Новые формулы для динамического силового анализа плоских рычажных механизмов

Введение. Материал статьи изложен так, что его можно изучать (пропуская доказательство утверждения 1) и применять на практике без изучения статей [1-3], продолжением которых является предлагаемая статья. В отличие от статей [1-3] здесь используется терминология теории механизмов и машин. Поэтому начнём с краткого обзора основных понятий и приведём используемые в дальнейшем сведения из механики машин [4].

Систему твёрдых тел (звеньев), образующих друг с другом подвижные соединения, называют механической системой (МС). Соединение двух соприкасающихся звеньев МС, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой (КП). Как правило, одно из звеньев МС является неподвижным или принимается за неподвижное. Такое звено называется стойкой (станиной, опорой).

Если от любого звена МС до стойки имеется единственный путь (через звенья и их КП), то такую МС называют открытой. В противном случае МС имеет контуры, т. е. МС имеет звенья, от которых до стойки существует более одного пути. Число замкнутых контуров можно определить по формуле [4] п₀ = п_р -N , где п_р - число КП, N - число подвижных звеньев МС. Мысленно разорвав связи одной КП или разрезав одно звено каждого контура, можно получить открытую МС. При этом разорванные связи необходимо заменить главным вектором и моментом соответствующих сил реакций. Силы реакции в КП описывают взаимодействия между конструктивными элементами КП и распределены по поверхностям или по линиям соприкосновения этих элементов. Здесь же определяются только главный вектор и главный момент всех сил взаимодействия, возникающих в КП. Силовой анализ МС основан на решении первой задачи динамики и заключается в определении движущих сил и моментов сил, а также главных векторов и моментов сил реакций в КП (включая мысленно разорванные связи) для заданных и согласованных со связями законов движения звеньев. Силовой анализ необходим для выбора и расчёта приводов МС, а также расчёта элементов КП на прочность, надёжность и долговечность.

Если звенья КП могут только вращаться относительно друг друга вокруг одной оси, жёстко связанной с ними, то такая КП называется вращательной кинематической парой (ВКП). Если звенья КП могут двигаться только поступательно относительно друг друга вдоль одной оси, жёстко связанной с ними, то такая КП называется поступательной кинематической парой (ПКП). Указанную ось называют соответственно осью ВКП или ПКП. В ПРМ оси всех ВКП должны быть взаимно параллельны, а оси ПКП - перпендикулярны осям ВКП. ВКП часто называют шарниром. ПРМ, звенья которого образуют только шарниры, называют шарнирным механизмом.

1. Векторный вид основных расчётных формул. Звено с номером / и его массу обозначим через m_6i (/=1, 2,..., У). Звено древовидного ПРМ (ДПРМ), т. е. после размыкания контуров, непосредственно следующее за m_Oi на пути к стойке (к звену т₀ ), назовём базовым звеном (базой) для т_й1 . Базой для т₀₁ является стойка. Все остальные звенья, связанные с m_Oj , назовём смежными звеньями для m_Qj . Звено ДПРМ, не имеющее смежных звеньев, является концевым. В звене m_Qi выберем полюс О, . Через О_0; обозначим точку, с которой совпадает О, до начала дви-

Расчет и конструирование __________________________ жения mOj относительно своей базы. Точку O0i назовём базовой точкой z-го звена и жестко свяжем её с базой /-го звена. Обозначим через тз сумму массы /-го звена ДПРМ и всех его несомых звеньев. Если звенья т0., тОк,..., т01 являются смежными для mOi, то мысленно поместив в их базовые точки OGj, О0к, ..., Ой1 массы тр тк, ..., т, соответственно, получим i-e дополненное тело (ДТ). Обозначим через С, центр масс /-го звена, а через Cdi - центр масс /-го ДТ. Массу /-го ДТ можно вычислять по формулам т, = mOi + ^т} - ^^j^ гДе ^mOj - знак суммирования по номерам несомых звеньев для т0,, включая i-e звено; ^ ^7 - знак суммирования по 77

к-\ номерам смежных звеньев для тш. В дальнейшем используется знак суммирования ^ а, по j к номерам несущей цепочки £-го звена и знак суммирования ^а, по номерам звеньев, несомых /-м звеном.

Пусть плоскость Р (плоскость движения ПРМ), параллельно которой перемещаются звенья ПРМ, является положительно ориентированной, причем орт к системы отсчёта Oijk перпендикулярен этой плоскости, является ортом осей ВКП и направлен в сторону наблюдателя (исследователя). Полюс О, звена m_Qi выберем в плоскости, проходящей через C_dl параллельно плоскости Р . С т₀₁ жестко свяжем правую систему координат (СК) О^рк.

Если /-е звено образует со своей базой ВКП, то О, разместим на её оси и (при О, * C_di ) орт / направим от О, к C_dj . Обозначим d, = O.C_d, > 0. Для ВКП О_т = О, . Если О, = C_dj, то i, направим вдоль i_M до начала относительного вращения m_Oi (i₀ =i).

Если i-e звено образует со своей базой ПКП, то О, совместим с C_di и орт i, направим вдоль оси этой ПКП в положительную сторону поступательного перемещения /-го звена относительно своей базы. Координату х, точки C_di на оси О^ примем за параметр, определяющий положение /-го звена относительно своей базы.

Введём следующие обозначения:

d, - если i-e звено образует со своей базой вращательную пару, Xj - если i-e звено образует со своей базой поступательную пару;

а,_к - угол, откладываемый от i, до i_k; s_jk = sin a_ik; c_jk = cos a,_k; ct, - абсолютный угол поворота /-го звена, откладываемый от i до / ; R_t = O_0jAO - радиус-вектор с началом в базовой точке базы /-го звена и с концом в базовой точке /-го звена; R*, R^, R" - проекции R₍ на оси O_0jAi_jA , O_GjAjj__x, О_0)Ак соответственно; R^ - проекция R. на плоскость О_{0 A}i _}J _}; g -ускорение свободного падения; 1_к - тензор инерции А-го ДТ относительно точки О_0к.

Утверждение 7. Искомые относительные силовые факторы к-ro звена ПРМ, т. е. сила Е_к и момент силы М_к (относительно точки О_ок ), действующие на к-е звено со стороны его базы, а также главный вектор Е_п и момент М_п (относительно точки O_Qi ) сил реакций, действующих на i-e звено со стороны мысленно разорванных связей (при размыкании контуров), удовлетворяют следующим уравнениям:

'Fk+HFri-Fqk-^Fbl,(1)

J i>ki>k

X-Z^/+^+Z^xZ^-^-^         k = A,2,...,N,(2)

.        7,4                  J,k       HJ                          J,k i>j где Fb,, Mbl - заданные главный вектор и момент (относительно точки О0у) сил, действующих на i-e звено;

__         к-1 г/                            \I

Fqk = ткЦF, -КД«. - СА2+ 2i,d, - с^,2 Д ] + + Zm,[fe - xd^y + Va + 2хД )л]-mkg , i>k

Мqk — ^kXdk^4\ ^ikXl Ri+i® yik^t + 2с1кхД, + R1+^sxjkct, )к + 2mkxdkxk(xkk +

+ «Л -k + akkxIk-k-^R^ m, [(ад + 2хД )( - (^ - хДД)/, ]+ к i>j

^^R7H^mk^sxkk^x>-^Х»«1УзДУд *2хД,^к-m_kx_dki_k xg,          (4)

8х_1к=Ма_1к^Ф_чХ 8]_к=%т(а,₁Лф_уД                                       (5)

arccos(7C / Rj^y)- если R] <0,          arccos^ ^R?)- если R* >0,

9xi = I                                         Ф_У, = 1

(-arccos^/^y) - если R^y >0,       [- arccos^’ / R]') - если R* <0.

Доказательство. В доказательстве утверждения 1 статьи [1] через F_n,M_n обозначены главный вектор и момент (относительно точки О,,, ) сил реакций в z-й КП и внешних сил, действующих на i-e звено. Выделим из F_n,M_n главный вектор и момент (относительно точки О^ внешних и других заданных сил, действующих на z-e звено, и обозначим их через F_bl,M_bl . Тогда из уравнений утверждения 1 статьи [3] получим формулу (1), где

Fqk=mkWQk+Fok-mkg,

^ок = £кл²^₊^.₊₁ + ®z^xfex^/₊i)L                          (6)

F_ok =Zkk Щ^Ёдтдюд1Ддт]\,                    (7)

У„, W_n - скорость и ускорение полюса z-ro звена (точки О, ) относительно своей базовой точки

О₀,; ИД 8, - абсолютные угловые скорость и ускорение z-ro звена; т, = т, O_0jC_di - статический момент z-ro ДТ относительно точки О₀, . Учитывая способ введения СК О]Д,к для z-й ПКП, получим V_n = хД, W_n = Xjij, для z-й ВКП получим ®, = а,к , s, = сх к . По определению m, =m_iO_0jC_d, =тдД,, Д_+| = К"₊Д + КД], + КДк (заметим, что проекции КДДДДД вектора К,₊₁ на оси СК ОДД^ совпадают с проекциями этого вектора на оси СК О]д]к ). Подставим выражения для V_n, W_n , ю_И s,, т₍, R,_+} в (6), (7) и выполним векторные умножения орт с учётом равенств к х z, = j,, кх j, =-1^ кх к = 0 . Получим

W_ok - Z Ш ^{+ 2х}>“. кх^+Дкх ^₊Д + R]J, + 7?,;Л)+ а^к х [^х ^Д1, + R]j, + Д; Д=

= Zk ^+2xAil +«/feiZ

F_ok = ^ * ^^i P^/^z 2XjOCj к x ij + х^сх^к x i^ 4- x_d.(z, к x \k x ( i>k

Расчет и конструирование

= ^т^ + 2^,^ j, + x^dj, -х^аД

Отсюда после приведения подобных при I, и j, получим искомую формулу (3) для F_qk =mX_kA-F_ok-m_kg .

Из уравнений утверждения 1 статьи [3] получим формулу (2), где

M_qk = т_кх^_окД№^2с5_кх¥_гкУ!_к-Ё_к+ю_кх1_к ■&_k+^R_JxF_0l-m_kxg ,             (8)

Iк = Fk + ^m0k(r_kE - r_kr_k )+ X ™i^^E - RjRj)                                          <⁹)

J,k

• -    тензор инерции Л-го ДТ относительно точки О_0к, 1_ск - тензор инерции к-ro звена относительно точки С_к, г_к = О_0кС_к . Подставляя в формулу (8) найденные выражения для W_ok,F , а также выражения для векторов V_rk, W_rk, <в_к, s_k, т_к, R_p получим

м_Чк=^тк^к ^хЁк - ^RM«i - Са²П +h+д+ Wi - <а²М]+

• +    m_kx_dJ_k X ^xJk + 2x_kd_kk x l_k)+ d_kI_k -k + d²_kkxl_k-k- m_kx_dki_k x g +

• +    E fc4 + Rj К + Rj ^)x E mi [fe “ x

j.ki>j

Для i разложим орт i_k по ортам г,,),. Получим i_k = c,_ki, + s_ikj,, где c,_k = cos a_ik, s_jk = sin a _jk, a_ik - угол от z, до i_k . Тогда i_k xi, -(c,_ki_i + s_ikj,)xi, = -s,_kk , i_k x j, = c_ikk . Следовательно, c учётом произведений к x i, = j^kx j, = -i, из (10) получим

___                 ^-1 Г/                            \        /                                  \_

^Mqk = -^mk^Xdk E l№ “     ~ К ^{+ 2X}A - <1«/² K\^{k + 2m}k^Xdk^Xk«k^{k +}

• +    d_kI_k • к + d^k xl_k- k - m_kx_dki_k xg-E^E"* ^di + 2хД )(■ - (x, - х_ша; ^j, ]+

+EE^[fe - W2)(^ xz" +^/Л x()+(w +2хД ^ik xj, +R3jk xj,)].(11)

J,к i^J

Для i>k разложим орты z, J, по ортам i_k, j_k . Получим i^c_kli_k +sj_k, j, =sj_k +cj_k. Тогда 1_кхЗ =i_kx^cj_k fs^-kJ, З_кхЗ=-с_Ик, K^xj,=ikA-^sJk+^ckJk) = Ck,k , j_k^xji=s_kik. Подставив эти векторные произведения в (11) и учитывая обозначения

• 4, = ^RXj^ck, + ^Rj^sk> ’ ^вк, = R^XjSk, - R^Ck. ’ получим

• 4.    = ^Rj ^ck. + ^R3^sk, = R7 ^sW_k, +<Р_УД = К^х/Дк, ^BL = R^xjS_k. - ^R3^ck, = R3^{y sin}(^ + ^) = Дк,, что с учётом обозначений (5) завершает доказательство формулы (4). Утверждение доказано.

Mqk = mkxdk Y sikx, + А**ха5 + 2c,кх^ + B'^d] )k + 2mkxdkxkdkk +

+ d_kI_k -k+d²_kkxl_k.k- m_kx_dki_k хё-Ея;Е4^ ₉а, + 2хД )i, - (x, -х^а^Д* j,k i>j

+ E E^m>fe fe ~ wV ^Ак, ^аД, + 2^a,)]i•

J,к

Используем известную формулу asin(g) + Z)cos(^) = 7a²+6² sin^ + ^z), где

= arccos(rz/7o² +b² ) при b > 0 и ф = -arccos(tz/7tz² +6²) при b < 0 . Тогда с учётом равенства (^j)² +k)² =к^ХУ)² получим

Телегин А.И.

Замечание 1. В утверждении 1 векторы F_qk, M_qk описывают инерционные силы, которые зависят от скоростей и ускорений движения звеньев. Можно рассматривать проекции этих векторов на оси СК любого звена, включая стойку.

• 2.    Формулы вычисления проекций инерционных сил на оси СК звеньев. В утверждении 1 F_k - сила в ^-ой КП, М_к - момент силы в А-ой КП. F_k содержит для ^-й ПКП две проекции динамической реакции и одну движущую силу F_k . М_к = М_к ^F_k) содержит для £-й ВКП две проекции момента реакции и движущий момент силы М_к . Движущую силу вычисляют по формуле F_k = г_к • F_k . Движущий момента силы вычисляют по формуле М_к = к • М_к. Поэтому для перехода от векторных соотношений утверждения 1 к скалярным соотношениям удобно рассматривать проекции векторов утверждения 1 на оси СК к-ro звена и использовать

Утверждение 2. Проекции векторов F_qk, М _к на оси O_oki_k, O_okj_k, О_пкк СК А:-го звена вычисляются по формулам

Fqk = ™кЦДР + RMk^i + 25, Да, -R^td;т_к-x_dkdt

'                  Г / Н                           _<

+~х»®; rski(xdi«i+■ g, i>k k-\ ,,

Fqk

'                                                           1 -

+Z m< k k - w)+ 4 Up,+2хд n-mj^g, i>k

Fqk^-mkk-g,(14)

Mqk ^-!k«k + ^«1 -XRJ Z^kfc - ^УскМД+2хД )],(15)

J.k >>J

Myqk = -1Дак-Ik at +^Rq^mi\ck^xl-xdid^-ski(xdiai + 2хД )] + mkxdkk-g,(16)

J.k ,^J k-A ,.

M2qk = mkxdk £ (- s^ + R^^d, + 2c, ДД, + ^s^’d2}+ Цак + 2ткхЛхкак + ^R7YmKsxkkxi-xd>^Vsyk7xdP + 2^Д)]-»№,Д -g,(17)

J.k i>j

Jk

1Д=Рс^токЬкКк +1™^,

J,к

Ik^^k+^kfcdk+aJ+btV^m^y,(20)

J.k ak,bk,hk - проекции радиус-вектора CdkCk на орты ik,jk,k; 1^к,1^,Гск - элементы тензора инерции к-го звена в СК Ckikjkk , Izk - момент инерции Л-го ДТ относительно оси Ойкк .

Доказательство. Умножим вектор (3) скалярно на орты ik,jk. С учётом равенств к ■ 4 = cos а1к = с,к, J, • ik = cos(a№ - тг / 2) = sin aik = sik, i^ • jk = cos(a;i. + я / 2) = -slk ,],-"jk= c,k, для ik, получим

Fqk = m_k^ k - R^d, -Rt₊₁dt)c_ik + ^ДДа, + 2x,d, -R^dj^s_ik] +

Расчет и конструирование

⁺E^fc -w²

^Fk, - кл + ²хД )s_k,\-m_ki_k-g,

^Fqk ^{= т}к Е Г V/ “ АдА - ^RmA К ⁺ № ^{+ 2х}Д. * С^,² Vik ] +

⁺ E^w-[fe -^Xdi«^s_k. Дх»«, +2i,d, A.V^mkL" § • i>k

Преобразуем первые суммы этих выражений к виду

A ^ALVAААл -А\С.к)а^2Чх,«>АА'^к *Ru\SiwV-’

A = ^mk E Г ^Sik^Xi ⁺ \^RM^Cik + A^ik )A ^{+ 2c}ik^Xi«i ⁺

$ik -^₊iC/J«,²]+-

Теперь, используя обозначения R^ -R^k, = R7sxki> Ack- + AA = R7 SA получим иско мые выражения (12), (13). Здесь и в дальнейшем учитывается, что скк = 1, skk = 0. Уравнение (14) получается после скалярного умножения вектора (3) на орт к .

Умножим вектор (4) скалярно на орт 1к. С учётом равенств ik - к = 0, ik • 1к- к = -7”, ik ' к х Ik ■ к = Ак'Ik 'к = А, Ч -ikxg = ^ ik' Ч = ck, > ik' 1, = skl получим формулу (15).

Умножим вектор (4) скалярно на орт j_k . С учётом равенств j_k -к = О, j_k -1_к - к = -V_k , 1к'Ьх1_к-к = ^-1_к.1_к-к--1_к , h-ik^xg = -k-g, ]_к-"Ч=$_к„ j_k-j, = c_ki получим формулу (16).

Умножим вектор (4) скалярно на орт к. С учётом равенств к-к = Х, к • 1_к-к = Г_к, к -к х 1_к -к =0, к -i_kxg = j_k-g, к -г₍ = к • j_t = 0 получим искомое выражение (17).

Пусть а_к, b_k, h_k - проекции радиус-вектора C_dkC_k на орты i_k,j_k,k- Тогда

^к = ^оА к = AAdk + FdkFк ~ Xdjk + °к*к + bkjk + Ак = Хак1к + Ьк]к + hkk , где хак =xdk +ак. Следовательно, rk =х^к +bk +hk , R^ =(R^)2 +{Rj)2 +(7?)’)2 и по правилу диад- ного произведения 2-х трёхмерных векторов [8] получим

	( X2 Лак	х«кЬк	ХакК		' т?;2	АА	ааА
Vk =	Ькхак	ъ2	bkhk	, RdRd =	АА	Rf	АА
	АХак	hkbk	hl ;			АА	А2)

Подставляя всё это в (9), получим

	bk +hk хакЬк	~Х<Л s		Af+R*7	-AA	-R-K; 'I
Ik ~ 1ск+ т0к	-bkxak X2k*h2	~bkhk		-AA	Rj2 + Rz2	-R’R=
	<-hkxak -hkbk	x2k+bk>	J.к	( -AA	-AA	r;'-+rF

Следовательно, -I_k = -F_c^z_k -m_okh_kx_ak - Е т^А .     - 1_к = -^ -т_йкЬ_кЬ_к -Е m^R^ ,

Ik ~Ick ^{+ m}ok(^xak⁺i⁾k)⁺'^_l^m_J(^Rj^Rj^+R'j^R^)- О^тсюД^а получим искомые формулы (18)—(20). Ут-J,k                             '

верждение доказано.

• 3.    Частные формулы вычисления проекций инерционных сил. Для шарнирного механизма (ШМ) x_dj = dj, У_п = 0, W_ri = 0 . Поэтому из (12)—(20) получим

Следствие 1. Проекции векторов Fqk, Mqk на оси СК к-то звена ШМ вычисляются по фор мулам

^F*=^ткЦ ^rm teM - АА,²)- ^mdk«_k - Е ^тш УкД,+^скА)- ^т А ■ g, i                                               1>к

Fqk = тк1^К^М1к«1 + sx1^^      +£тДс4А-skld2)-mkjk-g,(22)

Fqk=-mkk-g,(23)

Mqk = -Ikak + НГ^к -HRjHmdi^kA -W2),(24)

Mqk= -^«k -^«k - E ^J Emd,[w + Ck^i Vmkxdkk-g,(25)

Mqk = m^E^ito1»/ + sx^y Ikak + ТЛ7Тл^\$укД1 -sJXk№)-mdkJk • g, где mdi = m^.

Замечание 2. Если для всех j звено /и_он имеет только одно смежное звено т₀₎ и центр масс

C_dj__x лежит на оси O_6j__xO_Qj , то R, = O^.-P^i^ и R^y = R^ = 0, R‘ = R^xy = R_q > О . Следовательно,

$xik = sin[«,4 + arccosCR, / R,)] = sin(a№) = slk, sJyik = 8т[яй + arccos(0//?y)] = sin^ + л/2) = cos(a,J = c,k.

Учитывая замечание 2 и равенства s_kk = 0, с_кк = 1 из утверждения 2, получим

Следствие 2. Для ПРМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, проекции векторов Fqk, М к на оси Ookik, Ookjk, Оокк СК к-ro звена вычисляются по формулам г /                   \                                              /\

Fqk = тк Е h - Ri+i«i }+ stk {Ri+A + 2^,а,)]+ тк (^ - xdkctk ,=1 w г \                      1         -

+        ~xdi^h^ki(w+2х^\-тк1к-g, i=k+A

Fqyk=Fayk+mk(xdkak+2xkakVFbyk,(28)

Fqk=-mkk-g, Myjk=-Ixezkak+Iy‘d^k, Мук =-Iy*ak-lX2kd^+mkxdkk-g,(29)

Mzqk=xdkFyk*rkdk*2mkxdkxkdk+RwFbyk,(30)

где F4=mk^Y-Sikyx]-RMd^-¥cik\RM(xl^2x,d^\-mkjk-g,(31)

/=i

Fbk = E mi kk - Xdi^)+ cki (xd,«, + ^кД,)] ■

/=4+1

Отсюда получим

Следствие 3. Для ШМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, проекции векторов Fqk’ Mqk на оси Ookik, Ookjk, Оокк СК к-го звена вычисляются по формулам 4-1      ,                х                 N (                \-

Fqk =mk^Ri+Xslkd,-cikd^Vmdk«k - Xmd\skA +cki^Vmk4‘g.(

/=1/=4+1

F* =-mkk-g, Mxqk —I^dk+I^d2k, Myk =-Iyzak-Ix*ak+mdkk-g ,(34)

Fqk=FykA-mdkak*F4, M2qk^dkFyk*Ikdk*Rk+xFbyk,(35)

4-1      ,                  ,        _                   N ,, где Fyk =тк^R:+][cxkdx + sikd2mkjk -g, Fbyk= ^mdi\ck,d, -skict2}.

/=1/=4+1

Замечание 3. В монографии [8] предложен общий формализм вывода формул для вычисления динамических реакций в ШМ. Он требует выполнения громоздких аналитических вычислений. Формулы (33)—(36) позволяют выписывать выражения динамических реакций без выполнения аналитических операций.

Из следствия 3 с учётом формулы (2) получим

Расчет и конструирование _____________________________

Следствие 4. Уравнения динамики (УД) ШМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, имеют вид тДЕLs     + sik«i )+ Fkdk ^1таWkF, -skl«> )-mdkJ'k -g = Mk-Mk+X,            (37)

,=i                                       i=t+i где k=\, 2,..., N; L, = ОД+Х -Rl+X - длина/-го звена.

Замечание 4. УД (37) совпадают с УД zz-звенника, полученных другим путём в следствии 7 статьи [3].

Замечание 5. В механике используются несколько подходов для вычисления динамических реакций. В наиболее распространённом способе силового расчёта [4-7] используется метод кинетостатики. В предлагаемом формализме все расчёты основаны на формулах (1)-(4). Если берутся проекции искомых векторов на оси СК звеньев, то в расчётах используются формулы утверждения 2. Для ШМ они принимают более простой вид (21)—(26). Для ПРМ и ШМ, соответствующих замечанию 2, расчётные формулы принимают наиболее простой вид (27)-(36).

Замечание 6. В другом известном подходе [8] наложенную на МС связь заменяют силой, эквивалентной по своему действию этой связи, что позволяет рассматривать МС как освобождённую от связи. При этом появляется новое возможное перемещение, которому соответствует изменение новой обобщённой координаты (ОК), сохраняющей постоянное значение в действительном движении. Если исходная МС имеет п ОК, то освобождённая будет иметь «+1 ОК. Вычислив для такой МС Лагранжиан, записав уравнение Лагранжа 2-го рода для новой ОК и приравняв нулю её обобщённые скорости и ускорения, получают уравнение для определения интересующей реакции. По такому формализму в [8] вычисляются динамические реакции в КП ШМ. В этом формализме не возникает вопросов с условиями статической определимости.

• 4.    Общий вид УД ПРМ. Для исключения ускорений из формул вычисления искомых реакций можно использовать

Утверждение 4. Если к-е звено ПРМ образует со своей базой ПКП, то его УД имеет вид

Fqxk-Fk^k.^,*Fb,Y(38)

i>k

Если к-е звено образует со своей базой ВКП, то его УД имеет вид

М;к=Мк-^М,-уМДЦЯк*МЬк^(39)

J'k         j;k                                        j,k i>j где

М' =^mj^xjlLV^s^i *2сДД                  + 2x_/a_/)+

' Г                                          1

Д           ~cj,kxdi«i ■+2xidi)\-mJxJjJ •g-XjJ'j-’Lyn +Fhl\ i>J

"^M - знак суммирования величины M} по номерам звеньев, смежных £-му звену и образую щих с ним ВКП; ^М^ - знак суммирования величины М по номерам звеньев, смежных Л-му j;k'

звену и образующих с ним ПКП. Величины F_qk, МД вычисляются по формулам (12), (17).

Доказательство. Разобьём сумму ДМ_} на две части. Получим 'ДДм’^Д^м'-^-

J .к                                                   j,к           j;k           j,к ли j-e звено образует с к-м звеном ПКП, то момент силы F относительно точки O0j вычисляет-

. Подставим сюда вместо F выра-

ся по формуле М' = к ■ O_ojC хД = хД ■ F^ -^F_n + F_bl жение (3). Тогда получим

МГхк№

- С A' Д + \^₊Д + 2хД - КДДД ]+

+Z ^mi fe ~            ⁺²*А к ]- ^тт - 2   ⁺^_Ь1у.

Если i то L-j, =со§\рс_н-Ул12\=-8_и, ],-],=с„. Если i> /, то j,-t = costa» -тг/2}= s j • j, = Cjj. Следовательно,

= m_jXj £          - R^)Sy + ^_+]ё, + 2x,a, - R^a"

^E^fe - W^Sy Aw + 2хД. АА^т:^хП'г§-хД•^F_ri+F_bl\

После приведения подобных в 1-й сумме получим следующий вид выражения в квадратных скобках: -SyX,+^R^z_+xCy АТ))_А8у^а;+ 2су_ХД y^R^Sy -R^Cy^ . Теперь, используя обозначения R^-R^R^,, RjC_k, +RjS_kl = R^s^J_yk, , получим искомое выражение (40). Утверждение доказано.

Из утверждения 4 с учётом следствия 2 получим

Следствие 5. Пусть все звенья ПРМ удовлетворяют замечанию 2. Тогда, если k-е звено образует со своей базой ПКП, то его УД имеет вид

F^Fk ^ik-^n*Fb\(41)

i=k и если к-е звено образует со своей базой ВКП, то его УД имеет вид

Mzqk=Mk-M!U^\Mrk^Mbkyk.R^x Y(Fn+Fb\(42)

i=k+\ где величины Fqk, Mzk вычисляются по формулам (27), (30). Если (. Если (к+ 1)-е звено образует с к-м звеном ПКП, то к Г           /                   X            /VI

ML\ = "Wui 2 Г w & ~ ^RM^ j+ ^CW №+А/ + Wi /р ^mkTT J'^ ■ g +

,=l(43)

+ ^+j S^V^vA -W^c^^a^x^     ■ ^\F_r,+F_bl}

/=4+1                                                                        /=4 + 1

Заключение. Доказанные утверждения и следствия содержат новые эффективные алгоритмы для вывода формул вычисления динамических реакций и обобщённых движущих сил ПРМ.