О 2-группах, конечные подгруппы которых обладают заданными свойствами

Теорема 1. Если каждая конечная подгруппа 2 -группы G двуступенно нильпотент-на, то сама группа G также двуступенно нильпотентна.

Очевидным следствием этой теоремы является тот факт, что 2-группа абелева, если все ее конечные подгруппы абелевы. Отметим, что аналог даже этого следствия неверен для p-групп при p > 2, поскольку, например, все конечные подгруппы групп Новикова — Адяна (не локально конечные свободные группы нечетного периода) являются циклическими [1]. С другой стороны, любая конечная подгруппа ненильпотентной свободной бернсайдовой группы периода 2 n для n >  13 может быть вложена в прямое произведение диэдральных групп порядка 2 n ⁺¹ [2, теорема 2] и поэтому она нильпотентна ступени n. Поэтому теорема 1 не может быть обобщена на случай 2-группы с ограниченной ступенью нильпотентности ее конечных подгрупп.

Тем не менее, естественно возникают следующие вопросы:

• 1.    Каково максимальное число n, которое гарантирует нильпотентность любой 2-группы с n-ступенно нильпотентными конечными подгруппами?

• 2.    Верно ли, что 2-группа нильпотентна, если каждая ее конечная подгруппа трех-ступенно нильпотентна?

Теорема 1 доказана в [3] с использованием вычислительного пакета GAP [4]. В настоящей работе приводится доказательство, свободное от компьютерных вычислений.

В качестве следствия из теоремы 1 выводится

Теорема 2. Если для любой конечной подгруппы K 2 -группы G порядок коммутанта K не превосходит двух, то | [G, G] | 6 2 .

Следующая теорема обобщает результат работы [5].

Теорема 3. Пусть в каждой конечной подгруппе 2-группы G выполняется тождество [x, y] ² = 1 и [a, b] ² = 1 для любых элементов a, b Е G порядков 2 и 8 соответственно. Тогда это тождество выполняется и в группе G . В частности, G локально конечна, период ее коммутанта равен 4 , а второй коммутант лежит в центре G.

• 1 . Предварительные леммы

Лемма 1. Если в каждом классе сопряженных элементов конечной 2-группы H содержится не более двух элементов, то коммутант C группы H содержит не более двух элементов.

C Из условия следует, что централизатор любого элемента из H нормален в H и фактор-группа по нему коммутативна, поэтому фактор-группа H по ее центру Z коммутативна. В частности, C 6 Z . Пусть h = | H | , c = | C | , z = | Z | и n = | H: C | . Тогда c 6 z и h = nc.

Если k — число классов сопряженных элементов H , то k = |Z | +

| H \ Z | _ z + h   c(1 + n)

• 2    = 2 >     2    ‘

С другой стороны, если d i ,... ,d k — степени всех различных неприводимых комплексных характеров H , то число линейных характеров H совпадает с n и поэтому

n h = £ d2 > n + 4(k — n), i=1

откуда k 6 (c+^-n. Таким образом, c + cn < k < (c + 3)n

2 6 6     4   ,

• т. е. c <  3. B

Лемма 2. Пусть в 2-группе G любая конечная подгруппа двуступенно нильпотентна.

• (a)    Если a, b Е G и a² = b ² = 1 , то (ab) ⁴ = 1 и aa^b = a^ba.

• (b)    Если x, y Е G и x ⁴ = y ² = 1 , то ( x, y i — конечная группа и [x ² , y] = 1 .

• 2.    Доказательство основных результатов

C Утверждение пункта (a) очевидно, если a = 1 или b = 1. Если же a = 1 = b, то ha, bi — конечная группа диэдра. Так как она двуступенно нильпотентна, то ее порядок не превосходит числа 8 и поэтому (ab)4 = 1. Отсюда aab = (ab)2 = (ba)2 = aba.

Докажем (b). Положим z = x ² . По пункту (a) z и t = z ^y перестановочны. Так как x ² и t ² равны единице по модулю ( z i , то h x, ti — конечная группа и поэтому (xt) ² = x ² [x,t] перестановочен с x и t.

Точно так же (x y z) ² перестановочен с x y и z. Поэтому a = (xt) ² и b = (x y z) ² содержится в централизаторе z и t. Более того, по модулю h z, t i элементы a и b равны 1, поэтому [x,t] Е h z,t i , [x y , z] Е h z,t i , т. е. ( z,t i / h x,x ^y i .

Так как x ² , (x y ) ² Е h z,t i , то h x,x ^yi — конечная y-допустимая подгруппа. Отсюда h x, y i = h x, x ^y ih y i — конечная подгруппа. По условию она двуступенно нильпотентна, поэтому [x,y] = x ^-1 x ^y перестановочен с y. С другой стороны, [x,y] y = [x,y] ^-1 , следовательно, [x, y] ² = 1. Так как [x ² , y] = [x, y] ² , то [x ² , y] = 1. B

Пусть G удовлетворяет условиям теоремы 1.

Лемма 3. Если a, b, c — инволюции из G, то [a, b, c] = [[a, b], c] = 1 .

C Положим x = ab, y = c. Так как x ⁴ = 1, то по лемме 2 [x ² ,c] = 1. С другой стороны, x ² = abab = [a, b] . B

Лемма 4. Подгруппа I из G , порожденная инволюциями, двуступенно нильпотентна.

C Пусть T — множество всех инволюций из G, I = hT i . Так как [t i , < 2 , t a ] = 1 для любых элементов t 1 , t 2 , t 3 ∈ T , то подгруппа K, порожденная всеми коммутаторами вида [x i , x 2 ], x i ,X 2 € T , лежит в центре I ив фактор-группе I/K образы инволюций из G перестановочны, т. е. I/K абелева, а I двуступенно нильпотентна. B

Лемма 5. Если G порождается тремя элементами, то она конечна.

C Предположим, что G = h a, b, c i и 2 m — максимум порядков элементов a, b, c. Используем индукцию по m. Если m 6 1, то G 6 I и по лемме 4 G конечна.

Пусть m >  2. Если X = { xi",..., x X } — конечная подгруппа фактор-группы G/I , то по теореме Шмидта полный прообраз X в G локально конечен как конечное расширение локально конечной группы и, следовательно, подгруппа X = h x i ,...,x s i , где x i I = x i , i = 1,..., s, конечна. По предположению X двуступенно нильпотентна, а значит, подгруппа X = XI/I, будучи изоморфной X/X П I, двуступенно нильпотентна.

Итак, G/I удовлетворяет условию теоремы 1 и порождается тремя элементами aI , bI , cI. Кроме того, максимум их порядков равен 2 m ^-1 . По предположению индукции G/I конечна. Поскольку I локально конечна в силу леммы 4 и теоремы Шмидта, а также конечно порождена, то G конечна. B

Лемма 6. Группа G двуступенно нильпотентна.

C Пусть a, b, c € G и K = h a, b, c i . По лемме 5 K конечна и, следовательно, нильпо-тентна ступени нильпотентности 2, откуда [[a, b], c] = 1. B

Лемма 6 завершает доказательство теоремы 1.

Пусть G удовлетворяет условиям теоремы 2. По лемме 1 | [H, H] | 6 2 для любой конечной подгруппы H группы G, что влечет двуступенную нильпотентность H . По теореме 1 G двуступенно нильпотентна и, в частности, локально конечна.

Можно считать, что G неабелева.

Пусть a, b € G и c = [a, b] = 1. Так как h a, bi — конечная группа, то порядок c = [a, b] равен двум и коммутант h a, b i совпадает с h c i . Пусть x,y € G. Так как K = ha, b, x, yi — конечная группа, то | [K, K] | 6 2 и поэтому [K, K] = h c i . В частности, [x,y] € h c i . Отсюда вытекает, что [G, G] = h [x, y] | x, y € G i = h c i . B

Пусть, наконец, G — 2-группа и [x, y] ² = 1 для любых элементов x, y € G, порождающих конечную подгруппу.

Лемма 7. (a) Если x, y € G и x ² = у ² = 1 , то (xy) ⁴ = 1 .

• (b)    Если G порождена тремя инволюциями, то коммутант G — элементарная абелева группа и G — конечная группа периода 4 .

• (c)    Если G порождена инволюцией и элементом порядка 4 , то G конечна.

C Пункт (a) следует из условия теоремы 2 в силу того, что две инволюции в группе порождают группу диэдра.

Пусть G = h x,y, z i и x ² = y ² = z ² = 1. По пункту (a)

1 = (xy) ⁴ = (xz) ⁴ = (yz) ⁴ = ((xy) ² z) ⁴ = ((yz) ² x) ⁴ = ((zx) ² y) ⁴ = ((xy) ² (xz) ² ) ⁴ = ((yz) ² (yx) ² ) ⁴ = ((zx) ² (zy) ² ) ⁴ .

Вычисления в GAP [4] с помощью алгоритма перечисления смежных классов показывают, что | G | не превосходит 2 16 . В частности, G конечна и, следовательно, [xy,z] ² = = [xz,y] 2 = [yz,x] 2 = 1. Дальнейшие вычисления в GAP после добавления этих равенств показывают, что | G | 6 2 8 , ее коммутант C абелев и, следовательно, периода 2. Поскольку G/C периода два, то G периода 4. Пункт (b) доказан.

Пусть G порождена элементом x порядка 4 и инволюцией у. Тогда H = hx ² ,y,y^x'i инвариантна относительно x и поэтому является нормальной подгруппой в G индекса 1 или 2. По пункту (b) H конечна, поэтому G также конечна. B

Лемма 8. Если G порождена четырьмя инволюциями, то G — конечная группа периода 8 .

C Пусть G = ha, b, c, di, где a, b, c, d — инволюции из G. По лемме 7(b), H = ha, b, ci — конечная группа периода 4. По лемме 7(c), h d, h i — конечная подгруппа для любого h G H, и по условию 1 = [d,h] 2 = (d • d h ) ² , откуда dd h = d h d, d ^h 1 d ^{hh 1} = d ^{hh 1} d ^h 1 для любого h i G H , т. е. D = hd ^h | h G H i — элементарная абелева группа. Так как D E G и G = DH , то G — конечная группа периода, делящего 8. B

В дальнейшем G — группа, удовлетворяющая условиям теоремы 3.

Лемма 9. Для любых инволюций x, y, z, t, u ∈ G выполняется равенство

[^{[[ x,}y ^] , ^{[ z,t ]] ,}u] = 1.

C По лемме 8 подгруппа H = h x, у, z, t i — конечная группа периода 8. Если h — элемент из H , порядок которого отличен от 8, то h u, h i — конечная группа по лемме 7 (c) и по условию [u, h] ² = (uu h ) ² = 1, откуда uu h = u h u. То же самое выполняется и в случае, когда h порядка 8. Поэтому, как и в доказательстве леммы 8, D = h u ^h | h G H i — конечная группа и G = DH также конечна. По [5, теорема 4], [[[x,у], [z, t]],u] = 1. B

Лемма 10. Группа G локально конечна.

C Пусть I — подгруппа, порожденная всеми инволюциями группы G, Z — ее центр. По лемме 9 для любых инволюций a, b, c, d G I элемент [[a, b], [c, d]] содержится в Z , т. е. [a, b][c, d] = [c, d][a, b] по модулю Z . Многократное применение известных равенств

[xy,z] = [x,z]y [y,z],   [x,yz] = [x,z][x,y]z показывает, что [xix2 ... xr, У1У2 ... ys], где xi,..., xr, yi,..., ys — инволюции, равно произведению коммутаторов вида [z, t], где z и t — инволюции. Поэтому коммутант I коммутативен по модулю Z и, в частности, I — локально конечная группа. Если теперь F/I — конечная подгруппа из G/I, то F также локально конечна, и поэтому F = FqI, где F0 — конечная подгруппа. По условию коммутаторы элементов из F0 лежат в I и поэтому F/I коммутативна. По теореме 1 G/I коммутативна, и, следовательно, G локально конечна. B

Закончим доказательство теоремы 3.

Для любых x, y G G подгруппа h x, y i конечна и по условию [x, y] ² = 1. Теперь утверждение теоремы вытекает из [5, теорема 4] и леммы 10.

Автор выражает признательность рецензенту за ценные замечания, позволившие существенно улучшить качество работы.