₂ + q} С H и, таким образом, Q{r i ,r 2 , ..., r t } С H . Учитывая полученное включение и соотношение

H D [[... [[H,Xpi],Xp2] .. .],Xps] D ers + ers (1 6 s 6 t), повторными коммутированиями получаем включения Kerj С H для всех j > t и, таким образом, включение Q{r't} С H. Пусть, наконец, в H найдется элемент а, у которого rj- и rj0 -проекции различны, j < t. Если при этом rj -проекция ненулевая, то применяя к взаимному коммутанту [a,Xpj+1 ] с единственным углом rj+i доказанное утверждение а), получаем, что Kerj+1 С H, а значит, и Kert С H, вопреки выбору t. К этому же противоречию приходим в случае, когда rj0 -проекция ненулевая, рассмотрев соотношения

H Э [[... [[a,Xpj+i ],Xpj+2 ] . ..],Xpt] = Kert mod Q{ri ,r2,...,rt} + Q{rt} и H D ert + ero. Таким образом, выполняется условие б).

Утверждение в) получаем аналогично, рассмотрев второй случай. B

Рассуждения, проведенные для взаимного коммутанта [ H, X _p ] при рассмотрении случая б) доказанной леммы, почти дословно переносятся для нормальной подгруппы H с двумя связанными углами, один из которых — длинный корень. В результате получаем следующую лемму.

Лемма 8. Пусть H <  UC n (2), L 2 (H) = {r, r'}, где r ' — длинный корень, r E {p o } + , причем эти 2-углы p-связаны для простого корня p с коротким корнем r + p. Тогда для r, r ' выполняется условие (***).

C Доказательство теоремы 2. Если r короткий корень, то по лемме 5, r +p является 2-углом в [H, X p ] в условиях теоремы. Когда этот 2-угол единственный, нормальное замыкание коммутанта [H, X p ] по лемме 7 содержит Q{r + p}, а поэтому и F 2 ([H, X p ]). Леммы 5, 7 и следствие 6 приводят к тем же включениям, если 2-углы в [H, X p ] не связаны.

Допустим, что для нормальной подгруппы H Q{r + p} * H . Тогда, в силу сказанного выше, взаимный коммутант [H, X p ] имеет больше одного 2-угла, причем эти углы связаны.

Пусть в L 2 ([H, X p ]) имеется ровно два 2-угла, эти 2-углы q—связаны для некоторого простого корня q, и T {r + p + q} * H . Рассмотрим вначале случай, когда оба этих угла — короткие корни, имеющие вид {r + p,s + p}. Тогда и корни r, s, p, а также r + p + q, s + p + q — короткие. По лемме 3 фреймы в [H,X _q ] и [[H, X _p ],X _q ] есть инцидентные подмодули 2-мерного K —модуля F 2 (T{r + p + q} + T {s + p + q}). Поэтому они 1-мерны и совпадают. Отсюда следует, что прибавлением элемента из фрейма F 2 ([H, X p ]) можно аннулировать одновременно r + p- и s + p- проекции любого элемента из H . В силу лемм 4 и 7 имеем включение Q{r + p,r + p + q} C H . Таким образом, H удовлетворяет условию (B 2 ).

Если один из двух 2-углов взаимного коммутанта [H, X p ] — длинный корень, тогда второй угол должен лежать в {p o } ⁺ , и в L 2 (H) есть длинный корень. Пусть r — длинный корень. Если r не связан в H ни с каким углом из множества {p o } ⁺ , то взаимный коммутант [H, X p ] имеет 2-углы r + p, r + 2p, и по лемме 8 получаем условие (C 2 ). Если же r связан с некоторым углом r ' E {p o } ⁺ , то взаимный коммутант [H, X p ] имеет 2-углы r ' + p, r + 2p, и вновь с использованием леммы 8, получаем условие (D 2 ), (*). Если же r — короткий корень, связанный с длинным корнем s, то, применяя лемму 8 ко множеству [H,X p ] с двумя 2-углами r + p, s + 2p, получаем условие (F 2 ), (*).

В случае, когда p — длинный корень, получаем случай (E 2 ).

Пусть, наконец, взаимный коммутант [H, X p ] имеет три связанных 2-угла. Тогда по лемме 3 один из углов — длинный корень, и поэтому приходим к условиям (D 2 ), (**) или (F 2 ), (♦♦). B